Apoio pedagógico

Matemática
Professor
Caderno de Atividades
Pedagógicas de
Aprendizagem
Autorregulada – 04
9° Ano | 4° Bimestre
Disciplina
Curso
Bimestre
Ano
Matemática
Ensino Fundamental
4°
9º
Habilidades Associadas
1. Associar informações apresentadas em listas e/ ou tabelas simples aos gráficos que as
representam e vice-versa
2. Resolver problemas envolvendo informações apresentadas em tabelas e/ou gráfico
3. Calcular o perímetro de uma circunferência e a área de um circulo
4. Reconhecer polígonos regulares e suas propriedades
5. Calcular os ângulos internos e externos de um polígono regular
6. Resolver problemas que envolvam áreas de figuras planas
Apresentação
A Secretaria de Estado de Educação elaborou o presente material com o intuito de estimular o
envolvimento do estudante com situações concretas e contextualizadas de pesquisa, aprendizagem
colaborativa e construções coletivas entre os próprios estudantes e respectivos tutores – docentes
preparados para incentivar o desenvolvimento da autonomia do alunado.
A proposta de desenvolver atividades pedagógicas de aprendizagem autorregulada é mais uma
estratégia pedagógica para se contribuir para a formação de cidadãos do século XXI capazes de explorar
suas competências cognitivas e não cognitivas. Assim, estimula-se a busca do conhecimento de forma
autônoma, por meio dos diversos recursos bibliográficos e tecnológicos, de modo a encontrar soluções
para desafios da contemporaneidade, na vida pessoal e profissional.
Estas atividades pedagógicas autorreguladas propiciam aos alunos o desenvolvimento das
habilidades e competências nucleares previstas no currículo mínimo, por meio de atividades
roteirizadas. Nesse contexto, o tutor será visto enquanto um mediador, um auxiliar. A aprendizagem é
efetivada na medida em que cada aluno autorregula sua aprendizagem.
Destarte, as atividades pedagógicas pautadas no princípio da autorregulação objetivam,
também, equipar os alunos, ajudá-los a desenvolver o seu conjunto de ferramentas mentais, ajudando-o
a tomar consciência dos processos e procedimentos de aprendizagem que ele pode colocar em prática.
Ao desenvolver as suas capacidades de auto-observação e autoanálise, ele passa a ter maior
domínio daquilo que faz. Desse modo, partindo do que o aluno já domina, será possível contribuir para
o desenvolvimento de suas potencialidades originais e, assim, dominar plenamente todas as
ferramentas da autorregulação.
Por meio desse processo de aprendizagem pautada no princípio da autorregulação, contribui-se
para o desenvolvimento de habilidades e competências fundamentais para o aprender-a-aprender, o
aprender-a-conhecer, o aprender-a-fazer, o aprender-a-conviver e o aprender-a-ser.
A elaboração destas atividades foi conduzida pela Diretoria de Articulação Curricular, da
Superintendência Pedagógica desta SEEDUC, em conjunto com uma equipe de professores da rede
estadual. Este documento encontra-se disponível em nosso site www.conexaoprofessor.rj.gov.br, a fim
de que os professores de nossa rede também possam utilizá-lo como contribuição e complementação às
suas aulas.
Estamos à disposição através do e-mail [email protected] para quaisquer
esclarecimentos necessários e críticas construtivas que contribuam com a elaboração deste material.
Secretaria de Estado de Educação
2
Caro Tutor,
Neste caderno, você encontrará atividades diretamente relacionadas a algumas
habilidades e competências do 4° Bimestre do Currículo Mínimo de Matemática da 9ª
Ano do Ensino Fundamental. Estas atividades correspondem aos estudos durante o
período de um mês.
A nossa proposta é que você atue como tutor na realização destas atividades
com a turma, estimulando a autonomia dos alunos nessa empreitada, mediando as
trocas de conhecimentos, reflexões, dúvidas e questionamentos que venham a surgir no
percurso. Esta é uma ótima oportunidade para você estimular o desenvolvimento da
disciplina e independência indispensáveis ao sucesso na vida pessoal e profissional de
nossos alunos no mundo do conhecimento do século XXI.
Neste Caderno de atividades, iremos estudar um pouco sobre sequências
aritméticas e geométricas, somatório das séries, prismas, cilindros áreas e volumes de
prismas e cilindros.
Para os assuntos abordados em cada bimestre, vamos apresentar algumas
relações diretas com todos os materiais que estão disponibilizados em nosso portal
eletrônico Conexão Professor, fornecendo diversos recursos de apoio pedagógico para o
Professor Tutor.
Este documento apresenta 06 (seis) Aulas. As aulas podem ser compostas por
uma explicação base, para que você seja capaz de compreender as principais ideias
relacionadas às habilidades e competências principais do bimestre em questão, e
atividades respectivas. Estimule os alunos a ler o texto e, em seguida, resolver as
Atividades propostas. As Atividades são referentes a dois tempos de aulas. Para reforçar
a aprendizagem, propõem-se, ainda, uma pesquisa e uma avaliação sobre o assunto.
Um abraço e bom trabalho!
Equipe de Elaboração
.
3
Sumário
Introdução ...................................................................................................
02
Objetivos Gerais ............................................................................................. 05
Materiais de Apoio Pedagógico .....................................................................
05
Orientação Didático-Pedagógica ...................................................................
06
Aula 01: Informações em tabelas e/ou gráficos............................................... 08
Aula 02: Associação de informações em gráficos e tabela............................
