Autor: Osvaldo Luiz dos Santos Pereira
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Autor: Osvaldo Luiz dos Santos Pereira ([email protected]) Cinemática de Corpos Rígidos ..................................................................................... 2 Revisão de Vetores ................................................................................................... 2 Cinemática de corpos rígidos .................................................................................. 11 Análise do Movimento Absoluto .............................................................................. 24 Análise do Movimento Relativo ............................................................................... 32 Autor: Osvaldo Luiz dos Santos Pereira ([email protected]) Cinemá tica de Corpos Rı́gidos Revisã o de Vetores O que é um vetor? Quando estudamos Física, precisamos representar as grandezas, pois as medidas são muito importantes, e só podemos fazer ciência e tecnologia com elementos e experimentos que podem ser medidos de alguma forma. Temos grandezas físicas que precisam apenas de uma unidade de grandeza para que sejam completamente descritas, como por exemplo, se no laboratório você pesa uma máquina, e precisa informar outra pessoa, você irá dizer algo como: “Esta componente pesa 100 kg”. Ou se você cronometrar o tempo que um carro leva para percorrer um trajeto vai falar o tempo em horas, minutos ou segundos. Entretanto, há também grandezas que precisam de um pouco mais de especificação, e nesta seção trataremos delas, são as grandezas vetoriais. Essas grandezas precisam de magnitude (ou módulo, ou comprimento), direção e sentido. Nesta seção iremos desenvolver a intuição geométrica e a álgebra de vetores, de forma sistemática, para que depois possamos aplicar esse conhecimento em seções futuras e em conceitos mais complexos. Fixando Conceitos Grandezas vetoriais precisam de três especificações para que sejam descritos completamente: comprimento, direção e sentido. Exemplos de grandezas vetoriais: velocidade, aceleração, forças, etc. Grandezas escalares necessitam apenas de seu valor e a unidade da grandeza para que sejam completamente descritas. Exemplos são: temperatura, pressão, tempo. Figura 1.1: Regra do paralelogramo. Na figura 1.1 vemos dois exemplos de vetores, representados por flechas, ou de forma mais precisa, segmentos de reta orientados. Vemos, por exemplo, o deslocamento de uma Autor: Osvaldo Luiz dos Santos Pereira ([email protected]) partícula que se move do ponto A até o ponto B, e temos a seguinte notação AB a . Uma das propriedades dos vetores é que eles podem deslizar, ou seja, podemos ter o mesmo vetor se movendo do ponto C ao ponto D, CD a . Podemos dizer que dois vetores são iguais se são lados opostos em um paralelogramo, como mostrado na figura 1.1, e se tiverem o mesmo sentido, direção e módulo. O comprimento do vetor a é representado entre barras, a e indica o comprimento do vetor, sendo um número real. Uma das características práticas dos vetores, é que podemos realizar operações com eles, o que torna a descrição de grandezas físicas muito mais fácil. Os vetores são somados seguindo a regra do paralelogramo, que foi representada na figura 1.1. Por exemplo, se uma 2 km. Vamos supor que temos três vetores a , b e c , e verificar que tipos de propriedades a partícula se move 1 km para o norte, e 1 km para o leste, seu deslocamento total foi de soma desses vetores possui. Na figura 1.2, vemos dois exemplos de somas de vetores, usando a propriedade de deslizamento dos vetores, conseguimos desenhar paralelogramos, e realizando as somas a b e a b c . Note, entretanto, que os vetores não necessariamente precisam se encontrar no mesmo plano, ou seja, a figura 1.2 não é uma regra geral, sendo apenas uma representação em duas dimensões, porém a regra para três dimensões é completamente análoga. Figura 1.2: Figura ilustrativa da regra do paralelogramo (soma de vetores) As regras de somas de vetores representadas na figura 1.2 são bem ilustrativas, mas não exploram por completo a linguagem de vetores. Um dos trunfos de usar vetores em teorias físicas é que podemos representar os mesmos por coordenadas, e realizar diversos tipos de operações com esses vetores, e em mais dimensões. Quando trabalhamos com física clássica não relativística, sempre pensamos em três dimensões, e o tempo como parâmetro, mas em outras teorias, como a Relatividade Especial de Einstein, pensamos em quatro dimensões, onde o tempo é considerado uma dimensão. Autor: Osvaldo Luiz dos Santos Pereira ([email protected]) Curiosidade Relatividade Especial, ou também conhecida como Teoria da Relatividade Especial de Einstein, foi primeiramente descrita em 1905 por Albert Einstein, em seu artigo “On the Electrodynamics of moving bodies”. Nessa teoria Einstein explora a relação entre tempo e espaço, modificando as teorias anteriormente descritas por Galileu e Newton, considerando efeitos decorrentes do fato da velocidade da luz ser limitada, e possuir o mesmo valor para qualquer referencial. Representar vetores de forma algébrica tem suas vantagens quando queremos fazer descrições físicas em um grande número de dimensões, mas vamos nos ater a apenas três dimensões no máximo no curso de Dinâmica de Corpos Rígidos. Vetores obedecem as seguintes propriedades e operações: 1) Comutatividade: a b b a 2) Associatividade: a b c (a b ) c a ( b c ) 3) Elemento neutro: a 0 0 a a 4) Inverso aditivo: a ( a ) ( a ) a 0 As operações com vetores também possuem propriedades de multiplicação de vetores por constantes pertencentes aos conjuntos dos números reais: 1) Distributividade na soma: a b a b 2) Distributividade na multiplicação: a a a 3) Associatividade: ( )a ( a ) 4) Elemento neutro: 1 a a 1 a 5) Inverso aditivo: a ( a ) ( a ) a 0 Essas propriedades são chamadas de axiomas, e constituem a estrutura matemática na qual podemos nos basear para realizar todos os tipos de operações com vetores. Para concretizar todos esses conceitos abstratos, precisamos aprender a calcular com vetores, e para isso precisamos de coordenadas. Os vetores podem ser representados por valores de cada uma de suas componentes, assim, um vetor em n dimensões é representado por a ( x1, x2 ,..., xn ) , em nosso caso trabalharemos com dimensões igual a 2 e 3. Os valores dentro dos parênteses e separados por vírgulas são as componentes, os índices subscritos representam a posição da componente, x1 é a componente 1, x 2 é a componente 2, e xn é a enésima componente do vetor a . Podemos aplicar os axiomas das operações de vetores às Autor: Osvaldo Luiz dos Santos Pereira ([email protected]) suas componentes. Sejam dois vetores e suas respectivas coordenadas a ( x1, x 2 ,..., xn ) e b ( y1, y 2 ,..., y n ) , podemos somar estes dois vetores da seguinte forma: a b ( x1, x2 ,..., xn ) ( y1, y 2,..., y n ) ( x1 y1, x2 y 2 ,..., xn y n ) . E também podemos multiplicar vetores por números reais (constantes) da seguinte forma: a ( x1, x2 ,..., xn ) ( x1, x2 ,..., xn ) . Os outros axiomas são representados de forma análoga. Exemplo Sejam dois vetores e suas respectivas coordenadas a (1,3,4) e b (2,5,6) a soma desses dois vetores é igual à a b (1,3,4) (2,5,6) (3,8,10) . Se multiplicarmos o vetor a (1,3,4) pela constante 4, teremos o seguinte resultado: 4a 4(1,3,4) (4 1,4 3,4 4) (4,12,16) . Na figura 1.3 a representação geométrica de vetores para a soma de vetores, e multiplicação por um escalar, exemplo de colinearidade, paralelismo e antiparalelismo. Figura 1.3: Soma de vetores e multiplicação