Lei de Gauss e Condutores em Equilíbrio Eletrostático
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Fluxo Elétrico Fluxo Elétrico Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Condutores Elétricos Condutores Elétricos Carga e Campo na Sup Lei de Gauss e Condutores em Equilı́brio Eletrostático Wilson Fadlo Curi 2008 Wilson Fadlo Curi Lei de Gauss e Condutores em Equilı́brio Eletrostático Fluxo Elétrico Fluxo Elétrico Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Condutores Elétricos Condutores Elétricos Carga e Campo na Sup Fluxo Elétrico: Está relacionado com o número lı́quido de linhas de força que atravessam uma superfı́cie. φe = EA1 ou φe = EA2 cosθ = ~E · n̂A2 Wilson Fadlo Curi Lei de Gauss e Condutores em Equilı́brio Eletrostático Fluxo Elétrico Fluxo Elétrico Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Condutores Elétricos Condutores Elétricos Carga e Campo na Sup Fluxo Elétrico: Está relacionado com o número lı́quido de linhas de força que atravessam uma superfı́cie. φe = EA1 ou φe = EA2 cosθ = ~E · n̂A2 Definição: φe = lim∆Ai →0 ∑i ~E · n̂∆Ai = ~E · n̂ dA R onde n̂ é o vetor unitário normal à superfı́cie. Unidade: N.m2 /C Wilson Fadlo Curi Lei de Gauss e Condutores em Equilı́brio Eletrostático Fluxo Elétrico Fluxo Elétrico Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Condutores Elétricos Condutores Elétricos Carga e Campo na Sup Exemplo: Calcular o fluxo elétrico de uma superfı́cie esférica de raio R com uma carga puntiforme q em seu interior. Wilson Fadlo Curi Lei de Gauss e Condutores em Equilı́brio Eletrostático Fluxo Elétrico Fluxo Elétrico Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Condutores Elétricos Condutores Elétricos Carga e Campo na Sup Exemplo: Calcular o fluxo elétrico de uma superfı́cie esférica de raio R com uma carga puntiforme q em seu interior. Solução: I φe = ~E · n̂ dA = I Kq R2 dA = Kq R2 4πR 2 pois ~E é perpendicular à superfı́cie esférica, φe = 4πKq (q é a carga interna à superfı́cie). Wilson Fadlo Curi Lei de Gauss e Condutores em Equilı́brio Eletrostático Fluxo Elétrico Fluxo Elétrico Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Condutores Elétricos Condutores Elétricos Carga e Campo na Sup Exemplo: Calcular o fluxo elétrico de uma superfı́cie esférica de raio R com uma carga puntiforme q em seu interior. Solução: I φe = ~E · n̂ dA = I Kq R2 dA = Kq R2 4πR 2 pois ~E é perpendicular à superfı́cie esférica, φe = 4πKq (q é a carga interna à superfı́cie). Se q > 0 ↔ φe > 0, q < 0 ↔ φe < 0 e q = 0 ↔ φe = 0. Wilson Fadlo Curi Lei de Gauss e Condutores em Equilı́brio Eletrostático Fluxo Elétrico Fluxo Elétrico Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Condutores Elétricos Condutores Elétricos Carga e Campo na Sup Lei de Gauss: “em geral, num sistema de cargas elétricas, o fluxo lı́quido através de uma superfı́cie fechada S qualquer é igual a 4πK vezes a carga interna lı́quida (qint ) em seu interior” φe = ~E · n̂ dA = 4πKqint H Wilson Fadlo Curi Lei de Gauss e Condutores em Equilı́brio Eletrostático Fluxo Elétrico Fluxo Elétrico Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Condutores Elétricos Condutores Elétricos Carga e Campo na Sup Lei de Gauss: “em geral, num sistema de cargas elétricas, o fluxo lı́quido através de uma superfı́cie fechada S qualquer é igual a 4πK vezes a carga interna lı́quida (qint ) em seu interior” φe = ~E · n̂ dA = 4πKqint H Se a carga lı́quida interna é igual a zero, o número lı́quido de linhas de força que entram na superfı́cie é igual ao número de linhas de força que saem da superfı́cie, logo φe = 0; Wilson Fadlo Curi Lei de Gauss e Condutores em Equilı́brio Eletrostático Fluxo Elétrico Fluxo Elétrico Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Condutores Elétricos Condutores Elétricos Carga e Campo na Sup Lei de Gauss: “em geral, num sistema de cargas elétricas, o fluxo lı́quido através de uma superfı́cie fechada S qualquer é igual a 4πK vezes a carga interna lı́quida (qint ) em seu