gabarito - IFSC

2ª Prova de Física II - FCM0102
#USP:
Nome:
11 de outubro de 2012
1. Uma ambulância, cuja sirene emite um som de frequência desconhecida, ultrapassa um ciclista que se move
a 2,50 m/s. Antes da ambulância ultrapassá-lo, o ciclista (que é um músico talentoso) percebe que o som da sirene
corresponde a um Lá 6 (880 Hz), e, após ultrapassá-lo, o som muda para um Fá# 6 (740 Hz).
(a) (0,5 pontos) Explique em poucas palavras como isso é possível.
(b) (1,0 ponto) Qual a velocidade da ambulância?
(c) (1,0 ponto) Qual a frequência do som emitido pela sirene?
2. Sabe-se que a intensidade da onda sonora emitida por um alto-falante é de 110 dB
a uma distância de 0,10 m do mesmo.
(a) (1,0 ponto) Assumindo que as frentes de onda emitidas por esse aparelho tem
forma hemisférica (vide Fig. 1), calcule a intensidade da onda sonora a uma distância
de 5,50 m da fonte.
(b) (1,0 ponto) Suponha agora que a onda sonora emitida pelo alto-falante é uma
onda harmônica. Nesse caso, calcule a amplitude de variação de pressão em torno da
pressão ambiente devido à passagem da onda sonora em x = 0,1 m.
(c) (0,5 ponto) Para uma onda harmônica de 500 Hz, calcule a amplitude de deslocamento das partículas do ar a uma distância de 5,50 m dessa fonte.
3. Um pêndulo é constituído de uma barra muito fina de massa desprezível e comprimento ` e de uma esfera de raio R (com R `) e massa m. A uma distância α`
(com 0 < α < 1) do eixo de rotação, anexa-se uma mola de constante elástica k que
está em equilíbrio com a posição de repouso (θ = 0) do pêndulo (vide Fig. 2).
(a) (0,5 ponto) Para pequenas oscilações (θ 1), escreva a equação de movimento
para o ângulo θ.
(b) (0,5 ponto) Calcule a frequência de pequenas oscilações correspondente.
(c) (0,5 ponto) Suponha agora que o sistema se encontre imerso em um líquido de
viscosidade η proporcionando uma força sobre a esfera igual a F~visc = −6πηR~v , onde ~v
é o vetor velocidade da esfera. Qual é a nova equação de movimento para o ângulo θ?
(d ) (0,5 ponto) Para que valores de η o movimento é subamortecido?
(e) (0,5 ponto) No caso de subamortecimento, calcule a posição angular em função
do tempo θ(t) supondo que o pêndulo é solto do repouso de um ângulo θ0 1.
x
Figura 1: Alto-falante.
l
k
t
m
Figura 2: Sistema pêndulomola.
4. Uma corda de aço com densidade linear 5,00 g/m e comprimento 50,0 cm está
presa entre dois pontos fixos e é sujeita a uma tensão de 100 N. A corda vibra em seu
segundo harmônico com amplitude máxima de módulo igual a 2,00 mm.
(a) (0,5 ponto) Em quais posições da corda os pontos se movem com maior velocidade?
(b) (1,0 ponto) Considere que no instante t = 0 todos os pontos da corda estão instantaneamente em repouso, mas
encontram-se em seu deslocamento transversal máximo para vibração no segundo harmônico. Escreva a função de
onda que descreve o deslocamento transversal dos pontos da corda em função do tempo para t > 0.
(c) (1,0 ponto) Para a mesma condição inicial do item (b), calcule a energia cinética total da corda em função do
tempo.
Dados: velocidade do som: 340 m/s; I = 21 ρ0 vω 2 u2 =
3
(δp)2
2ρ0 v ;
α = 10 log10 (I/I0 ) dB; f = f0 (v ± Vrec )/(v ∓ Vf onte );
densidade do ar: 1,30 kg/m ; a equação diferencial linear de 2ª ordem ẍ + aẋ√+ bx = 0 tem solução
√ x(t) =
p
p
−(a/2+ a2 /4−b)t
−(a/2− a2 /4−b)t
−at/2
2
2
2
e
[A cos( b − a /4 t) + B sin( b − a /4 t)] para b > a /4, x(t) = Ae
+ Be
para b < a2 /4, e x(t) = (A + Bt) e−at/2 para b = a2 /4.
2
GABARITO:
1.
(a) Este é o efeito Doppler. A frequência da onda medida pelo receptor não é igual a frequência da onda emitida
pela fonte. Essa diferença vem da velocidade do receptor e emissor em relação ao meio em que a onda se propaga.
(b) Sendo f0 a frequência emitida pela sirene, vamb a velocidade da ambulância, vc a velocidade do ciclista, e v a
velocidade do som, então temos que a frequência ouvida pelo ciclista é
v + vc
f=
f0 .
v − vamb
Antes e após a ultrapassagem, temos respectivamente que
340 − 2,5
340 + 2,5
880 Hz =
f0 , e 740 Hz =
f0 .
340 − vamb
340 + vamb
Dividindo uma equação pela outra, eliminamos f0 e resolvemos para vamb , resultando em
vamb = 31,9 m/s.
