pontíficia universidade católica de goiás escola de engenharia

PONTÍFICIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS
ESCOLA DE ENGENHARIA
ENG1389 SISTEMAS LINEARES
CAPÍTULO 02 LISTA DE EXERCÍCIOS
PROFA. FABRÍCIA NERES BORGES
2.2-1 Um sistema LCIT é especicado pela equação (D2 + 5D + 6)y(t)=(D + 1)x(t)
a) determine o polinômio característico, a equação característica, raízes características, e modos
característicos deste sistema.
b) determine yo (t), a componente de entrada nula da resposta y(t) para t ≥ 0 se as condições
iniciais forem yo (0− ) = 2 e ẏ0 (t) = −1.
2.2-2 Repita o problema 2.2-1 para (D2 + 4D + 4)y(t) = Dx(t) e y0 (0− ) = 3 e y˙0 (0− ) = 3.
2.2-3 Repita o problema 2.2-1 para D(D + 1)y(t) = (D + 2)x(t) e y0 (0− ) = ẏ0 (0− ) = 1.
2.2-4 Repita o problema 2.2-1 para (D2 + 9)y(t) = (3D + 2)x(t) e y0 (0− ) = 0 e ẏ0 (0− ) = 6.
2.2-5 Repita o problema 2.2-1 para (D2 + 4D + 13)y(t) = 4(D + 2)x(t) e y0 (0− ) = 5 e ẏ0 (0− ) =
15, 98.
2.2-6 Repita o problema 2.2-1 para D2 (D + 1)y(t) = (D2 + 2)x(t) e y0 (0− ) = 4, ẏ0 (0− ) = 3 e
ÿ0 (0− ) = −1.
2.2-7 Repita o problema 2.2-1 para (D +1)(D2 +5D +6)y(t) = Dx(t) e y0 (0− ) = 2, ẏ0 (0− ) = −1
e ÿ0 (0− ) = 5.
2.2-8 Um sistema é descrito por uma equação linear diferencial com coeciente constante e
possui uma resposta de entrada nula dada por y0 (t) = 2e−t + 3.
a) É possível que a equação característica do sistema seja λ + 1 = 0? Justique sua resposta.
b) É possível que a equação característica do sistema seja (λ + λ) = 0? Justique sua resposta.
2
1
c) É possível que a equação característica do sistema seja λ(λ + 1)2 = 0? Justique sua resposta.
2.3-1 Determine a resposta ao impulso unitário do sistema especicado pela equação (D2 + 4D +
3)y(t) = (D + 5)x(t).
2.3-2 Repita o problema 2.3-1 para (D2 + 5D + 6)y(t) = (D2 + 7D + 11)x(t).
2.3-4 Determine a resposta ao impulso unitário de (D2 + 6D + 9)y(t) = (2D + 9)x(t).
2.4-1 Se c(t) = x(t) ∗ g(t), mostre que Ac = Ax Ay , onde Ax , Ag e Ac são as áreas sob x(t), g(t) e
c(t), respectivamente. Verique esta propriedade da área da convolução nos exemplos 2.7 e 2.9.
2.4-2 Se g(t) ∗ x(t) = c(t) então mostre que x(at) ∗ g(at) =|
1
a
| .c(at). Esta propriedade
escalonamento no tempo da convolução arma que se tanto x(t) quanto g(t) forem escalonados
no tempo por a, a convolução deles também será escalonada por a(e multiplicada por |
1
a
| ).
2.4-3 Mostre que a convolução de uma função ímpar e uma função par é uma função impar e
que a convolução de duas funções ímpares ou duas funções pares é uma função par. Dica : utilize
a propriedade de escalonamento no tempo da convolução do problema 2.4-2.
2.4-5 Usando a integração direta, determine u(t) ∗ u(t), e−at u(t) ∗ e−at u(t) e tu(t) ∗ u(t).
2.4-6 Usando a integração direta, determine sin(t)u(t) ∗ u(t) e cos(t)u(t) ∗ u(t).
2.4-7 A resposta ao impulso unitário de um sistema LCIT é h(t) = e−t u(t). Determine a resposta
do sistema (estado nulo) y(t) se a entrada x(t) for
a) u(t),
b) e−t u(t),
c) e−2t u(t), e
d) sen(3t)u(t).
2.4-8 Repita o problema 2.4-7 para h(t) = 2e−3t − e−2t u(t) se a entrada x(t) for
a) u(t),
b) e−t u(t), e
c) e−2t u(t).
2
2.4-9 Repita o problema 2.4-7 para h(t) = (1 − 2t)e−2t u(t) e entrada x(t) = u(t).
2.4-10 Repita o problema 2.4-7 para h(t) = 4e−2t cos(3t)u(t) para
a) u(t), e
b) e−t u(t).
2.4-11 Repita o problema 2.4-7 para h(t) = e−t u(t) para
a) e−2t u(t),
b) e−2(t−3) u(t),
c) e−2t u(t − 3), e
d) o pulso mostrado na gura 2.4-11. Forneça um rascunho de y(t).
Figura 1: 2.4-11
3