PRODUTO CARTESIANO - Professor Joaquim

Matemática
Prof.: Joaquim Rodrigues
1
PRODUTO CARTESIANO
Dados dois conjuntos não vazios, A e
B, chama-se produto cartesiano de A por B,
e indica-se A x B, ao conjunto cujos elementos são todos os pares ordenados que têm
por abscissa um elemento de A e por ordenada um elemento de B, ou seja:
A × B = {( x , y ) / x ∈ A e y ∈ B}
NOTA:
Se A ou B for vazio, diremos que o produto cartesiano A x B = ∅.
Se A ≠ B, então A x B ≠ B x A.
Podemos representar A x B por A 2 .
Se A possui m elementos e B possui n
elementos, então A x B terá m ⋅ n elementos.
Veja que é possível fazer a representação gráfica do produto cartesiano. Como o
produto cartesiano de A x B é um conjunto
de pares ordenados chamaremos de gráfico
de A x B ao conjunto dos pontos do plano
cartesiano associados a esses pares ordenados.
QUESTÕES
Questão 01
Seja A = {−1, 0, 2} e B = {2, 3}, calcular:
a) A × B
b) B × A
c) A 2
d) B 2
Questão 02
Dados A = {1, 2, 3} e B = {−5, 5}, determine:
a) A x B
b) B x A
Questão 03
Dados A = {−1, 1, 2} e B = { 0, 1}, determine
A x B.
Questão 04
Um conjunto A possui 5 elementos e um
conjunto b tem 6 elementos. Calcule o número de elementos de cada um dos seguintes conjuntos:
b) A 2
c) B 2
a) A × B
Questão 05
Para os conjuntos A e B temos que o número de elementos de A é 3 e que o número de
elementos de B é 2.
Sabendo que A ∩ B = {2}, que (3, 4) ∈ A x B
e ainda que A ∪ B = {1, 2, 3, 4}, ache A e B.
Questão 06
Sabendo que a e B são dois conjuntos tais
que:
1. (1, 7) e (5, 3) são elementos de A x B;
2. A ∩ B = {1, 3}
Podemos afirmar com toda segurança que:
a) A x B tem 8 elementos
b) A x B tem mais de 8 elementos
c) A x B tem pelo menos 8 elementos
d) A x B não pode ter 9 elementos
e) Nada se pode afirmar sobre o número de
elementos de A x B
Questão 07
Marque a única opção falsa:
a) se n ( A ) = p , então n ( A 2 ) = p 2
b) se n ( A × B) = n (B × A ) , então
A ×B = B× A
c) se A = B, então A x B = B x A
d) se n ( A ) = x e n (B) = y , então
n ( A × B) = x ⋅ y
Questão 08
Se A = {1, 2, 6, 9} e B = {1, 6}, quantos elementos tem o conjunto ( A ∩ B) × C A B ?
Questão 09
Se o conjunto A possui 2 elementos e o conjunto B possui 3 elementos, então o conjunto
P(A x B) possui:
a) 64 elementos
b) 32 elementos
c) 256 elementos
d) 16 elementos
e) 6 elementos
Questão 10
Sendo A = [ 1, 3 ] e B = {4}, representar no
plano cartesiano, o gráfico de:
a) A x B
b) B x A
Matemática
Questão 11
Dados os conjuntos A = [ − 3 , 2 ] e B ={4},
represente no plano cartesiano:
a) A x B
b) B x A
c) A 2
Questão 12
Dados os conjuntos A = [ − 1, 3 ] e B = [ 2 , 5 )
represente no plano cartesiano:
a) A 2
b) A x B
c) B x A
Questão 13
Dados A = ] 4 , 8 ] e B = ] 3 , 5 ] , represente
no plano cartesiano:
a) A x B
b) B x A
c) B 2
Questão 14
Dados A = [ 3 , 6 [ e B = {1, 2, 3}, represente
no plano cartesiano:
a) A x B
b) B x A
Questão 15
Represente no plano cartesiano o gráfico de
IR x {1}.
Questão 16
O gráfico do produto cartesiano R x Z é formado por:
a) uma faixa
b) uma reta
c) infinitas retas paralelas ao eixo x
d) infinitas retas paralelas ao eixo y
e) duas retas concorrentes
Questão 17
O gráfico do produto IR × IR = IR 2 é:
a) uma reta
b) todo o plano cartesiano
c) três retas
d) o conjunto formado pelos eixos x e y
e) duas retas perpendiculares
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Questão 18
Se A = [ − 1, 1 ] e B = [ 1, 3 ], então o gráfico
de A x B é:
a) uma faixa vertical
b) um conjunto de quatro pontos