12
Aula 03: Perímetro de uma circunferência e área do círculo.......................... 18
Aula 04: Polígonos regulares e suas propriedades.......................................... 23
Aula 05: Ângulos internos e externos de um polígono regular......................
27
Aula 06: Problemas com área de figuras planas.............................................
32
Avaliação.........................................................................................................
37
Avaliação Comentada.....................................................................................
37
Pesquisa ..........................................................................................................
41
Referências:.....................................................................................................
42
4
Objetivos Gerais
No 9º Ano do Ensino Fundamental, no 4º bimestre, dá-se ênfase ao estudo de
gráficos e interpretação de gráficos, área e perímetro da circunferência, estudo dos
polígonos, Encerramos essa seção com atividades sobre ângulos internos e externos .
Materiais de Apoio Pedagógico
No portal eletrônico Conexão Professor, é possível encontrar alguns materiais que
podem auxiliá-los. Vamos listar estes materiais a seguir:
Teleaula 44
Habilidade Relacionada: - reconhecer e diferenciar
círculo e circunferência, identificando seus elementos.
Descrição: Nesta aula você verá que a divisão do
comprimento de qualquer circunferência pelo seu
diâmetro tem sempre o mesmo resultado: mais ou
menos 3,14. Esse número é chamado de Pi.
Endereço eletrônico:
http://www.youtube.com/watch?v=hwDr7rclJJc
Teleaulas
Tele aula 56
Habilidade Relacionada: - Calcular o perímetro de uma
circunferência e a área de um círculo.
Descrição: Nesta aula você descobrirá qual é a expressão
matemática para o cálculo da área do círculo - na qual
“r” é o comprimento do raio e Pi é um número irracional.
Além disso, aprenderá o que é setor circular e o que é
ângulo central.
Endereço eletrônico:
http://www.youtube.com/watch?v=bAiiSZOxPAU
5
Recursos Digitais: - Resolver problema envolvendo
informações apresentadas em tabelas e/ou gráficos
SUGESTÕES ON LINE: Aula do Portal do Professor sobre
resolução de problema envolvendo informações
apresentadas em tabelas e/ou gráficos
Endereço eletrônico:
http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.ht
ml?aula=35581
Orientações Pedagógicas
do CM
Recursos Digitais: - Associar informações apresentadas
em listas e/ou tabelas simples aos gráficos que as
representam e vice versa.
SUGESTÕES ON LINE: Aula do Portal do Professor para
orientar o aluno a organizar dados e traçar um gráfico de
barras Efetuar cálculos envolvendo as operações com
matrizes.
Endereço eletrônico:
http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnica.html?i
d=35793
Recursos Digitais: - Reconhecer polígonos regulares e
suas propriedades Resolver problemas envolvendo o
cálculo de área lateral e área total de pirâmides e cones.
SUGESTÕES ON LINE: Aula do Portal do Professor para
orientar o aluno a utilizar a fórmula do comprimento de
uma circunferência para resolução de problemas.
Endereço eletrônico:
http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnica.html?i
d=20607
Orientação Didático-Pedagógica
Para que os alunos realizem as atividades referentes a cada dia de aula,
sugerimos os seguintes procedimentos para cada uma das atividades propostas no
Caderno do Aluno:
1° - Explique aos alunos que o material foi elaborado para que o aluno possa
compreendê-lo sem o auxílio de um professor.
2° - Leia para a turma a Carta aos Alunos, contida na página 3.
6
3° - Reproduza as atividades para que os alunos possam realizá-las de forma
individual ou em dupla.
4° - Se houver possibilidade de exibir vídeos ou páginas eletrônicas sugeridas na
seção Materiais de Apoio Pedagógico, faça-o.
5° - Peça que os alunos leiam o material e tentem compreender os conceitos
abordados no texto base.
6° - Após a leitura do material, os alunos devem resolver as questões propostas
nas Atividades.
7° - As respostas apresentadas pelos alunos devem ser comentadas e debatidas
com toda a turma. O gabarito pode ser exposto em algum quadro ou mural da sala
para que os alunos possam verificar se acertaram as questões propostas na Atividade.
Todas as aulas listadas a abaixo devem seguir esses passos para sua
implementação.
7
Aula 1: Informações apresentadas em tabelas e/ou gráficos
Caro aluno, você já parou para pensar o quanto de informações temos em
nosso dia a dia? Muitas das vezes a quantidade de informações é tanta, que se torna
impossível descrever todos os detalhes devido ao grande número de informações. Para
resumi-las, em certos casos, a melhor maneira de expressar algumas informações são
através de gráficos ou tabelas. Esta alternativa apresenta uma forma melhor de
visualização e compreensão das informações.
São casos como esse que iremos estudar nessa aula, vamos lá ?
1.1 INFORMAÇÕES APRESENTADAS EM TABELAS E GRÁFICOS:
Como já falado anteriormente, os gráficos e tabelas nos fornecem uma grande
quantidade de informações, quando analisados corretamente.
EXEMPLO 01:
O gráfico abaixo mostra a emissão de gás CO2 no ano 2000, por parte dos países que
participam do protocolo de Kyoto.
EUA
1.518.320
China
País
734.045
Brasil
401.574
Rússia
389.774
Japão
323.215
0
500.000
1.000.000
1.500.000
2.000.000
Quantidade (em toneladas)
Fonte: Revista Época 23/02/2005
Qual é a diferença entre o maior e o menor emissor de CO2 da tabela acima ?
