CÁLCULO DE TRAJETÓRIAS DE PARCELAS DE AR PARA A

CÁLCULO DE TRAJETÓRIAS DE PARCELAS DE AR PARA A PREVISÃO DO TEMPO
DE CURTO PRAZO
Andrei Bourchtein, Natalia Fedorova, Maxim Naoumov e Maria Helena de Carvalho
Centro de Pesquisas Meteorológicas / Universidade Federal de Pelotas (UFPel)
Av. Ildefonso Simões Lopes, 2751, Sanga Funda, Pelotas-RS, 96060-290, Rio Grande do Sul,
BRASIL
E-mail: [email protected] [email protected]
ABSTRACT
A finite difference Lagrangian method of the second order accuracy is used for calculating trajectory of air
particles. The algorithm permits to choose different parameters of computations, such as the type of trajectory,
precision level and number of points along the trajectory. The computation results are displayed on meteorological
fields using the programming language of software GrADS. An example of air parcel trajectories at 925 e 500 hPa
levels is presented. The synoptic situation is described. The temperature variation along the air parcel trajectory
and the cloud evolution at the local of the weather forecast are analysed.
1. INTRODUÇÃO
O método gráfico para o cálculo da trajetória da parcela de ar para os movimentos horizontais nos
níveis de 850, 700, 500 e 300 hPa e a superfície é descrito no Manual de Previsão do Tempo (1986). Este método
vem sendo utilizado operacionalmente no Centro Hidrometeorológico da Rússia há muitos anos para
determinação da região de onde se deslocará a parcela de ar que está na estação meteorológica, para a qual se
elaborará a previsão do tempo. Neste método utilizam-se os campos prognósticos de altura geopotencial para cada
6 ou 12 horas e os mapas com dados reais. A construção das trajetórias começa com o mapa de previsão com
maior antecedência, depois utilizam-se os mapas com menor antecedência e o último mapa é o campo dos dados
observacionais reais. Neste método utiliza-se a hipótese de que a parcela de ar durante o intervalo de tempo de 6 a
12 h se desloca ao longo de uma linha de corrente. Para o cálculo da trajetória pode ser utilizado o vento real ou o
vento geostrófico, o qual é determinado através dos campos de altura geopotencial. A determinação da velocidade
do vento real pelos dados do vento geostrófico utiliza coeficientes, os quais dependem da curvatura das isolinhas
e do tipo (curvatura ciclônica ou anticiclônica) das mesmas.
O objetivo deste trabalho é a aplicação de métodos numéricos para o cálculo de trajetórias de parcelas
de ar para a previsão do tempo de curto prazo. Neste caso, as trajetórias são geradas a partir de dados de campos
do vento, conforme a definição das mesmas, i.e., tem de ser resolvido o sistema de equações diferenciais que
determina as trajetórias exatas. Em determinadas situações, quando a aproximação geostrófica não se verifica, as
trajetórias exatas podem ser bem diferentes das calculadas pelo método sinótico gráfico. Como os dados do
campo do vento são disponíveis nas grades numéricas, então o método mais apropriado para obtenção das
trajetórias é um método numérico, mesmo quando as equações têm a forma simplificada (como no caso da
advecção de uma parcela passiva) e poderiam ser resolvidas analiticamente se as componentes do vento fossem
definidas na forma analítica. No caso do modelo mais complexo de uma parcela ativa as equações podem ser não
lineares, o que elimina a possibilidade da resolução analítica para qualquer forma da definição do vento. O objeto
do nosso estudo atual são as parcelas passivas, mas tendo em vista a forma da definição do vento e posterior
desenvolvimento do trabalho, pode-se concluir que o único método apropriado na resolução deste tipo de
problemas é o método numérico.