por escalar. Outra propriedade de vetores, é que a soma de vetores resulta em outro vetor, de forma que v a b , nesse caso, dizemos que o vetor v é uma combinação linear dos vetores a e b . Na figura 1.4 vemos a representação por flechas dessa combinação linear resultando em outro vetor. Figura 1.4: Combinação linear dos vetores a e b : v a b . Autor: Osvaldo Luiz dos Santos Pereira ([email protected]) Podemos definir o conceito de dependência linear, da seguinte forma: Os vetores a1, a2 ,..., an onde n é um número inteiro, são ditos linearmente independentes, se a seguinte equação 1a1 2a2 ... n an 0 , onde n é um número inteiro, e 1, 2 ,..., n são constantes reais, for válida se e somente se 1 2 ... n 0 . Quando tivermos vetores linearmente independentes, podemos formar o que chamamos de base. No plano Euclidiano temos os versores, que nada mais são do que vetores que possuem comprimento igual à unidade, i (1,0) e j (0,1) . Fixando Conceitos Verifique que o conjunto formado pelos versores i (1,0) e j (0,1) forma um conjunto de vetores linearmente independentes. Ou seja, resolva a equação vetorial: i j (1,0) (0,1) ( , ) (0,0) , e demonstre que essa igualdade é válida somente quando tivermos simultaneamente 0 . Provando dessa maneira que podemos descrever qualquer vetor do plano Euclidiano em função desses dois vetores. O conjunto formado por esses dois vetores é chamado de base canônica do Plano Euclidiano, ou simplesmente base canônica. Podemos descrever então qualquer vetor no plano em função dos vetores da base. Seja o vetor v ( x, y ) onde x e y são as coordenadas do vetor na base canônica, e podemos representar esse vetor como combinação linear de i (1,0) e j (0,1) da seguinte forma: v xi y j x (1,0) y (0,1) ( x, y ) . Fixando Conceitos É importante não confundir a representação em uma base com a simples soma de vetores. Por exemplo, se tivermos os seguintes vetores a (1,3) e b (2,5) a soma desses dois vetores resulta em um vetor Autor: Osvaldo Luiz dos Santos Pereira ([email protected]) v a b (1,3) (2,5) (3,8) , entretanto os vetores a e b não são linearmente independentes, portanto não formam uma base, ou seja, não podemos representar qualquer vetor pela combinação linear desses vetores. Entretanto, a soma desses vetores é um vetor, e pode ser representado na base canônica, pelos versores i (1,0) e j (0,1) , da seguinte forma: v (3,8) 3i 8 j 3(1,0) 8(0,1) . O plano Euclidiano é representado por dois segmentos de reta ortogonais entre si, ou seja, o ângulo entre os dois segmentos é de 90º, como pode ser visto na figura 1.5. Figura 1.5: Representação do plano Euclidiano na base canônica. Note na figura 1.5 que o vetor v é o resultado da combinação linear entre os vetores da base canônica de i (1,0) e j (0,1) . Da mesma forma podemos estender esses resultados para maiores dimensões, entretanto, nós seres humanos só conseguimos perceber de forma concreta até três dimensões. Os versores da base canônica em três dimensões, ou Espaço Euclidiano Tridimensional são i (1,0,0) , j (0,1,0) e k (0,0,1) . Figura 1.6: Espaço Euclidiano de três dimensões Autor: Osvaldo Luiz dos Santos Pereira ([email protected]) Na figura 1.6 vemos que o vetor OP ( x, y , z ) pode ser representado na base canônica do Espaço Euclidiano da seguinte forma: OP ( x, y , z ) xi y j zk . Dissemos no início da seção que vetores precisam de comprimento, direção e sentido para que sejam completamente descritos, pois bem, construímos até agora esses três requisitos. Os vetores da base que o vetor está descrito dizem a direção e sentido. Vetores são ditos colineares, ou seja, possuem a mesma direção quando são linearmente dependentes, matematicamente isso quer dizer que dados dois vetores colineares a e b temos a seguinte relação entre eles, b a onde é uma constante real. Se 0 , então a e b além da mesma direção, possuem o mesmo sentido. Se 0 , então a e b possuem a mesma direção, mas sentidos diferentes. Se 0 então b é o vetor nulo, e a é qualquer vetor. Na figura 1.7 vemos um exemplo de vetores colineares ao vetor a , possuem mesma direção. O vetor a possui sentido diferente e o vetor a possui sentido igual ao vetor a . Figura 1.7: Vetores colineares, mesma direção e sentidos diferentes. O módulo de um vetor v ( x1, x2 ,..., xn ) representado pela notação v calculado da seguinte maneira: v x12 x2 2 ... xn 2 . Exemplo Seja o vetor v (1,2,3) , seu módulo é v 14 , pois: v 12 22 3 2 11 4 9 14 . sendo Autor: Osvaldo Luiz dos Santos Pereira ([email protected]) Na figura 1.8 vemos um exemplo de movimento retilíneo com velocidade constante, descrito vetorialmente. O corpo se encontra inicialmente no ponto P ( x p , y p ) , no instante inicial e o vetor posição neste ponto é r ( x p , y p ) , o vetor m (a, b ) é o vetor direção da trajetória do corpo rígido. Figura 1.8: Representação vetorial do movimento de um corpo rígido. Fisicamente a interpretação desse vetor é a velocidade do corpo rígido. A posição do corpo em um tempo t qualquer é designada pelo vetor r (t ) r p m t : r (t ) ( x p , y p ) (a, b ) t ( x p at , y p bt ) . Exercício Proposto Enunciado: Sejam os seguintes vetores no plano Euclidiano (em duas dimensões), R (1,1) , e S (2,3) . Ambos representados na mesma base. Determine a soma vetorial S 2R , e marque a alternativa correta. Resposta: Para calcular a soma vetorial, basta aplicar os axiomas de vetores às suas componentes. S 2R (2,3) 2(1,1) (2 2 1,3 2 1) (4,5) Exercício Proposto Enunciado: Um corpo rígido possui sua posição descrita pelo seguinte vetor no plano Euclidiano, R (1,2) , sendo o sistema de unidades em quilômetros (km). Calcule o módulo do vetor e marque a alternativa correta. Autor: Osvaldo Luiz dos Santos Pereira ([email protected]) Resposta: O módulo do vetor é calculado pela soma do quadrado de suas componentes, e tirando sua raiz quadrada. Dessa maneira calculamos: R (1,2) R 12 22 1 4 5 . Assim, o módulo do vetor é igual a 5 km. Exercício Proposto Enunciado: Descreva a trajetória de uma partícula realizando um movimento helicoidal. Resposta: Vimos que para trajetórias retilíneas, as componentes da velocidade são constantes no tempo, e o vetor posição é descrito por r (t ) ( x p at , y p bt ) onde ( x p , y p ) é o ponto inicial no instante t 0 , e o vetor velocidade é v (a, b ) . Para fazer a descrição da trajetória da curva helicoidal, precisaremos fazer essa descrição no espaço de três dimensões, e o vetor posição é parametrizado pelo parâmetro tempo (t), entretanto, as componentes são funções desse parâmetro r (t ) x (t )i y ( t ) j z(t )k e a parametrização do helicoide é dada por: r (t ) R cos(t )i R sen(t ) j c t k . Onde c é uma constante real qualquer, e R é o raio da helicoide. Na figura 1.9 podemos ver a descrição da trajetória no espaço de três dimensões, com os valores das constantes dadas por R 1, 1 e c 0,1 . Figura 1.9: Gráfico da trajetória helicoidal Autor: Osvaldo Luiz dos Santos Pereira ([email protected]) Cinemá tica de corpos rı́gidos Quando estudamos Física, precisamos representar as grandezas, pois as medidas são muito importantes, e só podemos fazer ciência e tecnologia com elementos e experimentos que podem ser medidos de alguma forma. Temos grandezas físicas que precisam apenas de uma unidade de grandeza para que sejam completamente descritas. São as grandezas escalares. Por exemplo, se no laboratório você verifica a massa uma componente em uma balança e precisa informar outra pessoa, irá dizer algo como: “Esta componente tem uma massa de 100kg”. Ou se você cronometrar o tempo que um carro leva para percorrer um