Resolução:
Analisando o gráfico, podemos observar que o maior emissor de CO2 são os
Estados Unidos com 1.518.320 toneladas e o menor emissor é o Japão com 323.215
8
toneladas. Para calcular a diferença entre ambos, basta lembrarmos que “diferença” é
o resultado da subtração de dois números.
números Sendo assim, temos:
1.528.320 – 323. 215 = 1.496.005
EXEMPLO 02:
O gráfico abaixo, mostra a quantidade de pessoas que fizeram visitação a um ponto
turístico de uma cidade em uma semana.
Quantidade de pessoas
Quantidade de pessoas que fizeram visitação a um
ponto turístico
1000
900
800
700
600
500
400
300
200
100
0
890
756
500
445
2ª feira
3ª feira
480
4ª feira
5ª feira
6ª feira
Dia da semana
Quantas pessoas estiveram nos três últimos dias de visitação?
Resolução:
Para saber quantas pessoas estiveram presentes no ultimo dia de visitação, ou
seja, na 4ª, 5ª e 6ª feira basta somar o quantitativo em cada um dos dias. Desse modo,
observando o gráfico temos que:
4° feira: 756 pessoas
5° feira: 480 pessoas
6° feira: 890 pessoas
Logo, a soma do quantitativo de pessoas nos 3 dias são:
756 + 480 + 890 = 2126 pessoas.
Viu como é fácil extrairmos
de um gráfico dados
relevantes? Vamos
exercitar, um pouco agora ?
9
Atividades Comentadas 01
01. O gráfico a seguir indica a altura máxima aproximada de alguns prédios situado
na cidade do Rio de Janeiro.
Altura de alguns prédios cariocas
altura (m)
60
50
40
30
20
10
0
A
B
C
D
E
F
G
Prédios
Sabendo que o prédio que fica na zona sul do Rio de Janeiro é cinco vezes
maior que o prédio que fica na zona norte do Rio de Janeiro, indique quais letras
representam esses dois prédios.
Resolução:
Ao observarmos a letra E temos que a sua altura é de 50 metros, e ao
observamos a letra D, temos que a sua altura é de 10 metros, sendo assim a letra E e
cinco vezes maior que a letra D, sendo assim temos o prédio da zona sul letra E e o
prédio da zona norte o prédio D.
10
02. (UFSCAR2001- Adaptado)
daptado) Num curso de iniciação à informática, a distribuição das
idades dos alunos, segundo o sexo, é dada pelo gráfico seguinte.
De acordo com o gráfico acima, quantos meninos tem mais de 15 anos ?
Resolução:
Idade maior que 15 anos, consideramos então as
as idades de 16, 17 e 18 anos,
sendo assim temos: 1+3+3 = 7 alunos
03. O Gráfico abaixo nos relata a intenção de votos de dois candidato:
De acordo com as informações apresentadas no gráfico acima, indique a menor a
maior intenção de voto alcançada por cada candidato.
Resolução:
O candidato A obteve a menor intenção de votos quando obteve 8% e a maior
intenção quando obteve 15%.
15% O candidato
ato B obteve a menor intenção de votos quando
obteve 6% e a maior intenção quando obteve 22%
11
04. (UFRN2003- Adaptada) O gráfico abaixo representa a taxa de desemprego na
grande São Paulo, medida nos meses de abril entre os anos de 1985 e 2002, segundo o
Dieese:
Em qual ano foi apresentada no mês de abril a menor taxa de desemprego ?
Resolução:
O ano em que houve o menor índice de desemprego foi no ano de 1987, com
8,9%.
12
Aula 2: Associação de informações em gráficos e tabela
Caro aluno, nessa aula iremos estudar como podemos extrair de um gráfico ou
tabela informaçãoes úteis, facilitando assim a nossa compreensão. Para analisar o
gráfico da melhor forma, é preciso compreender como os dados apresentados estão
associados. Nesta aula, vamos estudar esse conteúdo mais detalhadamente!
2.1 ─ INFORMAÇÕES APRESENTADA EM TABELAS E GRÁFICOS:
Um simples gráfico ou tabela representa um auxílio necessário para responder
a questionamentos propostos, sejam eles quais forem, com uma maior clareza e
facilidade na compreenção dos dados. A representação gráfica faz com
que as
informações possam ser expressas de maneira mais objetivas e ordenadas.
EXEMPLO 01:
(FGV2005- Adaptada) O gráfico abaixo representa o crescimento da telefonia celular
entre os anos de 1998 e 2004.
CRESCIMENTO DO MERCADO EM TELEFONIA CELULAR
60
50
55
40
46
30
35
29
20
Total de usuário em
milhões
22
10
0
15
7,5
1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004
Fonte: adaptado do jornal "O Estado de São Paulo" de 30 de agosto de 2004
Em qual período houve o menor crescimento no mercado de telefonia celular ?
13
Resolução:
Observe que entre o ano de 1999 e o ano 2000, houve uma aumento de 7
milhões de usuários, enquanto o segundo maior aumento foi de 7,5 milhões entre os
anos de 1998 e 1999, sendo assim o maior aumento foi entre os anos de 1999 e 2000.
2000
EXEMPLO 02:
O gráfico abaixo nos relata como estava a divisão do crescimento de telefonia celular
entre os anos de 1998 e 2004.
Fonte:: adaptado do jornal "O Estado de São Paulo" de 30 de agosto de 2004
Diante dos dados apresentados, qual é o maior mercado por plano de telefonia móvel
e a maior parcela em tecnologia?
Resolução:
Analisando o primeiro gráfico, podemos perceber que o plano pré-pago
pré
é o
maior e com relação à tecnologia a maior é a TDMA.