interior” φe = ~E · n̂ dA = 4πKqint H Se a carga lı́quida interna é igual a zero, o número lı́quido de linhas de força que entram na superfı́cie é igual ao número de linhas de força que saem da superfı́cie, logo φe = 0; Esta lei facilita o cálculo do campo elétrico, ~E, nos casos de simetria significativa; Wilson Fadlo Curi Lei de Gauss e Condutores em Equilı́brio Eletrostático Fluxo Elétrico Fluxo Elétrico Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Condutores Elétricos Condutores Elétricos Carga e Campo na Sup Lei de Gauss: “em geral, num sistema de cargas elétricas, o fluxo lı́quido através de uma superfı́cie fechada S qualquer é igual a 4πK vezes a carga interna lı́quida (qint ) em seu interior” φe = ~E · n̂ dA = 4πKqint H Se a carga lı́quida interna é igual a zero, o número lı́quido de linhas de força que entram na superfı́cie é igual ao número de linhas de força que saem da superfı́cie, logo φe = 0; Esta lei facilita o cálculo do campo elétrico, ~E, nos casos de simetria significativa; Permissividade no vácuo: ε0 ε0 = Wilson Fadlo Curi Lei de Gauss e Condutores em Equilı́brio Eletrostático 1 4πK = 8, 85 × 10−12 C 2 /N .m2 Fluxo Elétrico Fluxo Elétrico Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Condutores Elétricos Condutores Elétricos Carga e Campo na Sup Lei de Gauss: “em geral, num sistema de cargas elétricas, o fluxo lı́quido através de uma superfı́cie fechada S qualquer é igual a 4πK vezes a carga interna lı́quida (qint ) em seu interior” φe = ~E · n̂ dA = 4πKqint H Se a carga lı́quida interna é igual a zero, o número lı́quido de linhas de força que entram na superfı́cie é igual ao número de linhas de força que saem da superfı́cie, logo φe = 0; Esta lei facilita o cálculo do campo elétrico, ~E, nos casos de simetria significativa; Permissividade no vácuo: ε0 ε0 = Logo: Wilson Fadlo Curi Lei de Gauss e Condutores em Equilı́brio Eletrostático 1 4πK = 8, 85 × 10−12 C 2 /N .m2 φe = ~E · n̂ dA = H qint ε0 Fluxo Elétrico Fluxo Elétrico Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Condutores Elétricos Condutores Elétricos Carga e Campo na Sup Exemplo: Calcular o campo elétrico ~E a uma distância r de um fio comprido carregado uniformemente com densidade de cargas positivas λ. Wilson Fadlo Curi Lei de Gauss e Condutores em Equilı́brio Eletrostático Fluxo Elétrico Fluxo Elétrico Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Condutores Elétricos Condutores Elétricos Carga e Campo na Sup Exemplo: Calcular o campo elétrico ~E a uma distância r de um fio comprido carregado uniformemente com densidade de cargas positivas λ. Solução: Toma-se um cilindro fechado de raio r e comprimento L ao redor do fio. Devido à simetria do problema, o campo elétrico ~E é perpendicular à superfı́cie do cilindro. Wilson Fadlo Curi Lei de Gauss e Condutores em Equilı́brio Eletrostático Fluxo Elétrico Fluxo Elétrico Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Condutores Elétricos Condutores Elétricos Carga e Campo na Sup Exemplo: Calcular o campo elétrico ~E a uma distância r de um fio comprido carregado uniformemente com densidade de cargas positivas λ. Solução: Toma-se um cilindro fechado de raio r e comprimento L ao redor do fio. Devido à simetria do problema, o campo elétrico ~E é perpendicular à superfı́cie do cilindro. Aplica-se a Lei de Gauss com a carga interna igual a λL: H H H φe = ~E · n̂ dA = E dA = E dA = E .2πrL = qεint = λε0L Logo: 0 E= λ 2πr ε0 = 2K λ r Wilson Fadlo Curi Lei de Gauss e Condutores em Equilı́brio Eletrostático Fluxo Elétrico Fluxo Elétrico Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Condutores Elétricos Condutores Elétricos Carga e Campo na Sup Exemplo: Calcular o campo elétrico ~E a uma distância r de um fio comprido carregado uniformemente com densidade de cargas positivas λ. Solução: Toma-se um cilindro fechado de raio r e comprimento L ao redor do fio. Devido à simetria do problema, o campo elétrico ~E é perpendicular à superfı́cie do cilindro. Aplica-se a Lei de