ˆ ˆ ˆ rxiyjzk = ∙ + ∙ + ∙ v : θ
Propaganda
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori Notas de aula 01 – 1° Bimestre EMENTA Desenvolvimento e aplicação das equações vetoriais que relacionam as várias grandezas cinemáticas envolvidas no estudo dos movimentos de sólidos. Classificação dos movimentos do sólido. Aplicação dos princípios e equações cinemáticas nos movimentos de dispositivos compostos por vários sólidos e vínculos. r x iˆ y ˆj z kˆ Vetor velocidade média vm : Vetor Posição: vm r t OBJETIVOS GERAIS Desenvolver no aluno uma visão factível da mecânica, criando no mesmo uma "intuição" correta dos fenômenos mecânicos. Capacitar o estudante de engenharia a entender e resolver problemas que envolvam a cinemática dos sólidos e dispositivos, que são comuns no exercício da profissão de engenheiro. OBJETIVOS ESPECÍFICOS Estabelecer os conceitos básicos sobre Cinemática do Sólido. Preparar os alunos para entender os dispositivos mecânicos comuns à vida do Engenheiro. Fornecer ferramentas aos estudantes para entender e acompanhar em bom nível as disciplinas específicas do curso, em especial aquelas ligadas à cinemática de dispositivos, vibrações e outras. CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 1. Cinemática da Partícula; (a) Vetor Posição; (b) Vetor Velocidade; (c) Vetor Aceleração; i. aceleração tangencial; ii. aceleração normal; 2. Cinemática do Sólido; (a) Classificação dos Movimentos; (b) Movimento de Translação; i. equações vetoriais de velocidade aceleração; (c) Movimento Plano; (d) Rotação com Eixo Fixo; i. equações vetoriais de velocidade aceleração; (e) Movimento Plano em geral; i. equações vetoriais de velocidade aceleração; (f) Centro Instantâneo de Rotação; (g) Movimento Geral; 1 Vetor Velocidade instantânea: v Vetor aceleração média: am v t Vetor Aceleração instantânea: Aplicação: Lançamento Oblíquo: a dr dt dv dt e e e BIBLIOGRAFIA Básica BEER, F. P.; JOHNSTON JUNIOR, E. R. Mecânica vetorial para engenheiros: cinemática e dinâmica 5ª ed. 2v. São Paulo: Makron, 1994. HIBBELER, R. C. Dinâmica: Mecânica para Engenharia. 8.ed. Rio de Janeiro Prentice Hall Brasil, 2004. KRAIGE,L.G.;MERIAN,J.L. Mecânica: dinâmica. Rio de Janeiro: LTC,2004. FRANÇA, L.N.F.;MATSUMURA,A.Z. Mecânica Geral.Edgar Blucher, 2005. GERE, J. Mecânica dos materiais. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2003 KAMINSKI, P.C. Mecânica geral para engenheiros. Edgar Blucher, 2000. SEARS,F.;YOUNG H. D. Física. vol.1, Mecânica. Addison Wesley, 2008. Cinemática dos Sólidos,Unip, Versão 2, 2009. x x0 v0x t Eixo x: MU: Eixo y: MUV: y y0 v0 y t g t2 2 v y v0 y g t Decomposição da velocidade inicial v0 : v0x v0 cos v0 y v0 sen Tempo de subida: 2 0 ts v0 y g v sen 2 g v02 y Altura máxima: h 2g Alcance: xm Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori Notas de aula 01 – 1° Bimestre Movimentos curvilíneos MCU e MCUV Cinemática dos Corpos Rígidos Movimentos: Translação. Rotação sobre um eixo fixo. Movimento Geral sobre um plano Movimento sobre um ponto fixo Movimento Geral qualquer. 