Viu como é fácil usarmos os
dados de um gráfico para
solucionarmos um problema?
Agora vamos tentar fazer
algumas
lgumas atividades?
atividades
14
Atividades Comentadas 2
01. O campeonato Brasileiro de futebol a partir do ano de 2003 passou a ser
disputado na forma de pontos corridos, a tabela abaixo mostra a relação de gols que
tiveram os artilheiros do campeonato desde 2003 até o ano de 2012.
ARTILHARIA DO CAMPEONATO BRASILEIRO NA ERA DOS
PONTOS CORRIDOS
Quantidade de gols
40
35
30
25
20
15
10
5
0
2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012
Fonte: www.cbf.com.br, acessado em 16 out.2013
Em qual ano o artilheiro do campeonato teve mais gols e menos gols?
gols
Resolução:
O ano em que a artilharia teve mais gols foi no ano de 2004 e a menos
quantidade foi o ano de 2007.
2007
02. Nos últimos anos a taxa de natalidade (nascimento) tem diminuído drasticamente,
o gráfico abaixo mostra uma pesquisa feita belo IBGE no ano de 2002:
Fonte:: Censo Demográfico 2000, Fecundidade e Mortalidade Infantil Resultados Preliminares da
Amostra . IBGE, 2002
15
Em qual ano houve a maior taxa de natalidade ?
Resolução:
O ano foi de 1960.
03. A mortalidade infantil ainda é um problema que assola não só o Brasil, o nosso
continente, como em outros continentes também, o gráfico abaixo nos dá uma visão
mais ampla desse fato.
Diante do gráfico apresentado, em qual posição se encontra o Brasil em relação a taxa
de mortalidade infantil ?
Resolução:
O Brasil encontra-se na 3ª posição
04. O gráfico abaixo mostra o desempenho de dois alunos durante 4 bimestres.
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Aluno B
Aluno A
1º
2º
3º
4º
Bimestre Bimestre Bimestre Bimestre
Qual aluno teve, durante um período, nota constante ?
Resolução:
16
O aluno que manteve-se com a nota constante foi o aluno B , entre o 1º e 2º
bimestre
17
Aula 3: Perímetro de uma circunferência e área de um círculo
Caros alunos, antes de começarmos essa aula, precisamos, antes de mais nada,
diferenciar círculo e cincunferência, pois, somente desse modo, poderemos iniciar este
estudo. Você irá observar que os conceitos ficarão mais claros após esta explicação.
Então, vamos lá !
1 ─ DIFERENÇA ENTRE CÍRCULO E CIRCUNFERÊNCIA:
A principal característica de uma circunferência é que os pontos estão
localizados a uma mesma distância do centro, chamada raio da circunfêrencia.
Observe a figura abaixo:
Já um círculo é a reunião da cincunferência com o conjunto de pontos
lozalizados dentro da mesma, ou seja são pontos internos a uma circunferência.
3.2 ─ CÁLCULO DO PERÍMETRO DA CIRCUNFERÊNCIA:
18
Agora que já conhecemos uma circunferência, é facil perceber que para calcular
o perímetro basta medir o seu contorno. De modo geral, calcular o perímetro de uma
figura consiste em somar os lados dessa figura. Como a circunferência não possui
lados, ou seja, calcularr o seu volume é diferente de uma figura geometria como por
exemplo um quadrado, um triângulo ou um retângulo. Na cincunferência, calcular o
perímetro equivale a calcular o comprimento do seu contorno. Observe:
A letra grega , equivale
aproximadamente 3,14 e é
obtida através da divisão entre o
comprimento e o diâmetro da
circunferência
circunferência.
Vejamos alguns exemplos:
EXEMPLO 01:
Uma circunferência tem 10 cm de diâmetro, qual o seu comprimento?
Resolução:
Observe que se a circunferência tem diâmetro igual a 10cm, teremos que o raio
equivale a r= 5 cm. Como o cálculo do comprimento é dado pela fórmula
,
teremos que:
31,40 cm
O comprimento da circunferência será dado por 31,40cm.
19
EXEMPLO 02:
Uma circunferência tem
28 de comprimento, qual é o diâmetro dessa
circunferência ?
Resolução:
Sabemos que o cálculo da circunferência é dado pela fórmula 2, temos
então:
2 = 28
2 = 28
28
2
14
Como o diâmetro é igual a duas vezes o raio, ou seja, 2, temos:
2 · 14 28 3.3 ─ A ÁREA DE UM CÍRCULO:
O cálculo da área de um círculo é determinado por uma fórmula na qual se é
obtido um valor numérico para a região interna de uma circunferência .
O cálculo da área será calculado através da formula: A πr EXEMPLO 03:
Uma circunferência tem 10 cm de raio, qual é a sua área ?
Resolução:
20
Este cálculo é bem simples!! Basta substituir o valor do raio na fórmula
apresentada. Então, sabendo que o raio é 10 cm de raio, teremos :
. 10
. 10 . 10
100
EXEMPLO 04:
Um circulo tem 225 de área, qual é o seu raio ?
Resolução:
Sabendo que a área é calculada por , temos :
225
225
225
√225
5 ,
Logo o raio do círculo será 5 cm.
Atividades Comentadas 3
01. Diferencie círculo de circunferência.
Resolução:
Circunferência: Os pontos estão localizados a uma mesma distância do centro
Círculo : é a reunião da cincunferência com o conjunto de pontos lozalizados dentro
da mesma.