trajeto vai falar o tempo em horas, minutos ou segundos. Como você já sabe, há também grandezas que precisam de um pouco mais de especificação, e nesta seção trataremos delas, são as grandezas vetoriais. Elas precisam de magnitude (ou módulo, ou comprimento), direção e sentido para serem completamente descritas. Nesta seção iremos utilizar esses conceitos no contexto dos corpos rígidos, desenvolvendo ainda mais nossa intuição geométrica, aplicando a álgebra dos vetores de forma sistemática. Um vetor v qualquer sobre o plano cartesiano pode ser representado através da combinação linear dos vetores da base canônica i (1,0) e j (0,1) , que representam um deslocamento de módulo 1 na direção positiva dos eixos x e y, respectivamente. Os versores da base canônica em três dimensões, ou Espaço Euclidiano Tridimensional, são i (1,0,0) , j (0,1,0) e k (0,0,1) . Como pode ser visto na figura 1.10, vemos que o vetor OP ( x, y , z ) pode ser representado na base canônica do Espaço Euclidiano da seguinte forma, OP ( x, y , z ) xi y j zk . Figura 1.10: Espaço Euclidiano de três dimensões Autor: Osvaldo Luiz dos Santos Pereira ([email protected]) Além das já conhecidas operações com vetores que foram estudadas em outros cursos, como soma vetorial, combinação linear, podemos também aplicar operações do cálculo diferencial e integral, ou seja, as componentes dos vetores podem ser funções bem comportadas (contínuas e diferenciáveis). Exemplo Seja a seguinte função vetorial, r (t ) (cos(t ), sen(t ), tg (t )) , que representa o vetor posição do centro de massa (CM) de um corpo rígido no espaço de três dimensões como função do tempo. A posição varia com o tempo, e para encontramos a velocidade desse corpo rígido, basta derivar o vetor posição em relação ao tempo: dr v (t ) (t ) ( sen(t ),cos(t ),sec 2 (t )) . dt Note que derivamos cada componente do vetor posição individualmente, compondo assim o novo vetor velocidade. Mas o plano e o espaço Euclidiano não servem apenas para representar vetores, em geral em Física eles são utilizados para descrever equações de movimento de corpos (rígidos ou não), e partículas, por meio dos chamados sistemas de referências, ou simplesmente referenciais, que podem ser ou referenciais inerciais ou referenciais não-inerciais. Os referenciais inerciais se comportam como corpos em equilíbrio estático, ou em equilíbrio cinético. Já os referenciais não-inerciais se movem com aceleração, constante ou não. Quando o referencial é inercial e se encontra em equilíbrio estático, o movimento dos corpos rígidos é chamado movimento absoluto, pois não há efeito de velocidade relativa entre observador e corpo rígido observado (cada um constituindo individualmente um referencial). Um exemplo prático de referencial inercial é um carro se movimentando com velocidade constante. Coloque-se dentro desse carro, se você não olhar para fora, não perceberá que está em movimento. Imagine agora que você olha pela janela, e vê postes de luz se movimentando em relação a você. Em um referencial inercial, não conseguimos distinguir se nós estamos nos movendo em relação ao que observamos, ou se o objeto que observamos está se movimentando em relação a nós. É claro que na vida real você sabe que quem está se movendo é o seu carro, mas em termos de teoria física, essa impossibilidade de distinção é muito importante. Figura 1.11: Referenciais inerciais. Autor: Osvaldo Luiz dos Santos Pereira ([email protected]) No caso do sistema referencial inercial em movimento relativo, as equações de movimento obedecem às chamadas transformações de Galileo. No exemplo da figura 1.11 existe um movimento uniforme na direção do eixo x No referencial corpo rígido possui coordenadas ( x, y , z, t ) . Para o referencial S , algum ponto de um S ' esse corpo rígido teria as coordenadas ( x ', y ', z ', t ') ( x vt , y , z, t ) , a relação entre as coordenadas dos dois referenciais são as chamadas transformações de Galileo. Compreenda: para o referencial S (por exemplo, uma pessoa em repouso na calçada) um determinado ponto do corpo rígido possui coordenadas ( x, y , z, t ) , para uma pessoa no carro, o corpo rígido parece se afastar, com velocidade igual à do carro no sentido oposto (negativo, portanto -v ), e assim a coordenada do ponto é ( x ', y ', z ', t ') ( x vt , y , z, t ) . Isso fica ainda mais evidente quando realizamos a derivada da coordenada x' em relação ao tempo, obtendo a chamada lei de composição de movimentos: dx ' dx v dt dt VS ' VS v . Note que estamos tratando de um caso bastante geral. O corpo rígido não precisa estar em repouso, portanto dx VS , que pode ou não ser zero, constante, ou mesmo uma função dt do tempo. Independentemente do estado do corpo rígido, a resposta fornecida pelo equacionamento apresentado estará correta. Além do movimento relativo de translação, podemos imaginar outro referencial gira com velocidade angular 2 f 2 T S ' que , com f representando a frequência, e T o período da rotação. A unidade relevante é radianos por segundo. Seja R o vetor posição desse referencial em relação ao referencial S estático. Nesse caso, a posição de um objeto qualquer no referencial S está relacionada com a posição do objeto no referencial S’ pela equação a seguir: Autor: Osvaldo Luiz dos Santos Pereira ([email protected]) rS rS ' R . Note que basta somar a posição observada no referencial S’ com a posição da própria origem do referencial S’ com relação ao observador parado (referencial estático). Note que o referencial S ' está girando, de modo que o vetor R não é constante. Para um observador sobre esse referencial, o referencial S está em movimento circular (lembre-se se você começar a girar terá a impressão de que o ambiente a sua volta estará girando). Essa relação é bem descrita por senos e cossenos da seguinte maneira: R(t ) R cos t i R sen t j . Onde z é o vetor constante velocidade angular. Como esse vetor varia com o tempo? Podemos descobrir realizando uma derivada: dR R cos t i R sen t j R . dt A interpretação física e geométrica desta fórmula é um conceito muito importante em Dinâmica. A relação nos diz que a velocidade linear é sempre tangente à curva descrita pelo ponto de interesse. O produto vetorial resulta sempre em um vetor perpendicular aos dois vetores que estão sendo multiplicados vetorialmente, isso quer dizer que a velocidade tangencial não está na direção da velocidade angular, nem do vetor posição. Fixação de Conceitos dR R o vetor Reflita sobre o que o produto vetorial representa geometricamente. Na fórmula dt resultante não aponta na direção de nem de R , mas em outra direção, perpendicular a essas duas direções. Tente, por meio de desenhos e utilizando a regra da mão direita, entender e encontrar essa direção perpendicular. Derivando rS rS ' R em relação ao tempo, chegamos no seguinte resultado: drS drS ' dR drS ' R . dt dt dt dt E como seria o caso mais geral possível, levando em consideração um referencial que realiza tanto uma translação quanto uma rotação, ao mesmo tempo? Descrever o movimento de um determinado ponto de um corpo rígido qualquer, levando em consideração tanto a translação quanto a rotação do referencial? Autor: Osvaldo Luiz dos Santos Pereira ([email protected]) vS v vS ' R . Para descrever a Cinemática de um corpo rígido, precisamos também encontrar sua aceleração. Sabemos que a derivada segunda da posição resulta em uma aceleração. Se derivarmos duas vezes em relação ao tempo, a lei de composição de posição do movimento do corpo rígido tem-se a seguinte relação: dv S dv dv S ' d R . dt dt dt dt Aplicando