2 MCU MCUV aR aN aT aR aN v e aN perpendiculares Função angular horária t 0 t 1 2 t 0 0 t t 2 Velocidade angular t cte t t t 0 t 2 02 2 Velocidade linear v t v r Aceleração angular t t 0 t cte Aceleração resultante aR acp2 aT2 Translação aR acp Aceleração tangencial aT 0 aT dv aT r dt rB rA rBA Aceleração centrípeta e Força centrípeta acp v2 a 2 R Fcp m acp R vB vA aB aA Rotação sobre um eixo fixo Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori Notas de aula 01 – 1° Bimestre 1rev 2 rad 3600 dr v dt ds s BP BP r sen dt d v r sen v r sen dt Velocidade angular: k̂ Como o ângulo entre r e é , lembrando da v propriedade do módulo do produto vetorial: r r sen r sen v v r dv d d dr a a r r dt dt dt dt d a r v dt d Aceleração angular: dt kˆ kˆ kˆ a r r Resumo: Rotação com eixo fixo: 1. Todos os pontos apresentam trajetórias circulares. 2. Todos os pontos apresentam a mesma velocidade angular, e esta tem a direção do eixo de rotação: d eˆ eˆ dt A direção do vetor velocidade angular é ortogonal ao plano formadopelo movimento do ponto P, possui a direção do eixo de rotação do sólido. O sentido do vetor velocidade angular é dado pela regra da mão direita: o ponto P, deslocando-se no sentido antihorário, acompanha-se o sentido do movimento de P ao longo 3 de sua trajetória circular, com os quatro dedos da mão direita; com exceção do polegar que indicará seu sentido, apontando para o ponto A. 3. Todos os pontos apresentam a mesma aceleração angular, e esta tem a direção do eixo de rotação: d eˆ eˆ dt 4. O vetor velocidade instantânea no ponto P é dado por: v drP v rP rP P A dt 5. O vetor aceleração do ponto P é dado por: dv a v a a rP rP dt a P A P A Rotação de uma placa em torno de um eixo fixo: Exemplos Resolvidos 1. Ache os vetores velocidade e a aceleração dos pontos 1.1 Os discos indicados para cada caso, em cada instante de tempo. O disco parte do repouso em t = 0s. (a) α = 2 rad/s2; =4rad/s, t = 3 s; Pontos A e B. Sendo k̂ v r v kˆ r Como k̂ r v r B a r r a kˆ r kˆ kˆ r a kˆ r kˆ kˆ r 2 (b) α = 2 rad/s2; t = 3 s; ; Pontos A e B, C e D. C kˆ kˆ r u v w u w v u v w B kˆ kˆ r r 45° kˆ kˆ r kˆ r kˆ kˆ kˆ r a kˆ r 2 r Aceleração tangencial: aT kˆ r aT r Aceleração normal aN 2 r aN 2 r 30° 60° D Ponto B: rB 0.2 cos 30 iˆ 0.2 sen30 ˆj rB 0.173 iˆ 0.1 ˆj Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori Notas de aula 01 – 1° Bimestre rad 2 s 2 kˆ Pontos A B D rad 0 t 0 2 3 6 s rad s 6 kˆ vB rB vB 6 kˆ 0.173 iˆ 0.1 ˆj iˆ aB aBT aBN aB rB vB aBT rB aBT 2 kˆ 0.173 iˆ 0.1 ˆj BA 0 iˆ 0.203 ˆj 0.152 kˆ BA 02 0.2032 0.152 BA 0.254 4 BA 0 ˆ 0.203 ˆ 0.152 ˆ eˆ eˆ i j k 0.254 0.254 0.254 BA eˆ 0 iˆ 0.8 ˆj 0.599 kˆ eˆ 5 0 iˆ 0.8 ˆj 0.599 kˆ 0 iˆ 4 ˆj 2.977 kˆ rad s iˆ eˆ 4 0 iˆ 0.8 ˆj 0.599 kˆ m aBT 0.2 iˆ 0.346 ˆj 2 s aBT 6 0.6 kˆ iˆ 6 1.038 kˆ ˆj m aBN 0.828 iˆ 3.6 ˆj 2 s aB 0.2 iˆ 0.346 ˆj 0.828 iˆ 3.6 ˆj aBN m aB 1.028 iˆ 3.254 ˆj 2 s 1.2 O sistema ilustrado, composto por placas soldadas a um eixo fixo AB, gira em torno deste, com velocidade angular = 5 rad/s, que cresce a taxa de 4 rad/s2. No instante ilustrado, o ponto E está descendo. Pedem-se: (a) o vetor velocidade angular. (b) o vetor aceleração angular. (c) a velocidade do ponto D. y A C D E z 0.178 m AD 0.178, 0.203,0 AD 0.178 iˆ 0.203 ˆj 0 kˆ v AD v 0 iˆ 4 ˆj 2.977 kˆ 0.178 iˆ 0.203 ˆj 0 kˆ x 0.152 m ˆj ˆj iˆ kˆ iˆ v 0 4 2.977 0 4 0.178 0.203 0 0.178 0.203 m v 0.608 iˆ 0.533 ˆj 0.712 kˆ s a D A vD ˆj ˆj iˆ kˆ iˆ D A 0 3.202 2.397 0 3.202 0.178 0.203 0 0.178 0.203 D A 0.487 iˆ 0.427 ˆj 0 570 kˆ 0.203 m B AD D A AD 0.178,0,0 0,0.203,0 iˆ aBT 0 iˆ 3.202 ˆj 2.397 kˆ rad s2 0 iˆ 4 ˆj 2.977 kˆ rad s aBN vB 6 kˆ 0.6 iˆ 1.038 ˆj ˆj (x,y,z) (0,0.203,0) (0,0,0.152) (0.178,0,0) BA 0,0.203, 0.152 aBT 2 0.173 kˆ iˆ 2 0.1 kˆ ˆj aBN z 0 0.152 0 2 m vB 0.6 iˆ 1.038 ˆj s ˆj y 0.203 0 0 BA A B BA 0,0.203,0 0,0,0.152 vB 6 0.173 kˆ iˆ 6 0.1 kˆ ˆj ˆj x 0 0 0.178 vD D A vD rDA Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori Notas de aula 01 – 1° Bimestre ˆj ˆj iˆ kˆ iˆ v 0 4.002 2.997 0 4.002 0.608 0.533 0.712 0.608 0.533 ˆj ˆj iˆ kˆ iˆ v 0 4.002 2.997 0 4.002 0.608 0.533 0.712 0.608 0.533 v 4.447 iˆ 1.822 ˆj 2.433 kˆ v 4.447 iˆ 1.822 ˆj 2.433 kˆ a D A vD a D A vD a 0.487 iˆ 0.427 ˆj 0 570 kˆ 4.447 iˆ 1.822 ˆj 2.433 kˆ a 2.4319 iˆ 2.13244 ˆj 2.848 kˆ 4.447 iˆ 1.822 ˆj 2.433 kˆ m a 4.934 iˆ 1.395 ˆj 3.003 kˆ 2 s m 5 a 6.8789 iˆ 0.31044 ˆj 0.415 kˆ 2 s 3. A peça rígida mostrada na figura consiste de um eixo ABC soldado a uma placa retangular DEFH. O conjunto gira uniformemente a uma velocidade angular de 9 rad/s, em torno do eixo ABC. Sabendo que o movimento quando visto de C é anti-horário, determine a velocidade e a aceleração do vértice F. 2. No problema anterior, determine a velocidade e a aceleração no vértice D, supor que a velocidade angular é = 5 rad/s e aumenta à razão de 20 rad/s2. 