Há variedade de métodos numéricos destinados ao problema de advecção de uma substância. Na
maioria dos casos, na modelagem dos processos atmosféricos usa-se algum método de diferenças finitas por ser
um método bastante simples na programação e econômico em termos do tempo computacional. Entre estes
métodos são conhecidos dois grupos que se distinguem pelo tratamento da parte advectiva das equações: métodos
Eulerianos e métodos Lagrangianos. Caso haja termos com derivadas parciais fora da parte advectiva das
equações, como no modelo baroclínico, estes últimos são chamados de semi-Lagrangianos. No contexto de
modelos de advecção os métodos Lagrangianos foram usados desde o início da aplicação dos métodos numéricos
em meteorologia (Fjortoft 1952, Wiin-Nielson 1959), mas as suas vantagens na aplicação aos modelos mais
complexos (barotrópicos ou baroclínicos) foram descobertas mais recentemente (Robert 1981, Bates e McDonald
1982). Desde então a abordagem semi-Lagrangiana recebeu maior destaque e nos últimos dez anos é mais popular
na modelagem numérica dos processos atmosféricos (Staniforth e Cote 1991, Cote et al. 1998). Esta situação se
3315
deve ao fato de métodos Lagrangianos serem mais estáveis e precisos. Realmente, considerando a abordagem
Euleriana, podemos observar que os algoritmos explícitos Eulerianos exigem a restrição rígida do passo temporal,
chamada de critério de estabilidade de Courant-Friedrichs-Lewy. No caso da trajetória de uma parcela passiva, o
passo temporal é determinado pela velocidade máxima de advecção c e o passo espacial h na forma τ ≤ h c .
Isso leva ao refinamento desnecessário da grade temporal e resulta na ineficiência computacional do algoritmo.
Por outro lado, os esquemas implícitos Eulerianos permitem escolher o passo temporal conforme as necessidade
físicas, mas levam à necessidade de resolução das equações diferenciais parciais não lineares em cada passo de
tempo. Entretanto, os esquemas Lagrangianos permitem escolher o passo temporal conforme as demandas físicas
e a parte não linear do cálculo (isto é, obtenção das trajetórias) se reduz à resolução das equações diferenciais
ordinárias, o que é muito mais simples. A eficiência dos métodos Lagrangianos foi comprovada no contexto de
vários modelos: de problemas de advecção ao sistemas não hidrostáticos (Staniforth e Cote 1991, Bartello e
Thomas 1996).
2. METODOLOGIA E DADOS
Neste trabalho estuda-se o movimento horizontal de parcelas passivas, isto é, o movimento das
parcelas gasosas de ar ou de uma outra substância que não são submetidas às mudanças hidrotermodinâmicas nem
às reações químicas e cuja massa é desprezível comparando-se com a massa de ar. Neste caso, a própria
velocidade da parcela imediatamente torna-se a velocidade do ar no qual a parcela está imersa. Desconsiderandose a componente vertical deste movimento, que na maioria das situações sinóticas não é essencial, a variação da
densidade (massa específica) de uma substância passiva dá-se pela equação de advecção bi-dimensional:
∂q
u
∂q
v ∂q
+
+
= 0 .
(1)
∂t
a cos ϕ ∂λ
a ∂ϕ
Aqui q é a densidade da substância, λ e ϕ são longitude e latitude respectivamente, u e v são as
componentes da velocidade horizontal na direção leste e norte respectivamente, e a é o raio da Terra. Assim, as
parcelas marcadas simplesmente seguem as trajetórias do movimento do ar e, passando para coordenadas de
Lagrange, isto é, introduzindo as equações das trajetórias planas de ar
dλ
1
dϕ
1
=
u ,
= v,
dt
a cos ϕ
dt
a
(2)
podemos reescrever a equação (1) na forma
dq
=0 ,
dt
onde
(3)
d
é a derivada total (substancial). As equações (2) e (3) mostram que a densidade da substância é uma
dt
constante ao longo das trajetórias do ar. Portanto o problema se resolve completamente pela integração do sistema
(2) de equações diferenciais ordinárias. Esta é uma simplificação essencial no modelo de uma substância passiva
comparado ao modelo da substância ativa que envolve as derivadas parciais tanto em coordenadas Eulerianas
como em Lagrangianas. Por causa disso alguns problemas na aproximação numérica podem ser evitados, como o
da “densidade negativa”, i.e., os extremos locais falsos e as oscilações numéricas que podem estragar a solução
física não ocorrem neste tipo do problema. Mesmo assim, algum cuidado na parte de interpolação deve ser
tomado para evitar contaminação do campo do vento pelas perturbações falsas o que influi na precisão do cálculo
das trajetórias.