(c) Uma vez calculada a velocidade da ambulância, encontramos que
f0 = 803 Hz.
2.
(a) A intensidade é igualmente distribuída na área da semi-esfera que a frente de onda ocupa, como I × área é
constante, então temos que
I5,50 m = I0,10 m
0,1
5,5
2
.
Em escala decibel,
10 log10
I5,50 m
I0
= 10 log10
I0,10 m
I0
− 20 log10 55 = 110 − 34,8 = 75,2 dB.
(b) Nesse caso, usamos que
2
I=
(δp)
,
2ρ0 v
onde δp é a amplitude da variação de pressão, ρ0 é a densidade do ar e v é a velocidade do som. Como I0,10 m =
2
I0 × 1011 = 10−1 W/m , então temos que
δp =
p
2 × 1,3 × 34 = 9,40 Pa ≈ 9, 31 × 10−5 atm.
(c) Neste caso, usamos que
I=
1
ρ0 vω 2 u2 ,
2
com u sendo a amplitude de deslocamento das partículas e ω = 2πf ≈ 3142 rad/s. Logo,
s
s
s
1 2I5,50 m
1
2I0,10 m
1
2 × 10−1
u=
=
=
= 123 nm.
ω
ρ0 v
55ω
ρ0 v
55 × 3142 1,3 × 340
3.
3
(a) Devemos calcular o torque da força elástica e gravitacional na aproximação de pequenos ângulos:
2
τelást ≈ − (α`) (k∆x) = − (α`) (kα` sin θ) ≈ −k (α`) θ,
onde ∆x é o elongamento da mola e
τgrav = −`mg sin θ ≈ −mglθ.
Sendo o momento de inércia igual a I = m`2 , a equação do movimento torna-se
k 2 g
θ̈ +
α +
θ = 0.
I θ̈ = τelást + τgrav , ⇒
m
`
(b) Identificando a equação de movimento com a equação do oscilador harmônico ẍ + ω02 x = 0, encontramos que a
frequência de oscilação de baixas amplitudes é
r
ω0 =
k 2 g
α + .
m
`
(c) O torque da força viscosa é
τvisc = −`Fvisc = −6πRη`2 θ̇.
Dessa forma,
6πRη
θ̇ +
θ̈ +
m
k 2 g
α +
m
`
θ = 0.
(d ) Identificando com a equação do oscilador harmônico amortecido ẍ + γ ẋ + ω02 x = 0 e usando que a condição de
subamortecimento é quando ω0 > γ/2, temos que
3πRη
<
m
r
k 2 g
α + ,
m
`
⇒
m
η<
3πR
r
k 2 g
α + .
m
`
(e) A solução para a equação de movimento é
θ = e−γt/2 [A cos ωt + B sin ωt] ,
com γ = 6πRη/m e ω 2 = ω02 − γ 2 /4. Aplicando as condições iniciais θ(0) = θ0 e θ̇(0) = 0, ou seja, θ0 = A e que
0 = −γA/2 − Bω, encontramos que
h
i
γ
θ(t) = θ0 e−γt/2 cos ωt +
sin ωt .
2ω
4.
y(x)
0
L/2
L
x
Figura 3: Segundo harmônico de uma corda vibrante.
(a) Os pontos que se movem com maior velocidade são os ventres da onda estacionária. Para a corda com extremidades fixas em x = 0 e x = L vibrando no segundo harmônico, os ventres estão localizados em x = L/4 = 12, 5 cm
e x = 3L/4 = 37, 5 cm .
4
p
(b) A velocidade da onda na corda é v = T /µ ≈ 141 m/s. O número de onda do segundo harmônico é k =
2π/L ≈ 12, 6 m−1 e a frequência angular é ω = vk ≈ 1780 rad/s. A função de onda estacionária é
2πx
2πv
y(x, t) = A sin
cos
t+φ .
L
L
A velocidade dos pontos na corda é
2πvA
ẏ(x, t) = −
sin
L
2πx
L
sin
2πv
t+φ .
L
Usando as condições iniciais de repouso em t = 0
ẏ(x, t = 0) = −
2πvA
sin
L
2πx
L
sin φ = 0 ∀x ⇒ φ = 0,
e amplitude máxima nos ventres
y(x = L/4, t = 0) = A cos φ = A = 2, 00 mm,
obtemos finalmente
y(x, t) = (2,00 mm) sin 12,6 m−1 x cos 1,78 × 103 s−1 t .
(c) A energia cinética de um elemento de comprimento dx centrado na posição x da corda é
dEc (t) =
1
µ
µdx[ẏ(x, t)]2 =
2
2
2πvA
L
2
sin2
2πx
L
sin2
2πvt
L
dx.
Integrando sobre o comprimento da corda:
Ec (t) =
µ
2
2πvA
L
2
sin2
2πvt
L
ˆ
0
L
sin2
2πx
L
dx =
µL
4
2πvA
L
Ec (t) = (7, 90 × 10−3 J) sin2 1,78 × 103 s−1 t .
2
sin2
2πvt
L
,