( )mxn ( )23 ( )54

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Matriz – Ficha 1
Chamamos de matriz, toda tabela numérica com m linhas e n colunas. Neste caso, dizemos que a matriz é
do tipo m x n (onde lemos “m por n”) ou que sua ordem é m x n. Devemos representar esta tabela entre parênteses
( ), colchetes [ ] ou barras duplas || || . São exemplos de matrizes :
3 4 1

A2 x 3 = 
5 − 2 0
B3x 3
 1 4 − 5
= − 2 6 0 
 3 7 2 
C4 x1
3
5
=
−1
8
D1x 2 = (− 3 4 )
A matriz B é uma matriz quadrada, pois ela possui o mesmo número de linhas e de colunas. A matriz C é
dita matriz coluna por possuir apenas uma coluna. Já a matriz D é uma matriz linha, desde que possui uma única
linha.
O elemento da matriz A, posicionado na linha i e na coluna j, é indicado por aij . Por exemplo, na matriz A
anterior, o elemento a21 é igual a 5.
Podemos representar uma matriz por
Amxn
 a11
a
=  21
 M

a m1
K a1n 
K a 2 n 
ou, simplesmente, por A = (aij ) .
mxn
M 

K a mn 
a12
a 22
M
am2
Exercícios
1) Identifique nas matrizes anteriores os elementos
a seguir :
a) a22 =
b) a13 =
c) b23 =
d) b31 =
e) b32 =
f) c21 =
g) c11 =
h) d12 =
2) Represente explicitamente as matrizes a seguir :
a) A = a ij
, onde aij = 3i – j
( )
3x 2
b)
B = (bij )4 x5 , onde bij = 4i + 2j
Matriz Quadrada
Como já dissemos, uma matriz é quadrada se o seu número de linhas é igual ao número de colunas. Neste
caso, se ela é de ordem n x n, dizemos apenas que sua ordem é n. Nesta matriz, os elementos tais que i = j formam
a diagonal principal e os elementos tais que i + j = n + 1 formam a diagonal secundária.
 1 − 2 3

Por exemplo, na matriz M = 0
4 5 os elementos da diagonal principal são 1, 4 e 9 e os da

− 7 8 9
diagonal secundária são –7 , 4 e 3.
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Matriz Identidade e Matriz Nula
Chamamos uma matriz de Matriz Identidade de ordem n, se ela for quadrada de ordem n e
1, se i = j
aij = 
0, se i ≠ j
ou seja, os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os elementos fora desta diagonal são todos nulos.
Identificamos tal matriz por In , sendo n sua ordem.
Uma matriz será dita Matriz Nula se possui todos os elementos iguais a zero. Ela é indicada por Omxn .
Como exemplo de matriz identidade e matriz nula, temos :
1
1 0 0
0


1 0
I2 = 
 , I3 =  0 1 0 , I 4 = 
0
1
0


0 0 1



0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0 0 0
0
 0 0

, O2 x 2 = 
. O2 x 3 =
0 0 0
0
 0 0

1
Matrizes iguais
Duas matrizes
A = (aij )mxn e B = (bij )mxn de mesma ordem são ditas iguais se, e somente se, aij = bij
∀i, j , com 1 ≤ i ≤ m,1 ≤ j ≤ n , isto é, os elementos correspondentes destas matrizes(que estão na mesma linha e
na mesma coluna) são todos iguais.
Exercícios
3) Calcule x, y e z tais que :
 x 2 − 5x + 7
z 
a) 
 = I2
y − 1
0

 x2 − 8 y 2 − 4

b) 
 y + 2 x − 2  = I2


c)
x −1 x + 2
= I2
x −3 x +5
Respostas dos exercícios 1 a 3
1) a) –2 b) 1 c) 0 d) 3 e) 7 f) 5 g) 3 h) 4
2 1 


