Cap 5. 2 Componentes Simetricas

Sistemas Elétricos de Potência
5. Análise de Curtos-Circuitos ou Faltas
5.2 Componentes Simétricos (ou Simétricas)
Professor: Dr. Raphael Augusto de Souza Benedito
E-mail:[email protected]
disponível em: http://paginapessoal.utfpr.edu.br/raphaelbenedito
5.2.1 Introdução
• Como vimos anteriormente, os sistemas trifásicos equilibrados e
simétricos podem ser analisados através de uma de suas fases e o
neutro (terra), tanto em condições normais de funcionamento
quanto em decorrência de curtos-circuitos trifásicos.
• Porém tal procedimento não pode ser adotado quando ocorrem
faltas assimétricas, que provocam desequilíbrio nos sistemas. Em
tais situações, os métodos tradicionais de cálculo pelas Leis de
Kirchhoff revelam-se muito trabalhosos e de trato difícil,
principalmente devido à presença de máquinas rotativas.
• Além disso, o desbalanceamento natural das cargas e de outros
elementos dos sistemas trifásicos contribuem para a assimetria da
seqüência de fasores (tensão/corrente) trifásicos, dificultando a
análise dos sistemas trifásicos.
5.2.1 Introdução
• Como resolver esse problema? Ou, como facilitar os cálculos de redes
desequilibradas?
– Através do método das Componentes Simétricas (C.O. Fortescue, 1918);
– Tornou-se uma das mais poderosas ferramentas para análise de redes
polifásicas desequilibradas.
• Definição de Componentes Simétricas:
– Um sistema desequilibrado de “n” fasores correlacionados pode ser
decomposto em “n” sistemas equilibrados denominados componentes
simétricos (ou simétricas) dos fasores originais;
– Sendo que os “n” fasores de cada conjunto de componentes são iguais em
comprimento, e os ângulos entre os fasores adjacentes do conjunto são
iguais.
5.2.2 Componentes Simétricas em Sistemas
Trifásicos
Dada uma seqüência qualquer de fasores, representada por:
r
V A, B , C
V&A 
r  
= VA = V&B 
V&C 
 
(1)
existe (e é única) uma seqüência direta, uma seqüência inversa e
uma seqüência nula que somadas reproduzem a seqüência dada.
De outra forma: uma seqüência qualquer de fasores pode ser
decomposta em três outras seqüências (direta, inversa e nula) e
essa decomposição é única.
5.2.2 Componentes Simétricas em Sistemas
Trifásicos
Matematicamente, a equação (1) pode ser decomposta em
componentes simétricas da seguinte forma:
V&A 
V&A0  V&A1  V&A 2  V&A0 + V&A1 + V&A 2 
r   r r r       

VA = V&B  = V0 + V1 + V2 = V&B 0  + V&B1  + V&B 2  = V&B 0 + V&B1 + V&B 2 
V&C 
V&C 0  V&C1  V&C 2  V&C 0 + V&C1 + V&C 2 
 
      

( 2)
utilizando-se o operador α = 1∠1200 (α 2 = 1∠2400 = 1∠ − 1200 ) , temos:
V&0 = V&A0 = V&B 0 = V&C 0
V&1 = V&A1 ; V&B1 = α 2 ⋅ V&1 ; V&C1 = α ⋅ V&1
(3)
V&2 = V&A 2 ; V&B 2 = α ⋅ V&2 ; V&C 2 = α 2 ⋅ V&2
e substituindo na equação (2), resulta em:
V&A 
1
1
 1   V&0 + V&1 + V&2 
r  


VA = V&B  = V&0 ⋅ 1 + V&1 ⋅ α 2  + V&2 ⋅  α  = V&0 + α 2V&1 + αV&2 
2
V&C 
V&0 + αV&1 + α 2V&2 






1
α
α






 


( 4)
5.2.2 Componentes Simétricas em Sistemas
Trifásicos
Outra expressão para equação (4) é a seguinte:
sendo:
1  V&0 
1 1
r 
r
&

