Gabarito

Universidade Federal Fluminense
Curso: Sistemas de Informação
Disciplina: Fundamentos Matemáticos para Computação
Professora: Raquel Bravo
Gabarito da Lista de Exercícios sobre Combinações com
repetição
1. De quantas maneiras podemos distribuir 6 laranjas entre 2 pessoas?
Resposta: Denominemos as pessoas de a e b. O total de distribuições
é igual ao número de soluções inteiras e não negativas de a + b = 6.
Portanto, temos CR26 = C(6 + 2 − 1, 6) = C(7, 6) = 7.
2. Queremos comprar 12 docinhos. De quantas maneiras os podemos
escolher se têm 8 variedades diferentes de docinhos?
Resposta: Existem 8 tipos de doce, seja xi o número de docinhos do
tipo i que foram comprados.
Logo,
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 = 12
xi ≥ 0, ∀1 ≤ i ≤ 8
Podemos comprar os doces de CR812 = C(8 + 12 − 1, 12) = C(19, 12)
formas distintas.
3. De quantas maneiras podemos colocar 20 bolas da mesma cor em 5
caixas de modo que nenhuma caixa fique vazia?
Resposta: Dado um grupo de 20 bolas, temos que particionar estas
bolas em 5 grupos onde nenhum ficará vazio. Imaginemos que estas
bolas estejam dispostas em fila, para particionar a fila em 5 grupos
devemos escolher 4 espaços na fila para secciona - la. Note que temos
19 espaços entre bolas na fila, portanto o total de distribuições das
bolas nas caixas é C(19, 4) = 3876.
4. Quantas são as soluções inteiras não negativas de x + y + z < 10?
Observação: Uma possibilidade para resolver este problema é incorporar à soma uma outra variável, u, e considerar a igualdade. Coloque a
restrição sobre u para que os dois problemas sejam equivalentes. Tente
resolver a questão usando outro raciocínio.
Resposta: Note que o número de soluções inteiras não negativas deste
problema é igual ao número de soluções inteiras não negativas de x+y+
z ≤ 9, e por sua vez esta inequação tem o mesmo número de soluções
inteiras não negativas de x + y + z + u = 9.
O total de soluções inteiras e não negativas de x + y + z + u = 9 é CR49
= C(4 + 9 − 1, 9) = C(12, 9) = 220.
5. Quantas são as soluções inteiras positivas de x + y + z < 10?
Resposta: Fazendo as seguintes transformações de variáveis: x∗ =
x − 1, y ∗ = y − 1 e z ∗ = z − 1, temos x∗ + y ∗ + z ∗ < 7. Procedendo como
na questão anterior, devemos calcular o número de soluções inteiras
não negativas de x∗ + y ∗ + z ∗ + u = 6 que é CR46 = C(4 + 6 − 1, 6) =
C(9, 6) = 84.
6. Quantos números inteiros entre 1 e 100000 têm soma dos algarismos
igual a 6? Observação: Associe, por exemplo, o número 1 à seqüência
00001.
Resposta: Primeiro notemos que a soma dos algarismos de 100000 não
é 6, logo consideraremos números entre 1 e 99999, e convencionaremos
que qualquer número será representado por uma seqüência de 5 dígitos.
Representaremos um número qualquer por abcde. Devemos ter a + b +
c + d + e = 6, com a, b, c, d, e inteiros não negativos. Logo, o total de
números é CR56 = C(5 + 6 − 1, 6) = C(10, 6) = 210.
7. Quantos números inteiros entre 1 e 1000 inclusive têm a soma dos
dígitos menor que 7?
Resposta: Tanto o número 1000 como o número 0 tem a soma dos
dígitos menor que 7, associaremos portanto a seqüência 000 ao número
1000. Representaremos os números por seqüências de 3 dígitos abc,
procederemos agora como no ítem anterior.
O total de números é igual ao número de soluções inteiras não negativas
de a + b + c ≤ 6, isto é, a + b + c + u = 6 e o total de soluções inteiras
não negativas desta equação é CR46 = C(4 + 6 − 1, 6) = C(9, 6) = 84.
8. Quantas soluções inteiras existem para a equação x1 +x2 +x3 +x4 = 20
tais que 1 ≤ x1 ≤ 6, 1 ≤ x2 ≤ 7, 1 ≤ x3 ≤ 8, 1 ≤ x4 ≤ 9.
Resposta: Inicialmente, faremos a seguinte mudança de variáveis.
x∗1 = 6 - x1 , x∗2 = 7 - x2 , x∗3 = 8 - x3 e x∗4 = 9 - x4 . Devido as restrições
sobre as variáveis xi , teremos as seguintes restrições para as variáveis
x∗i : 0 ≤ x∗1 ≤ 5, 0 ≤ x∗2 ≤ 6, 0 ≤ x∗3 ≤ 7, 0 ≤ x∗4 ≤ 8. Devemos
portanto calcular o número de soluções da seguinte equação:
6 − x∗1 + 7 − x∗2 + 8 − x∗3 + 9 − x∗4 = 20
= 10
x∗1 + x∗2 + x∗3 + x∗4
Note que para todo i, j ∈ {1, 2, 3, 4}, i 6= j se x∗i é inteiro não negativo e
excede seu limite superior, então nenhum x∗j excederá seu limite pois do
contrário a soma teria um resultado maior que 10 (se x∗1 ≥ 6, então x∗2 6≥
7, pois senão a soma destas variáveis excederia o limite 10). Portanto,
calcularemos o número de soluções da equação subtraindo do número de
equações inteiras não negativas as soluções onde alguma das variáveis
excede seu limite superior.
Se x∗1 excede seu limite superior temos x∗1 ≥ 6. Tomando x01 = x∗1 − 6,
temos x01 + x∗2 + x∗3 + x∗4 = 4, conseqüentemente, CR44 = C(4 + 4 − 1, 4)
= C(7, 4) = 35 soluções inteiras não negativas de x∗1 + x∗2 + x∗3 + x∗4 =
10, onde x1 ≥ 6.
Analogamente, teremos CR43 = C(6, 3) = 20 soluções com x∗2 ≥ 7; CR42
= 10 com x∗3 ≥ 8 e CR41 = 4 com x∗4 ≥ 9.
O total de soluções inteiras não negativas e sem restrições para x∗1 +
x∗2 + x∗3 + x∗4 = 10 é CR410 = C(4 + 10 − 1, 10) = 286.
Seja S o total de soluções que desejamos calcular. Pelo princípio aditivo:
S = 286 − 35 − 20 − 10 − 4
S = 217