Na resolução numérica do sistema (2) foi usado o método de Runge-Kutta de segunda ordem de
precisão
λ * − λn
1
ϕ * −ϕ n 1
n
n
=
u
(
λ
,
ϕ
)
,
= v( λn , ϕ n ) ;
τ
a cos ϕ n
τ
a
3316
(5)
 ϕ n +1 − ϕ n
λn + 1 − λn
1  1
1
1
n
n
(
)
(
)
λ
ϕ
λ
ϕ
=

u
,
+
u
*,
*
 ,
=
v ( λn , ϕ n ) + v ( λ *,ϕ *) ,
n
τ
τ
2a  cos ϕ
cos ϕ *

2a
(
)
(6)
onde λn , ϕ n são valores iniciais, λ*, ϕ * são os intermediários e λn +1 , ϕ n +1 são os posteriores (prognósticos) em
relação ao passo atual do tempo, n é o número do passo no tempo e τ é o passo temporal. Para o cálculo das
componentes do vento nos pontos fora da grade regular aplica-se a interpolação bi-quadrática no espaço e mais a
quadrática no tempo que foi considerada suficientemente precisa neste problema. A escolha do método RungeKutta se deve ao fato de este método ser eficiente e preciso na resolução de equações diferenciais ordinárias
(Isaacson e Keller 1992). O programa prevê a definição da exatidão desejada pelo usuário e o cálculo pelo
esquema de Runge-Kutta é efetuado com passo τ escolhido conforme o parâmetro da exatidão. Há possibilidade
de escolher o prazo da previsão das trajetórias e o número dos pontos-traços nelas. O programa permite também
efetuar o cálculo tanto para intervalo de tempo posterior a partir de um instante escolhido como para intervalo
anterior, isto é, calcular tanto as trajetórias que partem de um local determinado como aquelas que chegam a este
local.
Com base neste algoritmo foi criado um processo operacional de cálculo das trajetórias que inclui a
obtenção de dados da análise objetiva de geopotencial, temperatura e vento, o cálculo das coordenadas dos pontos
ao longo das trajetórias, a representação visual das trajetórias e o tratamento sinótico dos resultados obtidos. O
centro gerador dos dados é o NCEP ("National Center of Environmental Predictions", EUA). Usando o algoritmo
descrito acima, são calculadas as trajetórias de parcelas, tanto partindo como chegando a um local escolhido. Para
visualizar os resultados destes cálculos foi usado o sistema gráfico GrADS ("Grid Analysis and Display System”)
destinado especialmente a problemas meteorológicos. Este programa permite visualização simples e conveniente
dos campos escalares e vetoriais numa grade regular, mas ele não é apropriado diretamente para representação de
dados numa grade irregular, o que é o caso dos pontos ao longo das trajetórias. Portanto, especialmente para isso
foi criado e testado um subprograma especial (“script”) usando a linguagem do sistema GrADS.
Depois de traçadas, as trajetórias podem ser sobrepostas em vários campos (tais como os de
geopotencial, de temperatura, de umidade, de vento) num mapa geográfico para análise sinótica dos processos
ocorrentes na região de interesse. Dois exemplos desta visualização das trajetórias nas superfícies isobáricas de
500 e 925 hPa, junto com o campo de geopotencial respectivo, são representados na figura 1. Foram calculadas
duas trajetórias com tempo de previsão de 24 horas: a primeira partindo de Porto Alegre (51,1 W e 30,1 S) e
chegando aos pontos de coordenadas (43,4 W e 27,8 S) e (55,6 W e 33,3 S) nas superfícies de 500 e 925 hPa,
respectivamente (essas são as trajetórias de partida) e a segunda chegando a Pelotas (52,3 W e 31,8 S) com os
pontos originais de coordenadas (58,2 W e 33,9 S ) e (49,9 W e 27,9S) nas superfícies de 500 e 925 hPa,
respectivamente (essas são as trajetórias de chegada).
3. RESULTADOS E DISCUSSÕES
Como exemplo, apresenta-se o resultado do cálculo das trajetórias da parcela de ar para 24 horas nos
níveis de 925 e 500 hPa para o dia 30 de janeiro de 2000 (figuras 1). As trajetórias permitem identificar a região de
onde vai deslocar-se a parcela de ar e identificar os parâmetros meteorológicos no começo da trajetória. Neste dia
o centro de um ciclone polar no nível de 925 hPa estava localizado no ponto 60 o S e 78 o W. O cavado deste
ciclone com uma frente fria associada estava ao sul da latitude de 40 o S; outro cavado fraco localizou-se quase ao
longo da longitude 60 o W. O estado do Rio Grande do Sul posicionava-se na parte oeste de um anticiclone (o
centro deste anticiclone estava no oceano Atlântico na região com coordenadas de 35 o S e 21 o W) e na
vanguarda leste de um cavado, numa região com gradientes de altura geopotencial fracos. O campo de
temperatura no nível de 925 hPa apresentava uma língua de ar quente ao longo do cavado fraco com um núcleo
de ar quente na latitude de 30 oS.
