y y x x d − + − =

GEOMETRIA ANALÍ
ANALÍTICA
Sistema cartesiano
Bissetrizes dos
ortogonal e
quadrantes
coordenadas do
ponto
GEOMETRIA ANALÍ
ANALÍTICA
Distância entre dois pontos
DQSR
(dAB)2 = (xB – xA)2 + (yB – yA)2
Ponto sobre o eixo das abscissas será do tipo P(xp,0).
Ponto sobre o eixo das ordenadas será do tipo P(0,yp).
PEDRÃO
(xB − x A )2 + (yB − y A )2
PEDRÃO
A distância entre os pontos A(2,-1) e B(5,3) vale:
dAB =
dAB =
(5 − 2)2 + (3 + 1)2
Ponto médio
= 32 + 42 = 25 = 5
Obter o ponto médio do
segmento onde as
coordenadas dos pontos
são A(2,-3) e B(4,1).
x A + xB
2
y A + yB
yM =
2
xM =
PEDRÃO
xM =
x A + xB 2 + 4
=
=3
2
2
yM =
y A + yB − 3 + 1
= −1
=
2
2
M(3,-1)
PEDRÃO
Área de um polígono qualquer
1 xA
S= ⋅
2 yA
xB
xC
xD ... x A
yB
yC
yD ... y A
A área do polígono, cujos vértices consecutivos
são: A(10,4), B(9,7), C(6,10), D(-2,-4) e E(3,-5) em
unidades de área, é:
S=
Condição de alinhamento de três pontos
S ∆ABC = 0
→
xA
xB
xC
xA
yA
yB
yC
yA
=0
Dados os pontos A(x,x); B(3,1) e C(7,-3), calcule x
de modo que eles sejam colineares.
1 10 9 6 − 2 3 10
⋅
2 4 7 10 − 4 − 5 4
x
x
3 7 x
=0
1 −3 x
1
⋅ 70 + 90 − 24 + 10 + 12 − 36 − 42 + 20 + 12 + 50 =
2
1
S = ⋅ 162 = 81
2
x – 9 + 7x + 3x – 7– 3x = 0
8x = 16
x=2
PEDRÃO
PEDRÃO
S=
1
O volume do prisma reto de altura h = 2cm, cuja
base é o quadrilátero de vértices A(–1,–2), B(–2,3),
C(0,6) e D(5, 2), é:
Sb =
1 −1 − 2 0
⋅
2 −2 3 6
5 −1
2 −2
Sb =
1
57
⋅ − 3 − 12 − 10 − 4 − 30 + 2 =
2
2
V = Sb.H
V=
PEDRÃO
57
⋅ 2 = 57cm3
2
PEDRÃO
ESTUDO DA RETA
Equação geral da reta
xA
xB
x
xA
yA
yB
y
yA
=0
A.x + B.y + C = 0
Dado que uma das retas na figura tem equação
x = 4 e que a distância entre O e P é 5, a equação
da reta passando por OP é:
PEDRÃO
PEDRÃO
Equação segmentária da reta
Equação reduzida da reta
Isolando-se y, obtemos:
Onde: m
n
y = m.x + n
A soma do coeficiente angular com o coeficiente
linear da reta que passa pelos pontos A(1,5) e
B(4,14) é:
PEDRÃO
x y
+ =1
p q
coeficiente angular
coeficiente linear
A equação geral da reta representada abaixo é:
PEDRÃO
2
Equação paramétrica da reta
⎧x = f ( t )
→
⎨
⎩y = f ( t )
equação paramétric a
As equações paramétricas de uma reta r são:
⎧ x = 3 − 2t
⎨
⎩y = 1 + 4t
Então o coeficiente angular da reta r é:
PEDRÃO
Ponto pertencente a reta
As retas de equações ax + by + 1 = 0 e x + y + ab = 0,
com a e b reais, são concorrentes no ponto (–1;1). É
verdade que a2 + b2 é igual a:
PEDRÃO
PEDRÃO
Intersecção entre retas
⎧(r )x + y − 3 = 0
⎨
⎩(s)x + 2y − 4 = 0
PEDRÃO
Intersecção entre retas
Intersecção entre retas
⎧(r )x + y − 3 = 0
⎨
⎩(s)2x + 2y − 6 = 0
⎧(r )x + y − 3 = 0
⎨
⎩(s)x + y − 1 = 0
PEDRÃO
PEDRÃO
3
ESTUDO DO COEFICIENTE ANGULAR
Dada a equação da reta
Dado o ângulo
Dados dois pontos
y = mx + n
m = tgα
m=
Equação do feixe de retas
y – y0 = m.(x – x0)
Se uma reta forma com o semi-eixo positivo das
abscissas um ângulo de 60º e passa pelo ponto
P(
3 , 0) então sua equação pode ser:
yB − y A
xB − x A
PEDRÃO
PEDRÃO
Posições relativas entre duas retas
Paralelas
Perpendiculares
m1 = m2
m2 = −
A equação da reta que passa pelo ponto A(1, – 3)
e é perpendicular a reta x – y + 1 = 0 :
1
m1
A equação da reta que passa pelo ponto A(1, – 3)
e é paralela a reta x – y + 1 = 0 :
PEDRÃO
PEDRÃO
Distância de ponto a reta
Considere os pontos A(1, - 2); B(- 2, 4) e C(3, 3).
A altura do triângulo ABC pelo vértice C tem
equação:
dP,r =
PEDRÃO
Ax o + By o + C
A 2 + B2
PEDRÃO
4
CIRCUNFERÊNCIA
A distância entre o ponto P(2, 1) e a reta r de
equação r : 6x – 8y + 16 = 0, tem o valor de:
Equação reduzida da circunferência:
(x – xo)2 + (y – yo)2 = R2
PEDRÃO
PEDRÃO
Qual é a equação da circunferência de centro (3, –2),
que passa pela origem?
Equação geral ou canônica da circunferência
x2 + y2 – 2xox – 2yoy + xo2 + yo2 – R2 = 0
A equação geral que representa a circunferência
(x–3)2 + (y+2)2 = 13 , é:
PEDRÃO
PEDRÃO
Condições para que uma equação represente uma
circunferência
Equação do segundo grau completa:
Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0
Equação geral de uma circunferência:
x2 + y2 – 2xox – 2yoy + xo2 + yo2 – R2 = 0
A=B=1
e
Para que a equação x2 + y2 – 4x + 8y + k = 0
represente uma circunferência, devemos ter:
C=0
D ⎫
⎛ D E ⎞
− 2 ⎪⎪
,
⎟
⎬ C( x 0 , y 0 ) = C⎜
E ⎪
⎝ −2 −2⎠
E = −2y 0 → y 0 =
− 2 ⎪⎭
D = −2x 0 → x 0 =
F = xo2 + yo2 – R2
PEDRÃO
R = x 02 + y 02 − F
x 02 + y 02 − F > 0
PEDRÃO
5
A equação x2 + y2 – 4x + 6y – 3 = 0 é de uma
circunferência cuja soma do raio e das
coordenadas do centro é igual a:
A equação 2x2 + 2y2 −12x + 8y − 6 = 0 é de
uma circunferência de centro e raio:
PEDRÃO
PEDRÃO
PEDRÃO
PEDRÃO
PEDRÃO
PEDRÃO
6
PEDRÃO
PEDRÃO
PEDRÃO
PEDRÃO
7