Exercícios sobre m - Instituto de Física / UFRJ

CEDERJ - CENTRO DE EDUCAÇÃO SUPERIOR A DISTÂNCIA
DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO
MATERIAL DIDÁTICO IMPRESSO
CURSO: Física
DISCIPLINA: Informática para o Ensino de Física
CONTEUDISTA: Carlos Eduardo Aguiar
AULA 13
TÍTULO: Exercícios sobre o Movimento de Projéteis
META DA AULA
Aplicar o programa desenvolvido na aula anterior a diversos problemas físicos de
interesse.
OBJETIVO
Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta aula, você seja capaz de:
•
Resolver problemas de movimento balístico com programas Logo.
1
Exercícios sobre o Movimento de Projéteis
Alcance máximo
Sem a resistência do ar, o alcance máximo de um projétil é atingido quando o ângulo de
lançamento é de 45 graus. A resistência do ar aumenta ou diminui o ângulo de alcance
máximo? Você pode encontrar a resposta com o programa projetil, variando o ângulo
de lançamento e mantendo a velocidade inicial fixa. Veja, por exemplo, o que acontece ao
executar a instrução repita 8 [projetil 40 (10*contevezes)]. Neste caso
(velocidade inicial = 40), qual é aproximadamente o ângulo de maior alcance?
Balística medieval
Antes do século XVII, pensava-se que um projétil subia em linha reta, fazia uma curva no
alto da trajetória e, em seguida, caía verticalmente. A Figura 13.1, de um livro de 1561
(Daniele Santbech, Problematum Astronomicorum…), ilustra bem essa noção pré-galileana
de movimento balístico. Mostre que a idéia de trajetórias “quase-triangulares” é
aproximadamente correta, se a velocidade inicial ou o coeficiente de atrito forem grandes o
suficiente. Note que, para ver melhor a trajetória, você terá que mudar um pouco a escala s
em ambos os casos.
Figura 13.1. A noção medieval de trajetória balística.
2
Efeito do vento
A força de arrasto depende da velocidade do corpo em relação ao ar. Se soprar um vento
r
r
r r
com velocidade u , a resistência do ar será F = −b(v − u ) . Suponha que o projétil seja
lançado quando houver um vento de velocidade u na direção horizontal. Modifique o
programa projetil, para levar em conta o efeito deste vento. Calcule algumas trajetórias
com vento “contra” e “a favor”.
Atrito não linear
A força de atrito que temos usado aumenta linearmente com a velocidade do projétil, o que
só é realista para um corpo pequeno que se move lentamente. Uma aproximação melhor,
válida para corpos macroscópicos em uma grande faixa de velocidades, é obtida supondo
uma dependência quadrática na velocidade:
r
r r
F = −c | v | v
r
onde | v |= v x2 + v y2 é o módulo do vetor velocidade. Para uma esfera de raio r, medidas da
força de arrasto mostram que c é, aproximadamente,
c ≈ 0,7 ρ r 2
onde ρ é a densidade do meio (aproximadamente 1,2 kg/m3 para o ar). Modifique o
programa projetil, para que a força de atrito tenha a forma dada acima. Calcule
algumas trajetórias de uma bola de futebol (11 cm de raio e 430 g de massa, segundo a
FIFA) chutada a 20 m/s. Faça o programa escrever o alcance e o tempo de vôo da bola.
Compare com os resultados obtidos quando se ignora a resistência do ar.
Informações sobre a próxima aula
Na próxima aula, veremos que o método de Euler tem limitações, e desenvolveremos uma
técnica mais eficiente para resolver equações diferenciais: o método de Euler-Cromer. O
movimento planetário será estudado com este último método.
3