a regra da cadeia na última derivada da relação anterior, temos que: d d dR R R . dt dt dt dR d R e que a aceleração angular é dada por Lembrando que , tem-se: dt dt d R R R . dt Onde aT R é a chamada aceleração tangencial e aN R é a aceleração normal, ou mais conhecida como aceleração centrípeta. A soma vetorial das duas acelerações compõe a aceleração total de rotação. Na figura 1.12, podemos ver a decomposição da aceleração nas componentes tangencial e centrípeta. Figura 1.12: Componentes tangencial e centrípeta da aceleração total. Dessa forma, a lei de composição de acelerações tem sua forma geral dada por: aS a aS ' R R . A equação acima descreve a aceleração do corpo em uma situação muito geral. Embora estejamos falando de Cinemática, não custa notar que se multiplicarmos os dois lados da relação anterior pela massa do corpo rígido, temos a seguinte relação: FS FNI FS ' FT FC . Onde: Autor: Osvaldo Luiz dos Santos Pereira ([email protected]) FC é a força centrípeta, sempre radial ao corpo rígido; FT é a força tangencial à trajetória; FNI é uma força chamada fictícia (Ou não Newtoniana), pois é uma força que surge pelo simples fato do referencial S ' estar acelerando; FS ' é a força que um observador no referencial S ' iria medir; FS é a força que um observador no referencial S calcularia. Note que a força FS não pode ser medida experimentalmente por um observador no referencial S , pois há componentes que surgem do simples fato do referencial S ' estar em movimento relativo (acelerando e girando). Note que a relação FS FNI FS ' FT FC não é a Segunda Lei de Newton! Pois não estamos lidando com forças Newtonianas apenas. As Leis de Newton só são válidas para referenciais ditos inerciais, que estejam em equilíbrio. Figura 1.13: Ilustração das componentes de movimento de rotação de um corpo rígido Na figura 1.13 vemos um movimento de rotação de um determinado ponto do corpo rígido: a velocidade tangencial R , velocidade angular , vetor posição R , e a aceleração normal R . Exercício Proposto Enunciado: A figura 1.14 mostra um disco A que gira com velocidade angular constante. Não há deslizamento entre o disco A, o anel C e o disco B. Como mostra na figura, os discos A e B possuem o mesmo raio RA RB , e o disco C possui raio da abertura Rc e uma pequena espessura e. Determine a relação entre as três Autor: Osvaldo Luiz dos Santos Pereira ([email protected]) velocidades angulares A , B , e C . Figura 1.14: Mecanismo composto de dois discos circulares e um anel Resposta: Sabemos que quando discos e anéis estão girando em contato, neste ponto a velocidade tangencial dos corpos rígidos são iguais. Como temos a relação v r , se igualarmos essa relação para os dois corpos rígidos em contato. Para o disco A e para o anel C, temos: A RA C (RC e ) . Onde e é a espessura do anel C (que precisamos somar ao raio da abertura interna do anel), e os índices representam os corpos. A partir dessa relação, podemos afirmar que A C , pois RA RC e . Da mesma forma, temos a seguinte relação, se analisarmos o disco B, e o anel C: B RB C RC . Repare que como o disco B se encontra dentro do anel, devemos descontar a espessura do raio. Podemos afirmar que B C , pois RB RC . Dividindo a relação A RA C (RC e ) por B RB C RC : A RA C (RC e ) . B RB C RC Simplificando a relação anterior, lembrando que R A RB , temos que: A 1 e RC B . Como o fator entre parênteses é maior do que 1, então A B . Assim, temos a seguinte relação entre as velocidades angulares: A B C . Já aprendemos o que são referenciais, como o movimento entre eles afetam as equações de movimento, a representar trajetórias de corpos rígidos nesses sistemas de referência, e fizemos tudo isso utilizando coordenadas cartesianas. Agora vamos aprender Autor: Osvaldo Luiz dos Santos Pereira ([email protected]) como utilizar coordenadas curvilíneas. Vimos que para vetores ( x, y , z ) , cada coordenada é representada por um versor, ou seja, ( x, y , z ) xiˆ yjˆ zkˆ , onde iˆ (1,0,0) , jˆ (0,1,0) , e kˆ (0,0,1) . Em breve, vamos utilizar novos sistemas de coordenadas e aprender como fazer mudanças de um sistema para outro. Então aproveitamos o momento para lembrar brevemente alguns sistemas de coordenadas importantes. Em duas dimensões, temos as coordenadas polares ( r , ) , que se correlacionam com as cartesianas da seguinte maneira x r cos e y r sen . Em três dimensões, podemos estender as coordenadas polares para as cilíndricas: ( x, y , z ) ( r cos , r sen , z ) . E temos também as coordenadas esféricas: ( x, y , z ) ( sen cos , sen sen , cos ) . Onde representamos o raio da esfera como . Na figura 1.15 é possível ver a representação geométrica entre os sistemas de coordenadas cartesiano e esférico. Figura 1.15: coordenadas cartesianas, polares, cilíndricas e esféricas. Exercício Sugerido Sabemos que ( x, y ) ( r cos , r sen ) para as coordenadas polares no plano. Mostre que a relação inversa, polares cartesianas, é dada por: y r x 2 y 2 , arctan . x Autor: Osvaldo Luiz dos Santos Pereira ([email protected]) Exercício Proposto Enunciado: Na figura 1.16 você pode ver a figura que ilustra um sistema corda + roldana. Uma corda é amarrada ao redor de uma roldana, de raio igual a 0,2m , que se encontra inicialmente em repouso. Uma força F foi aplicada na corda, dando a ela uma aceleração linear, cuja lei obedece a seguinte relação a(t ) 4t , onde o tempo é medido em segundos. Encontre a velocidade e aceleração angular da roldana em função do tempo no instante t 3s . Figura 1.16: Ilustração de um sistema corda + roldana. Resposta: O enunciado nos disse que após a força ser aplicada, a aceleração linear da extremidade da roldana obedece a seguinte relação: a(t ) 4t . Sabemos que a R , onde é a aceleração angular, e R é o raio do corpo rígido circular. O raio da roldana possui 0,2m, dessa maneira, podemos encontrar a lei da aceleração angular: (t ) a(t ) 4 t 20 t . R 0,2 Para encontrarmos a função que descreve a velocidade angular, devemos integrar a relação que encontramos anteriormente para a aceleração angular: t2 (t ) (t ) dt 20 C 10 t 2 C . 2 A roldana parte do repouso, de modo que C 0 . Assim: (t ) 10 t 2 . No instante 3s, teremos: 10 3 90rad/s . 2 Autor: Osvaldo Luiz dos Santos Pereira ([email protected]) Exercício Proposto Enunciado: O corpo rígido possui um ponto A e um ponto B, e o vetor posição que liga os dois pontos é RA/ B (1,0,1) e sua velocidade angular descrita pelo vetor (1,0,0) . Onde as unidades de grandeza se encontram no Sistema Internacional (SI). Resposta: Como sabemos da teoria, o vetor velocidade tangencial da trajetória de um corpo rígido que possui vetor posição R (Rx , Ry , Rz ) , e para frequência angular (x ,y ,z ) , é calculado da seguinte maneira: v R . Para deduzir a relação anterior, basta realizar o produto vetorial R . Uma maneira simples de visualizar o cálculo de um produto vetorial, é utilizando o cálculo de determinantes: ex R x ey ez y z (y Rz z Ry ,z Rx x Ry ,x Ry y Rx ) . Rx Ry Rz No caso do problema em questão, temos que: ex RA / B 1 1 ey ez 0 0 0 (0, 1,0) . 1 Exercício Proposto Enunciado: Uma haste rígida tem dois pontos marcados A e B, e o vetor posição que liga A e B é dado por RA/ B ( 1,1,2) e a haste gira com velocidade angular descrita pelo vetor (3,4,0) . Onde os sistemas de unidade se encontram no SI. Resposta: Para calcular a aceleração normal de um corpo rígido, devemos utilizar a seguinte relação, an ( R ) , e como sabemos, o produto vetorial é associativo, ou seja, devemos respeitar a ordem da multiplicação. Para isso, precisamos primeiro calcular o produto vetorial que se encontra entre parênteses: Autor: Osvaldo Luiz dos Santos Pereira ([email protected]) ex ey ez R x y z (y Rz z Ry ,z Rx x Ry ,x Ry y Rx ) . Rx Ry Rz Substituindo os valores das componentes dos dois vetores, encontramos que: ex ey ez RA / B 3 0 (8, 6,7) . 