0 iˆ 4 ˆj 2.977 kˆ rad s eˆ 20 0 iˆ 0.8 ˆj 0.599 kˆ 0 iˆ 16 ˆj 11.98 kˆ rad s 2 v 0 iˆ 4 ˆj 2.977 kˆ 0.178 iˆ 0.203 ˆj 0 kˆ ˆj ˆj iˆ kˆ iˆ v 0 4 2.977 0 4 0.178 0.203 0 0.178 0.203 m v 0.608 iˆ 0.533 ˆj 0.712 kˆ s AD 0.178 iˆ 0.203 ˆj 0 kˆ v AD v 0 iˆ 4 ˆj 2.977 kˆ 0.178 iˆ 0.203 ˆj 0 kˆ ˆj ˆj iˆ kˆ iˆ v 0 4 2.977 0 4 0.178 0.203 0 0.178 0.203 m v 0.608 iˆ 0.533 ˆj 0 712 kˆ s aD D A vD ˆj ˆj iˆ kˆ iˆ D A 0 16 11.98 0 16 0.178 0.203 0 0.178 0.203 D A 2.4319 iˆ 2.13244 ˆj 2.848 kˆ D A vD Pontos P A B C D F x 0 0.175 0.35 0.35 0 y 0.1 0 -0.1 0 0 z 0 0.1 0.2 0 0.2 P(x,y,z) (0,0.1,0) (0.175,0,0.1) (0.35,-0.1,0.2) (0.35,0,0) (0,0,0.2) AC C A AC 0.35, 0.1,0.2 0,0.1,0 AC 0.35, 0.2, 0.2 AC 0.35 iˆ 0.2 ˆj 0.2 kˆ AC 0.352 0.2 0.22 AC 0.45 2 eˆ AC eˆ AC 0.35 ˆ 0.2 ˆ 0.2 ˆ i j k 0.45 0.45 0.45 eˆ 0.778 iˆ 0.444 ˆj 0.444 kˆ eˆ 9 0.778 iˆ 0.444 ˆj 0.444 kˆ 7.002 iˆ 3.996 ˆj 3.996 kˆ rad s AF F A AF 0,0,0.2 0,0.1,0 Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori Notas de aula 01 – 1° Bimestre AF 0, 0.1,0.2 AF 0 iˆ 0.1 ˆj 0.2 kˆ vF AF v 7.002 iˆ 3.996 ˆj 3.996 kˆ 0 iˆ 0.1 ˆj 0.2 kˆ ˆj ˆj iˆ kˆ iˆ v 7.002 3.996 3.996 7.002 3.996 0 0.1 0.2 0 0.1 32 aN2 aT2 aN 9 0.82 aN 2.891 aN 2 r m s2 aN 2.891 rad 3.801 r 0.2 s 0 t 3.801 0 4 t t 3.801 s t 0.95s 4 m vF 0.3996 iˆ 1.4 ˆj 0 7 kˆ s a F A vF 6. O bloquinho B repousa sobre a placa horizontal que gira em torno de um eixo fixo. A placa parte do repouso em t = 0 e acelera à razão constante de 0.5 rad/s2. Sabendo-se que r = 200 mm, determinar o módulo da aceleração total do bloco quando: (a) t = 0 s. (b) t = 1 s e (c) t = 2 s. 6 0 F A 0 aR aN2 aT2 F A vF ˆj ˆj iˆ kˆ iˆ vF 7.002 3.996 3.996 7.002 3.996 0.3996 1.4 0.7 0.3996 1.4 aT r aT 0.5 0.2 aT 0.1 0 0rad s t 0 aN 02 r aN 0 vF 8.39 iˆ 3.304 ˆj 11.399 kˆ aR aT aR 0.1 t 1 a F F A vF m s2 m s2 0 t 0 0.5 1 0.5 0 rad s m a 8.39 iˆ 3.304 ˆj 11.399 kˆ 2 s t 1 aN 2 r aN 0.52 0.2 aN 0.05 4. No problema anterior, use = 9 rad/s e decresce à razão de 13.5 rad/s2, encontre a velocidade e aceleração do vértice H. aT r aT 0.1 5. Sabe-se que a força de atrito estática entre o bloquinho B e a placa será vencida e o bloco deslizará quando sua aceleração alcançar 3 m/s2. Se a placa parte do repouso em t = 0 s e acelera uniformemente à razão de 4 rad/s2, determine o instante t e a velocidade angular da placa quando o bloco começar a escorregar; r = 200 mm. 0.05 t 2 aT r aT 0.1 B m s2 rad s rad t 2 aN 2 r aN 12 0.2 aN 0.2 2 s 0 t 0 0.5 2 1 aR aR aN2 aT2 aR 0.22 0.12 aR 0.2236 aR aN2 aT2 aR 3 m s2 aR aT aN aT 0.1 tg tg arctg 2 63.430 A m s2 aR aR aN2 aT2 aR 0.052 0.12 aR 0.118 aN α rad s2 m s2 aT r aT 4 0.2 aT 0.8 m s2 tg aR aN aT aT 0.1 1 tg arctg 26.560 aN 0.2 2 m s2 Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori Notas de aula 01 – 1° Bimestre 7. A peça rígida mostrada na figura consiste de um eixo AB soldado a uma placa retangular DEBC. O conjunto gira uniformemente a uma velocidade angular constante de 10 rad/s, em torno do eixo AB. Sabendo que o movimento quando visto de B é anti-horário, determine a velocidade e a aceleração do vértice E. v 8 iˆ 3.6 ˆj 4.8 kˆ 0 iˆ 