POLÍGONOS REGULARES – 9º ano

POLÍGONOS REGULARES
1. INTRODUÇÃO:
 Os Polígonos Regulares são bastante aplicados
em várias situações práticas, como por exemplo,
no revestimento de pisos ou paredes, em
calçamento de ruas etc.
 Centro de um polígono regular é o centro da
circunferência circunscrita;
 Raio de um polígono regular é o raio da
circunferência circunscrita;
 Apótema de um polígono regular é a distância do
centro a qualquer lado.
2. POLÍGONO REGULAR:
 Um polígono é regular quando tem os lados
congruentes e os ângulos congruentes.
APÓTEMA
VEJA:
QUADRADO : ( REGULAR)

1) Lados Congruentes
2) Ângulos Congruentes

O Apótema é sempre perpendicular ao lado.
 Ângulo central do polígono regular é o ângulo
formado por dois raios consecutivos do mesmo
polígono. O valor do ângulo central é
 RETÂNGULO : ( IRREGULAR )

1) Lados Diferentes
2) Ângulos Congruentes

TRIÂNGULO

 EQUILÁTERO : ( REGULAR)

1) Lados Congruentes
2) Ângulos Congruentes

3. POLÍGONO REGULAR INSCRITO E
CIRCUNSCRITO:
 Já vimos que o polígono regular tem os lados
iguais e os ângulos também iguais.
 Polígono inscrito no círculo é o polígono, cujos
vértices ficam na circunferência. Os lados são
cordas. O círculo diz-se circunscrito ao polígono.
360 0
,
n
sendo n o número de lados.
Todos os polígonos regulares são inscritíveis e
circunscritíveis.
4. RELAÇÕES MÉTRICAS NOS POLÍGONOS
REGULARES INSCRITO:
1)  QUADRADO:
 Cálculo da medida do lado L4  :
F
O
 No COD , temos:
L24  R 2  R 2
R
E
C
L4
R
L24  2 R 2
L4  2 R 2
L
4
R 2
D
 Cálculo da medida do apótema  AP4  :
E
C
 Na figura, observe que:
L4
2
 Como L 4  R
AP4 
L4
AP4
 Polígono circunscrito ao círculo é o polígono,
cujos lados são tangentes à circunferência. Os
lados são cordas. O círculo diz-se inscrito ao
polígono.
F
D
AP
4

R
2
2
Exemplo:
Ex: Calcular a medida do lado e do apótema do
quadrado inscrito numa circunferência de raio
8cm.
Solução:
a) L4  R 2
L4
8
3. 1 GENERALIDADES:
 A inscrição de polígonos regulares baseia-se no
teorema, onde arcos iguais subtendem cordas
iguais;
2
 Então :
AP4
L4  8 2
R 2
2
8 2
AP4 
4 2
2
b) AP4 
2)  HEXÁGONO REGULAR :
A
 Cálculo da medida do lado L6  :
 O AOB é

OA  OB  AB
 Então:
L6  R
O
R
O
Eqüilátero.
Logo:
R
A
B
AP3
B
C
D
L6
 Cálculo da medida do apótema  AP6  :
 O quadrilátero BCDO é um losango, pois os
lados são congruentes (medem R).
 No MOB ,
temos:
2
R
2
AP6     R 2
2
R2
2
2
AP6  R 
4
O
R
AP6
A
M
B
3R 2
AP6 
4
R
2
AP3 
 Logo:
b) AP3 
10
 1800 

 n 


 1800 

AP  R. cos

n


Ln  2.R.sen
R 3 12 3

2
2
AP6  6 3
n
Onde:
A
n  número de lados
OBSERVE:
A) QUADRADO : n  4
L3
O
2R
C
 Cálculo do lado:
 180 0 
0
L4  2.R.sen 4   2.R.sen 45
 
B
R
 
Sendo : sen 45 0 
D
 No ABD ,temos:
2
2
L3  R 2  2 R 
L
L3  R 2  4 R 2
2
L3Cálculo
 3R damedida
L3  do
3R
R 3
R 10