2 4 1 1 Agora podemos calcular o segundo produto vetorial ex an ( RA / B ) 3 8 ey ez 4 6 0 (28, 21, 50) . 7 Exercício Proposto Enunciado: Uma haste rígida tem a posição de um ponto A em seu comprimento descrita pelo vetor RA (1,1, 2) , e um vetor posição de um ponto B dado por RB ( 2,3,1) em relação a um referencial fixo. A haste gira ao redor do ponto A com velocidade angular descrita por (1,0,4) . O raio é dado em metros, e a velocidade angular em rad s 1 . Calcule o módulo da velocidade tangencial do corpo rígido, e selecione a alternativa correta. Resposta: Como sabemos da teoria, o vetor velocidade tangencial da trajetória de um corpo rígido que possui vetor posição R (Rx , Ry , Rz ) , e velocidade angular (x ,y ,z ) é calculado da seguinte maneira: ex v R x ey ez y z (y Rz zRy ,z Rx x Ry ,x Ry y Rx ) Rx Ry Rz Antes precisamos calcular o vetor posição de A em relação a B: RA/ B RB RA (2,3,1) ( 1,1, 2) ( 1,2,3) . Calculando a velocidade: Autor: Osvaldo Luiz dos Santos Pereira ([email protected]) ex ey v A / B RA / B 1 0 1 2 ez 4 ( 8, 7,2) 3 Dessa forma, a velocidade do corpo rígido é representada pelo vetor v A / B ( 8, 7,2) . E seu módulo é v A/ B 8 7 2 2 22 64 49 4 117 10,817 m / s . Exercício Proposto Enunciado: Descreva como a aceleração da gravidade varia de acordo com a latitude. Resposta: A equação de movimento em sua superfície é dada por: a g ( R ) . Onde g é a aceleração da gravidade devido à massa da Terra, dada por: GM g 2 T rˆ . r Onde G é a constante de Gravitação Universal, devido a Newton, MT é a massa da Terra, r é o módulo do vetor posição, ou seja, a distância do centro da Terra até a posição descrita pelo vetor, e rˆ é um versor, cuja direção é radial à Terra. Colocando em notação de componentes, a aceleração tem a seguinte forma: a gT 2 RT sen 2 rˆ 2 sen cos ˆ . Onde é o ângulo entre o vetor posição (na direção radial) e o vetor frequência angular. Na superfície da Terra, temos que gT GMT 9,8 m s 2 , é a aceleração local da gravidade. O ponto 2 RT fundamental deste exercício reside na correção devido à rotação da Terra, e na linha do Equador, temos que sen 1, ou seja, a correção é dada por 2 RT 0,0339 m s 2 , isso quer dizer que na linha do Equador, devido à rotação a aceleração da gravidade é menor. Figura 1.17: Terra girando com frequência angular . Autor: Osvaldo Luiz dos Santos Pereira ([email protected]) Exercício Proposto Enunciado: Descrever a trajetória de um elétron se movendo em um campo magnético. Resposta: Um elétron entra em um campo magnético B (0,0, B ) , com uma velocidade v (v x , v y , v z ) . Sabemos do eletromagnetismo que a força que esse elétron sente é dada pela Força de Lorentz F q (v B ) , onde q é a carga do elétron. Calculando essa força, encontramos que F (q B v y , q B v x ,0) . Para encontrar a equação de movimento, devemos aplicar a Segunda Lei de Newton (Forças Resultantes), e resolver a seguinte equação diferencial: dv dv dv dv m F m x ,m y ,m z dt dt dt dt q B q B vy , v x ,0 m m Essa equação diferencial possui a seguinte possível solução: v (t ) (v 0 sen( t ),v 0 cos( t ),v 0 ) Onde v (t 0) v 0 é a velocidade no instante inicial, e q B é a frequência angular do m movimento, também conhecida pelo nome de frequência cíclotron. Integrando a relação da velocidade, temos a seguinte função posição do elétron. v v r (t ) 0 cos( t ), 0 sen( t ),v 0 t Figura 1.18: Trajetória helicoidal de elétron em campo eletromagnético Autor: Osvaldo Luiz dos Santos Pereira ([email protected]) Aná lise do Movimento Absoluto Em um corpo rígido, a distância entre quaisquer dois pontos sempre permanecerá inalterada, independente de que tipo de movimento, ou força estiver atuando no corpo. Estudaremos referenciais absolutos, analisando apenas os movimentos de translação em relação a um observador fixo, ou de rotação em torno de um ponto fixo, o que resulta no movimento geral do corpo rígido para referenciais absolutos, como pode ser visto na figura 1.9: Figura 1.19: Exemplos de movimentos de corpos rígidos no plano Translação: Esse tipo de movimento ocorre quando uma linha traçada entre dois pontos do corpo permanece paralela durante o movimento, ou seja, o movimento para os dois pontos Autor: Osvaldo Luiz dos Santos Pereira ([email protected]) são sempre paralelos. A translação pode ser retilínea como mostra o item (a) da figura 1.8, ou curvilínea como mostra o item (b) da figura 1.19. Rotação em eixo fixo: Quando um corpo rígido rotaciona em torno de um eixo fixo, todos os pontos do corpo percorrem um movimento circular, exceto aquele que se encontra preso ao eixo fixo do sistema, como mostra o item (c) da figura 1.19. Movimento geral no plano: É o movimento resultante da combinação entre os movimentos de translação que acontece em relação a um sistema fixo de coordenadas, e rotação que acontece em torno de um eixo fixo no próprio corpo rígido, como mostra o item (d) da figura 1.19. Por sinal, agora é um excelente momento para introduzir uma nova notação para versores. Faremos isso porque pode ser necessário trabalhar com diversos sistemas de coordenadas, e não somente com as coordenadas cartesianas. Uma notação mais geral é utilizar ê , seguido de um subscrito que representa a coordenada à qual ele se refere. Por exemplo, utilizaremos eˆ x ao invés de iˆ , onde e representará o vetor direção, o subscrito representará a coordenada ao qual se refere (no caso a direção x), e o chapéu representa que o vetor é unitário (módulo igual a 1). Quando falamos de translações, em relação a um referencial fixo, temos que, para um vetor posição r (t ) x(t ) eˆ x y (t ) eˆy z(t ) eˆ z do centro de massa ou de qualquer outro ponto de interesse de um corpo rígido. No caso eˆ x , eˆy , eˆz são os versores que formam a base do espaço Euclidiano, ou seja, são três vetores que, combinados, permitem a construção de qualquer outro vetor tridimensional. A velocidade é dada pela derivada da função posição em relação ao tempo: dr dx dy dz v (t ) (t ) eˆ x (t ) eˆy (t ) eˆz . dt dt dt dt A aceleração de um ponto do corpo rígido é dada pela segunda derivada da função posição em relação ao tempo, ou seja, a derivada da velocidade em função do tempo: dv d 2 r d 2x d 2y d 2z a 2 (t ) 2 (t ) eˆ x 2 (t ) eˆ y 2 (t ) eˆz . dt dt dt dt dt A seguir, veja um exemplo de movimento absoluto no plano. Exercício Proposto Enunciado: Lançamento Oblíquo de corpo rígido Resposta: Autor: Osvaldo Luiz dos Santos Pereira ([email protected]) Na figura 1.20 podemos ver um corpo rígido no contexto de um lançamento oblíquo, onde o centro de massa percorre a trajetória parabólica. O corpo rígido pode realizar movimentos mais complexos, como por exemplo, girar, mas isso não afeta a trajetória do seu centro de massa. Figura 1.20: Trajetória de um lançamento oblíquo representado no plano O sistema de referências escolhido é gerado pelos versores ex , ey . A origem (0,0) se encontra em repouso em relação à Terra. O corpo rígido, que pode ser uma bala de canhão, por exemplo, que foi disparado em um teste, com uma velocidade v , em uma direção que faz um ângulo , em relação à horizontal. As coordenadas são dadas pelas funções: x(t ) x0 (v 0 cos ) t y (t ) y 0 (v 0 sen ) t 1 2 gt . 