c) uma região quadrada
d) uma região retangular não quadrada
e) a reunião de duas retas horizontais
Questão 19
Sendo A = [ 2 , + ∞ ) e B = [ 3 , + ∞ ) , então o
gráfico de A x B é:
a) uma faixa de pontos paralela ao eixo y
b) uma região retangular
c) uma faixa de pontos paralela ao eixo x
d) uma região angular de abertura 90º
e) a reunião de três segmentos de retas paralelas ao eixo y
Questão 20
Sendo A, B e C três conjuntos quaisquer não
vazios de um mesmo conjunto universo (U),
então das sentenças abaixo, a que nunca é
correta é:
a) se A ≠ B, então A x B ≠ B x A
b) A x (B ∩ C) = (A x B) ∩ (A x C)
c) A x (B ∪ C) = (A x B) ∪ (A x C)
d) A x (B x C) = (A x B) x C
e) A x ∅ = ∅ x A = ∅
Questão 21
Se A = { x ∈ IR / 1 ≤ x ≤ 3 } e B = {3}, o produto
cartesiano A x B graficamente será:
b)
a)
y
y
3
3
0
1
3 x
0
c) y
d) y
3
3
0
1
2
3 x
0
3 x
1
1
2
3 x
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Questão 32
Sendo A = [ 1, 4 ] e B = [ 1, 3 ] intervalos reais, a melhor representação do produto cartesiano A x B é:
a)
b)
y
y
3
3
1
1
0
c)
1
4
0
x
d)
y
3
1
1
1
4
0
x
4
x
4
x
y
3
0
1
1
Questão 33 (PAES – UNIMONTES / 2000)
Dados os conjuntos A = { x ∈ IR / − 3 ≤ x ≤ 4 }
e B = { y ∈ IR / − 2 < y ≤ 3 } , a alternativa que
representa A x B será:
a)
y
b)
y
4
3
−2
3
x
−3
−3
y
c)
4
x
−2
y
d)
3
4
3
−3
x
−2
−3 −2
x
Questão 34 (UFMT)
O gráfico do produto cartesiano A x B é formado por 15 pontos distintos. Pode-se afirmar que:
a) A não é um conjunto unitário
b) A possui 3 elementos e B possui 5
c) A é um conjunto de números inteiros
d) A ≠ B
e) A possui 15 elementos
Questão 35 (UFES)
Se A = {0, 1, 2} e B = {0, 2, 4, 5}, então o
número de elementos distintos do conjunto
(A x B) ∪ (B x A) é:
a) 4
b) 8
c) 12
d) 20
e) 24
3
Matemática
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RELAÇÃO
Em linguagem comum, sentenças como:
x é irmão de y
x é primo de y
x é maior que y
x é paralelo a y
são denominadas relações entre x e y
Em linguagem matemática, as sentenças
dadas são chamadas sentenças abertas de
duas variáveis, ou seja, são afirmações que
não sabemos se são verdadeiras ou falsas;
elas se tornam verdadeiras ou falsas quando
atribuímos valores a x e a y.
Para conceituarmos, matematicamente, uma relação, consideremos os conjuntos
A = {2, 3, 5}, B = {1, 4, 6} e R o conjunto verdade da sentença x > y, com x ∈ A e y ∈ B.
Temos R = {(2, 1); (3, 1); (5, 1); (5, 4)}, que é
um subconjunto de A x B.
Observe que o conjunto R pode ser descrito
como {(x, y) ∈ A x B / x > y}. Dizemos então,
que R é relação de A em B definida por x > y
com x em A e y em B.
Assim, podemos definir que: Relação
de um conjunto A num conjunto B é todo
subconjunto não vazio de A x B.
Em linguagem matemática, podemos
dizer que: R é relação de A em B, se e somente se: R ⊂ (A x B), R ≠ ∅.
DOMÍNIO, CONJUNTO IMAGEM
E
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
Seja R uma relação de A em B:
Domínio de R é um conjunto dos primeiros elementos dos pares pertencentes a
R, que podemos representar por D(R).
Conjunto imagem de R é o conjunto dos
segundos elementos dos pares pertencentes a R, que vamos representar por
Im(R).
Sendo R um subconjunto de A x B,
podemos representá-lo graficamente por diagrama de flechas e por meio do diagrama
cartesiano.
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Questão resolvida
Considerando os conjuntos: A = {0, 1, 2, 3} e
B = {−2, −1, 0, 1, 2}, determine a relação:
R = {(x, y) ∈ A x B / y = x − 2}
Resolução