21
02. Uma circunferência tem 6 cm de raio, qual é o seu comprimento ?
Resolução:
O cálculo do comprimento de uma circunferência 2, sendo assim temos :
2
26
12
03. Um círculo tem 16 cm de raio qual é a sua área ?
Resolução:
O cálculo da área de uma circunferência é dado por , sendo assim
temos:
16
256
04. Um círculo tem 400 de área, qual é o diâmetro desse círculo ?
Resolução:
400
400
400
√400
20 22
Aula 4: Polígonos regulares e suas propriedades
Caro aluno, nesta aula vamos estudar sobre os polígonos regulares e suas
propriedades, mas antes vamos relembrar o que é um polígono e quais são seus
elementos. Esta aula é muito importante para a continuidade de nossos estudos no
campo geométrico. Preste bastante atenção!
Vamos à aula!
4.1 – POLÍGONO:
Como já foi dito, o objeto de estudo desta aula é o polígono regular. No
entanto, precisamos relembrar o que é um polígono. Você se lembra?
Um polígono é uma figura geométrica fomada por no mínimo três segmentos
s
de reta que se unem, dois à dois, por suas extremidades. Veja alguns exemplos abaixo:
Todos os polígonos acima são convexos. Ou seja, se você
traçar a reta suporte de qualquer um dos lados do polígono,
ela não interceptará o polígono!
4.2 – ELEMENTOS DE UM POLÍGONO:
Os principais elementos de um polígono convexo são os vértices, lados, ângulos
internos, ângulos externos e as diagonais.
23
Considerando um polígono convexo baseado em um exemplo de polígono
convexo, vamos destacar seus elementos:
Vértices: A, B, C e D.
Lados: AB, BC, CD e DA.
B.
C, BCD, CD
E e DA
Ângulos intenos: AB
Ângulos externos: ̂! , ̂" , ̂# e ̂$ .
e BD
.
Diagonais: AC
4.3 – POLIGONO REGULAR:
Um polígono é dito regular quando todos os seus lados e ângulos são
congruentes, ou seja, um polígono regular é equilátero e equiângulo.
Apenas dois tipos de polígonos regulares tem uma nomenclatura especial, são
os triângulos e os quadriláteros. O triângulo regular é chamado de triângulo equilátero
e o quadriláteros regular é chamado de quadrado. Os outros polígonos tem apenas a
palavra “regular” acrescida a seu nome: pentágono regular, hexágono regular,
heptágono regular...
4.4 – PROPRIEDADES DE UM POLÍGONO REGULAR:
Propriedade 1: Seus lados são congruentes.
Propriedade 2: Seus ângulos internos são congruentes.
Propriedade 3: Seus ângulos externos são congruentes.
Propriedade 4: Suas diagonais são congruentes.
24
Chegou o momento de testar seus conhecimentos, vamos às atividades. Caso
tenha alguma dúvida, volte aos tópicos da aula.
Bom estudo!
Atividades Comentadas 4
01. De acordo com o polígono abaixo, ligue as colunas corretamente:
Diagonal
%
% YZW
Lado
%
% W
Vértice
%
% WX
Ângulo interno
%
% XZ
Ângulo externo
%
% ̂*
Resolução:
, Vértice: W, Ãngulo interno: .,/- e Ângulo externo: ̂* .
Diagonal: +,, Lado: -+
02. Dos polígonos abaixo, marque os que visualmente são regulares:
(
)
( x )
( x )
(
)
25
03. Classifique as afirmações abaixo em verdadeiras (V) ou falsas (F). Justifique a sua
resposta:
a)( V ) Um polígono regular de quatro lados é chamado de quadrado.
Justificativa:
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
b) (V ) Um polígono de cinco lados possui cinco ângulos externos.
Justificativa:
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
c) ( F ) A quantidade de ângulos internos de um polígono é diferente da quantidade de
ângulos externos do mesmo polígono.
Justificativa:
Possuem a mesma quantidade
d) ( F ) As diagonais de um polígono regular tem medidas distintas.
Justificativa:
As diagonais de um quadrado tem medidas iguais.
04. Nos polígonos convexos todos os ângulos internos são menores do que 180°.
Esta afirmação está correta? Justifique sua resposta.
Resolução:
Sim. Note que se um ângulo interno for maior que 180° o polígono não será
convexo. E se o ângulo for igual a 180°, os dois segmentos que o formar são um só lado.
26
Aula 5: Ângulos internos e externos de um polígono regular
Caro aluno, nesta aula vamos continuar estudando sobre os polígonos. Mas
agora vamos focar em outros elementos dos polígonos, dentre eles: os ângulos
internos, ângulos externos e nas diagonais.
Vamos em frente!
5.1 – NÚMERO DE DIAGONAIS DE UM POLÍGONO CONVEXO:
Note que em um polígono de 0 lados, as diagonais que partem de um
determinado vértice ligam tal vértice a outros 10 2 3 4 vértices. Perceba que as
diagonais não ligam o tal vértice aos vértices adjacentes a ele e nem a ele próprio.
Como o polígono tem 0 vértices, o número de diagonais pode ser calculado
multiplicando a quantidade de vértices pela quantidade de diagonais que partem de
cada vértice. Mas perceba que ao fazer este produto contamos cada diagonal duas
vezes.
Assim o número de diagonais de um polígono convexo de 0 lados é dado por:
5
010 2 34
2
EXEMPLO 01:
O número 5 de diagonais de um octógono é?
