alg_linear_ geom_analit_tania_aulas_parte1

Álgebra Linear e Geometria Analítica
Bacharelados e Engenharias
Parte I - Matrizes
Prof.a Tânia Preto
Departamento Acadêmico de Matemática
UTFPR - 2014
Importante
• Material desenvolvido a partir dos livros da
referencia bibliográfica da disciplina e das
notas de aulas dos Professores do
DAMAT/UTFPR;
• Seu estudo não substitui a consulta e estudo
profundo dos conteúdos dos livros da
referencia bibliográfica !
Bons estudos !!!
Matrizes
1 - Pré-requisitos de matrizes
1.1 Definição de corpo:
• Um corpo (um corpo comutativo) é um
conjunto F capaz de fazer duas operações
sobre os elementos de F, adição e
multiplicação ;
• Um corpo satisfaz as seguintes condições:
Matrizes
• Condições de corpo (continuação):
Onde A1 corresponde à
A2 corresponde à
A3 corresponde à
A4 corresponde à
Matrizes
• Condições de corpo (continuação):
Onde M1 corresponde à
M2 corresponde à
M3 corresponde à
M4 corresponde à
D1 corresponde à
Matrizes
• Condições de corpo (continuação) Observações:
–  significa para todo e o símbolo
 significa implica em.
Ex. : a  b (lê-se se : a implica em b)
– Os conjuntos Q, R e C, respectivamente
conjuntos dos números racionais, reais e
complexos, são considerados corpos;
– Os conjuntos Q e R são subcorpos de C.
Subcorpo é um subconjunto de um corpo e
que também satisfaz todas as condições de
corpo: fechamento, aditivas, multiplicativas e
distributiva;
Matrizes
• Condições de corpo (continuação) Observações:
– O conjunto Z dos números inteiros não é um
subcorpo de C, pois para um inteiro n, nem
sempre 1/n é inteiro. Logo Z não satisfaz a
propriedade M4 da definição de corpo.
– Cada elemento de um corpo é denominado
escalar ou número;
– O contexto(universo) em que se está
trabalhando deve ser analisado, Por exemplo,
número visto como elemento do conjunto Z
(inteiros) ou número visto como elemento de
um corpo.
Matrizes
1.2 Definição de produto cartesiano
• Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Denominamos
produto cartesiano de A por B ao conjunto
A X B = {(x, y) / x  A e y  B}.
• Observações:
• A X B lê-se: A cartesiano B ou produto cartesiano de A
por B.
• Se A e B são conjuntos finitos com m e n elementos,
então A X B é um conjunto finito com mn elementos.
• Se A ou B for infinito e nenhum deles for vazio, então A
X B é um conjunto infinito.
Matrizes
1.3 Definição de Relação Binária (R)
• Dados dois conjuntos não vazios A e B, chama-se relação
binária de A em B, denotada por R : A B ou A
B,
todo subconjunto R de A X B;
• Podemos escrever como:
Observações:
– Aqui, R não é o conjunto dos reais e sim uma relação;
– R : A  B (lê-se: R está definida de A em B).
– Domínio de R: A B é o conjunto
D (R)= { x A / (x, y)  R }.
– Contra Domínio de R : A  B é o conjunto CD = B;
– Imagem de R: A  B é o conjunto
Im(R) = { y B / (x, y)  R }.
– Temos ainda que D  A e Im  B
Matrizes
1.4 Definição de função real de variável real
• Uma função f definida de A em B, denotada por f : A B ou mais
explicitamente
é uma relação binária
em que  x  A, | y  B / (x, y)  f .
Observações:
– | significa existe um único;
– Toda função é composta de três partes: o conjunto domínio, o
contradomínio e a regra (sentença ou lei de correspondência)
que permite associar, cada elemento do domínio a um único
elemento do contradomínio;
–
significa f é uma função definida de A em B, tal que f
associa cada x  A a um único y = f(x)  B
– Outras notações para função:
Matrizes
Observações (continuação):
– Não confundir f com f(x): f é a função e f(x) é o valor
da função em ponto x do seu domínio;
– Domínio de f : A B é o conjunto D (f) = A;
– Contradomínio de f : A  B é o conjunto CD = B.
– Imagem de f : A  B é o conjunto
Im = {y B /(x, y) f }.
– Se x  D( f ) , dizemos que f é definida em x ou que f(x)
existe. A expressão f não é definida em x significa que
x  D( f ) .
Matrizes
2 – Características
2.1 Definição de matriz:
• Uma matriz A do tipo m x n sobre um corpo F é uma função
do conjunto
X = { (i, j)  N X N / 1  i  m, 1  j  n } em F.
• Exemplo: A função
(com aij sendo imagem),
onde
X = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3)}, é uma matriz do
tipo 2x3 sobre R, sendo então A( 1,1)=2, A(1,2)=3,
A(1,3)=4, A(2,1)=3, A(2,2)=4, A(2,3)=5.
Representação na forma de tabela:
Matrizes
2.2 Representação
• Uma matriz é uma tabela retangular de elementos
organizados em linhas e colunas.
• Uma matriz com m linhas e n colunas será indicada por:
• O elemento aij localiza-se na i-ésima linha e j-ésima coluna;
• Caso suas dimensões sejam conhecidas, a matriz pode ser
indicada apenas por letras maiúsculas (A, B) sem colocar
os índices m e n;
• O símbolo
índica o conjunto de todas as matrizes
de ordem de elementos reais
Matrizes
Exemplos:
Ex1)
Ex2)
Ex3)
Identifique as dimensões e os elementos do ex2 e ex3.
