S - USP

Física I
Mecânica
Alberto Tannús
II 2010
Tipler&Mosca, 5a Ed.
Capítulo 9 - Rotações
Velocidade e aceleração angular

Sistemas de partículas
vinculadas: cada partícula
executa movimento de
rotação em torno de um
eixo exatamente como
todas as outras partículas
do sistema 
Corpo rígido!!
Deslocamento angular:
Velocidade
angular w!!
Aceleração angular:
Velocidade e aceleração tangencial de uma partícula:
Aceleração centrípeta:
Equações de movimento
rotacional
v  v0  at
1 2
S  S0  v0t  at
2
(Equiv. Rotacional de Torricelli)
Exemplo:

Um CD gira de 0 a 500 RPM em 5.5 s;
Qual é a aceleração angular?
 Quantas rotações ele faz em 5.5 s?
 Que distância percorre um ponto na borda a 6 cm
do centro durante os 5.5 s?

S:
Torque
Pião:
Onde se aplica a força (Fi ) para fazê-lo girar?
 Braço de momento (l ): distância perpendicular
da linha de ação da força ao eixo de rotação!

Componente tangencial da força!
Aceleração tangencial
Multiplicando a equação por ri:

Somando sobre todas as partículas:
 Torque resultante
 Momento de Inércia
Segunda Lei de Newton de rotação:
Exemplo: Cálculo do Momento de
Inércia

Quatro partículas de
massa m são conectados
por barras sem massa
formando um retângulo
de lados 2ª e 2b cf. figura.
O sistema gira em torno
do eixo no plano da
figura. Encontre o
momento de inércia com
relação a este eixo.
S:
Eixo paralelo

Encontre o momento de
inércia deste sistema
para rotação em torno
de um eixo que passa
paralelamente ao
anterior, sobre duas das
partículas.
S:
Como achei este valor?
Objetos contínuos

Momento de Inércia é calculado por dm um
elemento de massa a uma posição r e somando
para todo o volume.
Exemplo:

Calcule o Momento de Inércia de uma barra de
comprimento L e massa M, com relação a um
eixo perpendicular à barra e passando pela sua
extremidade.
S:
Teorema dos Eixos Paralelos

Momento de Inércia
relativamente a um
eixo paralelo ao que
passa no centro de
massa, comparado
ao M.I. relativo a
este eixo
Aplicações da Segunda Lei

Sentado numa bicicleta num apoio estacionário,
com a roda traseira livre para girar, você aplica
através da corrente uma força de 18 N à catraca
de raio r=7 cm. Considere a roda como um anel
(I=MR2) com raio R=35 cm e massa M=2.4 kg.
Qual será a velocidade angular da roda depois de
5 s?
S:
Rotação sem deslizamento

Num cilindro com uma fita enrolada, se a fita é
puxada e não desliza, então a velocidade do
cilindro é igual à velocidade tangencial, na borda
do mesmo.
Diferenciando,
Exemplo:

Um objeto de massa m é conectado a uma corda
sem massa, enrolada em uma roda com
momento de inércia I e raio R. A roda gira sem
atrito, e a corda não desliza na sua borda.
Encontre a tensão na corda e a aceleração do
objeto.
S:
 Condição de não deslizamento:
I0?
I?
Exemplo:

Um bastão uniforme de massa M e comprimento
L é vinculado numa das extremidades. Ele é
mantido na horizontal, e depois liberado.
Suponha que não haja atrito no pivô. Encontre:
A aceleração angular do bastão imediatamente após
liberado;
 A força F0 exercida pelo pivô neste instante.

S:
Energia cinética rotacional
Energia cinética de um elemento de massa mi:
Exemplo:

Um volante utilizado para armazenar energia
consiste num disco uniforme de massa 1.5 x 105 kg
e raio 2.2 m, que gira a 3000 RPM em torno do
seu centro.

Encontre sua energia cinética.
S:
Exemplo

No bastão do exemplo anterior, que é
novamente liberado do repouso na horizontal,
encontre:
A velocidade angular do mesmo quando atinge a
posição vertical;
 A força exercida pelo pivô neste instante;
 Qual é a velocidade angular inicial necessária para ele
atingir a posição vertical no topo da sua oscilação?

S:
Usando a conservação de energia
(não há atrito no pivô)
Potência
Forças que imprimem movimento de rotação realizam
trabalho:
Trabalho executado por um torque t :
Taxa com que ele executa trabalho:

Objetos girantes
Diferenciando:
Rotacional
Translacional
Exemplo:

Um taco atinge uma bola horizontalmente a uma
altira x acima do seu centro. Encontre o valor de
x para o qual a bola role sem deslizar. Expresse
os resultados em termos do raio R da bola
Condição de não deslizamento
Exemplo

Uma bola de boliche de massa M e raio R é
arremessada de forma que no instante em que
ela toca no solo ela se move com velocidade
horizontal v0 = 5 m/s e ainda não gira. O
coeficiente de atrito com o solo é mK = 0.08:
Encontre:
O tempo que a bola desliza até que a condição de
não deslizamento é atingida;
 A distância que ela percorre deslizando.

S: