Tal como o momento linear caracteriza a quantidade de movimento
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Departamento de Física da Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa Mecânica A 2008/09 _____________________________________________________________________________________________ MOMENTO DE INÉRCIA DE UM CORPO RÍGIDO 1. Objectivo • Estudo do movimento de rotação de um corpo rígido. • Determinação do momento de inércia de um corpo em relação a um eixo. • Estudo da variação do momento de inércia de um corpo com a distância ao eixo de rotação. 2. Introdução Momento angular de uma partícula r Define-se momento angular L de uma partícula em relação a um ponto O como o produto r r vectorial do vector posição r da partícula, pelo vector momento linear mv , r r r L = r × mv (1) Em geral, o momento angular de uma partícula varia em módulo e direcção durante o movimento. Se o movimento ocorre num plano que contém o ponto O, a direcção do momento r r angular permanece constante, ou seja, perpendicular ao plano, visto que r e v estão contidos no plano. No caso especial do movimento circular, quando o momento angular se calcula em relação r r ao centro do círculo, os vectores r e v são perpendiculares e verificam a relação v = ω r , sendo ω a velocidade angular, donde: L = mvr = mω r 2 (2) r r No movimento de uma partícula o sentido de L coincide com a direcção de ω e podemos escrever a relação vectorial: r r L = mr 2ω Derivando a relação (1) em ordem ao tempo, vem: r r r r r r r r dv r r r dp dL d (r × mv ) dr = = × mv + mr × = v × mv + r × dt dt dt dt dt (3) (4) Momento de inércia r r Em (4) a 1ª parcela é nula e a 2ª vem igual a r × F , pelo que a variação no tempo do momento angular é igual ao momento da força aplicada ou resultante das forças aplicadas e escrevemos, r r dL r r = r×F = M (5) dt Momento angular e momento de inércia de um corpo rígido Para um sistema constituído por muitas partículas o momento angular total é a soma dos momentos angulares de todas as partículas, r r L = ∑ Li (6) i Um corpo rígido é um caso especial de um sistema composto por muitas partículas. As partículas de um corpo rígido em rotação em torno de um eixo fixo descrevem circunferências r r r r centradas no eixo de rotação com uma velocidade vi = ω i × ri . A velocidade vi da partícula é, assim, proporcional ao raio da circunferência que descreve. vi = ω ri senθ i = ω Ri (7) Z ω Ri vi mi LiZ θ Li ri O r r No movimento circular ri é perpendicular a vi . A projecção do momento angular de uma partícula segundo o eixo de rotação vem: r r r Liz = L cos(90 − θ i ) = ri × mvi senθ i = mi ri vi senθ i = mi vi Ri = miω Ri2 (8) e a projecção do momento angular total segundo o eixo de rotação é dada por: L z = ∑ Liz = ∑ mi Ri2 ω = Iω i i (9) I representa o momento de inércia do corpo. Para uma distribuição continua de massa, I = ∫ r 2 dm , (10) 2(6) Momento de inércia onde dm representa a massa de um elemento infinitesimal colocado à distância r do eixo de rotação, sendo o integral estendido a todo o corpo. A partir desta equação pode-se compreender que o momento de inércia de um corpo em relação a um eixo depende, não só, do eixo em torno do qual ele gira, mas também, da forma do corpo e da distribuição da massa. Num sistema de muitas partículas, o vector momento angular não tem, em geral, a direcção do eixo de rotação. Quando coincidem diz-se que o eixo de rotação é um eixo principal de inércia e vem r r L = Iω (11) Os eixos de simetria são eixos principais de inércia. Tal como o momento linear caracteriza a quantidade de movimento de translação, o momento angular caracteriza a quantidade de movimento de rotação. A grandeza responsável pela r alteração do estado de rotação é o momento resultante das forças exteriores aplicadas M ext que se relaciona com o momento angular do corpo por: r r dL M ext = (12) dt Esta expressão é idêntica à obtida para uma partícula (5). A relação (12) é formalmente análoga à r dpr relação F = para o movimento de translação. dt Como, para um corpo rígido, o momento de inércia I é constante, das relações (11) e (12) obtemos: r r r r d (Iω ) dω M ext = =I = Iγ dt dt r r M ext = Iγ Ou seja r onde γ representa a aceleração angular do movimento. 