2 As velocidades são dadas por: vx dx (t ) v 0 cos dt vy dy (t ) v 0 sen gt . dt E as acelerações são dadas por: ax dv x d 2 x (t ) 0 dt dt 2 ay dv y dt d 2 y (t ) g . dt 2 Exercício Proposto Enunciado: A haste OA (de comprimento r) gira com velocidade angular constante , de modo que o ponto A gira sobre o círculo, formando um ângulo com a horizontal, que inicialmente é zero. O segmento AB (de comprimento l) acompanha o movimento do ponto A, onde o ponto B está sobre o centro de um deslizador, que só pode se mover sobre o eixo x. Descreva os movimentos dos pontos A e B, ou seja, Autor: Osvaldo Luiz dos Santos Pereira ([email protected]) determinar os vetores posição e velocidade no caso mais geral, como funções do tempo, e também sua condição no instante inicial, no caso específico onde l 5m , r 1m , e que 0,2 rad / s . Figura 1.21: Manivela que gira com velocidade angular constante presa a um deslizador. Resposta: Primeiramente, o engenheiro selecionou um sistema de referências fixo, com origem no centro da manivela circular, com versores {eˆx , eˆy } , que dão as direções dos eixos. O vetor posição do ponto A é pode ser encontrado através de relações geométricas, no círculo trigonométrico. Na seção anterior revisamos como escrever um movimento circular com senos e cossenos: rA (t ) r cos( t ) eˆ x r sen( t ) eˆ y . Note que no eixo x temos o comprimento de OC r cos( t ) e no eixo y temos o comprimento de CA r sen( t ) . Para determinar velocidades e acelerações do ponto A na manivela, e do deslizador em B, basta derivar em relação ao tempo, os vetores posição: dr v A (t ) A (t ) r sen( t ) eˆ x cos( t ) eˆy . dt Agora precisamos determinar o vetor posição do deslizador B, e o engenheiro vai utilizar outras relações geométricas, pois deve determinar a distância entre a origem e o deslizador B, portanto OB OC CB . Vimos que OC r cos( t ) . O comprimento CB pode ser determinado pelo teorema de Pitágoras. Observe novamente o desenho 1.12. Podemos desenhar um triângulo formado pela haste AB (hipotenusa), e os catetos CB e CA . 2 2 2 Portanto, o teorema mostra que AB CB CA . Sabemos que CA r sen( t ) e que AB l , então: 2 l 2 CB r 2 sen 2 ( t ) , de onde tiramos que: Autor: Osvaldo Luiz dos Santos Pereira ([email protected]) CB l 2 r 2 sen 2 ( t ) . E agora temos em mãos todas as informações necessárias para descrever o vetor posição para o deslizador B: rB (t ) OC CB r cos( t ) l 2 r 2 sen 2 ( t ) eˆ x . Derivando a relação acima, encontramos que: dr 1 r 2 sen(2 t ) v B (t ) B (t ) r sen( t ) eˆ x . dt 2 L2 r 2 sen 2 ( t ) Quando pensamos em rotações, utilizamos as já conhecidas equações de movimento circular. Na figura 1.11, podemos ver um corpo rígido em formato de disco, girando no plano. Tomamos um ponto em sua borda, e vamos escrever as equações de movimento para o ponto. A posição angular é definida pelo ângulo formado pelo vetor posição r (t ) x(t ) ex y (t ) ey com o eixo horizontal, e para descrever movimento circular, utilizou o conceito de deslocamento angular (t ) , e definimos a velocidade angular (t ) como a taxa de variação do deslocamento angular em relação ao tempo, dado pela seguinte relação: (t ) d (t ) . dt Lembrando que podemos representar a derivada temporal por um ponto, ou seja, podemos representar a velocidade angular por (t ) d (t ) (t ) . Da mesma forma, dt podemos definir a aceleração angular (t ) , em relação à segunda derivada do deslocamento angular, em relação ao tempo da seguinte forma (usando também notação de ponto para derivada temporal): (t ) d d 2 2 (t ) (t ) . dt dt Figura 1.21: Movimento circular de corpo rígido Autor: Osvaldo Luiz dos Santos Pereira ([email protected]) Na figura 1.11 vemos o vetor posição r (t ) , a velocidade tangencial v (t ) , a aceleração centrípeta (ou radial) a(t ) , e o deslocamento circular s(t ) . Da mesma forma que descrevemos os movimentos de um ponto em relação a um referencial fixo, podemos descrever os movimentos de um referencial que se move em relação a um referencial fixo! Supondo um raio vetor r r cos eˆ x r sen eˆy qualquer, onde eˆ , eˆ x y são os versores de nosso referencial fixo, e esse raio vetor parametriza um movimento circular, exatamente como é mostrado na figura 1.10. Podemos definir um referencial móvel eˆr , eˆ a partir do vetor posição, da seguinte forma: eˆr r r ˆ ˆ ˆ cos ex sen ey , e r sen eˆx r cos eˆy . r A seguir veja outro exemplo de aplicação dos conceitos que apresentamos até então: Exercício Proposto Enunciado: Na figura 1.22 vemos duas engrenagens, que se encontram encaixadas, e fazem parte de um mecanismo. As duas engrenagens se movem juntas, pois quando uma gira transfere seu movimento para a outra. Figura 1.22: Duas engrenagens girando. Chamaremos as duas engrenagens de A e B, sendo que elas possuem raios distintos RA e RB , iremos determinar a relação entre as frequências angulares A e B . Verificando as especificações do mecanismo, você verificou que a engrenagem A possui um raio de R A 0,25m e que a engrenagem B possui um raio RB 0,5m . Resposta: Como as engrenagens estão em contato, e supondo que giram sem deslizar, então a velocidade tangencial na extremidade é igual para as duas, ou seja, temos que v A v B , utilizando a relação da velocidade tangencial, v Re , onde e é o versor que dá a direção da velocidade, temos que A R A eA B RB eB , e temos a seguinte relação entre os versores direção eA eB , isso quer dizer que Autor: Osvaldo Luiz dos Santos Pereira ([email protected]) uma engrenagem se move no sentido horário, e a outra se move no sentido anti-horário, daí o sinal negativo, para indicar sentidos diferentes. Temos a seguinte relação entre as frequências angulares: A R B . B RA Ou seja, se a engrenagem B se move no sentido horário com uma velocidade angular , então a engrenagem A se move no sentido contrário (anti-horário), com velocidade angular que obedece a razão entre seus raios. Dessa forma, o engenheiro calcula a relação entre as frequências angulares das duas engrenagens: A R 0,5 B 2 . B RA 0,25 Exercício Proposto Enunciado: Na figura 1.23, vemos um sistema de deslizadores (A e B), conectados por uma barra rígida de comprimento L AB . O deslizador B se move em uma cunha com angulação , enquanto que o deslizador A se move horizontalmente. Determine a velocidade angular da barra, em função da posição linear x A do deslizador A. Figura 1.23: Sistema de deslizadores Resposta: Vamos analisar o problema de forma geométrica. Note que o deslizador B se move sobre a cunha, com um ângulo com a horizontal. E o deslizador A se move horizontalmente. Dessa forma, podemos enxergar um triângulo, considerando o comprimento da barra, o deslocamento do deslizador A, e o Autor: Osvaldo Luiz dos Santos Pereira ([email protected]) deslocamento do deslizador B, ou seja, existe um vínculo entre os movimentos dos deslizadores, e da barra. Podemos obter a relação entre esses movimentos, a partir de semelhança de triângulos, utilizando a lei dos senos, podemos encontrar que: xA L L xA sen . sen sen sen Onde o ângulo é aquele considerado entre a barra e o deslocamento do deslizador B, ou seja, a função de posição angular da barra, que queremos determinar. A partir da relação anterior, temos o deslocamento de A em função da posição angular da barra. Note que a posição x A do deslizador A varia com o tempo, ou seja, é uma função do tempo, x A x A (t ) . Como mencionamos anteriormente, os movimentos da barra e dos dois deslizadores possui um vínculo, que acabamos de encontrar, ou seja, podemos descrever o movimento da barra em relação a algo que conhecemos, e conseguimos medir facilmente, a posição do deslizador A, através da função x A x