Áreas de Figuras Planas

Aula 23 - Baiano
GEOMETRIA PLANA
GEOMETRIA PLANA
Áreas de Figuras Planas
Definição: É a porão do plano ocupada por uma figura
plana.
Área do Triângulo
r
R
raio da circunferência inscrita
raio da circunferência circunscrita
p
semiperímetro
l
lado do triângulo equilátero
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Áreas de Figuras Planas
Área do Triângulo
A=
b.h
2
Exemplo 1: Dado um triângulo retângulo de catetos 5 e 12,
calcule sua área.
5
h
12
13
Em triângulos retângulos use os
catetos como base e altura.
b.h 5.12
=
A=
= 60 u. a.
2
2
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Áreas de Figuras Planas
Área do Triângulo A = p(p - a)(p - b)(p - c)
Exemplo 2: UFSC 98 | Calcule a área de um triângulo de lados
13, 14 e 15.
13+14 +15 42 = 21
=
p=
2
2
13
14
15
A = p(p - a)(p - b)(p - c)
A = 21(21-13)(21-14)(21-15)
A = 21(8)(7)(6)
A = 84 u.a.
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Área do Triângulo
S = p.a
Exemplo 3: UFSC 98 | Calcule o valor da apótema de um
triângulo de lados 13, 14 e 15.
13
a
a
a
15
14
13+14 +15 42 = 21
=
p=
2
2
A = 84 u.a.
S = p.a
84 = 21.a
a= 4
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Área do Triângulo
A = a.b.c
4R
Exemplo 4: UFSC 98 | Calcule o valor do raio circunscrito a
um triângulo de lados 13, 14 e 15.
A = 84 u.a.
A = a.b.c
4R
84 = 13.14.15
4R
336R = 2730
R = 8,125
13
14
15
O
R
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Áreas de Figuras Planas
Área do Triângulo
ˆ
a.b.senC
A=
2
Exemplo 5: Uma pizza de raio 20 cm foi dividida igualmente
em 12 fatias (Figura abaixo ilustra uma das fatias). Qual a área
da fatia que é comida, ou seja, sem a borda?
20cm
Área
30°
ˆ
a.b.senC
A=
2
O
20.20.sen30
A=
2
400. 1
2
A=
2
A = 200
2
A = 100 cm2
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Área do Triângulo Equilátero
2
l
h l
l/2
l
l
2
2
l = h + 
 2  A = b.h
2
l2
2
2
l =h +
l 3
4
l
.
l2
2
2
l - = h2 A =
2
4
2
3
l
l2 3
h2 =
A=
4
4
l 3
h=
2
Exemplo 6: Calcule
a área de um
triângulo equilátero
de lado 2cm.
l2 3
A=
4
22 3
A=
4
A = 3 cm2
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Área dos Quadriláteros
Paralelogramo
Quadrado
Retângulo
l
h
l
b
A = b.h
h
l
l
S = l²
b
A = b.h
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Áreas de Figuras Planas
Área dos Quadriláteros
Losango
Trapézio
b
l
h
B
(B + b).h
A=
2
Trapezóide
l
d
l
l
D
A=
D.d
2
Divida a figura em
dois triângulos
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Exemplo 7: MACK | A área do trapézio da figura abaixo é:
4
a. 110
10² = h² + x²
b. 116
10² - x²= h²
17
10
c. 122
8h 8
h
d. 128
17² = h² + (21 - x)²
e. 140
2115
-x
25
4
x6
17² = h² + 21² - 42x + x²
17² = 10² - x² + 21² - 42x + x²
(B + b).h (25 + 4).8
A=
=
= 116
2
2
Gabarito: b
17² - 10² - 21² = - 42x
-252 = - 42x
x=6
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Áreas de Figuras Planas
Exemplo 7: MACK | A área do trapézio da figura abaixo é:
4
a. 110
A = Atriângulo + Aparalelogramo
b. 116
A = 84 + 4.8
17
c. 122
8h 10 10
A = 84 + 32
d. 128
e. 140
A = 116
Gabarito: b
25
4
b.h
p(p - a)(p - b)(p - c) =
2
21.h
24(24 -10)(24 -17)(24 - 21) =
2
21.h
7056 =
2
21.h
84 =
2
h= 8
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Área de Polígonos Regulares
l
l
l
l
a
l
S = p.a
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Área de Polígonos Regulares
Exemplo 8: FUVEST | Calcule a área de um pentágono regular
de lado 6 cm e raio circunscrito 4 cm.
6
a
4
3
4² = 3² + a²
16 - 9 = a²
a² = 7
a= 7
S = p.a
S = 15 7 cm2
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Área do Hexágono Regular
l
l
l
l
l
l
l2 3
A = 6.
4
Área de 6
triângulos
equiláteros
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Áreas de Figuras Planas
Área do Hexágono Regular
Exemplo 9: Calcule a área hachurada do hexágono regular
abaixo, sabendo que seu lado vale 2 cm.
120°
A1
ˆ
a.b.senC
A1 =
2
l.l .sen120O
A1 =
2
l.l .sen60O
A1 =
2
l.l . 3
2
A1 =
2
l2 3
A1 =
4
l2 3
A = 4.
4
22 3
A = 4.
4
A = 4 3 cm2
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Áreas de Figuras Planas
Área do Círculo
r
Elipse
2b
S = p.a
Comprimento da
circunferência 2πr
S =π.r.r
S =π.r 2
2a
Ae = π.a.b
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Área do Setor
α
l
l = α.r
360 O - πr
--- 2
α - - - - A setor
l.r
A=
2
360 O - - πr
-- 2
α - - - - l setor
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Áreas de Figuras Planas
Área do Setor
Exemplo 10: FUVEST | A praça de uma cidade tem o formato de um setor
circular de comprimento 20 m e raio 10 m. Nesta praça será realizado um
comício referente a eleição municipal da cidade. Quantas pessoas poderão
assistir o comício, se cabem 4 pessoas por metro quadrado?
20 m
Praça
10 m
A=
l.r
2
20.10
A=
2
A = 100 m2
Pessoas = 100.4
Pessoas = 400
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Área do Segmento Circular
A
segmento
= Asetor - A triangulo
ˆ
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Área da Coroa
r
R
A =πR 2- πr
(
A =π R 2- r
2
2
)
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Lúnulas de Hipócrates
A2 b
A1
a
c
A3
a² = b² + c²
A1 = A2 + A3
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Lúnulas de Hipócrates
Exemplo 11: UFPR | A figura abaixo representa semicircuferências de
diâmetro igual aos lados do triângulo retângulo. O raio da semicicunferência
maior vale 10/√π. Quanto vale a soma das áreas das semicircunferências?
A1 =
A1
10
π
A2
A3
A1 = A2 + A3
π.r 2
2
2
10


π. 

π

A1 =
2
100
π.
π
A1 =
2
A1 = 50 u.a.
AS = A 1 + A2 + A3
AS = 2.A1
AS = 2.50
AS = 100 u.a.
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FIM