apostila determinantes

ESCOLA DE APLICAÇÃO DR. ALFREDO JOSÉ BALBI
UNITAU
APOSTILA
DETERMINANTES
PROF. CARLINHOS
NOME DO ALUNO:
Nº
TURMA:
Bibliografia:
Curso de Matemática – Volume Único
Autores: Bianchini&Paccola – Ed. Moderna
Matemática Fundamental - Volume Único
Autores: Giovanni/Bonjorno&Givanni Jr. – Ed. FTD
Contexto&Aplicações – Volume Único
Autor: Luiz Roberto Dante – Ed. Ática
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1
DETERMINANTES
Determinante é um número real que se associa a uma matriz quadrada.
Regras Práticas
Para o cálculo de determinantes de ordem n (n
forma:
3), procede-se da seguinte
Determinante de ordem 1
Para a matriz A = [a11] o determinante é o próprio elemento a11. Det A = a11
Exemplo: A = [ -4 ], logo det A = -4
Determinante de ordem 2
Para a matriz
Para a matriz o determinante é igual à diferença entre o produto dos elementos
da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária.
det A = a11a22 - a12a21
Exemplos
1) A =
4
2
3
, logo det A = 4.1 – 2.(-3) = 4+6 = 10
1
2) Resolva a equação:
x+3 2
x −1 5
=0
5(x+3)-2(x-1) = 0 ↔ 5x + 15 – 2x + 2 = 0 ↔ 3x = -17 ↔ x = -17/3
S = { -17/3 }
Determinante de ordem 3
Para a matriz de 3ª ordem
define-se:
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2
det A = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31 - a11a23a32 - a12a21a33
Regra de Sarrus
Para calcular o determinante de uma matriz de ordem 3:
Repetem-se, à direita da matriz, as duas primeiras colunas. Acompanhando as
flechas em diagonal, multiplicam-se os elementos entre si, associando-lhes o
sinal indicado.
Somam-se algebricamente os produtos obtidos, calculando-se, assim, o valor do
determinante.
1 2 3


EXEMPLO: A = 2 1 0 , logo:
4 2 1
det A =
1 2 3
1 2 3 1 2
= 1+0+12-12-0-4 = -3
2 1 0 = 2 1 0 2 1 ⇔ det A = (1⋅1⋅1) + (2 ⋅ 0 ⋅ 4) + (3 ⋅ 2 ⋅ 2) − (3 ⋅1⋅ 4) − (1⋅ 0 ⋅ 2) − (2 ⋅ 2 ⋅1) =
4 2 1 4 2 1 4 2
= 1 + 0 + 12 − 12 − 0 − 4 = −3
Menor Complementar
O menor complementar Dij do elemento aij da matriz quadrada A, é o
determinante que se obtém de A, eliminando–se dela a linha “i” e a coluna “j”, ou
seja, eliminando a linha e a coluna que contém o elemento aij considerado.
Exemplo:
2
−1 3
Dada a matriz A = 0 1 4 , calcular D11, D12, D13, D21, e D32.
5 −2 1
Resolução:
D11 =
1 4
= 1+ 8 = 9
−2 1
D12 =
0 4
= −20
5 1
D21 =
−1 3
= −1 + 6 = 5
−2 1
D32 =
2 3
=8
0 4
D13 =
0 1
= −5
5 −2
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3
Cofator
 a11
Consideremos a matriz quadrada de 3ª ordem A = a21
a31
a12
a22
a32
a13 
a23  .
a33 
Chama-se Cofator do elemento a ij da matriz quadrada o número real que se
(−1)i+ j pelo
i+ j
= (− 1) .Dij .
obtém multiplicando-se
representado por Aij
menor complementar de a ij e que é
3 1 − 2
Exemplo: Dada a matriz A = 4 0 2  , calcular:
3 7 8 
b) A13
a) A11
c) A32
A11 = (− 1) ⋅
0 2
A13 = (− 1)
⋅
4 0
= 1 ⋅ (28) = 28
3 7
⋅
3 −2
= −1 ⋅ (6 + 8) = −14
4 2
1+1
1+ 3
A32 = (− 1)
3+ 2
7 8
= 1 ⋅ (− 14 ) = −14
Teorema de Laplace
O determinante associado a uma matriz quadrada A de ordem n ≥ 2 é o número que se
obtém pela soma dos produtos dos elementos de uma linha (ou de uma coluna)
qualquer pelos respectivos cofatores. Exemplo:
2 3 − 1
EXEMPLO 1) Sendo A = 5 2 0  uma matriz de ordem 3, podemos calcular o det A
1 4 − 3
a partir de determinantes de ordem 2 e da definição de Laplace. Escolhendo os
elementos da primeira linha temos:
det A = a11 ⋅ A11 + a12 ⋅ A12 + a13 ⋅ A13 =
= 2 ⋅ (− 1) ⋅
1+1
2
0
4 −3
+ 3 ⋅ (− 1)
1+ 2
⋅
5
0
1 −3
+ (− 1) ⋅ (− 1)
1+ 3
⋅
5 2
1 4
=
= 2 ⋅ (− 6 ) + (− 3) ⋅ (− 15) + (− 1) ⋅18 = −12 + 45 − 18 = 15
Observação: Para se aplicar esse método é melhor escolher a linha ou coluna que tiver
o maior número de zeros.
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4
2 3 − 1
4 − 2 1
EXEMPLO 2) Seja a matriz quadrada de ordem 4 A = 
1 − 5 2

