ANÉIS DE NEWTON

TRABALHO Nº 5
ANÉIS DE NEWTON
Neste
trabalho
usado
para
conhecido
calcular
a
procurar
obtenção
por
o
vai
anéis
raio
do
de
de
ilustrar-se
franjas
Newton.
sistema
de
de
um
arranjo
interferência
Pretende-se
geração
geométrico
de
com
anéis
a
que
ficou
esses
anéis
partir
dos
resultados da lâmpada de sódio e usar o valor assim obtido para
estimar
o
comprimento
de
onda
da
risca
verde
do
mercúrio
(λ = 546.1 nm).
1. Introdução:
A formação de anéis de Newton é um caso particular do fenómeno
geral
de
formação
de
franjas
de
interferência
por
divisão
da
amplitude da radiação provocada por reflexão em superfícies de
filmes
finos.
Se
o
filme
for
suficientemente
fino
para
que
a
diferença de percurso óptico induzida pela reflexão seja menor que
o
comprimento
coerentes
de
coerência
(virtuais)
da
radiação,
têm-se
duas
fontes
e ficam criadas as condições para que se
possa observar um padrão de interferência estável – Figura 1.
Figura 1: Interferência num filme fino.
Da sobreposição dos raios 1 e 2 (ou 3 e 4) na Figura 1 resultam as
franjas de interferência que corresponderão a uma interferência
construtiva
sempre
que
a
diferença
de
fase
seja
δ = 2mπ
ou
destrutiva se for δ = (2 m + 1) π .
Nas
condições
da
Figura
1,
a
diferença
de
percurso
óptico
da
radiação que interfere é 2 n t cos θ t onde n é o índice de refracção no
filme, t a sua espessura e θ t o ângulo de transmissão no filme. Se
a
espessura
for
constante
podem
observar-se
franjas
de
igual
inclinação mas se a espessura do filme variar, a diferença de
percurso óptico 2 n t cos θ t
varia mesmo que se mantenha constante o
ângulo de incidência. Se se fixar a direcção de incidência da luz
(por ex. na perpendicular à superfície), a uma franja brilhante ou
escura vai estar associada uma espessura óptica para a qual se
verifica a condição de interferência construtiva ou destrutiva,
respectivamente. Como além disso, em geral o índice de refracção
do filme é constante, às franjas obtidas por reflexão em filmes de
espessura variável chamam-se franjas de igual espessura.
Mostra-se na Figura 2 um arranjo geométrico para obter franjas de
igual espessura em que o filme fino é constituído pela película de
ar situada entre duas superfícies de vidro. Se se colocar uma
lente esférica sobre uma superfície opticamente plana as franjas
de igual espessura (nestas condições chamadas anéis de Newton)
permitem revelar quaisquer heterogeneidades na espessura do filme
e, logo, detectar qualquer imperfeição na superfície da lente.
Para
uma
superfície
esférica
perfeita
as
franjas
são
círculos
concêntricos centrados em torno do ponto de contacto. Qualquer
irregularidade na superfície da lente provoca uma distorção do
padrão de anéis.
2
Figura 2: Arranjo convencional para obter anéis de Newton.
1.1. Anéis de Newton:
Além de permitir testar a qualidade óptica da lente o esquema da
Figura 2 permite ainda o cálculo do raio de curvatura da lente
esférica. Para ver como há no entanto que ter em atenção não só a
contribuição para a diferença de fase da diferença de percurso
óptico 2 n t cos θ t como também a diferença de fase adicional que pode
ocorrer
devido
a
diferentes
características
de
reflexão.
Para
ângulos de incidência até cerca de 30º e, independentemente da
polarização, dois feixes que sofram reflexão um interna e outro
externa sofrem uma diferença de fase relativa de π radianos. Quer
isto então dizer que, para os anéis de Newton obtidos em reflexão
(raios 1 e 2 na Figura 1), existe uma contribuição adicional para
a diferença de fase devida à reflexão e as condições de máximos e
mínimos de interferência são:
3

1 λ

t cos θ t =  m + 2  2n





λ
t cos θ t = m
2n

máximos
(1)
mínimos
Para medir o raio de curvatura da lente normalmente trabalha-se em
condições de incidência normal para as quais
repare-se
na
Figura
3
onde
se
mostra
θ t ≈ 0 . Além disso,
existir
uma
relação
geométrica entre o raio do m-ésimo anel, a espessura do filme de
ar correspondente tm e o raio de curvatura da lente R:
R 2 = rm2 + ( R − t m )
2
(2)
Figura 3: Geometria essencial na geração de anéis de Newton.
Se o raio de curvatura da lente for significativamente maior que a
espessura do filme, pode introduzir-se a aproximação
R 2 >> t 2
na
expressão anterior obtendo-se finalmente para o raio dos anéis
claros e escuros:
4


