Relatório Pré-final de F609 – tópicos de ensino de física I Rotações

Relatório Pré-final de F609 – tópicos de ensino de física I
Rotações num plano
inclinado
Aluna: Gabriela Fasolo Pivaro RA 081472 (gabifasolo @ gmail.com)
Professor orientador: Dr. Francisco Amancio Cardoso Mendes (frmendes @ unicamp.br – Faculdade
de Educação)
Dezembro/2014
Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP)
Resumo:
Neste projeto, experimentaremos com rotações em um plano inclinado. A ideia é mostrar que
a aceleração de rotação está diretamente ligada ao momento de inércia de um objeto. Para isso,
montaremos dois cilindros de mesma massa, porém momentos de inércia diferentes. Soltando eles
num plano inclinado, será possível notar que eles chegarão ao fim em tempos diferentes,
evidenciando a sua diferença de velocidade e, assim, de aceleração.
Teoria do experimento:
Centro de massa:
Vamos, primeiramente, definir o que é centro de massa:
"O centro de massa de um sistema de partículas é o ponto que se move como se 1. toda a massa do
sistema estivesse concentrada nesse ponto e 2. todas as forças externas estivessem aplicadas nesse
ponto." 1
Traduzindo-se isso em uma expressão, dizemos que:
𝑛
𝒓𝐶𝑀
1
= ∑ 𝑚𝑖 𝒓𝒊
𝑀
(1)
𝑖=1
Aqui, o vetor rCM representa a posição no espaço do centro de massa, M é a massa total do
sistema, e os termos mi e ri são, respectivamente, a massa e a posição no espaço das partículas de
índice i. Essa relação é importante aos nossos cálculos futuros pois consideraremos as forças
envolvidas nos sistemas como atuantes nos seus centros de massa.
Suponhamos, agora, um corpo em rotação. Num determinado intervalo de tempo, esse corpo
em rotação tem uma variação angular, como pode ser visto na figura 1 abaixo.
Figura 1: a seta indica o sentido da rotação de um corpo, onde se encontra na posição P1 em
t1, e na posição P2 em t2.
Num tempo arbitrário inicial, chamando aqui de t1, um ponto arbitrário esta na posição P1, em
um relacionado ângulo θ1. Numa variação de tempo, t2, o ponto agora está em P2 e ângulo θ2. A
variação desse ângulo (Δθ) em relação ao tempo (Δ t) é chamada velocidade angular (ω).
𝜔=
1
∆𝜃
∆𝑡
HALLIDAY, D. Fundamentos de Física: Mecânica, vol1. 7 ed., página 218
(2)
E a velocidade linear e angular de um corpo podem se relacionar através da equação:
𝑣 = 𝜔𝑅
(3)
Onde R é o raio do objeto em rotação. A variação da velocidade angular em relação ao tempo é
chamada aceleração angular:
𝛼=
∆𝜔
(4)
∆𝑡
Momento de Inércia:
A aceleração angular está relacionada a uma grandeza chamada momento de inércia. Para
explica-la partiremos do conceito de energia cinética, que é a energia associada a um objeto em
movimento. Ela relaciona a massa desse objeto com sua velocidade, através da fórmula 𝐾 = 1⁄2 𝑚𝑣 2
Consideremos, agora, um disco em rotação. Esse disco é um conjunto de partículas com
diferentes velocidades, uma vez que a velocidade (v) está diretamente ligada à distância que o ponto
está do centro. Segundo essa lógica, podemos colocar a energia cinética total como sendo a soma de
todas as energias de cada partícula. Isso nos dá:
𝑛
1
1
1
1
𝐾 = 𝑚1 𝑣12 + 𝑚2 𝑣22 + ⋯ + 𝑚𝑛 𝑣𝑛2 = ∑ 𝑚𝑖 𝑣𝑖2
2
2
2
2
(5)
𝑖=1
Onde mi é a massa da partícula de ordem i, e vi sua velocidade.