A lei que define a relação R é y = x − 2
Formando todos os pares ordenados (x, y),
tal que (x, x − 2), vamos encontrar a relação:
R = {(0, −2); (1, −1); (2, 0); (3, 1)}
Sua representação gráfica é:
1. através de diagramas
A
B
0
−2
1
−1
2
2
3
3
2
2. através do plano cartesiano
y
2
1
0
−1
1
2
3
x
−2
Domínio: D (R) A = {0, 1, 2, 3}
Contra-domínio: CD (R) B = {−2, −1, 0, 1, 2}
Imagem: Im (R) {−2, −1, 0, 1}
Dessa forma, dizemos que −2 é imagem do
elemento 0, que −1 é imagem de 1, que 0 é
imagem de 2, e que 1 é imagem de 3. Como
o elemento 2 do conjunto B não está relacionado com nenhum elemento de A, dizemos que 2 ∉ Im (R).
Matemática
QUESTÕES
Questão 01
Sejam A = {−4, −1, 4, 6}, B = {−3, −2, 0, 2, 3}
e a relação R = {(a, b) ∈ A x B / a = 2b}.
a) Determine R, D(R) e Im (R)
b) Fazer os diagramas de flechas e cartesiano
Questão 02
Sejam A = {−2, 0, 1, 3}, B = {−4, −1, 2} e a
relação R = {(x, y) ∈ A x B / x < y}.
a) Determine R, D(R) e Im (R)
b) Fazer os diagramas de flechas e cartesiano
Questão 03
Obter o gráfico cartesiano da relação definida por R = {(x, y) ∈ A x A / x = y}, sabendo
que A = {1, 2, 3, 4, 5}.
Questão 04
Obter o gráfico cartesiano da relação definida por R = {(x, y) ∈ A x A / x = y}, sabendo
que A = [ 1, 5 ].
Questão 05
Obter o gráfico cartesiano da relação definida por R = {(x, y) ∈ IR x IR / x = y}.
Questão 06
Sejam os conjuntos A = {−2, −1, 0, 1, 2, 3} e
B = {−1, 0, 2, 5}, determine:
a) R = {( x , y ) ∈ A × B / y = x + 2 }
b) D(R) e Im (R)
Questão 07
Sendo dados os conjuntos A = {−2, −1, 0, 1}
e B = {−1, 0, 1, 2, 3, 4}, determine:
a) R 1 = {( x , y ) ∈ A × B / y = x 2 }
b) R 2 = {( x , y ) ∈ A × B / y = x − 5 }
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a) Determine R = {( x , y ) ∈ A × B / y = x − 5 }
b) Determine o domínio e a imagem de R
c) Represente R no plano cartesiano e por
meio de diagrama de flechas
Questão 10
Considere os conjuntos A = {0, 1, 4, 5, 9, 10}
e B = { −2, 0, 2, 3, 4, 5, 8}. Se F é uma relação de A em B, que se define por y = x + 2
então o número de elementos de F é:
a) 1
b) 4
c) 6
d) 16
e) 42
Questão 11
Observe o diagrama abaixo, que ilustra uma
relação S do conjunto A = {1, 2, 3, 4} no conjunto B = {−1, 2, 0, 7, 9}.
B
A
−1
1
2
2
0
3
7
4
9
Marque a única afirmativa CORRETA:
a) D(S) = {2, 4} e Im(S) = {−1, 0}
b) D(S) = {2, 4} e Im(S) = {2, 7, 9}
c) D(S) = {1, 3} e Im(S) = {2, 7, 9}
d) D(S) = {1, 3} e Im(S) = {−1, 0}
e) D(S) = A e Im(S) = B
Questão 12
Observe o gráfico de uma relação F de IR
em IR. O domínio e o conjunto imagem de F
são, respectivamente, os intervalos:
y
1
2
Questão 08
Sendo A = {0, 1, 2, 3, 4}, determine:
a) R 1 = {( x , y ) ∈ A 2 / y = x 2 }
b) R 2 = {( x , y ) ∈ A 2 / y = x }
c) R 3 = {( x , y ) ∈ A 2 / y = x − 2 }
Questão 09
Considere os conjuntos A = {x ∈ IN* / x ≤ 2}
e B = {y ∈ IN / 2 ≤ y ≤ 4}.
−1
0
−1
a) [ − 1, 2 ) e ( − 1, 1 ]
b) ] 0 , 2 [ e [ − 1, 2 )
c) [ − 1, 0 ) e ] − 1, 2 [
d) [ − 1, 1 ] e [0 , 2)
e) IR e IR
x
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6
FUNÇÃO
Consideremos um conjunto A de crianças, que vamos supor filhos únicos, e B
de homens, pais dessas crianças. Vamos
estabelecer uma correspondência entre esses conjuntos associando a cada criança o
respectivo pai.
Como cada criança possui apenas um
pai e cada homem é pai de apenas uma criança, essa correspondência pode ser visualizada pelo diagrama:
A
(crianças)
B
(homens)
Onde:
1. O conjunto de todos os elementos de B,
associados aos elementos de A, pela
função f, é chamado imagem de f.