1 λ
rmax =  m + 
2 n





12
r = m λ R 
 min  n 


R

12
(3)
Para os anéis de Newton obtidos do lado da radiação transmitida
(raios 3 e 4 na Figura 1) não há contribuição adicional para a
diferença de fase devida à reflexão e a um máximo na equação (3)
irá corresponder uma franja destrutiva e vice-versa. Diz-se então
que os padrões de interferência obtidos em reflexão e transmissão
são complementares. A figura 4 mostra uma imagem dos anéis de
Newton.
Figura 4: Os anéis de Newton.
5
2. Procedimento experimental:
2.1. Material:
• Lâmpada
de sódio
• Lâmpada
de mercúrio
• Fonte
de alimentação para as lâmpadas
• Bancada
óptica e respectivos suportes
• Sistema
de lente-superfície plana para gerar os anéis
• Diafragma
íris
• Lentes
de cerca de 5 e 12 cm de distância focal
• Filtro
verde
2.2. Descrição do procedimento experimental:
Dispõe-se uma das lâmpadas sobre a calha óptica seguida da lente
de cerca de 12 cm de distância focal de maneira a assegurar uma
iluminação do sistema gerador de anéis o mais homogénea que for
possível.
Com
a
lente
de
5
cm
de
distância
focal
faz-se
uma
focagem cuidada dos anéis no alvo de modo a ter simultaneamente o
maior contraste possível entre os anéis e uma focagem correcta da
imagem da escala traçada sobre o sistema lente-superfície plana.
Deverá marcar sobre o alvo a imagem dos anéis de Newton obtidos
para a radiação transmitida e não para a radiação obtida do lado
da
reflexão.
Deverá
marcar
os
anéis
correspondentes
à
interferência destrutiva e repare que é muito difícil estimar com
exactidão o centro do sistema de anéis. Por essa razão, deve então
marcar numa folha que colocar no alvo o diâmetro de cerca de 15
anéis marcados ao longo de uma linha horizontal. Para tal, marque
sobre a folha o centro aproximado de cada anel escuro (e não o
ponto em que começa o anel). Não esqueça de marcar o mesmo número
de anéis para cada um dos lados em relação ao centro do alvo. O
raio dos anéis escuros é dado por metade do valor do seu diâmetro.
Marque além disso na vertical o valor da escala projectada no alvo
correspondente a, por ex., 10 divisões da escala (cada divisão
corresponde
a
1
mm).
Deverá
fazer
6
pelo
menos
duas
medidas
independentes
desta
quantidade
pois
esta
medição
é
muito
importante visto dela depender a exactidão do valor real do raio
dos anéis.
Execute o procedimento anterior para a radiação proveniente das
lâmpadas de mercúrio e de sódio não se esquecendo de marcar cerca
de
15
anéis
para
cada
mercúrio
utilize
um
radiação
emitida
pela
lâmpada.
filtro
Quando
verde
lâmpada
para
apenas
a
utilizar
a
seleccionar
lâmpada
de
correspondente
toda
à
de
a
risca
verde (546.1 nm).
3. Resultados e cálculos:
Repare que, por ser mais simples do ponto de vista experimental,
não trabalha com os anéis de Newton em reflexão mas antes em
transmissão – ver Figura 1. Assim sendo, a partir da equação (3)
obtém-se para os anéis escuros:
expressão
que
relaciona
rmin

=  m +

1 λ 
 R
2 n 
o
raio
dos
12
(4)
anéis
de
ordem
m
com
o
comprimento de onda da radiação e com o raio de curvatura da lente
esférica utilizada. Medindo o raio real dos anéis pode calcular-se
o produto
λ R . Se se souber o comprimento de onda λ pode então
calcular-se R e se se conhecer o raio de curvatura da lente pode
estimar-se λ. A partir dos dados obtidos para a lâmpada de sódio
vão procurar determinar o raio de curvatura da lente e, com este
valor,
calcular
o
comprimento
de
onda
da
radiação
verde
do
mercúrio com os dados da lâmpada de mercúrio.
Repare que a medida directa não é o valor real do raio dos anéis
mas antes o valor do diâmetro da imagem dos anéis projectada no
alvo. Se d mi for esse diâmetro, o raio real dos anéis de ordem m
pode obter-se por:
7
rmin =
d mi E r
×
2
Ei
(5)
onde E i é o valor da escala projectada no alvo correspondente a um
determinado valor real da escala marcada sobre o sistema gerador
de anéis E r
- por ex. 10 divisões da escala em que cada divisão
corresponde a uma distância real de 1 mm.
A equação (4) pode rearranjar-se obtendo-se finalmente:
1 λ