0 ˆj 0.3 kˆ ˆj ˆj iˆ kˆ iˆ v 8 3.6 4.8 8 3.6 0 0 0.3 0 0 m vE 1.08 iˆ 2.4 ˆj 0 kˆ s a E B E B 0 F A 0 7 E B vE ˆj iˆ kˆ iˆ ˆj vE 8 3.6 4.8 8 3.6 1.08 2.4 0 1.08 2.4 vE 11.52 iˆ 5.184 ˆj 23.088 kˆ Pontos P A B C D E x 0 0.5 0 0 0.5 y 0.225 0 0 0 0 z 0 0.3 0.3 0 0 P(x,y,z) (0,0.225,0) (0.5,0,0.3) (0,0,0.3) (0,0,0) (0.5,0,0) AB B A AB 0.5,0,0.3 0,0.225,0 AB 0.5, 0.225,0.3 AB 0.5 iˆ 0.225 ˆj 0.3 kˆ AB 0.52 0.225 0.32 AB 0.625m 2 eˆ AB AB eˆ aE E B E B 0 vE m aE 11.52 iˆ 5.184 ˆj 23.088 kˆ 2 s 8. Atividade 1: Encontre a velocidade e a aceleração do ponto C considerando que a velocidade angular é 10 rad/s e decresce a taxa de 20 rad/s2. 9. O rotor de um motor elétrico tem freqüência de 1800 rpm quando é desligado. O rotor pára após executar 625 voltas. Supondo movimento uniformemente retardado, pedem-se: (a) a aceleração angular do rotor. (b) o tempo total do movimento. 0.5 ˆ 0.225 ˆ 0.3 ˆ i j k 0.625 0.625 0.625 eˆ 0.8 iˆ 0.36 ˆj 0.48 kˆ eˆ 10 0.8 iˆ 0.36 ˆj 0.48 kˆ 8 iˆ 3.6 ˆj 4.8 kˆ rad s BE E B BE 0.5,0,0 0.5,0,0.3 BE 0, 0, 0.3 BE 0 iˆ 0 ˆj 0.3 kˆ vE BE 1800 Hz f 30Hz 60 rad 0 2 f 0 2 30 0 60 s 188.5 2 n 2 625 1250 rad f 1800rpm f 3926.99 2 02 2 0 02 2 Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori Notas de aula 01 – 1° Bimestre 60 2 3600 2 rad 1.44 2 2 1250 2500 s 4.524 188.5 0 t 0 188.5 4.524 t t t 41.67s 4.524 10. Atividade 1: Suponha que um rotor de um motor execute 2400 rpm em 4 s quando ligado e quando o rotor é desligado ele retorna ao repouso em 40 s. Assumindo que a aceleração do movimento é uniforme, determine o número de voltas dado pelo rotor: (a) quando é ligado até atingir 2400 rpm. (b) estando em 2400 rpm, até parar. 11. Na figura, o disco B inicialmente em repouso, é posto em contato com o disco A que gira inicialmente no sentido horário com freqüência 450 rpm. Após o contato, ocorre escorregamento com as superfícies, durante 6 s e durante os quais, os discos apresentam acelerações angulares diferentes, mas ambas constantes. Ao término do escorregamento, o disco A apresenta freqüência constante de 140 rpm. Pedem-se: (a) as acelerações angulares de cada disco. (b) a velocidade final do ponto de contato. 120 mm vPB B f rB 1.17 B f 0.12 B f B 9.75 f 1.17 0.12 rad s Ou seja, parte do repouso e atinge essa velocidade angular B f em 6 s: B B B t B f 0 B B f 0 t 9.75 0 rad B B 1.63 2 6 s 12. Na polia dupla, ligadas por fios inextensíveis, 8a suspensos pelos blocos A e B, os fios não escorregam sobre polia. O bloco A parte no instante t = 0 s, com aceleração constante aA = 300 mm/s2 e velocidade inicial vA = 240 mm/s, ambas de baixo para cima. Determine: (a) o número de revoluções executadas pela polia em t = 3 s. (b) a velocidade e a posição de B em 3 s. (c) a aceleração do