2. Se x é um elemento do domínio, a imagem de x, pela função f, ou o valor de f
no elemento x é indicado por f(x).
3. Quando a imagem Im(f) é constituída
somente de números, a função é chamada numérica.
4. Convencionamos chamar o elemento genérico do domínio de x e sua imagem de
y. Assim, podemos escrever: y = 3 x − 4
ou f ( x ) = 3 x − 4
QUESTÕES
Observe que a todo elemento do conjunto A está associado um único elemento
do conjunto B. Correspondências como essa
se chamam FUNÇÕES ou APLICAÇÕES.
Assim, para definir uma função, precisamos
de:
1. Um conjunto A não vazio, denominado
domínio da função;
2. Um conjunto B não vazio, denominado
contra-domínio da função;
3. Uma regra (lei) que associa a todo elemento do domínio, um único elemento do
contra-domínio.
De modo geral, as funções são designadas
por f e para indicar uma função como a do
exemplo dado, escreve-se:
f: A → B, definida pela regra: filho → pai
Portanto, podemos dizer que uma função f é
a relação que associa a cada elemento de
um conjunto A um único elemento do conjunto B.
definida em A
Note que a função está 
com valores em B
e escrevemos f: A → B
Questão 01
Considerando os conjuntos A = {−1, 0, 1, 2}
e B = {−3, 0, 3, 6, 9, 10}, quais dos conjuntos
a seguir são funções de A em B?
a) F = {(−1, −3); (0, 0); (1, 3); (2, 6)}
b) E = {(−1, 10); (0, 10); (1, 10); (2, 10)}
c) H = {(−1, 0); (0, 0); (−1, 9); (2, 10); (1, 6)}
d) K = {(−1, −3); (1, 3); (2, 9)}
e) N = {(−1, 4); (2, 0); (0, 3); (3, 6); (1, 9)}
Questão 02
Considere A = {a, b, c, d} e B = {1, 2, 3, 4, 5}.
Assinale a única alternativa que define uma
função de A em B.
a) {(a, 1); (b, 3); (c, 2)}
b) {(a, 3); (b, 1); (c, 5); (a, 1)}
c) {(a, 1); (b, 1); (c, 1); (d, 1)}
d) {(1, a); (2, b); (3, c); (4, d); (5, a)}
Questão 03
Verificar se a adição é uma função no conjunto dos números naturais.
Questão 04
A subtração é função em IN?
Em qual parte do conjunto IN ela é operação
fechada?
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Questão 05
Quais dos gráficos abaixo, constituem função no intervalo [ 1, 5 ] ?
a)
y
1
5
x
1
5
x
b)
y
7
Questão 06
Através de um estudo sobre o consumo de
energia elétrica de uma fábrica, chegou-se à
equação C = 400 ⋅ t , em que C é o consumo
em kwh e t é o tempo em dias.
a) Qual o consumo de energia elétrica dessa fábrica em 8 dias?
b) Quantos dias são necessários para que o
consumo atinja 4.800 kwh?
Questão 07
Um fazendeiro estabelece o preço da saca
de café em função da quantidade de sacas
adquiridas pelo comprador através da equa200
ção p = 50 +
, em que p é o preço em
x
dólares e x é o número de sacas vendidas.
a) Quanto deve pagar, por saca, um comprador que adquirir cem sacas?
b) Quanto deve pagar, por saca, um comprador que adquirir duzentas sacas?
c) Sabendo que um comprador pagou 50
dólares por saca, quantos sacas ele
comprou?
Questão 08
Considere os conjuntos A = {0, −1, 1, −3, 3}
e B = {0, 3, 27, −3, −9, 1}. Quais das relações seguintes são funções de A em B?
a) F = { ( x , y ) ∈ A × B / y = 3 x 2 }
b) G = { ( x , y ) ∈ A × B / y = x }
c) H = { ( x , y ) ∈ A × B / x > y + 3}
d) R = { ( x , y ) ∈ A × B / y = 3}
c)
y
1
5
x
d)
y
1
5
x
Questão 09
Considere os conjuntos A = {−2, −1, 0, 1, 2}
e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Determine o domínio,
o contradomínio e o conjunto imagem da
função f = { ( x , y ) ∈ A × B / y = x 2 } .
Questão 10
Uma pessoa quer desenhar um retângulo
com uma área de 50 cm2. Indica por x e y as