Resolução:
Um octógono é um polígono de 8 lados,
ou seja, n= 8. Temos então que:
5
010 2 34 818 2 34 8 . 5 40
20
2
2
2
2
Figura 1
27
5.2 – SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS DE UM POLÍGONO CONVEXO:
Quando traçamos as 10 2 34 diagonais que partem de um determinado vértice
de um polígono convexo de 0 lados, o dividimos em 0 2 2 triângulos, observe a figura
a seguir.
Nós já sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°.
Assim, a soma dos ângulos internos de um polígono convexo de 0 lados é dada por:
67 10 2 24. 180°
EXEMPLO 02:
Qual a soma dos ângulos internos de um heptágono?
Resolução:
Um heptágono é uma polígono de 7 lados, logo n = 7. Substituindo o valor de n
na fórmula, teremos que:
67 10 2 24. 180°
67 17 2 24. 180°
67 5 . 180°
67 900°
5.3 – SOMA DOS ÂNGULOS EXTERNOS DE UM POLÍGONO CONVEXO:
Note que em um polígono convexo um ângulo
interno e seu ângulo externo correspondente formam um
ângulo de 180°.
28
Considere
o ângulo interno e
o valor do ângulo externo do vértice A1.
Então, teremos que com relação ao vértice A1. temos
. Agora, imagine que
o polígono possui n vértices. É fácil perceber que se o polígono tem
vértices
podemos dizer que:
Você notou que a soma dos ângulos externos
de um polígono de lados não depende do
valor de ?
Isso mesmo, esta soma é sempre 360°.
5.4 – ÂNGULO INTERNO DE UM POLÍGONO REGULAR:
Já aprendemos que em um polígono regular os ângulos internos possuem todos
a mesma medida. E aprendemos também que a soma dos ângulos internos de um
polígono convexo de n lados é dada por
. Então, para
par calcular o
valor da medida do ângulo interno em um polígono regular basta aplicar a seguinte
fórmula:
EXEMPLO 03:
O valor do ângulo interno de um eneágono regular é:
29
Resolução:
7 10 2 24. 180° 19 2 24. 180° 7 . 180° 1260°
140°
0
9
9
9
5.5 – ÂNGULO EXTERNO DE UM POLÍGONO REGULAR:
Agora que você já aprendeu que um polígono regular possui todos os ângulos
externos com a mesma medida e que a soma dos ângulos externos de um polígono
convexo de n lados é dada sempre por 6: 360°, vamos aprender quanto mede cada
um dos ângulos externos do polígono.
Para calcular o valor da medida do ângulo interno em um polígono regular
basta aplicar a seguinte fórmula:
: 360°
0
EXEMPLO 04:
O valor do ângulo externo de um decágono regular é:
Resolução:
Sabemos que um decágono possui 10 lados, logo:
: 360° 360°
36°
0
10
Agora chegou a hora de testar o que você aprendeu! Tente fazer as atividades e
caso encontre dificuldades, relembre a teoria e os exemplos!
Bom estudo!
Atividades Comentadas 5
01. Calcule o número de diagonais de um polígono convexo de 13 lados.
30
Resolução:
5
010 2 34 13113 2 34 13 . 10 130
65
2
2
2
2
02. Calcule o valor da soma dos ângulos internos de um polígono convexo de 11 lados.
Resolução:
67 10 2 24. 180° 111 2 24. 180° 9 . 180° 1620°
03. Calcule o valor da soma dos ângulos externos de um polígono convexo de 130
lados.
Resolução:
Basta notar que independente da quantidade de lados, 6: 360°.
04. Calcule o valor do ângulo interno e do ângulo externo que um polígono de 20
lados.
Resolução:
A< 1n 2 24. 180° 120 2 24. 180° 18 . 180° 3240°
162°
n
20
20
20
Para calcular o ângulo externo, basta lembrar que ele é suplementar do interno
ou simplesmente aplicar a fórmula, assim, Ae = 18°.
31
Aula 6: Problemas com área de figuras planas
Caro aluno, nesta aula iremos estudar sobre problemas envolvendo áreas de
figuras planas. É preciso que você lembre das fórmulas de área das principais figuras
geométricas, principalmente, triângulos e quadriláteros.
Então vamos lá!
6.1 – PROBLEMAS COM ÁREAS DE FIGURAS PLANAS:
PROBLEMA 01:
Se o terreno de Ana é retangular, onde o comprimento é o dobro da largura e sua área
é de 162m². Vamos calcular suas dimensões?
Resolução:
Você se lembra como calculamos a área do retângulo? Isso mesmo! A área do
retângulo é calculada através do produto do comprimento pela largura. Chamando a
medida da largura de x, podemos dizer que o comprimento é 2x. Como a área do
terreno é de 162m², podemos dizer que:
A = comprimento x largura
A = >. 2>
>. 2> 162
2>² 162
>² 162
2
>² 81
> √81
>9
Desta forma, a largura do terreno de Ana é de 9m e seu comprimento é o dobro,
18m.
32
PROBLEMA 02:
Uma praça de uma cidade tem formato triângular equilátero. Deseja-se transformar
esta praça em um grande jardim, sendo que cada metro quadrado deste jardim
custará R$ 130,00. Qual será o custo da obra de cada lateral da praça mede 40m.
Resolução:
Vale lembrar que um triângulo equilatero possui todos os lados iguais e sua
area é dada por: ?²√@
A
. Vamos utilizar esta fórmula para calcular a área da praça.
Nesta questão será necessário fazer uma aproximação da √3 para 1,7.
Vamos aos cálculos:
B²√3 40²√3 1600√3
400√3 400 . 1,7 680²
4
4
4
Agora, basta multiplicar a área encontrada pelo custo do metro quadrado.