ponto D da polia em t = 0. B 80 mm A Determinando a freqüência angular inicial e final do disco A: 450 rad A0 47.12 60 s 140 rad 2 Af 14.66 60 s A 2 f A A 2 0 0 0 A 2 f A A f f f Disco A: MCUVR: desacelera de 450 rpm a 140 rpm. Depois fica com MCU a 140 rpm: MCUVR: 14.66 47.12 A 6 A MCU: 14.66 47.12 rad A 5.41 2 6 s vPA Af rA vPA 14.66 0.08 vPA 1.17 m s Disco B possui os movimentos: 1. Parte do repouso e acelera uniformemente por 6 s. MCUVA. 2. Mantem movimento uniforme. MCU. MCU: Neste segundo movimento, as velocidades tangenciais de B e A serão iguais: vPA vPB vPB 1.17 MCUVA: m s Polia menor: aTA A rA A aTA A 0.3 0.12 rA rad A 2.5 2 s v0 0.24 v0A 0A rA 0A A 0A rA 0.12 rad 0A 2.0 s 1 0 0A t A t 2 2 1 0 0A t A t 2 2 1 0 0A t A t 2 2 1 2 3 2.5 32 2 Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori Notas de aula 01 – 1° Bimestre 17.25rad 17.25 rev 2 y 2.75 Polia maior: A rad 0A 2.0 0B s rad A 2.5 2 B s B 0B B t B 2 2.5 3 rad B 9.5 s vB B rB vB 9.5 0.18 vB 1.71 0.56 m z m s rad aTD D rB D A 2.5 2 s Pontos A B C tg aTD aN D (x,y,z) (0,0.56,0) (0,0,0.8) (0.56,0,0) BA 0 iˆ 0.56 ˆj 0.8 kˆ m s2 eˆ BA BA eˆ 0 ˆ 0.56 ˆ 0.8 ˆ i j k 0.976 0.976 0.976 eˆ 0 iˆ 0.573 ˆj 0.819 kˆ Como o ponto C está subindo (horário): eˆ 5 0 iˆ 0.573 ˆj 0.819 kˆ 0 iˆ 2.865 ˆj 4.095 kˆ rad s m s2 0.45 0.72 arctg 0.625 32 aTD z 0 0.8 0 BA 0,0.56, 0.8 2 ND tg y 0.56 0 0 2 rad s m 0.72 2 s aRD 0.452 0.722 aRD 0.849 x 0 0 0.56 9 BA A B BA 0,0.56,0 0,0,0.8 aND D2 rB D 0A 2 aRD a a 0.80 m 0.56 m BA 02 0.562 0.8 BA 0.976 aTD D rB aTD 2.5 0.18 aTD 0.45 2 TD x E Aceleração em D: aND 22 0.18 aND D B 1 0 0B t B t 2 2 1 2 3 2.5 32 17.25rad 2 sB rB sB 17.25 0.18 sB 3.10571m C eˆ 4 0 iˆ 0.573 ˆj 0.819 kˆ 0 iˆ 2.292 ˆj 3.276 kˆ rad s2 AC C A AC 0.56,0,0 0,0.56,0 AC 0.56, 0.56,0 AC 0.56 iˆ 0.56 ˆj 0 kˆ vC AC a vC 0 iˆ 2.865 ˆj 4.095 kˆ 0.56 iˆ 0.56 ˆj 0 kˆ aRD ND D 13. O sistema ilustrado, composto por placas soldadas a um eixo fixo AB, gira em torno deste, com velocidade angular = 5 rad/s, que cresce a taxa de 4 rad/s2. No instante ilustrado, o ponto C está subindo. Pedem-se: (a) a velocidade no ponto C. (c) a aceleração do ponto C. ˆj ˆj iˆ kˆ iˆ vC 0 2.865 4.095 0 2.865 0.56 0.56 0 0.56 0.56 m vC 2.293 iˆ 2.2932 ˆj 1.599 kˆ s aC AC vC Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori Notas de aula 01 – 1° Bimestre ˆj ˆj iˆ kˆ iˆ AC 0 2.292 3.276 0 2.292 0.56 0.56 0 0.56 0.56 a 1 ˆj 0.35 iˆ 1 t ˆj 0.35 t kˆ AC 1.8346 iˆ 1.8346 ˆj 1.2835 kˆ ˆj ˆj iˆ kˆ iˆ a 0.35 kˆ 0.35 t iˆ a 0.35 t iˆ 0.35 kˆ a t 1 0.35 12 iˆ 0.35 kˆ vC a 1 0.35 ˆj iˆ 0.35 t t ˆj kˆ kˆ vC 13.97 iˆ 9.389 ˆj 6.569 kˆ a 0.35 kˆ 0.35 t 2 iˆ a aT2 aN2 a 2 aT2 aN2 a 2 0.35 0.35 t 2 2 aC AC vC 42.1275 0.1225 4 t 343.897 t 4.31s 14. O conjunto ilustrado é constituído