medidas dos lados do retângulo, em cm. Para x, a pessoa pode escolher qualquer valor
positivo. Escolhido o valor de x, calcula-se o
valor de y para que a área seja de 50 cm2.
Então a variável y depende de x. Escreva a
lei de associação dessa função.
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CÁLCULO DE IMAGEM
Uma forma muito cômoda de definir
uma função, dado o domínio A e o contradomínio B, é dar a lei de associação através
de uma equação com duas variáveis (normalmente x e y) em que a primeira variável
(x), percorre o domínio e a segunda (y) percorre o contradomínio.
A variável x, que percorre o domínio
chama-se variável independente, e a variável y que percorre o contradomínio, chamase variável dependente. Nessas condições,
a imagem de um dado número x pela função
f, constitui o valor da variável y para o dado
valor da variável x. Podemos, portanto, calcular a imagem a partir de uma equação dada.
QUESTÕES
Questão 01
Se f ( x ) = 3 x 2 − 5 x + 3 , calcule:
a) f(2)
b) f(−1)
c) f(0)
Questão 02
Considere as funções f e g, definidas por
f ( x ) = 3 x 2 − 5 e g( x ) = 4 x + 1, determine o
valor de f(2) − g(−1).
Questão 03
2x − 1
Se f ( x ) =
, então f(1):
x +1
a) não existe
b) é 2
1
c) é
2
d) vale zero
Questão 04
Seja a função f dada por f ( x ) = 2x 3 − 1. Nessas condições f(0) +f(−1) + f(1) é igual a:
a) −3
b) −1
c) 0
d) 1
e) 3
8
Questão 05
Se f ( x ) = − x 2 + 2x − 3 , calcule:
a) f( −2)
b) f(x − 2)
c) f(2x + 1)
Questão 06
Se f ( x ) = 3 x + 2 e g( x ) = 2x + a , calcule “a”
de modo que f (2x − 4) = g(3 x + 2) .
Questão 07
Dadas f ( x ) = 3 x + a e g( x ) = bx + 2 , calcule a
e b de modo que f(2) = 10 e g(−3) = 8.
Questão 08
Sendo as funções f ( x ) = 2x e g( x ) = 3 x + m ,
determine m tal que f ( 4) + g( −3) = 4 .
Questão 09
Dada a função f ( x ) = x 2 − 4 x − 12 , determine
os valores reais de x para que se tenha:
a) f(x) = −15
b) f(x) = 0
Questão 10
Se f ( x ) = ax 2 − 3 x + b , calcule a e b sabendo
que f(3) = 32 e f(−2) = 22.
Questão 11
Se f ( x ) = mx 2 + nx − 1, calcule m e n sabendo que f(1) = 0 e f(2) = 7.
Questão 12
Se f ( x ) = 3 x 2 − 5 x + 1 e g( x ) = 2x 2 − 3 x + 16 ,
calcule x tal que f(x) = g(x).
Questão 13
Se f ( x + 4) = 3 x + 7 , calcule f(x).
Questão 14
Determine f(2), sendo f ( x − 3) = x − 1.
Questão 15
Dada a função f ( x − 3) = 2x − 11, calcule f(3).
Questão 16
Se f (2x − 3) = 4 x 2 − 18 x + 20 , calcule f(x).
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Questão 17
x + x −1
, calcule f (2 0 , 5 )
Se f ( x ) =
x − x −1
Questão 18
x − x−2
Se f ( x ) =
, calcule f ( 4 2 )
−2
x+x
Questão 20
Dados A = [ − 10 , 8 ] e B = [ 0 , 100 ] e a função f = { ( x , f ( x )) ∈ A × B / f ( x ) = 3 x + 40} , calcule:
a) f ( −10)
b) f (2)
c) f (0)
 1
d) f  
3
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DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO
Nem sempre uma dada equação, define uma função. Há que se examinar sempre o domínio e o contradomínio. Numa função real f, o domínio D é o maior subconjunto de IR, tal que a fórmula f(x) defina uma
função.
Questão
Determinar o domínio de cada função:
a) f ( x ) = x
b) f ( x ) = 3 x − 6
3x − 2
c) f ( x ) = 2
x −4
d) f ( x ) = 2x + 8
2x + 1
e) f ( x ) =
3x − 6
3x − 6
f) f ( x ) =
2x
FUNÇÃO DEFINIDA POR PARTES
Uma função f pode ser definida por
uma lei formada por mais de uma sentença.
Num subconjunto D1 do domínio ela é dada
por uma certa lei, em outro subconjunto D2
ela é dada por outra lei, e assim por diante.
QUESTÕES
Questão 01
x 2 − 3 x , se x ≤ −2

