Aula 3 - FISIOCOMP

Teoria de Filas – Aula 3
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Independência
Condicionamento
Probabilidade Total
Variável aleatória
discreta
Funções de
distribuição.
Aula de Hoje
Variáveis aleatórias
discretas
Bernoulli
Binominal
Uniform
Poisson
Geométrica
Definição de V.A.
Uma variável aleatória X é uma função
sobre um espaço amostral S que associa um
número real a cada elemento de S
X : S ℜ
v.a. é uma função (e não uma variável)
imagem de X é o espaço amostral (discreto ou
contínuo)
função não precisa ser bijetora (um-para-um)
Definição de V.A.
Função de probabilidade de massa
(pmf)
Associar probabilidade a valores de uma v.a.
Seja X uma v.a. (discreta)
Qual a probabilidade de X = x?
{s∣X  s= x }
Conjunto de eventos
elementares que são
mapeados no valor x
p X  x= P[ X =x ]=P [{ s∣X  s = x }]=
∑
P [s ]
X  s= x
notação de pmf
(probability mass
function)
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Exemplo: 2 dados
Seja X uma v.a. que representa a soma
de dois dados
Defina a pmf de X
p X  x= P[ X =x ]
Qual é o domínio de X (valores que X pode
assumir)?
p X 2 = P [ X =2 ]
= 1/36
X=2 : {(1,1)}
p
X
3 = P [ X =3 ] = 2/36
X=3 : {(1,2), (2,1)}
p
X
4 = P [ X =4 ] = 3/36
X=4 : {(1,3), (2,2), (3,1)}
...
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Exemplo: 2 dados
P [X = x]
pmf, graficamente
x (valor que X pode assumir)
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Função de distribuição cumulativa
(cdf)
Probabilidade cumulativa (ao invés de pontual)
Dada v.a. X, temos
F X  x=P [ X x ]= P[{s∣X  s x }]=
∑
P [s ]
X  s x
notação da cdf (cumulative
distribution function)
FX(x) é não decrescente
Limite quando x tende a infinito é 1
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Exemplo: 2 dados
P [X <= x]
cdf, graficamente
x (valor que X pode assumir)
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Uniforme
A pmf mais simples é da v.a uniforme, onde TODOS
os elementos do conjunto imagem, de
cardinalidade n, terão a mesma probabilidade de
ocorrência
pmf
p X  xi =1/n
para todo x i no conjunto imagem
cdf
F X  x=
x
i=1
p X i =x /n
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Bernoulli
Somente dois eventos podem ocorrer
cara ou coroa, sucesso ou falha, par ou ímpar,
etc.
v.a. binária (evento 0 ou evento 1)
Parâmetro p, ocorrência de um dos eventos)
pmf:
p X 0=1− p
p X 1= p
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Bernoulli
CDF
F(x) = 0
F(x) = q
F(x) = 1
x<0
0 <= x <1
x >= 1
p+q = 1
q
0
1
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Binomial
Contagem de eventos de Bernoulli
eventos indepenentes
Número de sucessos dado N experimentos
Dois parâmetros
p: prob. de ocorrência do evento (sucesso)
N: número de experimentos
pmf:

k
N −k
N
p X k =
p 1− p
k
Número de vezes que
exatamente k eventos
podem ocorrer
Prob. que exatamente k
eventos ocorram
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Binomial
cdf
¿


ki
NN−
k
k
−i
N
Bt ; n , p =i=0 p 1− p
B k ; n , p= i=0
N
k

i
p 1− p 
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Binomial
pmf
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Binomial
cdf
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Binomial
Quando usar a distribuição binomial?
Cada tentativa (evento de Bernoulli) tem
exatamente dois resultados, usualmente
definidos como sucesso e falha
A probabilidade de sucesso em cada tentativa é
constante e denotada por p. A probabilidade
de falha é dada por q = 1-p
Os resultados de duas tentativas sucessivas são
independentes
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Aplicando a v.a. Binomial
Em Redes de Computadores
Probabilidade de conexões simultâneas na
comutação de pacotes
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Aplicação da v.a Binomial
Comutação de pacotes permite mais usuários
compartilhando a rede!
 1 Mb/s enlace
 Cada usuário:
 100 kb/s quando “ativo”
 ativos 10% do tempo

Comutação de circuitos:


10 usuários
N users
1 Mbps link
Comutação de pacotes:

com 35 usuários,
probabilidade > 10 ativos ao Q: como calcular a probabilidade 0.0004?
mesmo tempo é de .0004
Aplicando a v.a. Binomial
Podemos considerar cada usuário como um
evento de Bernoulli:
X: v.a. Total de usuários ativos
Sucesso → ativo → p = 0.1
P[X > 10] = ?
Devemos considerar TODAS as combinações
onde temos mais de 10 usuários ativos
Aplicando a v.a. Binomial
Ao se transmitir dígitos binários através de um
canal de comunicação, o número de dígitos
recebidos corretamente, Cn , entre n dígitos tem
uma distribuição binomial, onde p é a
probabilidade de sucesso de transmissão de um
dígito. Qual a probabilidade de ter exatamente i
erros? Qual a probabilidade de se ter uma
transmissão livre de erros?
Aplicando a v.a. Binomial
Número de pessoas com Rh positivo em um
conjunto de 10 indivíduos
Número de meninas numa família com 5 filhos
Geométrica
Sequência de eventos de Bernoulli até que ocorra
um sucesso (incluindo o sucesso)
Parâmetros
p: prob. de ocorrência do evento (sucesso)
pmf:
p X k = p1− p
Prob. de um evento
de sucesso
k −1
Prob. de exatamente k-1
eventos de falha
Geométrica
cdf:
F X k =
k
i=1
p 1− p
i−1
Geométrica
Aplicações v.a. Geométrica
Uma série de componentes é produzida por um
determinado fabricante. A probabilidade que um
dado componente esteja com defeito é dada por
uma constante p, que não depende da qualidade
dos componentes produzidos anteriormente. A
probabilidade de que o i-ésimo componente é o
primeiro com defeito é dada pela pmf da v.a.
geométrica
pX(i) = (1-p)i-1p
Aplicações v.a. Geométrica
Considere o seguinte sistema de computação:
q
CPU
Fila de processos
“prontos”
p
Aplicações v.a. Geométrica
Se assumimos independência, a pmf da v.a. que
denota o número total de time slices necessários
para a execução do programa é dada pela pmf da
v.a. geométrica:
pX(i) = (1-p)i-1p
Geométrica Modificada
Sequência de eventos de Bernoulli anterior ao
primeiro sucesso
pmf
p X k = p1− p
cdf
F X k =
k
i=1
k
p 1− p
i
Aplicações v.a. Geométrica
Modificada
Se considerarmos que um determinado loop de
um programa é executado com probabilidade q =
1-p, o total i de vezes que o loop é executado
antes da saída é dada por uma v.a geométrica
modificada
pX(i) = (1-p)ip
Propriedade de Falta de Memória
Geométrica
Uma propriedade importante da v.a geométrica é
a propriedade de memoryless.
Consideremos uma sequência de eventos de
Bernoulli
Z – v.a que representa o número total de
eventos até o primeiro sucesso
n – total de eventos já observados com
resultado de falha
Y – v.a que representa o número total de
eventos até o sucesso → Y = Z - n
Propriedade de Falta de Memória
Geométrica
Pela propriedade de falta de memória, não
necessitamos “lembrar” quantos eventos de
Bernoulli aconteceram para determinar a
probabilidade das tentativas adicionais até
alcançar o sucesso!
Assim, o número de tentativas restantes até o
primeiro sucesso, dada pela v.a Y, tem a mesma
pmf de Z!
Poisson
Número de eventos que ocorrem
em um determinado intervalo de
tempo
Parâmetros
t: intervalo de tempo
l: taxa média de ocorrência de
eventos por unidade de tempo
pmf:
−l t
k
p X k =
e
Siméon-Denis Poisson
(1781-1840)
l t
k!
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Poisson
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Exemplo com Poisson
Chegada de chamadas a uma central de
atendimento segue a distribuição de Poisson
Taxa média de chegada é de 3 chamadas por minuto
Qual a probabilidade de não haver nenhuma
chamada em 1 minuto?
Qual a probabilidade de termos mais de 100
chamadas em 1 hora?
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Poisson
Em sistemas com congestionamento (ou seja com
filas), o número total de jobs que chegam, o
número total de jobs que completam o serviço, o
número total de mensagens transmitidas em um
canal de comunicação, em um intervalo fixo de
tempo, é aproximado por uma v.a de Poisson
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