2) a) A = 5 4


8 7
 6 8 10 12

10 12 14 16
b) B = 
14 16 18 20

18 20 22 24

14 

18 
22 

26 
3) a) x = 2 ou x = 3 ; y = 2 ; z = 0 b) x = 3 ; y = –2 c) Não existe x
Matriz transposta
A transposta de uma matriz
A = (aij )mxn é uma matriz B = (bij )nxm , onde bij = aji ∀i, j , com
1 ≤ i ≤ m,1 ≤ j ≤ n , ou seja, suas linhas são as colunas de A, e vice-versa. Indicamos a matriz transposta da
t
matriz A por A .
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Por
M t 4 x3
exemplo,
a
matriz
transposta
da
M 3x 4
matriz
5 9
− 1 2

=0
3 − 4 6
12 − 7 2 0
é
a
matriz
− 1 0 12 
2
3 − 7 

=
.
 5 −4 2 


6
0
9
Exercícios
4) Escreva a matriz transposta de cada uma das
matrizes a seguir :
a)
b)
c)
 2 0 4

A2 x 3 = 
1 3 8
1 3 5
C 3x1
 2
= 4
5
B3 x 3 = 7 − 9 2
0 1 4
Operações com Matrizes
Adição de Matrizes :
A soma de duas matrizes de mesma ordem A =
(a )
ij mxn
e
B = (bij )mxn , é uma matriz C = (cij )mxn onde
cij = aij + bji ∀i, j , com 1 ≤ i ≤ m,1 ≤ j ≤ n . Logo, cada elemento da matriz resultante é igual à soma dos elementos
correspondentes das matrizes A e B.
Por exemplo, a soma das matrizes
 2 5 1
 1 3 4 
3 8 5 
 e B = 
 é A + B = 
 .
A = 
 4 − 2 0
− 2 4 − 7
2 2 − 7
Propriedades da adição de matrizes :
Suponha que as matrizes A , B e C possuem a mesma ordem. Desta forma, são válidas as seguintes
propriedades a seguir :
(P1) A matriz nula é o elemento neutro da adição matricial, ou seja, A + O = O + A = A, sendo O a matriz
nula de mesma ordem da matriz A.
(P2) O elemento oposto da uma matriz A é a matriz A’ de mesma ordem de A, tal que A + A’ = A’ + A = O,
sendo O a matriz nula de mesma ordem de A. A e A’ são ditas matrizes opostas e a matriz A’ é indicada por –A .
(P3) A propriedade associativa é válida para a adição de matrizes, isto é, (A + B) + C = A + (B + C).
(P4) A propriedade comutativa também é válida para a adição de matrizes, ou seja, A + B = B + A..
Um exemplo de matrizes opostas é
 2 − 3
− 2 3 
A=
e −A=

.
− 5 1 
 5 − 1
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Multiplicação de um número por uma matriz :
Para multiplicarmos um escalar k por uma matriz, devemos multiplicar cada elemento da matriz pelo escalar
k. Então, se
( )
A = (aij )mxn , kA é a matriz kA = a ij
mxn
, onde
a ij = k .aij ∀i, j , com 1 ≤ i ≤ m,1 ≤ j ≤ n .
3
9 
2
6



Dada a matriz A = − 1 0 , temos 3. A = − 3
0  .



 5 − 4
 15 − 12
Propriedades da multiplicação de uma matriz por um escalar :
Considere duas matrizes A e B e dois escalares k e L. Daí, segue-se que :
(P1) k(LA) = L(kA) = (kL)A
(P2) k(A + B) = kA + kB
(P3) (k + L)A = kA + LA
(P4) 1.A = A
Subtração de Matrizes :
A diferença A – B é igual à soma da matriz A com a sua oposta, ou seja, A – B = A + (– B).
Agora que sabemos encontrar a oposta de uma matriz, podemos falar de algumas matrizes quadradas que,
possuem certa “simetria” com relação à diagonal principal. Dependendo do caso, elas serão chamadas de matrizes
simétricas ou de matrizes anti-simétricas.
MATRIZ SIMÉTRICA
t
Uma matriz quadrada A = (a ij ) mxm é simétrica quando A = A , isto é, quando ela é igual à sua transposta.
OBS: é notável que uma matriz quadrada é simétrica somente quando os elementos dispostos em posições
simétricas em relação à diagonal principal são iguais, isto é, aij = a ji .
 1 − 3 4