Como vi não é igual a todas as suas partículas, substituímos pela relação com a velocidade
angular:
𝑛
𝑛
1
1
𝐾 = ∑ 𝑚𝑖 (𝜔𝑟𝑖 )2 = (∑ 𝑚𝑖 𝑟𝑖2 ) 𝜔2
2
2
𝑖=1
(6)
𝑖=1
A esse valor nos parênteses damos o nome de Momento de inércia. Podemos perceber que essa
quantidade depende da forma como a massa do corpo está distribuída em torno do seu eixo de
rotação.
Temos, então, a definição:
𝑛
𝐼 = ∑ 𝑚𝑖 𝑟𝑖2
(7)
𝑖=1
Torque:
Outro conceito importante a se ter noção, é o chamado Torque (τ). Para ajudar a entender o
que é, usaremos um exemplo de fácil visualização.
Imagine você abrindo uma porta. A maçaneta fica a uma distância maior possível do eixo das
dobradiças por um motivo. Quando você faz força para abri-la, pode-se perceber que a faz em um
sentido perpendicular ao eixo da porta. Caso o fizesse no eixo paralelo, a porta não abriria. A força
que se faz, então, tem duas componentes, onde apenas uma delas contribui para a rotação da porta.
A capacidade de fazer a porta girar depende não somente da direção da força aplicada, como
também à distância em que se aplica. Para levar em conta esses dois fatores, é definida uma grandeza
chamada torque, que, em fórmula, se dá por:
𝜏 = 𝑟 𝐹 𝑠𝑒𝑛𝜃
(8)
Juntando os conceitos de torque e momento de inércia, podemos escrever a segunda lei de
Newton (comumente escrita por 𝑭 = 𝑚𝒂) nesses termos. Estamos interessados em relacionar o
torque resultando aplicado a um corpo rígido à aceleração angular alfa produzida pelo torque. Em
uma analogia à segunda lei de Newton, substituímos F por τ, m por I e a por α.
Desse modo, temos:
𝜏=𝐼𝛼
(9)
Sabendo esses conceitos chaves para o experimento, podemos prosseguir com o estudo das
forças do rolamento, explicitando aqui a ação do rolamento para baixo em uma rampa inclinada. Se
uma força age no objeto que está rolando, a fim de aumentar ou diminuir sua velocidade, essa força
também produz uma aceleração do centro de massa (acm) na direção do movimento. Além, ela faz
com que a roda gire mais rápida ou devagar, o que significa que causa uma aceleração angular (α).
Essa aceleração tende a fazer a roda deslizar no ponto de contato com a superfície, assim, uma força
de atrito deve agir sobre a roda nesse ponto para se opor a esse movimento (uma vez que estamos
estudando o rolamento sem deslizamento de um objeto).
A aceleração acm pode-se relacionar com a angular α através da fórmula:
𝑎𝐶𝑀 = 𝛼 𝑅
(10)
Para chegarmos nesse resultado, basta variarmos a equação 3 pelo tempo.
Rolando para baixo em uma rampa:
A figura 2 abaixo mostra um objeto de massa M e raio R rolando em uma rampa inclinada a θ
graus. Buscamos, aqui, obter uma expressão para a aceleração angular do objeto ao longo da rampa.
Figura 2: esquema mostrando um corpo rolando uma rampa inclinada a teta graus da
horizontal, juntamente com as forças que agem no corpo.
Como podemos ver na imagem acima, as forças que atuam no objeto estão explicitadas e são
as seguintes:
1. A força gravitacional Fg que atua no centro de massa, com sentido para baixo. A origem dessa força
está colocada no centro de massa, e possui duas componentes. A componente ao longo da rampa é
determinada por Fg sen(θ), que é igual a Mg sen(θ).
2. A força normal N, que atua no ponto de contato do objeto com a rampa e é perpendicular a esta.
Na imagem, a força está deslocada, sem perda de informação, ao longo de sua direção até que se
atinja o centro de massa.
3. A força de atrito (f) que atua no ponto de contato, que se opõe ao movimento e está direcionada
para cima ao longo da rampa.