A figura 1a apresenta a trajetória 1, a qual mostra que vai deslocar-se para Pelotas uma parcela de ar
da região com as coordenadas de 28 o S e 50 o W, ou seja, da região da costa leste na parte norte de Santa Catarina.
De acordo com os campos de temperatura neste nível, a temperatura no ponto de onde deslocar-se-á a parcela de
ar, é 297 oK ou um pouco mais elevada do que em Pelotas (296 oK). Por isso, a temperatura em Pelotas estará em
elevação devido à advecção de ar quente 1 oK por 24 horas.
O campo de altura geopotencial no nível de 500 hPa (figura 1b) mostra a posição do centro do
ciclone um pouco mais ao norte do que no nível de 925 hPa, ou seja, na latitude de 58 oS e na mesmo longitude. A
zona frontal com gradientes de altura geopotencial elevados localizou-se, aproximadamente, ao sul da latitude de
40 oS. O mesmo campo apresenta sobre o Rio Grande do Sul uma corrente de ar quase zonal. O campo de
3317
temperatura no nível de 500 hPa mostra uma isoterma quase zonal na latitude de, aproximadamente, 31 oS. Mais
ao sul, na parte leste da Argentina, o ar estava um pouco mais frio. A mesma figura mostra a trajetória da parcela
2 e que neste nível a parcela de ar que chegará a Pelotas a partir do ponto com coordenadas de 34 o S e 58 o W, ou
seja, do delta do rio Paraguai e começo da lagoa La Plata. Devido a esta trajetória o ar em Pelotas estará mais frio
(em Pelotas a temperatura era de 262 oK e no fim da trajetória passou a 261oK).
Utilizando as trajetórias nos níveis padrões pode-se construir distribuições verticais de temperatura e
umidade previstas. Estas seções verticais previstas permitirão fazer a previsão de diferentes parâmetros
meteorológicos, entre os quais, a previsão de temperatura máxima à superfície. No estudo de Fedorova et al.
(1999) foi apresentado um método de previsão de temperatura máxima utilizando dados de temperatura no topo
da camada com gradiente vertical adiabático seco.
Também, estas seções verticais de temperatura e umidade permitirão fazer previsão dos tipos de
nuvens e, consequentemente, das precipitações. Por exemplo, quatro tipos de seções verticais de temperatura e
umidade, associados com convecção intensa, são apresentados por Bluestein (1993). Estes tipos de
radiossondagem são utilizados para a previsão de tempo de curto prazo pelo Centro Nacional de Previsão de
Tempestades Severas, dos Estados Unidos (NSSFC). A análise de seções verticais obtidas pelos dados do NCEP
nos níveis padrões para a cidade de Pelotas e dos dados de radiossondagem de Porto Alegre foi feita em Fedorova
et al.(2000). Esta análise apresenta seções verticais típicas para os casos de desenvolvimento das nuvens Cb e Ns,
as quais, sabidamente, estão associadas com pancadas de chuva e chuvas fortes e contínuas, respectivamente.
No caso apresentado, duas trajetórias mostram que em Pelotas em baixos níveis virá uma parcela de
ar de nordeste e, em níveis médios, de oeste-sudeste. Utilizando os dados de trajetória da parcela pode-se prever a
elevação da temperatura em baixos níveis e diminuição em médios níveis e, por isso, o aumento da instabilidade
do ar na cidade de Pelotas. Os dados observacionais na estação meteorológica do Centro de Pesquisas
Meteorológicas da Universidade Federal de Pelotas mostram um aumento da nebulosidade no decorrer do dia 30
de janeiro. Às 12 h local foram registradas nuvens Ci (7 décimos do céu) e Ac (2 décimos do céu). Às 15 h local o
céu estava totalmente coberto com nuvens de níveis médios (As e Ac, 10 décimos do céu). Durante a noite e na
madrugada do dia 31 de janeiro foram registradas nuvens Sc e chuva ligeira. As precipitações acumuladas durante
o dia 30 e a noite do dia 31 foram de 9,47 mm/24h.
Figura 1- Campos de altura geopotencial nos níveis de 925 (a ) e 500 hPa (b), onde estão apresentadas as
trajetórias das parcelas de ar para 24h no dia 30 de janeiro de 2000. A trajetória 1 refere-se à chegada da parcela a
Pelotas e a trajetória 2 está relacionada à saída da parcela de Porto Alegre.