2
α  ⋅ V1  = T ⋅ V0,1, 2
VA = 1 α
1 α α 2  V&2 
- Tr a matriz de transformação de componentes simétricas;
- V0,1, 2 seqüência de fasores de componentes simétricas.
Interpretação gráfica dos fasores das componentes simétricas
(5)
5.2.2 Componentes Simétricas em Sistemas
Trifásicos
A matriz T não é singular, isto é, existe a matriz T-1. Dessa forma,
a seguinte expressão é válida:
r
V0,1, 2
V&0 
V&A 
 V&A + V&B + V&C

1  V&A 
1 1
 
  1
  1 

= V&1  = T −1 ⋅ V&B  = ⋅ 1 α α 2  ⋅ V&B  = ⋅ V&A + α ⋅ V&B + α 2 ⋅ V&C  (6)
3
2
&  3 V& + α 2 ⋅ V& + α ⋅ V& 
V&2 
V&C 



1
α
α
V
B
C

  C
 
 
 A
5.2.3 Conseqüências
r
VA
• Com base na decomposição de uma seqüência
de
fasores em suas componentes simétricas, definimos:
– seqüência trifásica simétrica: => V&1 ≠ 0;
– seqüência trifásica pura:
=> V&1 ≠ 0;
– seqüência trifásica impura: => V&1 ≠ 0;
V&2 = V&0
V&2 ≠ 0,
V& ≠ 0,
2
=0
V& = 0
0
V&0 ≠ 0
5.2.4 Rotação Cíclica na Ordem de
Fasores
• Quando substituímos uma dada seqüência fasorial trifásica por outra obtida
por uma rotação cíclica de seus fasores, isto corresponde a uma rotação de α
(α=1|1200) na componente simétrica de seqüência inversa. Matricialmente,
temos:
&
&
V  1 1
1  VA0 
r  A 
 
VA = V&B  = 1 α 2 α  ⋅ V&A1 
V&C  1 α α 2  V&A 2 
 
 
V&B  1 1
1  V&B 0  1
r  
  
VB = V&C  = 1 α 2 α  ⋅ V&B1  = 1
V&A  1 α α 2  V&B 2  1
 
  
V&C  1 1
1  V&C 0  1
r   
  
VC = V&A  = 1 α 2 α  ⋅ V&C1  = 1
V&B  1 α α 2  V&C 2  1
 
  
α 2 α  V&A0 
  
α α 2  ⋅ V&A1 
1
α
1
α2
1  V&A 2 
α 2  V&A0 
  
1  ⋅ V&A1 
α  V&A 2 
(7 )
• Assim, uma rotação nos elementos da seqüência VA, corresponde a mesma
rotação nos elementos correspondentes da linha da matriz T.
5.2.5 Grau de Desequilíbrio de uma
Seqüência
• O grau de desequilíbrio de uma dada seqüência trifásica pode
ser definida como sendo a relação entre os módulos das
componentes de seqüência inversa (negativa) e direta
(positiva), ou seja:
V&2
grau deseq. =
V&
1
(8)
5.2.6 Aplicação
• Para facilitar a compreensão da aplicação de componentes
simétricas à sistemas trifásicos, iremos considerar um sistema
trifásico ligado em estrela, conforme a figura a seguir:
Figura 1: Sistema trifásico ligado em estrela (gerador 3Ø)
• Em termos de tensões de fase, a seqüência VAN fica:
r
VAN
V&AN 
V&0 
1
1
1
 
 
= V&BN  = T ⋅ V&1  = V&0 ⋅ 1 + V&1 ⋅ α 2  + V&2 ⋅  α 
2
V&CN 
V&2 






1
α
α





 
 