Igualando-se as forças responsáveis pelo movimento ao longo da rampa pelo seu sentido de
atuação, temos:
𝑀𝑎𝐶𝑀 + 𝑀𝑔 𝑠𝑒𝑛(𝜃) = 𝑓
(10)
Agora, vamos descrever a rotação do corpo em torno de um eixo horizontal passando pelo
centro de massa. A força de atrito provoca um torque no objeto que o faz girar no sentido anti-horário
da figura 2, que atua a uma distância R do objeto. Assim, podemos escrever:
𝑅 𝑓 = 𝐼𝐶𝑀 𝛼
(11)
Como o corpo rola sem deslizar, podemos usar a equação 9 e relacionar as incógnitas acm e α.
O cuidado que precisamos ter aqui é perceber que, nesse caso, acm é negativa (no sentido negativo do
𝑎
eixo x), enquanto α é positiva (sentido anti-horário). Assim, substituindo 𝛼 = − 𝐶𝑀⁄𝑅 na equação 11
acima, e explicitando f, temos:
𝑓=−
𝐼𝐶𝑀 𝑎𝐶𝑀
𝑅2
(12)
E substituindo esse valor de na equação 10, obtemos, finalmente, a relação da aceleração do
objeto no plano inclinado em função do ângulo, da massa, e especialmente (motivo de estudo desse
experimento) do momento angular:
𝑎𝐶𝑀 = −
𝑔 𝑠𝑒𝑛𝜃
𝐼
1 + 𝐶𝑀2
𝑀𝑅
(13)
Procedimentos experimentais:
Para visualizar que objetos com mesma massa e raio, porém com diferentes momentos de
inércia, possuem acelerações diferentes quando descem um plano inclinado (como mostra a equação
13), pensamos no seguinte experimento:
Dois objetos cilíndricos de mesmas características foram modificados de maneiras diferentes.
A ideia é introduzir duas barras em cada um deles, de modo que a soma das massas das duas barras
em cada seja igual, porém elas estarão em distâncias diferentes do centro, o que modificará o
momento de inercia de cada cilindro.
Estes cilindros são postos em uma rampa fazendo um ângulo θ com a horizontal, e serão
largados no mesmo momento para iniciar um rolamento na rampa. Por causa do momento de inércia
que difere, eles chegarão ao fim da rampa em tempos diferentes, e evidenciarão o objetivo desse
experimento.
Materiais utilizados:
Os cilindros em posse para o experimento são mostrados na figura 3 abaixo.
Figura 3: foto dos objetos cilíndricos utilizados no experimento
Eles são feitos de materiais recicláveis, o que facilita a duplicação desse experimento por
outras pessoas, uma vez que os materiais buscados aqui são de fácil acesso.
Já as barras foram compradas, e foram serradas na metade para que ficassem, além de no
tamanho do cilindro, usadas como duas barras e com isso aumentar a massa total. Elas podem ser
vistas na figura 4 abaixo:
Figura 4: barras de metal que serão utilizadas no experimento acopladas aos cilindros da
figura 3, junto com a serra usada para cortá-las ao meio.
A rampa para soltar os objetos foi construída utilizando-se um velho estrado de cama em
posse da aluna. Ela é apoiada num anteparo de madeira e desse modo cria-se uma inclinação de
ângulo θ e pode ser vista na Figura 5 abaixo.
Figura 5: foto da rampa onde os cilindros deslizarão, feita com madeira de um estrado de
cama.
Uma vez com o experimento montado, podemos soltar os objetos ao mesmo tempo e mostrar
a diferença das acelerações entre eles. Um problema é a rampa ser muito curta para, aos olhos, notarse isso. Uma possibilidade estudada e realizada aqui é de manter o movimento no chão, quando os
cilindros saem da rampa, e mostrar qual dos dois alcança um ponto ao longo do chão primeiro. Aquele
que o alcançar terá uma aceleração maior e servirá de exemplo para demonstrar a equação 13,
provando que o momento de inércia de um objeto afeta as forças envolvidas nos seus movimentos.