Seja a função f ( x ) = 2x + 5 , se − 2 < x ≤ 2 ,
 4 , se x > 2

TIPOS DE FUNÇÃO
1. Função injetora ou injetiva: uma função
é injetora ou injetiva se, e somente se,
elementos diferentes do domínio têm
imagens diferentes.
A
B
1
a
2
b
c
3
d
calcule f(1) − f(5) + f(−3).
Questão 02
− 3 x + 1, se x < −3

Seja a função f ( x ) = x 2 + 1, se − 3 ≤ x < 1,
 3
x − 2x − 3 , se x ≥ 1
calcule f(2) + f(−4) − f(−3) + f(−1).
Observe que cada elemento do domínio tem imagem única, exclusiva. Note que
“a” é imagem única do elemento “1” e de
mais nenhum outro, assim também, o elemento “c” é imagem única de “2” e de mais
ninguém e o elemento “d” é imagem única
do elemento “3”.
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2. Função sobrejetora ou sobrejetiva:
uma função é sobrejetora ou sobrejetiva
se, e somente se, todo elemento do contradomínio é imagem de algum elemento
do domínio.
Observe que
A
B
nesse caso, todo
elemento do con1
a
tradomínio é i2
magem de algum
b
3
elemento do domínio, ou seja,
4
c
não está sobrando nenhum elemento no contradomínio.
FUNÇÃO COMPOSTA
Sejam as funções f e g, de IR em IR,
definidas por f ( x ) = x + 1 e g( x ) = x 2 , vamos
calcular f(2) e g[f(2)].
f(2) = 3 e g[f(2)] = g[3] = 9
Podemos observar que 3 é imagem de 2 pela função f e 9 é imagem de 3 pela função g.
Assim, vamos considerar as funções
f: A → B e g: B → C, temos que a função
composta de g em f é a função gof: A → C,
sendo gof(x) = g[f(x)]
3. Função bijetora ou bijetiva: uma função
é bijetora ou bijetiva se, e somente se, é
injetora e sobrejetora ao mesmo tempo.
Dessa
vez,
A
podemos perceB
ber que a função
1
a
é injetora, pois
todo elemento do
b
2
contradomínio é
imagem de algum
c
3
elemento do domínio e a função
também é sobrejetora, pois não sobram elementos no conjunto contradomínio. Logo,
essa função será chamada de bijetora.
4. Função qualquer: quando não for nem
injetora, nem sobrejetora.
A
B
Repare
que
1
nesse caso, a
a
função não é in2
b
jetora, pois o ec
3
lemento “b” é
imagem de “2”
d
4
e também do
“3”. Também não é sobrejetora, pois está
sobrando o elemento “d” no conjunto contradomínio.
10
QUESTÕES
Questão 01
Dadas as funções f ( x ) = 3 x − 2 , g( x ) = x 2 + 1
e h( x ) = 2x + 3 , calcule:
a) fog( x )
b) fohog( x )
c) fohog( −1)
d) hogof (2)
e) gohof (1)
Questão 02
Se fog( x ) = 6 x + 9 e f ( x ) = 2x − 5 , calcule
g( x ) .
Questão 03
Se fog( x ) = 12x + 1 e g( x ) = 4 x + 1, calcule
f(x).
Questão 04
x +1
com
x−2
x ≠ 0 e g( x ) = 2x + 3 , obtenha o domínio da
função gof(x).
Em relação à funções reais f ( x ) =
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PRODUÇÃO DA FUNÇÃO IDENTIDADE
ATRAVÉS DA OPERAÇÃO COMPOSIÇÃO
Função inversa: seja f: A → B uma função.
Se existir a função g: B → A, de forma que
gof = idA e fog = idB, dizemos que g: B → A é
a função inversa f: A → B.
Obs.: Dadas duas funções bijetoras f e g,
temos ( fog) − 1 = g − 1of − 1 .
Regra prática para obtenção da função
inversa: Dada a função bijetora f definida
por y = f(x), para obtermos a função inversa
f − 1 , fazemos o seguinte:
1. trocamos x por y e y por x;
2. isolamos y
CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO
Função crescente: dizemos que uma função y = f(x) , de A em B, é crescente em um
intervalo [ a , b ] ⊂ A se, e somente se, para
qualquer x1 e x2 pertencentes ao intervalo
[ a , b ] , temos x1 > x 2 ⇒ f ( x 1 ) > f ( x 2 ) .
y
f(x2)
f(x1)
QUESTÕES
Questão 01
Calcule as funções inversas de:
a) f ( x ) = 5 x − 3
b) y = 2 − 4 x
c) y = 3 x + 2
d) y = 3 2x + 1
e) f ( x ) = x 3 + 1
3x − 2
f) f ( x ) =
x+5
4x − 2
g) f ( x ) =
3x + 1
2x
h) y =
3x − 1
Questão 02
Determinar a inversa de f ( x ) = x 2 − 4 x + 2 ,
sabendo que f : [ 2 , + ∞ ) → [ − 2 , + ∞ ) .
11
x1
x2
x
Perceba que de x1 para x2, houve um crescimento e também houve um crescimento de
f(x1) para f(x2). Logo, quando a função cresce de um lado, a imagem também cresce do
outro e se a função decresce, a imagem
também decresce.
Função decrescente: dizemos que uma
função y = f(x) , de A em B, é crescente em
um intervalo [ a , b ] ⊂ A se, e somente se,
para qualquer x1 e x2 pertencentes ao in[ a, b ],
tervalo
temos
x1 > x 2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x 2 ) .
y
f(x1)
f(x2)
PARIDADE DE FUNÇÃO
Função par: uma função f(x) é par se, e
somente se, f(−x) = f(x).
Função ímpar: uma função f(x) é ímpar se,
e somente se, f(−x) = −f(x).
x1
x2
x
Perceba que de x1 para x2, houve um crescimento e também houve um crescimento de
f(x1) para f(x2). Logo, quando a função cresce de um lado, a imagem também cresce do
outro e se a função decresce, a imagem
também decresce.
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12
TESTES – FUNÇÃO
Questão 01
Considere os conjuntos A = {−1, 0, 1, 2} e
B = {−3, 0, 3, 6, 9, 10} e as relações:
1. {(−1, 3); (0, 0); (1, 3); (2, 6)}
2. {(−1, 10); (0, 10); (1, 10); (2, 10)}
3. {(−1, 0); (0, 0); (−1, 9); (2, 10); (1, 6)}
4. {(−1, −3); (1, 3); (2, 9)}
5. {(−1, 4); (2, 0); (0, 3); (3, 6); (1, 9)}
São funções:
a) apenas 1 e 2
b) apenas 2 e 3
c) apenas 3 e 4
d) apenas 2 e 5
Questão 02
Qual das relações abaixo, com S ⊂ A x B,
lhe sugere uma função de A em B, sendo
que A = {1, 2, 3, −3} e B = {0, 5, 6, 3, 8, −3}?
a) S1 = {(1, 1); (2, 0); (3, 3); (−3, −3); (1, 0)}
b) S2 = {(1, 0); (2, 0); (3, 0); (−3, 0)}
c) S3 = {(1, 3); (2, 8); (3, 6); (1, 5)}
d) S4 = {(1, 0); (2, 5); (−3, 3)}
Questão 03
Seja a relação P = {(x, y) ∈ IN x IN / y = x −
5} O domínio desta relação é igual a:
a) IN
b) IN*
c) IR
d) {x ∈ IN / x ≥ 6}
e) {x ∈ IN / x ≥ 5}
Questão 05
2x − 1
Se f ( x ) =
, então f(1) é igual a:
x +1
a)
2
1
b)
2
c)
0
d) −1
1
e) −
2
Questão 06
Seja a função dada por f ( x ) = 2x 3 − 1. Então
 1
f(0) + f(−1) + f   é igual a:
2
3
a) −
4
15
b) −
4
19
c) −
4
17
d) −
4
Questão 07
[
]
Se f ( x ) = 3 + 2x , então f ( 2 ) + f ( − 2 )
será igual a:
a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
e) 10
2
Questão 08
Questão 04
2 