Gauss com a carga interna igual a λL: H H H φe = ~E · n̂ dA = E dA = E dA = E .2πrL = qεint = λε0L Logo: 0 E= λ 2πr ε0 = 2K λ r Se o fio não for comprido, o campo elétrico na superfı́cie não é constante. Nesse caso, apesar da Lei de Gauss ser válida, devido à falta de simetria, não é possı́vel determinar o campo elétrico como fizemos anteriormente. Wilson Fadlo Curi Lei de Gauss e Condutores em Equilı́brio Eletrostático Fluxo Elétrico Fluxo Elétrico Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Condutores Elétricos Condutores Elétricos Carga e Campo na Sup Exemplo: Calcular o campo elétrico devido a um plano infinito uniformemente carregado com densidade de carga σ. Wilson Fadlo Curi Lei de Gauss e Condutores em Equilı́brio Eletrostático Fluxo Elétrico Fluxo Elétrico Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Condutores Elétricos Condutores Elétricos Carga e Campo na Sup Exemplo: Calcular o campo elétrico devido a um plano infinito uniformemente carregado com densidade de carga σ. Solução: Por simetria, O campo ~E Wilson Fadlo Curi Lei de Gauss e Condutores em Equilı́brio Eletrostático Fluxo Elétrico Fluxo Elétrico Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Condutores Elétricos Condutores Elétricos Carga e Campo na Sup Exemplo: Calcular o campo elétrico devido a um plano infinito uniformemente carregado com densidade de carga σ. Solução: Por simetria, O campo ~E é perpendicular ao plano; Wilson Fadlo Curi Lei de Gauss e Condutores em Equilı́brio Eletrostático Fluxo Elétrico Fluxo Elétrico Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Condutores Elétricos Condutores Elétricos Carga e Campo na Sup Exemplo: Calcular o campo elétrico devido a um plano infinito uniformemente carregado com densidade de carga σ. Solução: Por simetria, O campo ~E é perpendicular ao plano; varia com o quadrado da distância ao plano; Wilson Fadlo Curi Lei de Gauss e Condutores em Equilı́brio Eletrostático Fluxo Elétrico Fluxo Elétrico Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Condutores Elétricos Condutores Elétricos Carga e Campo na Sup Exemplo: Calcular o campo elétrico devido a um plano infinito uniformemente carregado com densidade de carga σ. Solução: Por simetria, O campo ~E é perpendicular ao plano; varia com o quadrado da distância ao plano; deve ter mesmo módulo; Wilson Fadlo Curi Lei de Gauss e Condutores em Equilı́brio Eletrostático Fluxo Elétrico Fluxo Elétrico Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Condutores Elétricos Condutores Elétricos Carga e Campo na Sup Exemplo: Calcular o campo elétrico devido a um plano infinito uniformemente carregado com densidade de carga σ. Solução: Por simetria, O campo ~E é perpendicular ao plano; varia com o quadrado da distância ao plano; deve ter mesmo módulo; deve ter direções opostas nas duas faces do plano. Wilson Fadlo Curi Lei de Gauss e Condutores em Equilı́brio Eletrostático Fluxo Elétrico Fluxo Elétrico Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Condutores Elétricos Condutores Elétricos Carga e Campo na Sup Exemplo: Calcular o campo elétrico devido a um plano infinito uniformemente carregado com densidade de carga σ. Solução: Por simetria, O campo ~E é perpendicular ao plano; varia com o quadrado da distância ao plano; deve ter mesmo módulo; deve ter direções opostas nas duas faces do plano. Portanto, o fluxo elétrico que sai de cada face do cilindro escolhido é ~E · n̂A = EnA, e o fluxo total (2 × Área) será de 2EnA. Sendo a carga lı́quida no interior da superfı́cie limitada pelo cilindro σA. Wilson Fadlo Curi Lei de Gauss e Condutores em Equilı́brio Eletrostático Fluxo Elétrico Fluxo Elétrico Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Condutores Elétricos Condutores Elétricos Carga e Campo na Sup Exemplo: Calcular o campo elétrico devido a um plano infinito uniformemente carregado com densidade de carga σ. Solução: Por simetria, O campo ~E é perpendicular ao plano; varia com o quadrado da distância ao plano; deve