Lista 02: Mecânica Geral 2.1 - Uma partícula de massa m, restrita ao

Lista 02: Mecânica Geral
2.1 - Uma partícula de massa m, restrita ao eixo x > 0, está sujeita às seguintes forças: F1 =
origem, e F2 = B = const., atrativa na direção da origem.
a) Calcule a energia potencial, U(x) (Por que esta força é conservativa?).
b) Desenhe o diagrama de energia quando a energia cinética máxima é K0 = 21 mv20 .
c) Encontre a posição de equilíbrio, x0 .
A
,
x2
repulsiva a partir da
2.2 - Considere uma partícula de massa m sujeita à força F = −kx, k > 0, e restrita ao eixo x. No instante inicial a
´ x(t)
dx
partícula possui posição x0 e velocidade nula. Integre explicitamente a expressão t = x0 q
e obtenha
´
2 2 x
0
0
v(x0 ) + m x F(x )dx
0
x(t).
2.3 - A partícula de massa m e sujeita à um potencial U = 21 kx2 , k > 0, restrita ao eixo x, possui energia mecânica E e
´ x(t)
posição no instante inicial x0 . Integre explicitamente a expressão t = x0 q 2 dx
e obtenha x(t). Verifique se esta
m [E−U(x)]
solução concorda com a solução do problema anterior.
(
+µ, v < 0,
µ > 0. Prove que esta força é não
2.4 - Considere a força de atrito, em uma dimensão, dada por F =
−µ, v > 0,
conservativa.
2.5 - Uma partícula de massa m está sujeita a uma força de arrasto F = −b2 v2 , Considere que a velocidade inicial é
v0 > 0.
a) Calcule x(t).
b) Obtenha o deslocamento total da partícula (no intervalo infinito de tempo).
2.6 - Considere uma partícula em movimento vertical, nas proximidades da superfície da Terra, sujeita a uma força
devido a viscosidade, −bv.
a) Calcule v(t) e x(t), dados velocidade inicial v0 > 0 e posição inicial x0 . O eixo está orientado para baixo.
b) Considere velocidade inicial v0 < 0 e posição inicial x0 . (Entenda porque as soluções obtidas em a) continuam valendo). Calcule o tempo, contado a partir de t = 0, para que v inverta o sentido. Calcule o deslocamento para este intervalo.
2.7 - Calcule, usando análise dimensional, a dependência mais geral da força de arrasto em função dos parâmetros dimensionais ρ, η, R e v (densidade e viscosidade do fluido, raio de uma esfera sólida e velocidade relativa entre a esfera e o
fluido, respectivamente). Calcule um parâmetro adimensional (número de Reynold, Re) em termos dos quatro parâmetros
dimensionais acima. A forma mais geral da força de arrasto será dada, então pela dependência dimensional vezes uma
função do parâmetro adimensional.
2.8 - Considere uma gotícula de óleo, de raio 10−6 m e densidade 875 kg/m3 , imersa no ar, cujo coeficiente de viscosidade é 1, 8 · 10−5 kg/m · s. Supondo que os coeficientes de arrasto b1 e b2 possuam a mesma ordem de grandeza,
calcule a velocidade terminal da gotícula no ar, sob ação da gravidade (g = 9, 8 m/s) para as leis linear e quadrática do
arrasto. Qual lei está correta para esta situação?
2.9 - Uma esfera de aço de raio 1 mm cai sob ação da gravidade, imersa em óleo. Calcule a velocidade terminal da
esfera dada pelas leis lineares e quadráticas do arrasto. O óleo possui densidade 950 kg/m3 , viscosidade 1 kg/m · s, a densidade do aço é 7800 kg/m3 e considere, f (Re) = 6π, f (Re) = 0, 8, para os casos lineares e quadáticos, respectivamente.
Despreze o empuxo.
2.10 - Considere um projétil lançado da superfície com velocidade inicial v0 . Se a força da gravidade é constante e
desprezamos forças de arrasto, mostre que o alcance màximo sobre o plano horizontal de lançamento vale xm =
o ângulo de lançamento deve ser 45o .
v20
g
e que
2.11 - Um canhão está situado no início de uma colina de inclinação constante α. Ele é elevado de um ângulo θ0 em
relação à horizontal e um projétil é lançado com velocidade v0 (veja figura). Desconsidere forças de arrasto.
1
a) Calcule o alcance do projétil medido ao longo da linha de inclinação da colina.
b) Calcule o ângulo de lançamento para que esse alcance seja máximo.
c) Calcule o valor máximo desse alcance.
2.12 - Um morteiro é colocado à beira de um precipício de altura h. Desprezando forças de arrasto, calcule o alcance do
morteiro (no chão do precipício) em termos do ângulo de lancamento α (ângulo com a horizontal) e da velocidade inicial
v0 .
2.13 - Encontre a trajetória z(x) de um projétil lançado no plano x − z, da origem e com velocidade inicial v~0 = v0x î + v0z k̂.
Considere uma força de arrasto do tipo −b~v e parta das soluções para x(t) e z(t).
2.14 - Obtenha a altura máxima atingida pelo projétil do exercício anterior.
2.15 - Considere o lançamento de um projétil, a partir da superfície, com velocidade inicial~v0 = vox î + v0z k̂. Considerando
uma força de arrasto linear, −b~v, obtenha a curva da trajetória, em segunda ordem em b.
2.16 - Obtenha ~∇U, onde U é um campo escalar, em coordenadas cilíndricas. Para isso, considere:
q q
q
q
k
2E
k
R: 2.1a) U(x) = A 1x − 1a +B(x−a), onde U(a) ≡ 0, 2.1c) x̄ = AB ; 2.2) x(t) = x0 cos
t
;
2.3)
x(t)
=
sin
t
+
θ
0 ,
m
k
m
q
mg bv0 t
k
m
bt
bt
x
;
2.5a)
x(t)
=
x
+
ln
1
+
θ0 = arcsin
0
0
2E
b
m ; 2.5b) ∆x → ∞; 2.6a) v(t) = v0 exp − m + b 1 − exp − m ,
mg
bt
x(t) = mb v0 − mg
1−
b
exp − m +2 b t;
0
0
2.6b) t = mb ln mg−bv
, ∆x = mvb 0 + mb2g ln mg−bv
; 2.7) F ∝ ρn−1 η2−n Rn vn , Re = ρvR
mg
mg
η ; 2.8) linear: 0, 1 mm/s, quadrática:
2v2 cos θ sin(θ −α)
0
0
1, 6 cm/s; 2.9) linear: 1, 7 cm/s, quadrática: 65 cm/s;2.11a) xa = 0 g cos
, 2.11b) θm = α2 + π4 , 2.11c) xm =
2α
r
v0z
mg
v20
v20
bv0x + v0x mv0x
v0z
mv0x
2gh
mg
m2 g
1 + v2 sin2 α ; 2.13) z(x) = bv0x + v0x x− b2 ln mv0x −bx ; 2.14) zM = 1+ mg
b +
g(1+sin α) ; 2.12) xa = g sin α cos α 1 +
bv0z
0
v0z
m2 g
bg
b2 g
∂U
1 ∂U
∂U
3
4
~
ln 1 − 1+ 1mg ; 2.15) z(x) = v0x
x − 2vg2 x2 − 3mv
3 x − 4m2 v4 x ; 2.16) ∇U = êr ∂r + êφ r ∂φ + êz ∂z ;
b2
bv0z
0x
0x
0x
2