0 3 − 2
0
3
, vamos calcular o
1

6
determinante de A. Para tanto, aplicaremos o teorema de Laplace, até chegarmos a
um determinante de 3ª ordem, e depois empregaremos a regra de Sarrus. Assim,
desenvolvendo o determinante acima, segundo os elementos da 1ª linha, temos:
det A = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13 + a14 A14
(1 )
−2
1
3
a11 A11 = 2 ⋅ ( −1 ) ⋅ − 5
2
1 = 2 ⋅17 = 34
1+1
1+ 2
a12 A12 = 3 ⋅ ( −1 )
3
−2 6
4
1
3
⋅1
2
1 = −3 ⋅ 44 = −132
0 −2 6
4 −2 3
1+3
a13 A13 = −1⋅ ( −1 )
⋅ 1 − 5 1 = −1⋅ −111 = 111
0
1+ 4
a14 A14 = 0 ⋅ ( −1 )
3
6
4 −2
1
⋅ 1 −5
0
3
2 =0
−2
Substituindo em (1) temos: det A = 34 − 132 + 111 = 13
PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES
1) Determinante igual a zero
determinante de uma matriz quadrada é igual a zero, se a matriz possui:
a) uma fila nula;
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5
b) duas filas paralelas iguais;
c) duas filas paralelas proporcionais;
d) uma fila que é combinação linear (C.L.) das outras filas paralelas.
Observe que C3 = 3C1 + 2C2, isto é, C3 é C.L. de C1e C2
2) Determinante não se altera
O determinante de uma matriz quadrada não se altera se:
a) Trocarmos ordenadamente linhas por colunas. det A = det At
b) Somarmos a uma fila uma combinação linear de outras filas paralelas
(TEOREMA DE JACOBI)
3) Alterações no Determinante
O determinante de uma matriz quadrada de ordem n altera-se:
a) Trocando de sinal, quando duas filas paralelas trocam de posição entre si.
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6
b) Ficando multiplicado por K, quando os elementos de uma fila são
multiplicados por K.
c) Ficando multiplicado por Kn quando a matriz é multiplicada por K.
Se A é matriz n x n, então:
Portanto: det (K . A) = kn.det A
3) Teorema de Binet
Sendo A e B duas matrizes quadradas de mesma ordem e AB a matriz-produto,
então det AB = det A ⋅ det B
3 2 
0 2
A=
det
A
=
−
3
−
10
=
−
13
B
=

3 4 det B = −6
5 − 1


Exemplo:
0 + 6 6 + 8   6 14
AB = 
 = − 3 6  det AB = 36 + 42 = 78 = (− 13) ⋅ (− 6)
0
−
3
10
−
4

 

4) O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da
diagonal principal.
 5 0 0


