- 1) Calcule, em cada caso a seguir, a medida pedida, sabendo que A'B' é a projeção ortogonal do segmento AB sobre o plano : a) AB = 2 cm e medida (AÔA') = 60o A'B' = ? b) AB = 24 cm e medida (AÔA') = 30o A'B' = ? c) AB = 12 cm e medida (AÔA') = 45o A'B' = ? d) AB = 10 dm e medida(ângulo oposto a OB' no ∆OBB') = 60o A'B' = ? e) A'B' = 8 m e medida (AÔA') = 60o AB = ? f) AB = 2.(A'B') medida (AÔA') =? 2) Marque V (verdadeiro) ou F(falso) a cada proposição a seguir: a) ( ) A projeção ortogonal de um triângulo sobre um plano pode ser um ponto. b) ( ) A projeção ortogonal de um triângulo sobre um plano pode ser um segmento. c) ( ) A projeção ortogonal de um triângulo sobre um plano é um triângulo. d) ( ) A projeção ortogonal de um círculo sobre um plano pode ser uma elipse. e) ( ) A projeção ortogonal de um círculo sobre um plano é um círculo. f) ( ) Se ∆ABC e // Proj. Ort. (∆ABC) sobre é triângulo. ) Se ∆ABC e // Proj. Ort. (∆ABC) sobre é um segmento. h) ( ) Se ∆ABC e Proj. Ort. (∆ABC) sobre é um segmento. i) ( ) Se ∆ABC e Proj. Ort. (∆ABC) sobre é um ponto. 3) Observe atentamente o triângulo ABC e sua projeção ortogonal A'B'C' sobre o plano . Se med(AÔA') = 45o, med(AÎA') = 60o, med(BÊB') = 30o, calcule o perímetro do triângulo A'B'C' e sua área, sabendo que os segmentos AB, BC e CA medem, respectivamente 2 cm , 6 cm e 2 cm. A área de um triângulo com os lados medindo a,b e c é dada pela fórmula de Heron: A= em que p = 4) Uma estante tem duas prateleiras planas e paralelas dispostas horizontalmente de modo que na prateleira superior tem uma lata de refrigerante. Como será a projeção ortogonal da lata na prateleira inferior se a lata encontra-se a) de pé na estante? b) deitada na estante? 5) Observe a peça da figura abaixo: Nesta peça, o bloco ABCDEFGH, que tem todos os ângulos retos, é colado a uma lata , de modo que o fundo da lata esteja na face ABCD do bloco citado. Se posicionarmos esta peça, entre dois planos perpendiculares e , de modo a) que o plano da face EFGHE do bloco fique paralelo ao plano , como serão as projeções ortogonais da peça no plano e no plano ? b) que o plano da face EFGHE do bloco fique perpendicular ao plano , como serão as projeções ortogonais da peça no plano e no plano ? 6) Ainda no caso anterior, considere um plano , paralelo a , portanto, perpendicular a . Como serão as projeções ortogonais no plano , em cada um dos posicionamentos do exercício anterior? 7) Em cada caso a seguir, calcule a medida das projeções desconhecidas no triângulo ABC, retângulo em A, sendo AH uma altura. 8) Observe o sólido abaixo e algumas de suas projeções ortogonais sobre um plano : a) Use letras maiúsculas para nomear todos os pontos do sólido. b) Como foi posicionado o sólido em relação aao plano para gerar cada projeção apresentada. c) A face em primeiro plano do sólido apresenta um segmento inclinado ( de 45o) que mede 12 cm. Com que medida esse segmento terá sua projeção no plano , se essa face for perpendicular ao plano ? 9) Um objeto foi colocado entre dois planos perpendiculares e , como na figura abaixo: As projeções ortogonais desse objeto no plaano e no plano são dadas abaixo. Que obbjeto é esse? 10) O polígono ABCDEFA é projetado ortogonalmente num plano, dando origem à projeção A'B'C'D'E'F'A'. Sabe-se que os lados do polígono medem AB =4cm, BC = 6 cm, CD= 3 cm, DE = 5 cm, EF = 6 cm e FA = 5 cm. por outro lado, os ângulos que os prolongamentos desses lados formam com o plano de projeção são, respectivamente, 45 o, 30o, 45o, 60o, 60o e 30o. Calcule o perímetro da projeção. ÂNGULO FORMADO POR DUAS RETAS REVERSAS Na figura abaixo, as retas r e s , pertencentes, respectivamente, aos planos e são reversas. Portanto o ângulo formado por r e s é aquele formado por uma delas e a projeção ortogonal da outra sobre o plano da primeira, observe . Ângulo entre r e s = ângulo entre r' e s : medida m Se o ângulo entre duas reversas é RETO (90o), então elas são ORTOGONAIS. 11) A figura abaixo, apresenta quatro planos distintos , , e . Sabe-se que forma um ângulo de 120o com , 150o com e é perpendicular a ; por outro lado, é perpendicular a e forma um ângulo de 60o com e este forma um ângulo de 30o com . Complete cada proposição abaixo, de modo que ela fique verdadeira: a) Se r é paralela ao segmento BE e t é paralela ao segmento ED, então as retas r e t formam um ângulo que mede ....................................... b) Se s é paralela ao segmento JE e t é perpendicular ao segmento JE, então as retas s e t formam um ângulo que mede ....................................... c) Se r é paralela ao segmento BE e s é paralela ao segmento JE, então as retas r e s formam um ângulo que mede ....................................... d) Se u e t são perpendiculares ao segmento IF, então as retas u e t formam um ângulo que mede ....................................... RESPOSTAS : 1) a) cm b) 12 cm c) 6 cm d) 5 dm e) 16 m f) 60o 2) a) F b) V c) F d) V e) F 3) Perímetro = 8 cm e Área = 2 f) V g) F h) V i) F cm2 4) a) um círculo ou disco. b) um retângulo. 5) a) Em : um retângulo de medidas iguais a EFGHE. Em : Um "T" invertido. b) Em : Um "T" invertido. Em : um retângulo de medidas iguais a EFGHE. 6) 7) 8) 9) a) um círculo dentro de um retângulo, b) Um "T" invertido. a) CH = 3 cm e HB = 9 cm b) CH = 4 dm e HB = 16 dm a) resposta pessoal b) resposta pessoal c) 6 cm um prisma triangular. 10) 11) a) 60o cm. b) 120o c) 150o d) 90o