(9 )
5.2.6 Aplicação
• A partir da expressão (9) podemos desenhar o sistema elétrico da seguinte
forma:
Figura 2: a) Circuito equivalente; b) Circuito equivalente com a componente de
seqüência zero isolada
• Como vemos na figura 2, podemos substituir a tensão gerada VAN pela
associação série de três f.e.m.s V0, V1 e V2 (o raciocínio é análogo para as
outras duas fases).
• A fig. 2b caracteriza o efeito da componente de seqüência zero da tensão,
que é o de elevar o potencial do centro-estrelo.
5.2.6 Aplicação
• A tensão de linha VAB pode ser calculada em termos das componentes
simétricas da seguinte forma:
V&AB = V&1 + V&2 − α 2 ⋅ V&1 − α ⋅ V&2 = (1 − α 2 ) ⋅ V&1 + (1 − α ) ⋅ V&2
V&AB = ( 3∠30o ) ⋅ V&1 + ( 3∠ − 30o ) ⋅ V&2
(10)
• A equação (10) mostra que a tensão de componente nula não entra (ou não
influencia) nos cálculos de tensão de linha.
• Em termos de seqüência de fasores, a seqüência de tensão de linha
decomposta em componentes simétricas torna-se:
V&AN  V&BN  1 1
1  V&0 AN  1 α 2 α  V&0 AN 
r
r
r
 

 
 



VAB = VAN − VBN = V&BN  − V&CN  = 1 α 2 α  ⋅ V&1 AN  − 1 α α 2  ⋅ V&1 AN 
V&CN  V&AN  1 α α 2  V&2 AN  1 1
1  V&2 AN 


 
 

V&AB  0 (1 − α 2 )
(1 − α )  V&0 AN 
1
1
r
 

  
VAB = V&BC  = 0 (α 2 − α ) (α − α 2 ) ⋅ V&1 AN  = (1 − α 2 )V&1 AN α 2  + (1 − α )V&2 AN  α  (11)
2
2
V&CA  0 (α − 1)
 V&2 AN 




(
α
−
1
)
α
α




  
 
5.2.6 Aplicação
• Até aqui foram adotados apenas fasores de tensão no estudo de
componentes simétricas, entretanto o Teorema de Fortescue aplica-se
igualmente a quaisquer fasores associados a uma máquina ou a um circuito
trifásico, tais como corrente elétrica. Veja:
 I&A  1 1
1   I&0 
r   
 
I A =  I&B  = 1 α 2 α  ⋅  I&1 
 I&C  1 α α 2   I&2 
 
 
(12)
 I&0 
1   I&A 
1 1
  1
 
=  I&1  = 1 α α 2  ⋅  I&B 
3
2
 I&2 

1
α
α   I&C 

 
(13)
e também é válido:
r
I 0,1, 2
5.2.6 Aplicação
• Em sistemas trifásicos a 4 fios, a soma das correntes de linha é igual à
corrente de retorno IN pelo neutro.
• Do mesmo modo, em sistemas trifásicos a 3 fios com ligação estrela
aterrada, a soma das correntes de linha é igual à corrente de retorno IN pela
terra. Para ambas as situações temos:
I&N = I&A + I&B + I&C
(14)
1
entretanto, como I&0 A = ( I&A + I&B + I&C ) concluímos que:
3
I&N = 3 ⋅ I&0 A
(15)
• Através da equação (15), vemos que a corrente de seqüência zero só existe
se houver um circuito fechado no qual possa circular.
• Em sistemas trifásicos a 3 fios, com carga em estrela isolada ou com carga
em triângulo, a soma das correntes de linha é zero e portanto nenhuma
componente de seqüência zero está presente nas correntes de linha.
5.2.7 Modelagem dos Elementos de Sistemas Elétricos em
Componentes Simétricas
Geradores Trifásicos
-
Como as tensões trifásicas internas geradas (Ea, Eb e Ec) são simétricas, elas
não afetam as seqüências inversa e zero, apenas a seqüência direta.
A impedância de seqüência zero leva em conta a impedância de aterramento
do centro-estrela e a impedância do gerador de seqüência zero. Veja abaixo:
Z0 = 3⋅ Zn + Z g0
V&a1 = E& a − I a1 ⋅ Z1
V& = − I ⋅ Z
a2
a2
2
V&a 0 = − I a 0 ⋅ Z 0
(16)
(17 )
5.2.7 Modelagem dos Elementos de Sistemas Elétricos em
Componentes Simétricas
5.2.7 Modelagem dos Elementos de Sistemas Elétricos em
Componentes Simétricas
Geradores Trifásicos
- Matricialmente, podemos representar um gerador trifásico em
componentes simétricas da seguinte forma:
V&a 0   0   Z 0
&  &  
Va1  =  E a  −  0
V&a 2   0   0
 