 AP3  5
2
2
INSCRITOS:
b) AP6 
 Cálculo da medida do lado L3  :
3
R
2
 FÓRMULAS MACETE PARA POLÍGONOS
3)  TRIÂNGULO EQUILÁTERO:
L

a) L3  R 3  L3  10 3
a)Como
L6  R, então : L6  12
2
3
SOLUÇÃO:
Exemplo:
Ex: Calcular a medida do lado e do apótema do
hexágono regular inscrito numa circunferência de
raio 12 cm.
SOLUÇÃO:
2
AP
Exemplo:
Ex: Calcular a medida do lado e do apótema do
triângulo eqüilátero inscrito numa circunferência
de raio 10 cm.
R 3
AP 6  2
8
OD

2
2
zx apótema
 AP3  :
4
 2.R.
2

2
2
; então :
2
L
4
 R. 2
 Cálculo do apótema:
 180 0


R
.
cos
AP 4
 4

  R. cos 45 0

 
1)  QUADRADO:
 
2
; então :
2
2
R. 2
AP 4  R. 2  AP 4  2
L
Sendo : cos 45 0 
 
 
1
; então :
2
Sendo : sen 30 0 
1
L6  2.R. 2 
L
L
AP
4
R
6

2.R. 3
3
AP
6
R
3)  TRIÂNGULO EQUILÁTERO:
L
3
 2.R. 3
AP
3
R
 FÓRMULAS MACETE PARA POLÍGONOS
CIRCUNSCRITOS:
R
4
 2.R
2)  HEXÁGONO REGULAR:
B) HEXÁGONO REGULAR : n  6
 Cálculo do lado:
 180 0 

  2.R.sen 30 0

2
.
R
.
sen
L6
 6 
4
 1800 

L  2.R.tg

 n 
AP  R
n
 Cálculo do apótema:
 180 0


R
.
cos
AP 6
 6
 
Sendo : cos 30 0
n

  R. cos 30 0

 
3

; então :
2
1. (FRANCO) Calcule o apótema de um quadrado
inscrito numa circunferência de raio 7 2 cm.
Resp: 7 cm
3
AP 6  R. 2
2. (FRANCO) O lado de um quadrado inscrito numa
C ) TRIÂNGULO EQUILÁTERO : n  3
 Cálculo do lado:
 180 0 

  2.R.sen 60 0

2
.
R
.
sen
L3
 3 
 
 
Sendo : sen 60 0 
3
L3  2.R. 2 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
3
; então :
2
L
4
 R. 3
circunferência mede 10 2 cm. Calcule o raio da
circunferência.
Resp: 10 cm
3. (FRANCO) A medida do apótema de um quadrado
inscrito numa circunferência é 25 cm. Calcule o
raio da circunferência.
Resp: 25 2 cm
4. (FRANCO) Calcule o apótema de um quadrado
inscrito numa circunferência de raio 8 2 cm.
Resp: 8 cm
 Cálculo do apótema:
 180 0 

