Fix 5.5: Complete as lacunas com PH,RH,I ou 0, onde P projeção

Fix 5.5: Complete as lacunas com PH , RH , I ou 0, onde PH é
projeção ortogonal em H e RH reflexão em torno de H.
4
(a) PH RH =
; (b) RH PH =
; (c) PH
=
; (d)
5
PH =
;
4
5
=
=
(e) RH
; (f) RH
; (g) PH PH ⊥ =
;
9
5.5: (a) PH . (b) PH . (c) PH . (d) PH . (e) I. (f) RH . (g) 0.
Fix 5.6: Sabendo que P é:
(a) projeção ortogonal no eixo y, P (x, y, z) = ( ,
,
);
(b) projeção ortogonal no plano xy, P (x, y, z) = ( ,
,
);
(c) reflexão em torno do plano xz, P (x, y, z) = ( ,
,
).
11
5.6: (a) P (x, y, z) = (0, y, 0);
(b) P (x, y, z) = (x, y, 0);
(c) P (x, y, z) = (x, −y, z);
Fix 5.7: Sabendo que P é projeção ortogonal em H e R a
reflexão ortogonal em torno de H podemos afirmar que:
(A) R = 2P − I; (B) R = P − I; (C) R = I − P ; (D)
R = 2I − P .
13
5.7: (A)
Fix 5.8: Dado H subespaço vetorial:
(a) Nuc(PH ) =
; (b) Im(PH ) =
;
15
5.8: (a) H ⊥ ; (b) H;
Fix 5.9: Complete as lacunas com I, −I ou 0. Considere
T : R2 → R2 . Se T é:
(a) projeção ortogonal no eixo x seguido de projeção ortogonal
no eixo y, então T = ;
(b) reflexão em torno do eixo x seguido de reflexão em torno do
eixo x, então T = ;
(c) reflexão em torno do eixo x seguido de reflexão em torno do
eixo y, então T = .
17
5.9: (a) T = 0; (b) T = I; (c) T = −I.
Prob 5.16: Sejam P : R4 → R4 a projeção ortogonal na reta
gerada por (1, 0, −1, 0) e R : R4 → R4 a reflexão em torno
desta mesma reta. Calcule
(a) P (x, y, z, w); (b) R(x, y, z, w).
31
5.16: (a) P (x, y, z, w) =
= (x − z)/2(1, 0, −1, 0) = (x − z, 0, z − x, 0)/2. (b) Como R = 2P − I,
R(x, y, z, w) = (−z, −y, −x, −w).
Prob 5.17: Determine as matrizes das TLs T : Rn → Rn :
(a) n = 2, projeção ortogonal na reta {(2t, −t) ∈ R2 ; para t ∈ R};
(b) n = 2, reflexão em torno da reta x + 3y = 0;
(c) n = 3, projeção ortogonal sobre o plano x = z.
33
5.17: (a) Veja Observação
?? da p.??:
4/5 −2/5
.
−2/5
1/5
(b) Calcule a projeção P na reta (veja Observação
?? da p.??) e depois a
4/5 −3/5
reflexao R = 2P − I:
;
−3/5 −4/5
(c) T (x, y, z) = ((x + z)/2, y, (x + z)/2). Como o plano é gerado por (1, 0, 1) e
(0, 1, 0), a direção (1, 0, −1) é perpendicular ao plano.
Sol1: A projeção na direção (1, 0, −1) é (veja Observação ?? da p.??)
S(x, y, z) = ((x − z)/2, 0, (z − x)/2). Como queremos projetar na direção
ortogonal, T = I − S, obtendo resposta.
Sol2: Assim T (1, 0, 1) = (1, 0, 1) e T (0, 1, 0) = (0, 1, 0). Também
T (1, 0, −1) = 0. Como sabemos T em três vetores LIs, podemos calcular T .


 
 
3 
3


 1

 3   3   0 
 e
,
,
Prob 5.19: Sejam H = span 
  −1   3 



 0


−3
−1
1


7
 1 

v=
 3  . Calcule PH v (projeção ortogonal em H) e RH v
1
(reflexão em torno de H).
37


5.19: PH v = 



4
1

 5
3 

e RH v = (2PH − I)v = 
3 
3
−2
−5


.


3
 −7 

Prob 5.22: Determine a melhor aproximação de 
 2  por
3
um vetor da forma




1
2
 1 
 −1 



a
 −3  + b  0  , com a, b ∈ R.
−1
1

43
5.22: Basta projetar (3, −7, 2, 3) no espaço gerado por
(2, −1, −3, 1) + (1, 1, 0, −1). Obtemos



 
2
1
−1



 −3
2  −1  7  1 
=
−
3  −3  3  0   −2
1
−1
3




Exercícios Gram-Schmidt
Prof.: Martin Weilandt
9 de novembro de 2016
1
Questões
v1 = (1, 1, 1, 1), v2 = (1, 0, 1, 0), v3 = (2, 1, 1, 2) ∈ R4 .
base ortonormal de span{v1 , v2 , v3 }.
1. Sejam
uma
2. Sejam
v1 = (1, 2, 0, 2), v2 = (1, −2, 0, 0), v3 = (−1, 10, 0, 4).
{v1 , v2 , v3 }.
base ortogonal de span
1
Encontre
Encontre uma
2
POSSÍVEIS RESPOSTAS
2
Possíveis respostas
1.
{ 12 (1, 1, 1, 1), 12 (1, −1, 1, −1), 12 (1, −1, −1, 1)}
2.
{(1, 2, 0, 2), (2, −2, 0, 1)}
2