Matrizes
Exemplos (cont):
Ex4) Coloque os dados seguintes em uma matriz:
Ex5) Escreva uma matriz de ordem 3 onde cada elemento é
a soma de seu indice de linha com seu índice de coluna, ou
seja, aij = i + j;
Ex6) Escreva uma matriz de dimensões 4 X 3 onde cada
elemento é a multiplicação de seu índice de linha por seu
índice de coluna, ou seja, aij = i * j;
Matrizes
3 Tipos Especiais de Matriz
3.1 - Matriz Quadrada
• É aquela onde o número de linhas é igual ao
número de colunas, isto é, m = n.
• Exemplos:
Matrizes
3.2 - Matriz Nula
• É aquela em que todos os elementos são iguais a
zero, isto é, aij = 0, para todo i e j.
• Exemplos:
Matrizes
3.3 – Matriz Linha
• Uma matriz Amxn é chamada de matriz linha quando
contém somente uma linha, ou seja,
m = 1;
• Exemplo:
3.4 – Matriz Coluna
• Uma matriz Amxn é chamada de
matriz coluna quando contém
somente uma coluna , ou seja, m = 1;
• Exemplo:
Matrizes
3.5 – Matriz Identidade
• É uma matriz quadrada (m = n)
onde aij = 0, para i  j e
aij = 1, para i = j .
• Exemplo:
3.6 – Matriz Diagonal
• É uma matriz quadrada (m = n)
onde aij = 0, para i  j
• Exemplo:
Matrizes
3.7 – Matriz Tridiagonal
• É uma matriz quadrada (m = n) com elementos nulos,
exceto aqueles que se encontram sobre a diagonal
principal e sobre as diagonais imediatamente
adjacentes.
• Exemplo:
Matrizes
3.8 – Triangular Superior
• É uma matriz quadrada onde aij = 0 para i > j;
• Exemplo:
3.9 – Triangular Inferior
• É uma matriz quadrada onde aij = 0 para i < j;
• Exemplo:
Matrizes
3.10 – Matriz Simétrica
• Matriz simétrica é uma matriz
quadrada (m = n) onde
aij = aji para todo i e j.
• Exemplo:
3.11 – Matriz Antisimétrica
• Matriz antisimétrica é uma matriz
quadrada (m = n) onde
aij = - aji para todo i e j.
• Exemplo:
Matrizes
3.12 – Matriz Esparsa
• Formada por uma grande
quantidade de elementos nulos
• Exemplo:
3.13 – Matriz Diagonalmente Dominante
• Nessa matriz, para todas as linhas, o módulo
do valor da matriz na diagonal é maior que
a soma dos módulos de todos os demais
valores daquela linha, ou seja,
para todo i.
• Exemplo:
Matrizes
4 Operações com Matrizes:
4.1 – Igualdade de matrizes
• Duas matrizes A e B de mesma dimensão
são iguais, ou seja, A = B, se aij = bij para
todo i e j.
• Exemplo:
Matrizes
4.2 – Adição de matrizes
• Dadas, duas matrizes A = [aij]mXn e B = [bij]mXn
(mesma dimensão), então a soma de seus
elementos é dada por
A + B = [aij]mXn + [bij]mXn = [aij + bij]mXn
para todo i e j.
• Exemplo 6 :
Matrizes
• Exemplo 7 : Suponha que as tabelas que seguem trazem
as produções de soja, feijão e milho (em milhares de
toneladas) de dois anos consecutivos de três regiões de
um país. Represente a tabela na forma de matriz e obtenha
a matriz que contenha o total da produção de cada produto
nas três regiões.
Matrizes
Matrizes
• Exemplo 9 : Seja a tabela do exemplo 2 da adição de
matrizes. Suponha que no terceiro ano, todas as regiões
duplicaram a sua produção devido ao incentivo recebido.
Mostre como fica a matriz que representa a produção do
terceiro ano.
• Propriedades da multiplicação de matrizes:
Matrizes
4.4 – Multiplicação de matrizes
• Dadas, duas matrizes A = [aij]mXn e B = [bij]nXp ,
então a multiplicação de seus elementos é dada
por uma matriz C = A . B = [cik]mXp onde
• Cada elemento [cik] da nova matriz é obtido pela
multiplicação da linha i da matriz A pela coluna j da
matriz B.
Matrizes
• Exemplo 10 :
Matrizes
• Exemplo 11: Observe que o numero de colunas da
primeira matriz deve ser sempre igual ao numero
de linhas da segunda matriz.
Matrizes
• Exemplo 12: Multiplique
A por B.
• Exemplo 13: Seja uma rede de confeitarias com duas lojas
A e B, que fabricam três tipos de bolos: 1, 2 e 3. As vendas
de bolos de A e B , por semana, estão na tabela que segue:
Esses bolos usam os seguintes ingredientes:
Qual a quantidade destes ingredientes que cada confeitaria
deverá receber semanalmente para atender às demandas?
Matrizes
• Propriedades da multiplicação de matrizes:
• Importante: Observe que em geral A.B B .A
• Exemplo 5: Verifique se A.B = B.A para as matrizes
dos exemplos 2 e 3.
Matrizes
Matrizes
4.5 – Transposição de matrizes
• Dada uma matriz AmXn = [aij]mXn  , denenomina-se
transposta de A, a matriz AT = [bij]mXn , cujas linhas são
as colunas de A, isto é, bij = aji .
• Exemplo:
Matrizes
• Propriedades da Transposição de matrizes:
• Definições:
A) A é dita simétrica, se
e somente se AT = A
B) A é dita antisimétrica, se
e somente se AT = -A