Seja f = ( x , y ) ∈ IR x IR / y =
 uma
4 − x2 

relação. O domínio desta relação é igual a:
a) IR+
b) IR*
c) IR
d) {x ∈ IR / x ≠ 2}
e) {x ∈ IR / x ≠ 2 e x ≠ −2}
1
x , o valor de f(2) + 1 vale:
Sendo f ( x ) =
1
1−
x
2
a)
3
3
b)
2
c) 2
d) 4
1+
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13
Questão 09
Considere a função f ( x ) = x 2 . Nestas condições, o valor de f (m + n) − f (m − n) é igual a:
a) 2m 2 + 2n 2
b) 2n 2
c) 4mn
d) 2m 2
e) 0
Questão 13
Seja f uma função real de variável real tal
que f(1) = 3 e f(x + y) = f(x) + f(y) para quaisquer x e y reais. Então o valor de f(2) é igual
a:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 6
e) 8
Questão 10
Questão 14
Seja f: IN → Z uma função que verifica as
seguintes condições:
f(0) = 2, f(1) = 3 e f (n + 1) = 2 f (n) − f (n − 1) .
Então, pode-se afirmar que f(3) é igual a:
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
Se
a)
b)
c)
d)
e)
2x − 1
f (2 x − 3 ) =
, então f(0) vale:
2x + 7
1
−
7
0
1
7
1
5
1
−
5
Questão 11
Sendo f (2x + 3) = 4 x 2 + 6 x + 1 , ∀ x ∈ IR, então f (1 − x ) vale:
a) 2 − x 2
b) 2 + x 2
c) x 2 + x − 1
d) 3 x 2 − 2x + 4
Questão 12
x − 3 , se x ≤ −2

Seja a função f ( x ) = 2x 2 + 1, se − 2 < x < 3 .
5 , se x ≥ 3

Pode-se afirmar que f ( π) + 2 f ( 5 ) + f ( −2) é
igual a:
a) 10
b) 13
c) 22
d) 25
Questão 15
Numa seqüência tem-se f (n + 1) = 2 f (n) − 1 e
f(1) = 4. O valor de f(3) é igual a:
a) 13
b) 10
c) 8
d) 7
Questão 16
A função f: IR → IR é tal que ∀ x ∈ IR, temos
f (3 x ) = 3 f ( x ) . Se f(9) = 45, então f(1) vale:
a) 5
b) 6
c) 7
d) 9
Questão 17
O domínio real da função f ( x ) = 3 x + 2 é:
a) IR
b) IR+
2