A (t ) . Podemos inverter a relação encontrada, e definir a posição angular como uma função dos dados do problema: sen x A ( t ) . L (t ) arcsen Note que encontramos uma fórmula para a posição angular em função do tempo, (t ) . Para encontrar a velocidade, devemos derivar a função , mas uma maneira mais fácil de calcular, é L simplesmente derivar x A (t ) sen sen (t ) , em relação ao tempo, em ambos os lados da igualdade. Assim, temos que: L v x A cos . sen Lembrando-se da primeira relação, temos que cos 1 sen 2 1 x A 2 sen 2 . L2 E inserindo na fórmula que derivamos em relação ao tempo, temos que: L v x A sen x A 2 sen 2 1 L2 Dessa forma, finalmente chegamos a velocidade angular da barra, em função da posição linear x A do deslizador A: ( x A ) v sen L x A 2 sen 2 2 . Autor: Osvaldo Luiz dos Santos Pereira ([email protected]) Aná lise do Movimento Relativo Vimos na seção anterior como trabalhar com referenciais fixos em relação à Terra, e como descrever movimentos de corpos rígidos nesses referenciais. Nesta seção vamos trabalhar com referenciais que se movem de forma acelerada, ou transladando, ou rotacionando. Figura 1.24: O sistema S ( x , y , z) é fixo, e o sistema S ( x, y , z ) gira. Na figura 1.24, vemos um exemplo de movimento relativo, onde um sistema está fixo no espaço, e o outro gira em torno de um eixo. O vetor R é o vetor posição da origem do sistema girante em relação ao sistema fixo. O vetor r ' descreve o movimento de um corpo rígido que se move no sistema S , mas sob a visão de um observador no sistema S . O vetor r descreve o movimento do mesmo corpo, mas sob o ponto de vista de um observador no sistema S . Em seções anteriores era comum utilizarmos a notação ( x, y , z ) para representarmos vetores em três dimensões, mas vamos introduzir uma nova notação para simplificar cálculos com vetores. Vamos utilizar a notação de índices. Dessa forma ( x, y , z ) se torna ( x1, x2 , x3 ) . Essa notação apesar de não parecer tão clara a princípio, ajuda muito a denotar somatórios, que serão muito utilizados daqui pra frente, por exemplo: 3 r xi ei x1e1 x 2e2 x3e3 . i 1 Equação geral de movimento Vamos deduzir a equação de movimento para um corpo rígido que se encontra em um referencial que rotaciona, e descrever seu movimento para um referencial fixo. Vamos usar o índice f o referencial fixo (referencial S ), e R o referencial que rotaciona (referencial S ). Autor: Osvaldo Luiz dos Santos Pereira ([email protected]) Da figura 1.24, temos r ' r R (observe que aqui o r ' não significa a derivada do vetor, mas outro sistema de coordenadas), derivando estes vetores em relação ao tempo, encontramos que: d r ' dr dR . dt f dt f dt f Note que estamos derivando o vetor r pertencente ao referencial S , mas em relação dr ao referencial S . Precisamos representar dt em relação ao referencial ao índice R. O f dr corpo rígido tem velocidade , em relação ao sistema S . dt R dr dr dt dt r . f R Onde é a velocidade angular, e r o vetor posição que vai da origem do referencial S até o corpo rígido. Dessa forma, temos que: d r ' dR dr r . dt f dt f dt R Que podemos escrever da seguinte forma: vf V vR r . Que tal refletirmos um pouco sobre esses resultados que obtivemos até agora? Vamos assimilar algumas definições. Assimilando Conceitos Temos as seguintes definições: dr ' vf dt , é a velocidade relativa em relação ao sistema fixo. f dr v R , é a velocidade relativa em relação ao sistema girante. dt R dR V Rf , é a velocidade linear relativa, em relação à origem que se move. dt f r , é a velocidade devido à rotação do sistema girante, que gira com velocidade angular . Autor: Osvaldo Luiz dos Santos Pereira ([email protected]) Derivando v f V v R r em relação ao tempo, temos: dv f dVf dv R d dt dt dt dt r . f f f Vamos analisar a derivada d r com cuidado. dt Assimilando Conceitos O movimento de rotação do referencial S possui a mesma velocidade angular no referencial S ' . Dessa forma, temos: d d d dt dt dt . f R d r , temos que: dt d d dr r dt r dt . dt f d dr Podemos definir que , e lembrando que v R r , temos: dt dt f Utilizando a regra da cadeia em d r r v R r . dt Aplicando a propriedade distributiva em vetores, temos finalmente: d r r v R r . dt Temos então: dv f dV dv R dt dt dt r v R r . f f f dv R Agora temos que escrever no referencial S dt f dv R dv R dt dt v R . f R Temos então: dv f dV dv R v r v r . R R dt dt dt f R f Que pode ser escrita na seguinte forma: Autor: Osvaldo Luiz dos Santos Pereira ([email protected]) af Rf aR 2 v R r r . Chegamos finalmente ao resultado mais importante dessa seção. Obtivemos a equação geral de movimento para um corpo rígido em um referencial acelerado S , em relação a um referencial fixo S ' . Vamos refletir um pouco sobre as novas definições que fizemos: Assimilando Conceitos dv R aR é a aceleração medida no referencial S (girante). dt R dv f af , é a aceleração medida no sistema de referências S ' (fixo). dt f dV Rf , é a aceleração linear da origem do referencial S em relação ao referencial S ' . dt f Forças Newtonianas e Forças não inerciais: Podemos multiplicar dos dois lados da equação de movimento, pela massa do corpo rígido, e definir F m af , e Fefetiva m aR . De forma que: Fefetiva F m Rf 2 m v R m r m r . As leis de Newton são válidas somente em referenciais inerciais, que estejam fixos, ou se movendo com velocidade constante em relação à Terra. Em referenciais inerciais, as forças são ditas Newtonianas, e F representa todas as forças Newtonianas atuando no corpo rígido. Quando o referencial se move de forma acelerada, ou transladando, ou girando, ou a composição desses dois movimentos, temos a presença de forças chamadas Não Newtonianas: Fefetiva (Forças Newtonianas ) (Forças não Newtonianas ) Vamos analisar as forças não Newtonianas uma a uma: m Rf : É uma força que um observador no referencial S ' descreve no corpo rígido, tendo como causa o movimento de translação acelerado do referencial S . Que tal analisarmos um exemplo a seguir? m r : É uma força que um observador no referencial S ' descreve no corpo rígido, tendo como causa o movimento de rotação do referencial S . m r : É uma força que um observador no referencial S ' descreve no corpo rígido, tendo como causa o movimento de rotação do referencial S . É conhecida como força centrífuga. Essa força possui módulo igual a m 2 r , sendo que é perpendicular ao raio vetor r . O sinal negativo da força Autor: Osvaldo Luiz dos Santos Pereira ([email protected]) centrífuga significa que a força está no sentido para fora do movimento de rotação, no sentido contrário da força centrípeta. 