  R. cos 60 0

R
.
cos
AP 3
 3 
1
Sendo : cos 60 0  ; então :
2
1
R
AP 3  R. 2  AP 3  2
 
 
5. RELAÇÕES MÉTRICAS NOS POLÍGONOS
REGULARES CIRCUNSCRITO:
5. (FRANCO) O lado de um quadrado inscrito numa
circunferência mede 4cm. Calcule o raio da
circunferência.
Resp: 2 2 cm
6. (FRANCO) Um quadrado tem o apótema medindo
5cm. Calcule o perímetro desse quadrado inscrito
na circunferência.
Resp: 40 cm
7.
(FRANCO) Calcular a medida do raio e do
apótema
no
quadrado
inscrito
numa
circunferência, cujo o lado mede 12cm.
Resp: 6 2 cm e 6 cm
Resp:
8. (FRANCO) A diagonal de um quadrado inscrito em
uma circunferência mede 5cm. Calcule o lado do
hexágono regular inscrito nessa mesma
circunferência.
Resp: 2,5 cm
20. (FRANCO) Num círculo estão inscritos um
hexágono regular e um triângulo eqüilátero. A
soma do quadrado do número que representa a
medida do apótema do hexágono com o número
que representa o apótema do triângulo, vale 310.
Calcular o lado do hexágono e o do triângulo.
Resp: 20 cm e 34,6 cm
9. (FRANCO) O lado de um quadrado inscrito em
uma circunferência mede 10 2 cm. Calcule a
medida do lado do triângulo eqüilátero inscrito na
mesma circunferência.
Resp: 10 3 cm
10. (FRANCO) O lado de um quadrado inscrito numa
circunferência mede 12 2 cm. Calcular o lado
do quadrado circunscrito ao mesmo círculo.
Resp: 24 cm
11. (FRANCO) Em um círculo, estão inscritos um
quadrado e um triângulo eqüilátero. Se o lado do
triângulo mede 12cm, quanto mede o lado do
quadrado?
Resp:
4 6
cm
12. (FRANCO) O perímetro de um quadrado inscrito
8 6
cm
21. (FRANCO) Em um mesmo círculo está inscrito,
um triângulo eqüilátero, um quadrado e um
hexágono regular. Calcule o raio do círculo,
sabendo-se que L3  L4  L6 mede 33,12cm.
Resp: 8 cm
22. (FRANCO) Calcule o apótema de um triângulo
eqüilátero inscrito numa circunferência de raio 28
cm.
Resp: 14 cm
23. (FRANCO) O apótema de um triângulo eqüilátero
3
inscrito numa circunferência mede
Quanto mede o seu lado?
Resp: 6 cm
cm.
mede 32 2 cm. Calcular a medida do raio do
círculo de inscrição.
Resp: 8 cm
24. (FRANCO) Num círculo estão inscritos um
quadrado, um triângulo eqüilátero e um hexágono
regular cuja soma de seus perímetros vale
168,3m. Calcular os apótemas das três figuras.
13. (FRANCO) Determine o perímetro de um
hexágono regular inscrito numa circunferência de
5cm de raio.
Resp: 30 cm
Resp:
14. (FRANCO) O apótema de um hexágono regular
inscrito numa circunferência mede 15cm. Quanto
mede o seu lado?
Resp:
10 3
AP4  7,05m / AP3  5m / AP6  8,65m
TESTES
1. (FRANCO) Numa circunferência está inscrito um
triângulo eqüilátero cujo apótema mede 3cm. A
medida do diâmetro dessa circunferência é:
cm
a) 10cm
b) 12cm
c) 14cm
d) 16cm
15. (FRANCO) O apótema de um hexágono regular
inscrito numa circunferência mede
Determine o perímetro do hexágono.
Resp: 84 cm
7 3 cm.
16. (FRANCO) O raio de um hexágono regular
inscrito numa circunferência mede 5cm. Calcule o
perímetro do hexágono.
Resp: 30 cm
17. (FRANCO) O lado de um hexágono regular
inscrito numa circunferência mede 26cm. Quanto
mede o seu apótema?
Resp:
13 3
cm
18. (FRANCO) Achar o lado do hexágono regular,
inscrito num círculo, onde a diagonal do quadrado
circunscrito mede 8cm.
Resp: 2,828 cm
19. (FRANCO) Em um círculo está inscrito, um
quadrado e um hexágono regular. Se o apótema
do hexágono mede 12cm, quanto mede o lado do
quadrado?
2. (FRANCO) O perímetro de um hexágono regular
inscrito numa circunferência de 14cm de diâmetro
é:
a) 36cm
b) 42cm
c) 48cm
d) 54cm
3. (FRANCO) A medida do diâmetro de uma
circunferência é 36cm. A medida do lado de um
quadrado inscrito nessa circunferência é:
a) 9cm
b) 12 2cm
c)
12 3cm
d) 18 2cm
4. (FRANCO) O perímetro de um quadrado inscrito
numa circunferência é 40cm. Então, o raio da
circunferência mede:
a) 5 2cm
b)
c) 10 2cm
d)
5 3cm
10 3cm
5. (FRANCO) O perímetro de um hexágono regular
cujo apótema mede
5 3cm
é:
a) 58cm
b) 60cm
c) 62cm
d) 64cm
6. (FRANCO) O raio de uma circunferência onde se
inscreve um triângulo eqüilátero de 3cm de lado
é:
a) 1
3
b)
c)
3
2
d)
3
4
7. (FRANCO) O perímetro de um quadrado inscrito
1
numa circunferência cujo apótema mede 3 cm
2
3) Calcule o lado de um quadrado inscrito numa
circunferência de raio 6 m.
4) Calcule o apótema de um triângulo equilátero de
lado 6√3 cm.
5) O apótema de triângulo equilátero mede 2√3 cm.
Determine o lado desse triângulo.
6) Calcule o lado de um quadrado inscrito numa
circunferência de raio 5√2 cm .
é:
7) Um hexágono regular encontra-se inscrito em uma
a) 24cm
b) 26cm
c) 28cm
d) 30cm
8. (FRANCO) O lado do quadrado inscrito numa
circunferência mede 4cm. O lado do triângulo
eqüilátero inscrito na mesma circunferência
mede:
a)
2 3
b)
2 6
c) 3 2
circunferência de raio 8 cm. Calcule o lado e o
apótema desse hexágono.
8) Calcule o apótema de um quadrado inscrito numa
circunferência de raio 5√8 cm
d) 6 2
9) O lado de um quadrado inscrito numa
9. (FRANCO) A distância entre dois lados paralelos
de um hexágono regular inscrito numa


