Resolução do Simulado (08/Maio) Extensivo Questão 1. Item 01

Resolução do Simulado (08/Maio)
Extensivo
Questão 1.
Item 01. Verdadeiro. O número total de samambaias será dado pelo produto do
número de quadrantes pela quantidade de samambaias em cada quadrante. At.B
representa esse resultado.
Item 02. Falso. Utilizando algumas propriedades dos determinantes como:
det(A.B) = det(A).det(B) e det(kA) = k n .det(A) podemos perceber que:
det(2.A.B2 ) = 23.det(A).det(B).det(B)
Substituindo det(A) = 5 e det(B) = 3, temos:
det(2.A.B2 ) = 23.(5)(3)(3) = 360
Diferente de 90 como o item afirmava.
Obs. A resposta de 90 seriam encontrada se na propriedade det(kA) = k n .det(A) , a
constante k não fosse elevada a potência de igual valor a ordem da matriz quando
“retirada” do determinante.
Item 04. Verdadeiro. Devemos calcular a inversa da matriz A dada. Lembre-se que
a matriz inversa existe apenas se o determinante for diferente de zero e para
calcular a matriz inversa de um matriz de ordem 2 basta trocar a os elementos da
diagonal principal de posição, os elementos da diagonal secundária trocam-se os
sinais e dividem-se todos os elementos pelo valor do determinante. Outra maneira
de achar a matriz inversa é utilizando a propriedade de que o produto de uma
matriz pela sua inversa é igual a matriz identidade de mesma ordem.
⎛ 3 −2 ⎞
A=⎜
⎝ 1 1 ⎟⎠
⎛
⎜
A −1 = ⎜
⎜
⎜⎝
1
5
−1
5
2
5
3
5
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟⎠
Item 08. Falso. Dada a matriz A de ordem 5x7 e a matriz B 7x5. A matriz A.B terá
uma ordem de 5x5. Sendo assim, a matriz (A.B)2 também será de ordem 5x5, visto
que (A.B)2 = (A.B)(A.B). Como a ordem de (A.B)2 é 5x5, esta matriz possui 25
elementos, pois são 5 colunas com 5 elementos em cada coluna.
Questão 2.
Item 01. Verdadeiro. Nesse tipo de questão é interessante calcular as primeiras
potências e observar a existência de algum padrão. Então, dada a matriz A,
calcularemos A2 e A3.
⎛ 0 −1 ⎞ 2 ⎛ 1 0 ⎞
⎛ 0 −1 ⎞
3
,
e
A=⎜
A
=
A
=
⎜⎝ 0 1 ⎟⎠
⎜⎝ −1 0 ⎟⎠
⎝ −1 0 ⎟⎠
Nota-se que as potências ficarão se alternando entre a própria matriz e a matriz
identidade. Percebemos que as potências pares serão iguais as matriz identidade
de ordem 2 e as potências ímpares será igual a própria matriz A dada no
enunciado. O item afirma que a potência A100 será igual a matriz identidade de
ordem 2, ou seja, verdadeiro.
Item 02. Falso. Nota-se que do primeiro determinante para o segundo, todos os
elementos da matriz foram multiplicados por 2. Lembre-se da propriedade de que:
det(kA) = k n .det(A) . Ou seja, nesse caso com k = 2, o determinante da matriz
deveria ser multiplicado por 23 (n = 3 pois trata-se de uma matriz de ordem 3).
Como o item afirma que o determinante passou de 5 para 10 (multiplicado apenas
por 2), garantimos que o item é falso.
Item 04. Falso. Para que uma matriz seja inversível, é necessário apenas que seu
determinante seja diferente de zero. Neste caso, calcularemos o determinante da
matriz veremos para quais valores de x a matriz terá inversa.
x x−3
= (x).(x − 2) − (−2)(x − 3) =
−2 x − 2
= (x 2 − 2x) − (−2x + 6) =
= x 2 − 2x + 2x − 6 =
= x2 − 6 .
Teremos inversa para qualquer número diferente de − 6 e
6.
Item 08. Verdadeiro. O elementos aij nos dá a informação de quantas pessoas
saíram da cidade de número i e foram para a cidade de número j. Com base nisso,
temos:
A21 = 5 pessoas saíram de Florianópolis e foram para Salvador.
A31 = 2 pessoas saíram de Garopaba e foram para Salvador.
A12 = 30 pessoas saíram de Salvador e foram para Florianópolis.
A32 = 12 pessoas saíram de Garopaba e foram para Florianópolis.
A13 = 35 pessoas saíram de Salvador e foram para Garopaba.
A23 = 10 pessoas saíram de Florianópolis e foram para Garopaba.
Florianópolis: Recebeu 30 e 12 e perdeu 5 e 10, totalizando um crescimento de 27
pessoas.
Salvador: Recebeu 5 e 2 e perdeu 35 e 30, totalizando um decréscimo de 58
pessoas.
Garopaba: Recebeu 35 e 10 e perdeu 2 e 12, totalizando um crescimento de 31
pessoas. Assim sendo, Garopaba sofreu o maior acréscimo populacional dentre as
três cidades.
Questão 3.