2 m v R : É conhecida como força de Coriolis. Exercício Proposto Enunciado: Na figura 1.25 temos um carrinho, e em seu interior tem um pêndulo, formado por uma esfera de massa m, presa por um fio inextensível ao teto do carrinho. Quando o carrinho está parado, o fio fica na vertical, e a força peso é igual à força de tração no fio, mas quando o carrinho se move horizontalmente com aceleração constante ac , o pêndulo oscila no sentido contrário à aceleração! Temos então uma força não inercial m ac atuando no pêndulo, fazendo com que o fio do pêndulo faça um ângulo com a vertical. Figura 1.25: Ilustração de um carrinho que se move horizontalmente com aceleração constante. Resposta: Podemos encontrar o ângulo o pêndulo faz com a vertical, em função dos dados do problema. Podemos escolher um referencial fixo em relação à Terra, e tratar o carrinho como o referencial acelerado. Como o carrinho não gira, temos que 0 , e a equação geral de movimento: Fefetiva F m Rf . As forças Newtonianas atuando no pêndulo são apenas a força peso mg e a tração T . Em termos do referencial fixo formado pelos versores ex , ey , a força peso é vertical mg mg ey . Através de considerações geométricas, podemos decompor a tração, em função do ângulo que faz com a vertical: T T sen ex T cos ey . Onde T é o módulo da tração. A força não inercial que surge pela aceleração do carrinho em um movimento retilíneo, é dada por m Rf m ac ex . Como supomos que o pêndulo fica parado fazendo ângulo com a vertical, isso significa que a força efetiva precisa ser nula: Autor: Osvaldo Luiz dos Santos Pereira ([email protected]) Fefetiva F m Rf 0 . Dessa forma, encontra-se que: F m Rf T m g m Rf T sen ex T cos ey m g ey m ac ex . Agrupando os termos nas devidas direções (versores): m ac T sen ex T cos m g ey 0. De onde tiramos duas relações m ac T sen e m g T cos , e dividindo uma pela outra, encontramos que: m ac T sen . m g T cos Simplificando a relação anterior, chegamos ao resultado: tg ac . g Vamos mostrar agora um exemplo de aplicação da força centrípeta: Exercício Proposto Enunciado: Em um laboratório de física experimental, para a graduação em engenharia, o professor está realizando um experimento, para ilustrar o que são referenciais não inerciais. O experimento consiste em colocar um pequeno disco circular, na superfície de um carrossel, a uma distância r do centro do carrossel. E descrever o movimento do disco no referencial não inercial, girante (carrossel). Considere o atrito entre a superfície do carrossel e o disco como sendo 0,5 , e que o carrossel gira com velocidade angular constante de módulo 2 rad / s 1 . Calcule a máxima distância r que o disco pode ser colocado, sem que deslize, devido à rotação do carrossel. (Considere g 0 10 m / s 2 ). Resposta: Sabemos da teoria de dinâmica de corpos rígidos, que a equação da força efetiva é dada pela seguinte relação: Fefetiva F m Rf 2 m v R m r m r . Considerando o referencial fixo como o solo, e o referencial não inercial como sendo o carrossel, o centro seria a origem do sistema, que permanece fixa, sem transladar. Como a velocidade angular é constante, isso significa que 0 m r 0 . Como o centro do carrossel está fixo, isso significa Autor: Osvaldo Luiz dos Santos Pereira ([email protected]) que Rf 0 m Rf 0 , e temos que v R 0 2 m v R 0 . Dessa forma, as únicas forças atuando no disco são força de atrito, e força centrífuga. A força de atrito é dada pela relação F m g0 er , er é um versor que tem a direção radial, a partir do centro do carrossel. O raio vetor direção do disco é dado por r r er , e a velocidade angular é dada por ez , onde ez é um versor que tem a direção perpendicular à superfície do carrossel, a partir de seu centro. Assim, temos que a força centrífuga é dada por: r ez ez r er 2 rez ez er 2 r ez e 2 r er . E a equação da força efetiva toma a seguinte forma: Fefetiva F m r m g 0 er m 2 r er . m g0 2 r er . O problema nos pergunta a distância máxima, do centro do carrossel, para que o disco permaneça parado, devido ao atrito, assim devemos impor que Fefetiva 0 , que nos dá a seguinte condição, para que o disco fique parado: Fefetiva m g 0 2 r er 0 r g0 . 2 Agora, vamos finalmente calcula o valor do raio: r g 0 0,5 10 1,25 m . 2 22 Centro instantâneo de velocidade nula O centro instantâneo de velocidade nula, ou centro instantâneo de rotação é definido como um ponto fixo (ou referencial) em um corpo rígido, em movimento planar, que possui velocidade nula em um determinado instante de tempo. Neste instante, os vetores velocidades de outros pontos do corpo rígido geram um campo de força circular em torno desse centro instantâneo que é idêntico ao que seria gerado por um movimento de pura rotação. Autor: Osvaldo Luiz dos Santos Pereira ([email protected]) Um exemplo na figura 1.26, vemos a ilustração de uma roda de um carro, que se move para a direita com velocidade constante V. A roda possui raio de comprimento R, e o ponto A é seu centro. O ponto C na roda pode ser escolhido como o centro instantâneo de rotação. No instante em que a figura mostra a roda, as velocidades tangenciais dos pontos B, D, E é como se estivessem percorrendo uma trajetória circular, independentemente de a roda estar girando ou não. Figura 1.26: Ilustração de uma roda de um carro, com cinco pontos distintos. Exercício Proposto Enunciado: Na figura 1.27, vemos a ilustração de uma haste de comprimento L BA . No ponto A, a haste está conectada a um deslizador, que se move sem atrito. No ponto D, a haste está conectada a outra haste fixa, de comprimento ED 120 mm . Sabendo que neste instante, a velocidade do deslizador A tem módulo igual a v A 900 mm / s . (a) Calcule a velocidade angular que a haste ADB, no instante mostrado na figura. (b) Analisando os dados do problema, encontre a razão entre os módulos dos vetores posição rD / A , o segmento que liga o ponto D ao ponto A, e rB / A , ou seja, o segmento que liga o ponto B ao ponto A. Figura 1.27: Sistema haste + deslizador. Autor: Osvaldo Luiz dos Santos Pereira ([email protected]) Resposta: (a) Resposta comentada: Primeiramente, vamos definir um referencial fixo, que se encontra parado em relação ao chão. A direção horizontal e a vertical são respectivamente denotadas pelos versores e , e . Dessa forma, a velocidade do ponto A, é denotada por v x y A 900 mm / s ex . O outro referencial que escolheremos, será móvel, tendo sua origem localizada no ponto D, notando que este referencial se move, em relação ao ponto A, e ao referencial fixo. Vamos determinar o vetor posição rD / A , que liga o ponto D ao ponto A. Pela figura 1.27, podemos ver que a distância horizontal é dada por 80mm , enquanto que a distância vertical é dada por 150mm , ou seja, é o segmento: rD / A DA (0,0) (80,150) 80 ex 150 ey . Segundo a teoria, a equação de velocidade para a haste ABD é dada pela relação: v D v A v D / A v A D / A rD / A . Primeiramente, vamos calcular D / A rD / A , onde a incógnita de nosso problema é a velocidade angular de D em relação a A, ou seja, D / A (0,0,D / A ) D / A ez , lembrando que a velocidade angular é um vetor sempre apontando para fora, ou para dentro da folha de papel (ou tela do computador), dependendo da orientação do giro do corpo rígido. Aponta para fora, quando o giro é no sentido horário, e para dentro, quando o giro é no sentido anti-horário: ex ey ez 0 D / A D / A 150 ex 80 ey . 80 150 0 D / A rD / A 0 O ponto D se movimenta apenas na vertical, já que está conectado à outra haste rígida e fixa. Dessa maneira, temos que a velocidade em D é dada por v D v D ey . Inserindo as relações encontradas na equação geral da velocidade para o ponto D, temos que: Autor: Osvaldo Luiz dos Santos Pereira ([email protected]) v D v A D / A rD / A , 0 ex v D ey 900 ex 150 D / A ex 80 D / A ey , 0 ex v D ey 900 150 D / A ex 80 D / A ey . Para que a igualdade seja verdadeira, devemos igualar as componentes: 900 150 D / A 0 . 80 D / A v D Da primeira relação, encontramos que D / A 900 / 150 6 rad / s . (b) do item (a), encontramos que: rD / A DA (0,0) (80,150) 80 ex 150 ey . Da mesma forma, vamos proceder para encontrar o vetor rB / A BA . Agora vamos utilizar um pouco de geometria, mais precisamente semelhança de triângulos. Note que temos um triângulo retângulo de hipotenusa AD, altura 150mm , e base 80mm . E temos também um triângulo de hipotenusa BA, e altura (60 150)mm 210mm , por semelhança de triângulos: rD / A rB / A 210 rB / A rD / A . 150 210 150 Dessa forma, tirando o módulo, encontramos que: rB / A 210 1,40 . rD / A 150