circunferência é definida por a  2 . 3m . Assim
sendo, o raio dessa circunferência tem por
expressão:
circunferência mede 10√2 cm . Calcule o raio da
circunferência
10) Calcule o lado e o apótema de um quadrado
inscrito numa circunferência de raio 6√2 cm
a)
2 3m
b)
a 3m
11) A medida do apótema de um quadrado inscrito
c)
a  2m
d)
a2
m
2
numa circunferência é 15 cm calcule o raio
da circunferência.
10. (FRANCO) Numa circunferência inscreve-se um
triângulo eqüilátero cujo lado mede 10 3m . Em
seguida, no interior do triângulo constrói-se outro
triângulo, também eqüilátero, cujos lados ficam
afastados 1m dos lados do primeiro. O apótema
do triângulo menor mede:
TERCEIRA PARTE
1. Construa a tabela do seno, cosseno e
tangente dos ângulos mais usados 30º, 45º e
60º:
2. Um terreno tem a forma de um triângulo
a) 4m
b)
2 3m
c) 3 2m
d)
5 3m
retângulo. Algumas de suas medidas estão
indicadas, em metros, na figura. Determine
GABARITO
1. B
3. D
5. B
7. C
9. C
2. B
4. A
6. B
8. B
10. A
as medidas x e y dos lados desse terreno.
A
12 3
y
x
SEGUNDA PARTE
1) Um hexágono regular encontra-se inscrito em uma
circunferência de raio 10 cm. Faça a figura relativa a
esta situação e então calcule o lado e o apótema do
C

60º
B
3. Na figura temos PA = 24 cm.
A
quadrado.
r
2) Uma circunferência está circunscrita a um triângulo
equilátero cujo apótema é 12√3 cm. Calcule o lado e
o apótemas do triângulo