3. (13) (14) Para resolver antes da aula de realização do trabalho 1) Qual é o momento de inércia de uma massa pontual de 100 g, relativamente a um eixo do qual dista 10 cm. 2) Qual é o momento angular da massa anterior quando roda em torno do eixo referido com uma velocidade angular de 6,0 rad/s. 3) Dois cilindros de massa m1, raio r e altura h estão presos sobre uma barra de comprimento Lb e massa mb que roda em torno de um eixo perpendicular à barra e que passa pelo seu centro (fig. 1). A distância do centro de massa de m1 ao eixo de rotação é d. 3(6) Momento de inércia a) Escreva uma expressão para o momento de inércia do sistema em termos dos parâmetros acima referidos, recorrendo à informação que encontrará na última página deste documento. b) Calcule o momento de inércia do sistema para m1 = 250 g, r = 1,5 cm, h = 1,5 cm, Lb = 60 cm, mb = 150 g e d = 25 cm. 4. Realização experimental Neste trabalho estuda-se a variação de momento angular de um sistema em função do seu momento de inércia e do momento resultante aplicado. Material • Barra cilíndrica, apoiada no centro, onde se podem posicionar duas massas iguais a diferentes distâncias. Este sistema é colocado sobre um eixo de teflon de forma a reduzir o atrito no movimento de rotação. • Massas de 100 g, 150 g e 200 g. • Prato suspenso por um fio e roldana. • Sensor óptico ligado ao computador para registo de posições e velocidades. • Craveira, balança. Para iniciar o movimento de rotação aplica-se um momento constante, suspendendo uma massa m num fio que se encontra preso, via uma roldana, no eixo de rotação com fita velcro (supõese que as forças de atrito mais importantes correspondem ao atrito sólido entre o sistema e o eixo em que está apoiado, o que corresponde a um momento das forças de atrito também constante). O fio é enrolado um número de voltas determinado, conforme se pretende uma duração maior ou menor do tempo de aplicação do momento. Sugere-se que a configuração inicial da barra seja a correspondente às massas m1 nas posições extremas (d ≈ 27.5 cm). 1. O sistema é preparado suspendendo uma massa m de 200 g no extremo do fio, preso pela fita velcro e enrolado com 10 voltas. Mantendo o sistema imóvel, inicia-se no computador o registo temporal da velocidade angular do sistema (programa DataStudio, opção sensor óptico: “polia inteligente rotativa”, distância angular = 20º) e liberta-se o sistema. a) Registe os resultados obtidos para a velocidade angular em função do tempo e a partir deles: i) Caracterize os diferentes tipos de movimento que o sistema apresenta. ii) Obtenha a aceleração angular do movimento inicial. 4(6) Momento de inércia iii) Estime a aceleração angular média devida ao momento das forças de atrito. iv) Calcule a aceleração angular associada ao momento da força de tensão. v) Indique o tipo de movimento da massa m e a aceleração linear correspondente. Calcule a tensão no fio enquanto a massa desce. vi) Calcule o momento aplicado pela tensão do fio em que o peso está suspenso. vii) Calcule o momento de inércia do sistema. b) Repita a sua experiência utilizando mais duas massas m (150 g e 100 g) para variar o momento aplicado. 2. O momento de inércia do sistema varia nesta experiência? Quais são as duas quantidades fundamentais que variam e qual a relação entre elas? Calcule o valor médio dos três valores que obteve para o momento de inércia do sistema na configuração utilizada e o maior desvio relativamente à média. Apresente o resultado sob a forma I ± ∆I . m1 Fig. 1: Para desencadear o movimento de rotação do varão, ao qual se adaptam as massas m1, enrola-se um fio em torno do cilindro de raio r, coaxial com o eixo de rotação, aplica-se um momento de força suspendendo do fio, que passa pela roldana, a massa m e liberta-se em seguida o sistema. Um sensor de posição permite medir tempos de passagem para o movimento de rotação. r m 3. Para uma dada força de tensão aplicada (uma dada massa m, já utilizada nos ensaios anteriores), altere a posição das massas m1 três vezes (mantendo-as equidistantes do centro) e repita o estudo realizado em 1 a) com o objectivo de determinar o momento de inércia do sistema em cada uma destas condições. 4. Meça também o momento de inércia do varão (sem massas). 5. Represente graficamente os momentos de inércia obtidos em 1) e 3) em função do quadrado da distância das massas ao centro de rotação. Explique o gráfico obtido. Interprete os parâmetros da recta ajustada e compare-os com os valores esperados. 5(6) Momento de inércia MOMENTOS DE INÉRCIA CILINDRO raio r, altura h, massa m Iz = mr 2 2 Ix = Iy = BARRA comprimento L, secção nula, massa m Ic = m (3r 2 + h 2 ) 12 mL2 12 Adaptado de http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_moments_of_inertia. TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS A relação entre o momento de inércia de um sólido em relação a um eixo de rotação que passa pelo seu centro de massa, I CM , e o seu momento de inércia em relação a outro eixo paralelo ao primeiro, I p , é dada por I p = I CM + md 2 onde m é a massa do objecto e d é a distância entre os eixos paralelos. 6(6)