Então o cuto total do jardim é de 680 . 130 = R$ 88400,00.
PROBLEMA 03:
Um fabricante de Pipas estabelece o valor de suas Pipas de acordo com o seguinte
critério: R$ 0,10 por cada centímetro quadrado gasto de papel desconsiderando o
descarte de papel.
Qual será o preço de um pipa com forma de um losango com diagonais
medindo 20cm e 15cm?
Resolução:
Primeiramente, precisamos calcular a área da Pipa. Como se trata de um
losango, temos:
20 . 15 300
150²
2
3
33
Agora é só multiplicar a área encontrada pelo custo do centímetro quadrado.
Então a Pipa custa 150 . 0,10 = R$ 1,50.
PROBLEMA 04:
Um chafaris circular de raio 5m está dentro de um
gramado quadrado com lado medindo 15m. Qual é o
tamanho da área gramada?
Resolução:
Vamos calcular a área ocupada pelo chafariz e
Figura 2
subtrai-la da área do quadrado, então sobrará a área gramada.
Para isso, vamos utilizar 3,14 como aproximação para .
# ² . 5² . 25 3,14 . 25 78,5²
Logo, a área do Chafaris mede 78,5².
Agora, devemos calcular a área do quadrado:
D B² 15² 225²
Observe a figura abaixo, note que para calcular a área gramada, basta calcular
a área do quadrado menos a área do círculo.
Portanto, a área gramada é dada por 225 – 78,5 = 146,5m².
Agora chegou o momento de testarmos se você entendeu tudo com clareza,
faça as atividades e em caso de dúvidas volte aos tópicos da aula!
Bom estudo!
34
Atividades Comentadas 6
01. Lucas pediu a seu pai para trocar o piso de seu quarto. Seu pai notou que gastaria
R$ 85,00 por metro quadrado para fazer esta obra. Desta forma, quanto gastaria o pai
de Lucas de seu quarto é quadrado com dimensão de 3m?
Resolução:
Primeiro vamos calcular a área do quarto de Lucas. Já que se trata de um
quadrado, sua área é dada por l² = 3² = 9m². Agora, basta multiplicar o valor
encontrado pelo custo do metro quadrado, 9 . 85 = 765. Portanto a obra custaria R$
765,00.
02. Uma dona de casa separou um canteiro com a forma de triângulo retângulo em
seu quintal para plantar orquídeas. Em cada metro quadrado deste canteiro é possível
plantar 10 orquídeas. Quantas orquídeas ela irá plantar se as laterais que formam o
ângulo reto deste canteiro medem 4m e 1,5m?
Resolução:
Primeiro vamos calcular a área do canteiro, aplicando a fórmula temos A = (4 .
1,5)/2 = 6/2 = 3m². Então esta dona de casa poderá plantar 3 . 10 = 30 orquídeas.
03. Para fazer um mosaico em um estádio de futebol uma torcida dispunha de 20 mil
cartazes retangulares com dimensões de 40cm por 70cm. Qual será a área deste
mosaico? Dê a reposta em metros quadrados!
Resolução:
Podemos passar as dimensões dos cartazes para metro inicialmente, assim os
cartazes medem 0,4m por 0,7m. Agora vamos calcular a área de cada cartaz, 0,4 . 0,7 =
0,28m². Para chegar ao resultado esperado basta multiplicar a área de cada cartaz
pelo número de cartazes, logo: 0,28 . 20000 = 5600m².
35
Note que o estudante pode calcular a área primeiro e depois passa para metros,
fazendo assim ele entraria uma área de 56000000cm² que passando para m² é
5600m².
04. Uma pizza redonda de raio 30cm será dividida em dois sabores um doce e um
salgado. Para rechear uma pizza doce é necessário um grama de queijo por metro
quadrado e para rechear uma pizza salgado são necessários dois gramas de queijo por
metro quadrado. Sabendo disso, quantos gramas de queijo será gasto na pizza?
(DICA: Utilize 3,1 para a aproximação de )
Resolução:
Primeiro vamos calcular a área da nossa pizza. A = . ²= .30² = 900 = 900 .
3,1 = 2790 cm². Agora, vamos dividir esta área por dois, o que nos dá 1395cm² de área
para cada sabor.
Assim, a quantidade de queijo para a parte doce é 1395 . 1 = 1395g e para a
parte salgada é 1395 . 2 = 2790g. Ou seja o total de queijo pesa 1395 + 2790 = 4185
gramas.
36
Avaliação
Caro Professor Aplicador, sugerimos duas diferentes formas de avaliar as turmas
que estão utilizando este material: uma avaliação e uma pesquisa.
Nas disciplinas que não participam da Avaliação do Saerjinho podem utilizar a
participação dos alunos durante a leitura e execução das atividades do caderno como
uma das três notas. Neste caso teríamos:
Participação: 2 pontos
Avaliação: 5 pontos
Pesquisa: 3 pontos
A seguir apresentaremos as avaliações propostas neste caderno para este
bimestre. Abaixo você encontrará o grupo de questões que servirão para a avaliação
dos alunos. As mesmas questões estão disponíveis para os alunos no Caderno de
Atividades Pedagógicas de Aprendizagem Autorregulada – 04.
Segue o gabarito das questões da avaliação proposta no caderno de atividades.
Avaliação Comentada
01. O gráfico abaixo, mostra o desempenho de um aluno durante o ano letivo.
Entre quais períodos a sua nota manteve-se constante ?