0
Z1
0
  I&a 0 
 ⋅  I& 
  a1 
Z 2   I&a 2 
0
0
(18)
5.2.7 Modelagem dos Elementos de Sistemas
Elétricos em Componentes Simétricas
-
-
-
Transformadores Trifásicos
Transformadores e linhas de transmissão, elementos estáticos dos sistemas,
apresentam reatância de seqüência positiva com mesmo valor da reatância
de seqüência negativa.
Os circuitos equivalentes, por fase, para seqüência positiva e negativa são
elaboradas desprezando-se resistências e corrente de excitação, e referindo
as reatâncias a um dos lados.
O modelo para seqüência zero depende do tipo do trafo e da maneira como
foi conectado, permitindo, ou não, o estabelecimento de corrente de
seqüência zero através de um percurso fechado (veja a seguir).
5.2.7 Modelagem dos Elementos de Sistemas
Elétricos em Componentes Simétricas
Transformadores Trifásicos – Seqüência zero:
5.2.7 Modelagem dos Elementos de Sistemas
Elétricos em Componentes Simétricas
-
-
Linhas de Transmissão
Transformadores e linhas de transmissão, elementos estáticos dos sistemas,
apresentam reatância de seqüência positiva com mesmo valor da reatância
de seqüência negativa.
A reatância de seqüência zero das linhas é influenciada por grande número
de variáveis (características dos condutores, natureza e resistividade do solo
sob a linha, entre outros). De modo geral, a reatância de seqüência zero
apresenta valor que se situa na faixa de 2 a 5 vezes o valor da reatância de
seqüência positiva.
Exemplo de rede de seqüência nula
Fig.: Sub-rede equivalente de seqüência nula (ou zero)
5.2.8 Exercícios
Exercício 1: Considere a seqüência fasorial a seguir:
V&A   120∠00 
r   

VA = V&B  = 380∠ − 900  (V )
V&C   380∠900 
  

Encontre as tensões de seqüência nula, direta e inversa para a fase A, e
represente graficamente tais fasores.
Resposta: V0 = 40|00 (V); V1 = 260|00 (V); V2 = 180|1800 (V)
5.2.8 Exercícios
Exercício 2: Certo sistema trifásico apresenta seqüência de fases A, B e C, e
tem as seguintes componentes simétricas de correntes de linha:
 I&0  3,61∠ − 146,310 
&  
0 
I
=
13
,
11
∠
26
,
80
 ( A)
 1 
 I&2   4,12∠ − 71,610 
  

Obtenha os fasores das correntes de linha IA, IB e IC do sistema.
Resposta: IA = 10|00 (A); IB = 12,04 |-94,760 (A); IC = 18,97|161,570 (A)
5.2.8 Exercícios
Exercício 3: Considerando que a potência base do sistema abaixo é 10 MVA e
que todas as reatâncias já estão nas referidas bases. Para o sistema elétrico
abaixo, desenhe o diagrama unifilar (ou sub-rede) de: a) seqüência positiva; b)
seqüência negativa; c) seqüência nula.
Referências Bibliográficas
[1] STEVENSON, W. D. Elementos de Análise de Sistemas de
Potência. 2ª ed. Editora MacGraw-Hill do Brasil. São Paulo.1986.
[2] ZANETTA Jr., LUIZ CERA. Fundamentos de Sistemas Elétricos
de Potência. 1ª. Edição; Editora Livraria da Física, São Paulo, 2005.