c) x ∈ IR / x > − 
3

2

d) x ∈ IR / x ≥ − 
3

2

e) x ∈ IR / x < − 
3

Matemática
Questão 18
−x
, então o conjunto de todos os
Se y = 2
x −1
números reais x para os quais y é real é:
a) {x ∈ IR / x ≤ 0 e x ≠ −1}
b) {x ∈ IR / x ≠ 1 e x ≠ −1}
c) {x ∈ IR / x < 0 e x ≠ −1}
d) {x ∈ IR / − 1 < x < 1}
Questão 19
Uma função que verifica a propriedade:
“qualquer que seja x, f(−x) = −f(x) é:
a) f(x) = 2
b) f(x) = 2x
c) f ( x ) = x 2
d) f ( x ) = 2 x
Questão 20
Qual das funções a seguir é par?
1
a) f ( x ) = 2
x
b) f ( x ) = x
1
c) f ( x ) =
x
d) f ( x ) = x 5
Questão 21
A função que é ímpar é:
a) f ( x ) = 3 x 6
b) f ( x ) = x 4 + x 2 − 3
c) f ( x ) = 5 x − 8
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14
Questão 23
Sendo f ( x ) = 3 x − 2 , g( x ) = 2x + 3 e b = f(a),
então g(b) vale:
a) 6a − 1
b) 5a + 1
c) 3a − 2
d) 6a − 6
e) 5a − 2
Questão 24
Se f ( x ) = 3 x + 1 e g( x ) = x 2 , então fog(x) é
igual a:
a) 9 x 2 + 6 x
b) 3 x 2 + x
c) x 2
d) 3 x 2 + 1
e) 3 x 2
Questão 25
Se f ( x ) = 3 e g( x ) = x 2 , então fog(x) é igual
a:
a) 9
b) 3
c) x 2
d) 3 x 2
Questão 26
2x + 1
Se f ( x ) =
, então fof(x) é igual a:
x−2
a) 1
b) x
x−2
c)
2x + 1
2
d) f ( x ) = x 3 − 2x
 2x + 1 
d) 

 x−2 
2x + 1
e)
x−2
Questão 22
Dadas as funções f: IR → IR e g: IR → IR
definidas por f ( x ) = x 2 + 5 e g( x ) = −4 x , verifique qual é a afirmação correta:
a) f e g são funções pares
b) f e g são funções ímpares
c) f é função par e g é função ímpar
d) f é função ímpar e g é função par
e) f e g não são funções nem pares nem
ímpares
Questão 27
Se f ( x ) = x 3 + 1 e g( x ) = x − 2 , então gof(0) é
igual a:
a) −1
b) 0
c) 1
d) 2
e) 3
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Questão 28
As funções f e g são dadas por f ( x ) = 2x − 3
e g( x ) = x + 1 . O valor de g[f(5)] é:
a) 49
b) 50
c) 15
d) 9
e) 5
2
Questão 29
Dada a função f definida por f ( x ) = 2x + 1, se
g é função de IR em IR e fog( x ) = 3 x − 1 , então g é definida por:
a) g( x ) = 6 x + 2
3
b) g( x ) = x − 1
2
2
2
c) g( x ) = x +
3
3
2
d) g( x ) = 6 x + x − 1
Questão 30
A função inversa da função f ( x ) =
a) f − 1 ( x ) =
b) f − 1 ( x ) =
c) f − 1 ( x ) =
d) f − 1 ( x ) =
e) f − 1 ( x ) =
x+3
x −3
3x + 1
2−x
3x − 1
x −3
2x − 1
x −3
x+3
2x − 1
3x − 1
é:
x−2
A lei que define a inversa de f ( x ) =
3
3
x+
2
2
3
b) f − 1 ( x ) = x + 1
2
3
c) f − 1 ( x ) = x − 1
2
3
3
d) f − 1 ( x ) = x −
2
2
Questão 32
A função inversa de f ( x ) =
1
é:
x +1
a) x + 1
b) x − 1
x +1
c)
x −1
1− x
d)
x
Questão 33
O gráfico representa a quantidade de soro
que uma pessoa deve tomar em função de
seu peso, caso seja mordida por um animal
raivoso.
Soro em ml
50
25
10
20
50
100
Peso em Kgf
a) Quanto deve tomar de soro uma pessoa
que pesa 50 kgf?
b) Se uma pessoa tomou 50 ml de soro,
qual é o seu peso?
c) Sabe-se que a quantidade de soro a ser
tomada deve ser distribuída em 14 injeções. Quantos ml de soro deve tomar em
cada injeção uma pessoa de 100 kgf de
peso?
Questão 31
a) f − 1 ( x ) =
15
2
x − 1 é:
3
GABARITO:
A → 1, 15, 16, 18, 20, 23, 27, 31
B → 2, 5, 19, 25, 26, 28, 29
C → 6, 9, 11, 12, 14, 22
D → 7, 8, 10, 13, 17, 21, 24, 30, 32
E → 3, 4
Questão 33
a) 25 ml
b) 100 kgf
c) Aproximadamente 3, 57 ml