Exemplo: A = − 1 2 0 det A = 5 ⋅ 2 ⋅ 4 = 40
 3 1 4
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO DA APRENDIZAGEM
1) Calcule:
a)
6 3
sen x
cos x
resp: -30 b)
resp: 2
2 −4
− 2 cos x 2 sen x
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7
3
1
5
c) 2 0 − 2
−1 4 − 3
3
0
e)
2
5
resp: 72
2 4 1 3
2 1 3 0
resp: 20
d)
0 2 −1 1
4 1
2
0 −2 4
2
0
5 −1 3
4
9
resp:-552 f)
0 2
4
−1
2
3 0 −1
20 − 1 / 2
3
0
0
1
2
0
0
resp:54
0
3
2) Resolva as equações:
2 3 −2
5
2
a)
= -1 resp: S = {-6} b) 0 1 x =2 resp: S= {1; 2}
x −1 x + 3
2 x −3
i + j , se i < j
3)Dadas a matrizes A=(aij)3x4, com aij= 
, e B=(bij)4x3 com
i − j , se i ≥ j
 1, se i + j ≠ 4
, Calcule o det (A.B) resp: -752
bij= 
− 1, se i + j = 4
x 0 1
4) Resolva a inequação 0 x 0 < 0 resp: S = { x∈ℜ/ 0 < x < 1 }
1 0 1
5) Se det A = 5, calcule: a) det (At). resp: 5 b) det (A-1) resp: 1/5
6) Se
a b
b
=10, Calcule: a)
c d
d
a
4a 4b
resp: -10 b)
resp: 40
c
c d
7) Seja A uma matriz quadrada de ordem 3 tal que det A = m. Calcule o det (2 A)
resp: 8m
8) Sejam A e B duas matrizes quadradas de mesma ordem. Sabendo que det A = 6
e det B = 4,
calcule det (A .B). resp: 24
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8

 cos 2π

9) (UFOP-MG) O determinante da matriz  log1

sen 3π

2
a) 1
b) 2
c) 3
π

sen π 
2
π 
 é igual a:
log 2 2 tg
4 
cos π log3 27

sen
d) 4
e) n.d a resp: c
10) (ITA-SP) Sendo A,B e C matrizes reais n x n, considere seguintes afirmações:
1. A.(B.C) = ( A. B). C
2. A. B = B. A
3. A+B = B+A
4. det(A.B) = det A . det B
5. det(A+B)= det A + det B
Então podemos afirmar que:
a) 1 e 2 são corretas
b) 2 e 3 são corretas
c) 3 e 4 são corretas
d) 4 e 5 são corretas
e) 5 e 1 são corretas
resp: c
11) (Unitau) Sendo B = (bij)2x2, onde,
1, se i = j

bij = - 2ij, se i < j
3j, se i > j

Calcule o det B :
a) 13 b) – 25 c) 2 d) 20 e) - 10 resp: a
12) (Puccamp) Se A e B são matrizes quadradas de ordem 3 e tais que det A ≠
0 e det B ≠ 0, então é correto afirmar que
a) B = A-1 ë det B = det A
b) B = A ë det B = det A
c) det A2 = det B2 së det A = det B
d) det (A+B) = det A + det B
e) det (3A) = 3.det A
resp: b
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9
13. (Uel) A soma dos determinantes indicados a seguir é igual a zero
a) quaisquer que sejam os valores reais de a e de b
b) se e somente se a = b
c) se e somente se a = - b
d) se e somente se a = 0
e) se e somente se a = b = 1
resp: a
14) (Ufsc) Considere as matrizes A e B a seguir e n = det(AB).
Calcule 7n.
resp: 1
15. (Mackenzie) Na função real definida por:
f (0,001) vale:
a) 0,02 b) 1000-1 c) 10-2 d) 500-1 e) 0,5
resp: d
Bibliografia:
Curso de Matemática – Volume Único
Autores: Bianchini&Paccola – Ed. Moderna
Matemática Fundamental - Volume Único
Autores: Giovanni/Bonjorno&Givanni Jr. – Ed. FTD
Contexto&Aplicações – Volume Único
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