(A) 1º Bim. e 2º Bim.
(B) 2º Bim. e 3º Bim.
(C) 3º Bim. e 4º Bim.
(D) 1º Bim. e 4º Bim.
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Aluno B
1º
2º
3º
4º
Bimestre Bimestre Bimestre Bimestre
37
Resolução:
Ao observamos vemos que há uma constante entre o 1º e 2º Bimestre.
02. Uma circunferência tem 25 cm de raio, qual é o seu comprimento?
(A) FGHIJK
(B) 25
(C) 500
(D) 250
Resolução:
O cálculo do comprimento de uma circunferência 2, sendo assim temos :
2
225
50
03. Calculando o perímetro e a área da figura abaixo encontramos, respectivamente:
(A) 2,4Hm e 1,44Hm²
(B) 24m e 144m
(C) 1,2m e 1,44m²
(D) 2,4m e 14,4m²
Resolução:
Calculando o perímetro temos 2P = 2.. = 2..1,2 = 2,4m e calculando a área
temos A = . ² = .(1,2)² = .1,44 = 1,44.m².
04. Marque a ÚNICA alternativa FALSA:
(A) Em todo polígono regular os ângulos internos são congruentes.
38
(B) Em um polígono convexo qualquer a soma do ângulo interno e do ângulo externo
correspondente é sempre 180°
(C) A soma dos ângulos externos de um polígono convexo depende da quantidade de
lados do polígono.
(D) Em um polígono regular as diagonais são congruentes.
Resolução:
A única alternativa falsa é a C.
05. Calculando o valor do ângulo interno de um dodecágono regular (12 lados),
encontramos:
(A) 100°
(B) 120°
(C) 150°
(D) 180°
Resolução:
7 10 2 24. 180° 112 2 24. 180° 10 . 180° 1800°
150°
0
12
12
12
06. Uma prefeitura irá trocar todo o piso de uma praça redonda com diâmetro de 50m.
Se cada metro quadrado desta obra custa R$ 120,00, quanto irá custar a obra por
completo? (DICA: Utilize 3,1 para a aproximação de )
(A) R$ 132500,00
(B) R$ 232500,00
(C) R$ 332500,00
(D) R$ 432500,00
Resolução:
39
Primeiro vamos calcular a área da praça. A = . ²= .25² = 625 = 625 . 3,1 =
1937,5m². Agora, basta multiplica pelo custo do metro quadrado. 1937,5 . 120 = R$
232500,00
40
Pesquisa
Caro professor aplicador, agora que o aluno já estudou todos os principais
assuntos relativos ao 4° bimestre, é hora de discutir um pouco sobre a importância
deles em suas vidas.
Iniciamos este estudo, apresentando a importância do estudo dos gráficos e
tabelas e posteriormente sobre polígonos.
Portanto, agora, oriente os alunos a ler atentamente as questões a seguir
respondendo cada uma das questões propostas de forma clara e objetiva..
ATENÇÃO: Não se esqueça de identificar as Fontes de Pesquisa, ou seja, o nome dos
livros e sites nos quais foram utilizados.
I – Apresente alguns exemplos de gráficos e tabelas que podem facilitar a
compreensão de situações reais. Explique quais as informações transmitidas pelo
gráfico:
A ideia desta atividade é que o aluno possa associar informações expressas em
gráficos e tabelas fazendo interpretação do mesmo, para isso peça que os alunos
escrevam todas as informações que eles conseguem obter através das leituras dos
gráficos.
II – Dê Exemplos de polígonos encontrado em figuras de artes, pinturas , esculturas.
Essa atividade pode ser realizada em conjunto com o professor de artes, relacionando
a matemática com esta disciplina.
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Referências
[1] IEZZI, Gelson; Et al. Matemática e Realidade: 8ª série. 5 ed. São Paulo: Atual, 2005.
[2] DANTE, Luiz Roberto. Projeto Teláris: Matemática 9º ano. 1 ed. São Paulo: Ática,
2012.
[3] BARROSO, Juliane Matsubara. Projeto Araribá: Matemática Ensino Fundamental 8.
1 ed. São Paulo: Moderna, 2003.
[4] GIOVANNI, José Ruy. A conquista da matemática, 9º ano- São Paulo: FTD 2012.
Fonte das Imagens
[1] Figura 1: http://xfc.com.br/wp-content/uploads/2011/08/ufc_rio_octogno.jpg
[2] Figura2:
http://www.mrherondomingues.seed.pr.gov.br/redeescola/escolas/27/1470/14/arqui
vos/Image/Fotos_Local/chafariz(1).jpg
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Equipe de Elaboração
COORDENADORES DO PROJETO
Diretoria de Articulação Curricular
Adriana Tavares Mauricio Lessa
Coordenação de Áreas do Conhecimento
Bianca Neuberger Leda
Raquel Costa da Silva Nascimento
Fabiano Farias de Souza
Peterson Soares da Silva
Marília Silva
COORDENADORA DA EQUIPE
Raquel Costa da Silva Nascimento
Assistente Técnico de Matemática
PROFESSORES ELABORADORES
Ângelo Veiga Torres
Daniel Portinha Alves
Fabiana Marques Muniz
Herivelto Nunes Paiva
Izabela de Fátima Bellini Neves
Jayme Barbosa Ribeiro
Jonas da Conceição Ricardo
Reginaldo Vandré Menezes da Mota
Tarliz Liao
Vinícius do Nascimento Silva Mano
Weverton Magno Ferreira de Castro
REVISÃO DE TEXTO
Isabela Soares Pereira
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