Item 01. Falsa. Empresa A deve começar com 324 e não conter dígitos iguais, ou
seja: 324__.__.__.__.__. Onde para o quarto número tem-se 7 possibilidade. Para o
quinto número, 6 possibilidade. Para o sexto número, 5 possibilidade. Para o
sétimo número, 4 possibilidades. Para o último número, 3 possibilidades,
totalizando 2520 números.
Empresa B deve começar com 4009 e poderá repetir números, ou seja:
4009__.__.__.__. Assim sendo, temos 10 possibilidade para o quinto, sexto, sétimo
e oitavo número. Totalizando então 10000.
Assim sendo, a empresa B possui em seu cartel uma quantidade maior do que a
empresa A, diferente do que o item afirmava.
Item 02. Verdadeiro. Até 28 pessoas podemos ter quatro pessoas nascendo no
mesmo dia, isso ocorreria em todos os dias já que 7 (dias da semana) vezes 4
(quantidade de pessoas por dia) é igual a 28. Ao adicionarmos uma pessoa, um dia
passaria a ter 5 pessoas fazendo aniversário naquele dia da semana e teríamos 29
pessoas. Simulando um caso, teremos:
Domingo Segunda Terça Quarta Quinta Sexta Sábado
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
Item 04. Verdadeiro.
5
P1 P2 P3 P4
8
P5
P6
P7
P8
P9
x
P10
P11 P12 P13
Sabe-se que três posições consecutivas devem ter soma igual a 20.
Tem-se então:
P1 + P2 + P3 = 20, como P1 = 5, então P2 + P3 = 15.
P2 + P3 + P4 = 20, como P2 + P3 = 15, então P4 = 5.
5
8
7
5
8
x
P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10 P11 P12 P13
P4 + P5 + P6 = 20, como P4 = 5 e P5 = 8, então P6 = 7.
5
8
7
5
8
7
x
P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10 P11 P12 P13
P5 + P6 + P7 = 20, como P5 = 8 e P6 = 7, então P7 = 8.
5
8
7
5
8
7
8
x
P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10 P11 P12 P13
P14
P14
P14
P14
E assim, teremos:
5
8
7
5
P1 P2 P3 P4
8
P5
7
P6
5
P7
8
P8
x=7 5
P9 P10
8
7
5
P11 P12 P13
8
P14
Como x = 7, o item afirma que o x será divisor de 161, o que é verdadeiro já que
161 = 7. 23.
Item 08. Verdadeiro. Note que pela disposição das peças do dominó de 6,
podemos calcular utilizando soma de P.A. A primeira coluna contém 7 peças e a
sétima coluna contém 1 peça. Como queremos a quantidade de peças de um
dominó de 10, a primeira coluna terá 11 peças e terão 11 colunas. Ou seja:
(a + a )n
SPA = 1 n ,
2
(11+1)11
,
S=
2
S = 66 .
O dominó de 10 terá 66 peças.
Questão 4.
Item 01. Falso. O item é falso pois afirma que a razão do comprimento de uma
circunferência pelo diâmetro será racional, o que é falso pois uma razão só será
racional quando numerador e denominador forem inteiros. O comprimento de
uma circunferência não é racional, então a razão também não será racional.
Item 02. Verdadeiro. No item devemos apenas posicionar corretamente os
números na reta real, onde X é aproximadamente 1,7, Y = - 0,5, Z = 1,5 e T = - 2,5.
Clara posicionou corretamente.
Item 04. Falso. Seja A o número de alunos matriculados em Álgebra A, C em
Cálculo II e G em Geometria Analítica, temos:
A + C + G = 120.
“Constatou-se que 6 deles cursam simultaneamente Cálculo II e Geometria Analítica e
que 40 cursam somente Geometria Analítica”, ou seja, existem 6 alunos que estão
matriculados em ambas as disciplinas.
“Os alunos matriculados em Álgebra A não cursam Cálculo II nem Geometria
Analítica”, ou seja, não existem alunos em comum desses dois cursos com Álgebra
A.
“Sabendo que a turma de Cálculo II tem 60 alunos” ou seja, desses 60, 6 são comuns a
Geometria Analítica, então tem-se 54 alunos estão matriculados apenas na
disciplina de Cálculo, pois os outros 6 são comuns a Geometria Analítica.
Como temos 54 apenas em Cálculo, 40 somente em Geometria, 6 comuns aos dois
cursos, ao total teremos 100 alunos nas duas disciplinas. Restando 20 alunos para a
disciplina de Álgebra A. O item afirma que A é múltiplo de 3, o que torna o item
falso.
Item 08. Verdadeiro. O item é verdadeiro pois especifica que é um racional não
nulo. O produto de um irracional por um racional diferente de zero será sempre
irracional. Na falta da palavra “nulo” o item seria verdadeiro, por qualquer irracional
multiplicado por zero (e zero é racional), o produto seria racional (zero).
Questão 5.
Esse tipo de questão, onde queremos achar o crescimento médio, devemos utilizar
o conceito de média geométrica. Como aumentou 44% e 125%, devemos calcular
a média geométrica de 144% e 225% que são as porcentagens após os aumentos
em relação ao preço do ano anterior.
144%.225% = 1, 44.2,25 = 1, 44 . 2,25
= 1, 44 . 2,25 = 1,2 . 1,5 = 1,8
1,8 significa um aumento médio de 80%.
Gabarito: 80.