ter mesmo módulo; deve ter direções opostas nas duas faces do plano. Portanto, o fluxo elétrico que sai de cada face do cilindro escolhido é ~E · n̂A = EnA, e o fluxo total (2 × Área) será de 2EnA. Sendo a carga lı́quida no interior da superfı́cie limitada pelo cilindro σA. Da Lei de Gauss: H φtot = En dA = 2EnA = qεint = σεA , logo 0 0 En = 2σε = 2K πσ 0 Wilson Fadlo Curi Lei de Gauss e Condutores em Equilı́brio Eletrostático Fluxo Elétrico Fluxo Elétrico Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Condutores Elétricos Condutores Elétricos Carga e Campo na Sup Exemplo: Calcular o campo elétrico a uma distância r de uma esfera de raio R com carga positiva uniformemente distribuı́da com densidade volumar ρ. Wilson Fadlo Curi Lei de Gauss e Condutores em Equilı́brio Eletrostático Fluxo Elétrico Fluxo Elétrico Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Condutores Elétricos Condutores Elétricos Carga e Campo na Sup Exemplo: Calcular o campo elétrico a uma distância r de uma esfera de raio R com carga positiva uniformemente distribuı́da com densidade volumar ρ. Solução: O campo elétrico devido à esfera será perpendicular a qualquer superfı́cie esférica que tomarmos para utilizarmos a Lei de Gauss, logo: I qint φe = ~E · n̂ dA = E × 4πr 2 = ε0 ou E= Wilson Fadlo Curi Lei de Gauss e Condutores em Equilı́brio Eletrostático qint 4πr 2 ε0 Fluxo Elétrico Fluxo Elétrico Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Condutores Elétricos Condutores Elétricos Carga e Campo na Sup Exemplo: Calcular o campo elétrico a uma distância r de uma esfera de raio R com carga positiva uniformemente distribuı́da com densidade volumar ρ. Solução: O campo elétrico devido à esfera será perpendicular a qualquer superfı́cie esférica que tomarmos para utilizarmos a Lei de Gauss, logo: I qint φe = ~E · n̂ dA = E × 4πr 2 = ε0 ou E= qint 4πr 2 ε0 Se r > R a carga interna será: qint = ρ × 43 πR 3 = qtotal Wilson Fadlo Curi Lei de Gauss e Condutores em Equilı́brio Eletrostático Fluxo Elétrico Fluxo Elétrico Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Condutores Elétricos Condutores Elétricos Carga e Campo na Sup Exemplo: Calcular o campo elétrico a uma distância r de uma esfera de raio R com carga positiva uniformemente distribuı́da com densidade volumar ρ. Solução: O campo elétrico devido à esfera será perpendicular a qualquer superfı́cie esférica que tomarmos para utilizarmos a Lei de Gauss, logo: I qint φe = ~E · n̂ dA = E × 4πr 2 = ε0 ou E= qint 4πr 2 ε0 Se r > R a carga interna será: qint = ρ × 43 πR 3 = qtotal 3 Se r < R a carga interna será: qint = ρ × 43 πr 3 = qtotal Rr 3 Wilson Fadlo Curi Lei de Gauss e Condutores em Equilı́brio Eletrostático Fluxo Elétrico Fluxo Elétrico Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Condutores Elétricos Condutores Elétricos Carga e Campo na Sup Condutores Elétricos: Gilbert classificou os materiais em elétricos e não-elétricos (condutores foram classificados como não-elétricos); Gray descobriu a condução elétrica; Du Fay mostrou que todos os materiais podiam ser eletrificados; Cavendish usou a sensação fisiológica para comparar capacidades condutoras dos materiais; Wilson Fadlo Curi Lei de Gauss e Condutores em Equilı́brio Eletrostático Fluxo Elétrico Fluxo Elétrico Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Condutores Elétricos Condutores Elétricos Carga e Campo na Sup Condutores Elétricos: Gilbert classificou os materiais em elétricos e não-elétricos (condutores foram classificados como não-elétricos); Gray descobriu a condução elétrica; Du Fay mostrou que todos os materiais podiam ser eletrificados; Cavendish usou a sensação fisiológica para comparar capacidades condutoras dos materiais; Condutividade: medida da capacidade do material em conduzir eletricidade (materiais podem ser classificados em condutores, não-condutores e semi-condutores); Nos materiais condutores existem “elétrons livres”, que podem se deslocar com facilidade; ’Blindagem’: é o efeito em que