Um exemplo de matriz simétrica é a matriz M = − 3 5
7 .
 4
7 9
iguais
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MATRIZ ANTI-SIMÉTRICA
t
É toda matriz quadrada A = (a ij ) mxm em que se verifica A = – A .
OBS: Neste caso, temos que
aij = − a ji . Logo, decorre que aij = 0 se i = j, ou seja, os elementos da diagonal
principal são todos nulos . Assim, uma matriz quadrada é anti-simétrica somente quando os elementos dispostos
em posições simétricas em relação à diagonal principal são simétricos e esta diagonal é toda nula.
 0 − 5 6


Como exemplo na matriz N =  5
0 3 .
− 6 − 3 0
simetricos
Exercícios
5) Dadas
as
matrizes
 − 2 4


A =  5 0 ,


 7 1
3 2 
1 2


 0
B =  7 − 5 e C = 
 , encontre
 − 1 − 2 0


0 1 
as matrizes :
a) A + B
d) 2.A – 3.B
6) Encontre
t
b) A – C
t
t
e) 3C – A + B
a
matriz A2 x 2
c) 3.A
tal
que
1 − 2 
2 0 
3. 
+ A = 2. 

 .
3 4 
1 − 3
7) Determine as matrizes M e N, de ordem 2, tais
que
 5 6
 − 1 3
M−N =
e M+N =
.
 2 0
 0 2
8) Calcule os valores de a e b que satisfazem a
equação matricial
7 
2 a 
4
 3 0 + 2. I 2 =  3 3b − 4 .




4 + a

a
b
.... 

9) Sabendo que M =
....  é
2c − 8
anti-simétrica, encontre os termos a 12 , a13 e
....
b+2
c
a 23 desta matriz.
Respostas dos exercícios 5 a 9
1 6


5) a)  12 − 5


7 2
 − 2 4 5
b) 

 5 2 1
 − 6 12


c)  15
0


 21 3 
 − 13 2 


d)  − 11 15 


 14 − 1
e)
6 
 1
6) 

− 7 − 18

2
7) M = 
1

9
3

−3 − 


2 e N=
2
− 1 1 
1 


8) a = 7 e b = 2
9) 4, 2 e –4
5
− 1
 5


 − 5 − 11 0 
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Multiplicação de Matrizes :
Dadas duas matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)nxp , o produto matricial A . B é uma matriz C = (cij)mxp tal que
n
cij = ∑ aik .bkj , ∀i , j com 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ p .
k =1
a
Para que exista o produto matricial, devemos sempre lembrar que o número de colunas da 1 matriz deve
a
ser igual ao número de linhas da 2 matriz, ou seja,
Amxn . Bnxp
o
o
N de colunas = N de linhas
Caso contrário, tal produto não pode ser efetuado. Além disso, a matriz resultante tem o mesmo número de
a
a
linhas que a 1 matriz, e o mesmo número de colunas da 2 matriz, isto é,
Amxn . Bnxp = Cmxp
Para entender melhor o produto entre matrizes, considere as matrizes A e B a seguir :
A3 x 2
1 2 
5 6 0 1


= 3 4  e B2 x 4 = 

4 3 − 1 7 
0 − 2 
O produto B . A não pode ser feito, pois B possui 4 colunas e A possui 3 linhas. Vamos efetuar A . B e obter
como resultado uma matriz de ordem 3x4. Tal produto será feito da seguinte forma :
5
4
6
3
0
−1
1
7
a
2 matriz
||
a
1 matriz
1
2
3
4
||
15
. + 2.4 16
. + 2.3
0 −2
Resultado
 13


Portanto, o produto A . B é a matriz A. B =  _ _


 _ _
12
__
__
__
__
__
_ _


_ _ .