O
30º
d
P
Determine o comprimento do raio da
circunferência.
4. (UFRJ) Milena, diante da configuração
representada
abaixo,
pede
ajuda
aos
vestibulandos para calcular o comprimento
da sombra x do poste, mas, para isso, ela
informa que o sen  = 0,6. Calcule o
máquina. No corte aparecem dois círculos, com
raios de 3cm e 4cm, um suporte vertical e um
apoio horizontal.
A partir das medidas indicadas na figura,
conclui-se que a altura do suporte é
a) 7 cm
b) 11 cm
c) 12 cm
d) 14 cm
e) 16 cm
comprimento da sombra x.
9. (Unirio) Um disco voador é avistado, numa
região plana, a uma certa altitude, parado no
ar. Em certo instante, algo se desprende da
nave e cai em queda livre, conforme mostra a
figura. A que altitude se encontra esse disco
voador?
5. Calcule a soma dos catetos do triângulo
retângulo da figura, sabendo que AB = 10 e BC
= 6.
a) 6
b) 8
c) 14
d) 2S
e) 16
6.Vunesp) Uma pessoa, no nível do solo,
observa o ponto mais alto de uma torre
vertical, à sua frente, sob o ângulo de 30º.
Aproximando-se 40 metros da torre, ela passa
a ver esse ponto sob o ângulo de 45º. A altura
aproximada da torre, em metros, é
a) 44,7.
b) 48,8.
c) 54,6.
d) 60,0.
e) 65,3.
7. (PUC-Camp) Uma pessoa encontra-se num
ponto A, localizado na base de um prédio,
conforme mostra a figura adiante.
Se ela caminhar 90 metros em linha reta,
chegará a um ponto B, de onde poderá ver o
topo C do prédio, sob um ângulo de 60°.
Quantos metros ela deverá se afastar do ponto
A, andando em linha reta no sentido de A para
B, para que possa enxergar o topo do prédio
sob um ângulo de 30°?
a) 150
b) 180
c) 270
d) 300
e) 310
8. (PUC-Camp) A figura a seguir é um corte
vertical de uma peça usada em certo tipo de
Considere as afirmativas:
l - a distância d é conhecida;
ll - a medida do ângulo  e a tg do mesmo
ângulo são conhecidas.
Então, tem-se que:
a) a l sozinha é suficiente para responder à
pergunta, mas a ll, sozinha, não.
b) a ll sozinha é suficiente para responder à
pergunta, mas a l, sozinha, não.
c) l e ll, juntas, são suficientes para
responder à pergunta, mas nenhuma delas,
sozinha, não é:
d) ambas são, sozinhas, suficientes para
responder à pergunta.
e) a pergunta não pode ser respondida por
falta de dados.
10. (UFRS) Um barco parte de A para
atravessar o rio. A direção de seu
deslocamento forma um ângulo de 120°
com a margem do rio.
Sendo a largura do rio 60 m, a distância,
em metros, percorrida pelo barco foi de
a) 40
2
b) 40 3
c) 45 3
d) 50 3
e) 60 2
11. Determine a medida x indicada no
16. Numa circunferência está inscrito um
triângulo equilátero cujo apótema mede 3
cm. A medida do diâmetro dessa
circunferência é:
triângulo acutângulo abaixo:
A
a)
b)
c)
d)
e)
60º
8 cm
6 cm.
10 cm.
12 cm.
42 cm.
36 cm.
45º
B
C
x
17. O apótema de um triângulo equilátero
inscrito numa circunferência mede 8 cm. O
lado do hexágono regular inscrito nessa
circunferência mede:
a) 8 cm.
12. Determine o valor de x no triângulo
abaixo:
x
6 cm
b) 8 2 cm.
c) 16 cm.
60º
d) 16 2 cm.
8 cm
13. Num triângulo ABC, o ângulo  mede 60º
e o lado oposto mede 7 cm. Se um dos
lados adjacentes ao ângulo  mede 3 cm,
qual a medida do outro lado do triângulo?
A
18. Observe a figura abaixo: o perímetro do
hexágono regular inscrito na circunferência é
18 3 cm. O perímetro do triângulo equilátero
circunscrito a essa mesma circunferência é:
a) 36.
b) 90.
c) 54.
d) 72.
3 cm
O
B
7 cm
C
14. Utilizando a lei dos cossenos no triângulo ABC,
19. O lado de um quadrado inscrito em uma
circunferência mede 10 2 cm. A medida do
lado do triângulo equilátero inscrito na
determine o valor de x:
mesma circunferência é:
x
3 cm
a) 10 3 .
60º
b) 30 2 .
4 cm
15. Determine as medidas do lado e do apótema
de cada um dos polígonos regulares abaixo:
a)
b)

O
1,5 cm
O
8 cm
c) 10 2 .
d) 15 3 .
O