As trajetórias 2 da mesma figura 1 mostram para onde vai se deslocar a parcela de ar da cidade de
Porto Alegre. Na figura 1a nota-se que, o nível de 925 hPa, a parcela de ar de Porto Alegre irá para sudoeste e
depois de 24h atingirá o centro do Uruguai (região com coordenadas de 33 oS e 56 oW). No nível de 500 hPa,
3318
devido à corrente de ar quase zonal, a parcela de ar de Porto Alegre deslocar-se-á para leste-nordeste, no oceano
Atlântico; depois de 24 horas estará no ponto 28 oS e 43 oW.
4. CONCLUSÃO
Um método de cálculo de trajetória de parcelas de ar, utilizando o método Lagrangiano de segunda
ordem de precisão foi elaborado. As equações diferenciais ordinárias foram resolvidas pelo método de RungeKutta. Para visualização dos resultados numéricos foi utilizado o pacote gráfico GrADS. Utilizando a linguagem
deste sistema gráfico foi desenvolvido programa de traçado das trajetórias sobrepostas em campos
meteorológicos. Dois exemplos de visualização das trajetórias e do seu tratamento sinótico foram apresentados.
As trajetórias das parcelas de ar permitem:
• identificar a região de onde se deslocará a parcela de ar e investigar as condições do tempo na região do começo
da trajetória;
• analisar as variações de temperatura e umidade ao longo da trajetória o que permite determinar as modificações
destes parâmetros meteorológicos pela advecção para o ponto de previsão;
• construir seções verticais de temperatura e umidade previstas;
• fazer previsão dos tipos de nuvens e de precipitações;
• prever para onde se deslocarão os pontos com algumas propriedades da massa de ar;
• elaborar a previsão de temperatura máxima.
5. AGRADECIMENTOS
Os autores gostariam de agradecer ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e
Tecnológico (CNPq) pelo financiamento deste trabalho no Centro de Pesquisas Meteorológicas da Universidade
Federal de Pelotas.
6. REFERÊNCIAS
BARTELLO, P., THOMAS, S.J. The Cost-effectiveness of semi-Lagrangian advection. Mon. Wea. Rev., 124,
2883-2897, 1996.
BATES, J.R., McDONALD, A. Multiply-upstream, semi-Lagrangian advective schemes: Analysis and application
to a multilevel primitive equation model. Mon.Wea.Rev., 110, 1831-1842, 1982.
BLUESTEIN, H. B. Observations and theory of weather systems. In: Synoptic-dynamic meteorology in
midlatitudes. Oxford: Oxford University Press, 1993. V. 2, 595p.
COTE, J., GRAVEL, S., METHOT, A., PATOINE, A., ROCH, M., STANIFORTH, A. The operational CMCMRB Global Environmental Multiscale (GEM) model. Part I: Design considerations and formulations.
Mon. Wea. Rev., 1373-1395, 1998.
FEDOROVA, N., CARVALHO, M. H.; GONÇALVES, A. M.; ALVES, A. P.; SIGNORINI, E.; PINHEIRO, G. M.
C.; MARQUES, J. R. Q.; OLIVEIRA, V. M.; ALMEIDA, A. J. Verificação de um método de previsão de
temperaturas máximas para Pelotas. Rev. Bras., Met., v. 14, n. 2, p. 37-45, 1999.
FEDOROVA, N., CARVALHO, M. H.; BARBIERI, P. R.B., GONÇALVES, A. M.; ALVES, A. P.; SIGNORINI,
E.; PINHEIRO, G. M. C.; MARQUES, J. R. Q.; OLIVEIRA, V. M.; ALMEIDA, A. J. Um estudo do
desenvolvimento das nuvens Ns e Cb em Pelotas. Submetido ao XI Congresso Brasileiro de
Meteorologia, 2000.
FJORTOFT, R. On a numerical method of integrating the barotropic vorticity equation. Tellus, V.4, 179-194,
1952.
ISAACSON, E., KELLER, B. Analysis of numerical methods, Dover Publications, 1994, 541p.
3319
MANUAL DE PREVISÃO DO TEMPO DE CURTO PRAZO. Leningrad: Hydrometeoisdat, 1986. V. I. 702 p.
(em Russo ).
ROBERT, A. A stable numerical integration scheme for the primitive meteorological equations. Atmos.-Ocean,
19, 35-46, 1981.
STANIFORTH, A., COTE, J. Semi-lagrangian integration schemes for atmospheric models - a review. Mon.
Wea. Rev., 2206-2223, 1991.
WIIN-NIELSON, A. On the application of trajectory methods in numerical forecasting. Tellus, V.11, 180-196,
1959.
3320