os elétrons mais afastados do núcleo de um átomo são fracamente ligados ao núcleo devido a repulsão dos elétrons mais internos; Wilson Fadlo Curi Lei de Gauss e Condutores em Equilı́brio Eletrostático Fluxo Elétrico Fluxo Elétrico Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Condutores Elétricos Condutores Elétricos Carga e Campo na Sup O número de elétrons livres em um condutor depende do tipo de material (é da órdem de 1 por átomo); Na presença de campo elétrico externo, cargas elétricas livres nos materiais condutores tendem a se deslocar para a superfı́cie externa no sentido de criar um campo elétrico oposto (para tentar anulá-lo) no interior do material; O equilı́rio eletrostático é impossı́vel num condutor a menos que o campo elétrico seja zero em todos os pontos internos; Emissão de campo, em eletrônica, é quando a força elétrica devida a um campo externo, consegue vencer a força de ligação entre elétrons e o condutor e os arranca da superfı́cie condutora. Wilson Fadlo Curi Lei de Gauss e Condutores em Equilı́brio Eletrostático Fluxo Elétrico Fluxo Elétrico Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Condutores Elétricos Condutores Elétricos Carga e Campo na Sup Carga e Campo na Superfı́cie Condutora: No equilı́brio eletrostático: Qualquer carga em excesso num condutor está na superfı́cie; O campo elétrico nas vizinhanças externas de um condutor é perpendicular à superfı́cie e tem módulo εσ , sendo σ a densidade 0 superficial de carga. Wilson Fadlo Curi Lei de Gauss e Condutores em Equilı́brio Eletrostático Fluxo Elétrico Fluxo Elétrico Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Condutores Elétricos Condutores Elétricos Carga e Campo na Sup Carga e Campo na Superfı́cie Condutora: No equilı́brio eletrostático: Qualquer carga em excesso num condutor está na superfı́cie; O campo elétrico nas vizinhanças externas de um condutor é perpendicular à superfı́cie e tem módulo εσ , sendo σ a densidade 0 superficial de carga. Considere uma casca esférica: O campo elétrico é zero (En =0) na superfı́cie imediatamente interior à casca esférica, pois a carga interior é zero; Considerando uma superfı́cie cilı́ndrica, conforme mostra a figura, temos: H φtot = ~E · n̂ dA = En A = σεA 0 En = εσ 0 Wilson Fadlo Curi Lei de Gauss e Condutores em Equilı́brio Eletrostático Fluxo Elétrico Fluxo Elétrico Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Condutores Elétricos Condutores Elétricos Carga e Campo na Sup No caso de um plano infinito carregado, vimos que o campo elétrico é a metade do valor obtido anteriormente, pois o fluxo lı́quido que passa pela superfı́cie gaussiana é 2En A (pelas duas bases do cilindro de área A), logo En = Wilson Fadlo Curi Lei de Gauss e Condutores em Equilı́brio Eletrostático σ 2ε0 Fluxo Elétrico Fluxo Elétrico Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Condutores Elétricos Condutores Elétricos Carga e Campo na Sup No caso de um plano infinito carregado, vimos que o campo elétrico é a metade do valor obtido anteriormente, pois o fluxo lı́quido que passa pela superfı́cie gaussiana é 2En A (pelas duas bases do cilindro de área A), logo En = σ 2ε0 No caso de uma placa condutora expessa: O campo devido a uma das laterais: 2σε 0 O campo elétrico no interior da placa tem direções opostas e se anula; O campo elétrico do lado de fora é resultado da contribuição do campo elétrico de cada lateral da placa condutora σ 2ε0 + σ 2ε0 = σ ε0 Pode ser generalizado para qualquer superfı́cie. Wilson Fadlo Curi Lei de Gauss e Condutores em Equilı́brio Eletrostático Fluxo Elétrico Fluxo Elétrico Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Condutores Elétricos Condutores Elétricos Carga e Campo na Sup Carga por Indução: Quando se aproxima um bastão carregado positivamente de esferas condutoras, sem tocá-las, os elétrons livres se deslocam no sentido de anular o campo elétrico interno - indução eletrostática. Wilson Fadlo Curi Lei de Gauss e Condutores em Equilı́brio Eletrostático