rm2 =  m +  R
2 n

(6)
equação que mostra que uma representação gráfica do quadrado do
raio dos anéis em função de m + 1/2 deverá ser uma linha recta de
declive
λ
R . Faça uma representação gráfica do raio do m-ésimo
n
anel escuro ao quadrado em função de m + 1/2 para os dados obtidos
para ambas as lâmpadas e diga se os seus resultados estão de
acordo com o que seria de esperar. Nos gráficos deverá incluir
barras de erros e, para isso, note que no cálculo da propagação de
erros não se mede directamente o raio dos anéis mas antes o seu
diâmetro
(porquê?)
e
que
o
verdadeiro
valor
do
raio
está
relacionado com a razão da escala real do sistema de geração com a
imagem dessa escala projectada no alvo através da lente – equação
(5). Escreva a equação que relaciona rm2 com as quantidades que mede
directamente e use-a para calcular a propagação de erros sobre as
estimativas de
rm2 . Admita como estimadores razoáveis dos erros
associados às medidas directas os seguintes valores:
Parâmetro
Estimativa do erro
diâmetro dos anéis d mi
1.5 mm
Comprimento da escala
projectada no alvo E i
1.5 mm
8
Faça
uma
regressão
m + 1/2
com
sistema
gerador
os
linear
dados
de
da
dos
resultados
lâmpada
anéis
a
de
partir
de
sódio.
do
rm2
em
Calcule
declive
da
função
o
raio
recta
e
de
do
o
respectivo erro associado a partir da estimativa estatística do
erro do declive (dada automaticamente pelas rotinas de regressão
linear).
Faça
agora
uma
regressão
linear
semelhante
para
os
resultados da lâmpada de mercúrio e use o valor do declive para
calcular
agora
o
valor
do
comprimento
da
risca
verde
do
Hg
(λ = 546.1 nm). Note que agora o erro estimado para o comprimento
de
onda
depende
quer
do
erro
estatístico
do
declive
quer
da
estimativa do erro do raio do sistema. Ao calcular quantidades a
partir dos resultados das regressões lineares, não se esqueça de
usar unidades coerentes entre si.
Comente a concordância entre os resultados experimentais obtidos e
os valores teóricos do raio da lente e do comprimento de onda do
mercúrio.
Embora se trabalhe aqui sempre com a radiação transmitida através
do sistema gerador de anéis, os padrões de interferência (franjas
claras
e
escuras)
correspondentes
à
radiação
reflectida
e
transmitida estão relacionados – Figura 4. Qual é então a relação
entre esses dois padrões ? Em que situação será de esperar um
maior contraste nas franjas de interferência. No lado da radiação
reflectida ou no lado da transmitida ? Porquê ?
• Dados:
Radiação das lâmpadas:
- λNa = 589.0 nm
- λHg = 546.1 nm
Sistema gerador de anéis:
- R = 12 m
9
ÓPTICA-FÍSICA

TRABALHO Nº 5
ANÉIS DE NEWTON
Turno:
Data:
Grupo:
Autores:
Objectivos do trabalho:
Quantidades auxiliares:
Valores da escala:
Escala projectada E i
Escala real E r
Estimativa dos erros:
Parâmetro
Estimativa do erro
diâmetro dos anéis d mi
Comprimento da escala
projectada no alvo E i
10
Lâmpada de sódio:
Raio de curvatura da lente:
Resultado final:
R ±δR =
Valor esperado:
Rteor =
Percentagem de erro em relação ao valor esperado:
Comentário:
m
m + 1/2
d mi
rm
Equação teórica de rm2 vs. m + 1/2:
Equação obtida por regressão linear:
Declive b:
Estimativa de δb:
Coeficiente de correlação:
Comentário ao gráfico:
Equações:
Cálculo de R:
Cálculo de δR:
11
rm2
δ
rm2
Lâmpada de mercúrio:
Comprimento de onda:
Resultado final:
λ ± δλ =
Valor esperado:
λ teor =
Percentagem de erro em relação ao valor esperado:
Comentário:
m
m + 1/2
d mi
rm
Equação teórica de rm2 vs. m + 1/2:
Equação obtida por regressão linear:
Declive b:
Estimativa de δb:
Coeficiente de correlação:
Comentário ao gráfico:
Equações:
Cálculo de λ:
Cálculo de δλ:
12
rm2
δ
rm2
Gráficos
Inclua
uma
folha
com
os
gráficos
pedido
no
ponto
3
não
se
esquecendo de incluir barras de erro. Para a representação das
barras de erro associadas a cada valor do quadrado do raio
admita como razoável o intervalo de incerteza dado por rm2 ±
δ
(r ) .
2
m
rm2
A
partir da observação dos gráficos qual a sua conclusão final ?
Responda sucintamente às seguintes questões.
Questões:
•
Qual a relação entre os padrões de interferência (franjas
claras e escuras) correspondentes à radiação reflectida e
transmitida através do sistema gerador de anéis ? Em que
situação espera um maior contraste ?
Comentário final e conclusões:
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