_ _ 
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Propriedades do produto matricial :
No produto matricial são válidas as seguintes propriedades :
(P1) Propriedade associativa : ( A . B ) . C = A . ( B . C )
(P2) Propriedade distributiva à esquerda : A . ( B + C ) = A . B + A . C
A.(B–C)=A.B–A.C
(P3) Propriedade distributiva à direita : ( A + B ) . C = A . C + B . C
(A–B).C=A.C–B.C
(P4) A matriz identidade é o elemento neutro do produto matricial : A . In = In . A = A
É importante salientar que no produto matricial não é válida a propriedade comutativa, ou seja, em geral
A . B ≠ B . A . Devemos entender que em alguns casos a igualdade A . B = B . A é válida. Contudo, como isto não
ocorre em todos os casos, não podemos generalizar. Por exemplo, dadas as matrizes
 1 0
A=
, B =
2 3
_ _

C. D = 
_ _
_ _
_ _
_ _
_ _
4 2 
1 2
2 6 




0 1, C = 3 0 e D = 9 − 1 , temos : A. B = 
 , B. A = 
,






 _ _
 _ _
_ _ 
_ _ 
_ _
_ _
_ _



 e D. C = 
 . De onde concluímos que A . B ≠ B . A e C . D = D . C. Quando


_ _
_ _ 
_ _
tal igualdade ocorre chamamos as matrizes de comutáveis, isto é, satisfazem a propriedade comutativa do produto.
Para as matrizes comutáveis também são válidas as propriedades :
2
2
2
(P1) ( A + B ) = A + 2 . A . B + B
2
2
2
(P2) ( A – B ) = A – 2 . A . B + B
(P3) ( A + B ) . ( A – B ) = A2 – B2
_ _
_ _
2 
2 1
 1


e B=
. O produto A . B é igual a A. B = 
Considere as matrizes A = 


.
 0 0
− 2 − 4
 _ _
_ _ 
Logo, A . B = O, mas A ≠ O e B ≠ O, onde O é a matriz nula de ordem 2. Concluímos que no produto matricial, o
fato de A . B = O não implica necessariamente em A = O ou B = O.
Potenciação :
n
n
Dada uma matriz quadrada A, a potência A é definida como A = A . A . ... . A , onde
n ∈ N *.
n termos
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Exercícios
2 2 0


10) Sendo
A = 1 1 1, B =
0 − 1 0
3 2 − 1


C = 1 − 1 − 2  , calcule :
0 0
3 
0 1 1


1 0 0
0 1 0
11) Dada as matrizes
e
3 1 
x y
2 e B = 
A=
 ,
2

1 5
3 
encontre x e y tais que A . B = O.
12) Calcular x a fim de que as matrizes
e
t
a) ( A + B ) . C
t
b) ( B – C ) . ( A + B )
t
c) ( 2.A – 3.B) . C
1 2 
A=

0 x 
5 3
B=
 sejam comutáveis.
0 2 
2
3
13) Determine A e A , sabendo que
2 2 
A=
.
1 0
Respostas dos exercícios 10 a 13
11 − 3

10) a)  7 − 1
 0 0
1
11) x = − , y =
3
3

3
0
5
−
3
 − 7 − 5 0


b)  5
3 0
 0 − 2 0
 11 9
−2 


c)  5
0 − 20
− 7 − 8 − 1 
6 4 
16 12 
2
3
13) A = 
e A =


2 2 
6 4
12) x = - 1
Exercícios
1) Calcule os valores de a e b que satisfazem a
7 
2 a 
4
equação matricial 
+ 2. I 2 = 

.
 3 0
 3 3b − 4
Resp. : a = 7 e b = 2
2 2 0
0 1 1




2) Sendo
A = 1 1 1, B = 1 0 0
0 − 1 0
0 1 0
3 2 − 1


C = 1 − 1 − 2  , calcule ( A + B ) . Ct .
0 0
3 
11 − 3 3


Resp.:  7 − 1 3
 0 0 0
e
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