Algumas aplicações interessantes pensadas com a utilização desse experimento em uma sala
de aula de ensino médio, por exemplo, seria, além dos cálculos envolvendo onde se encontra o centro
de massa, e qual o valor do momento de inércia, também calcular qual seria a aceleração de um corpo
num plano inclinado. Indo mais além, também é possível calcular a aceleração do objeto e, com isso,
estimar a inclinação de uma superfície.
Experimento:
Usando uma régua de 30cm mediu-se o diâmetro dos cilindros e chegou-se ao valor de 26cm,
o que nos dá 13cm de raio. Após isso, serramos as barras de metal ao meio, de modo que cada pedaço
ficasse com 50 cm de comprimento. Esses pedaços foram, então, inseridos no cilindro.
Antes de fazer os furos necessários para que as barras coubessem nas tampas desses cilindros,
medimos as distâncias queridas para que as barras ficassem. Essa distância foi escolhida de modo que,
em repouso, o cilindro ficasse em equilíbrio. Ou seja, os torques produzidos pelas barras, em cada
lado do cilindro, foram pensados a serem iguais.
Como o que interessava eram os torques iguais, foi-se pensado em deixar as barras, num
mesmo cilindro, numa mesma distância em relação ao centro. Em uma delas, deixou-se a 3cm do
centro, e na outra, a 12cm. Isso pode ser visto na imagem 6 abaixo:
Figura 6: cilindros e barras acopladas, mostrando a distância do centro em cada um deles (3cm o da
esquerda, e 12cm o da direita)
Podemos, com essas informações, calcular o ICM de cada um dos cilindros, em relação a sua
massa. Chamemos a massa do cilindro de m, e a massa das barras de cada lado𝑀⁄2, de modo que a
massa total das barras em cada cilindro seja M. Elas são iguais em ambos, e chamemos I3 o momento
de inércia do cilindro do lado esquerdo da fugira 6, e I12 o do lado direito. Como vemos na equação 7,
o momento de inércia se relaciona com a massa dos constituintes do sistema e suas distâncias do
centro. Uma vez que a massa é a mesma, e considerando M >> m, podemos escrever:
𝑀 2
3 = 9𝑀
2
𝑀
𝐼12 = 2 122 = 144𝑀
2
𝐼3 = 2
(14)
(15)
É importante lembrar que ambas as equações 14 e 15 estão em dimensão de 𝑘𝑔 𝑐𝑚.
Agora, para achar a relação das acelerações dos corpos, voltamos à equação 13. Temos então:
𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃
9𝑀
2
1+
𝑎3
𝑀𝑅 2 = 𝑅 + 144 = 1,20
=
𝑎12 − 𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑅2 + 9
144𝑀
1+
𝑀𝑅 2
−
(16)
Aqui, usamos R = 26 cm, e tiramos, matematicamente, que a aceleração a3 (aceleração do
cilindro de momento de inércia I3) é 1,20 vezes maior do que a aceleração a12 (aceleração do cilindro
de momento de inércia I12).
Resultados:
As experimentações realizadas, onde os cilindros são largados ao mesmo tempo no topo da
rampa construída, bateram com a teoria, de que a aceleração do cilindro de menor momento de
inércia é maior. Isso era esperado, uma vez que o momento de inércia pode ser interpretado como o
grau de dificuldade de se colocar um objeto em, ou mudar o seu eixo de, rotação.
Com um aparato colocado a uma certa distância razoável do fim da rampa (digamos 2 metros),
é mais fácil perceber essa diferença de aceleração, uma vez que um dos cilindros atinge esse alvo mais
rápido do que o outro.
Dessa forma, confirma-se a teoria e se desenvolve um bom método para calcular a aceleração
de um corpo em um plano inclinado.
Referências:
HALLIDAY, D. Fundamentos de Física: Mecânica, vol1. 7 ed.
Palavras chaves usadas na pesquisa:
Momento de inércia;
Aceleração angular;
Rotação em plano inclinado.