por um disco soldado a um eixo vertical e gira no sentido anti-horário a partir do repouso. A aceleração angular é constante e de valor α = 1 rad/s2. Um bloco apoia-se no disco a 0.35 m do eixo e não escorregará em relação ao mesmo até que sua aceleração total atinja 6.5 m/s2. Pedem-se: (a) a aceleração 1.0 s após o início do movimento do disco. (b) o instante que o bloco deslizará. ĵ kˆ 10 0.1225 t 4 42.1275 t 4 m aC 12.1354 iˆ 11.2236 ˆj 7.8525 kˆ 2 s 0.35 m 2 6.52 0.1225 0.1225 t 4 42.25 0.1225 0.1225 t 4 aC 1.8346 iˆ 1.8346 ˆj 1.2835 kˆ 13.97 iˆ 9.389 ˆj 6.569 kˆ y 2 m a t 1 0.35 iˆ 0.35 kˆ 2 s 0 2.865 4.095 0 2.865 2.293 2.293 1.599 2.293 2.293 B iˆ 2 iˆ 15. O sistema ilustrado é composto por duas rodas A e B de raios iguais a 30 mm, que giram em torno de eixos fixos e por um anel C, encaixado entre as mesmas. O anel tem raio interno 72 mm e raio externo 76 mm (espessura 4 mm). Não ocorre escorregamento entre as superfícies de contato. A roda superior A, gira com freqüência constante f = 400 rpm no sentido anti-horário. Pedem-se: (a) a velocidade do anel C; (b) a velocidade angular da roda inferior B. (c) as acelerações dos pontos das rodas em contato com o anel. A x y C B z z A ˆj 1 ˆj 6.667 r 0.35 iˆ v r v 1 t ˆj 0.35 iˆ v 1 t 0.35 ˆj iˆ 0 1 ˆj 0 t ˆj 1 t ˆj kˆ v 0.35 t kˆ a r v aT aN x 400 rad f A 400rpm f A Hz A 2 f A A 41.887 60 s rA A rCext 30 rad C 41.887 C 16.534 76 s vA vCext A rA C rCext C vB vCint B rB C rCint B rCint rB 72 rad B 16.534 B 39.682 30 s aN A A2 rA ˆj aN A 41.8872 0.03 ˆj C Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori Notas de aula 01 – 1° Bimestre aN B m aTA 0 aRA aN A 52.635 ˆj 2 s 2 B rB ˆj aN 39.6822 0.03 ˆj vB B rB vB 26.17 0.384 vB 10.049 m vB 10.049 ˆj s B m aTB 0 aRB aNB 47.239 ˆj 2 s 16. Na figura estão representaas duas engrenagens A e B, com eixos fixos e com raios rA = 800 mm e rB = 384 mm, respectivamente. A engrenagem A parte do repouso, acelera uniformemente no sentido horário e atinge freqüência de rotação 120 rpm em 5 s, que matém daí por diante. Pedem-se: (a) a aceleração angular das engrenagens; (b) a velocidade angular final da engrenagem B; (c) a velocidade final do ponto pertencente à engrenagem B, que faz contato com a engrenage, A. (d) a aceleração do ponto citado no item anterior, nas mesmas condições. y m s aBT 0 aBR aBN aBN vB2 10.0492 m aBN aBN 262.98 2 rB 0.384 s m aBN 262.98 iˆ 2 ^ s 17. O sistema ilustrado é formado por uma plca11 de dimensões 0.20 x 0. 40 m soldada ao eixo fixo AB; no instante ilustrado, o sistema gira em torno do eixo fixo com velocidade angular de 15 rad/s, que decresce a taxa de 7 rad/s2. Quando obsevada de um ponto B, a placa gira no sentido anti-horário. Para o instante ilustrado, pedem-se: (a) a velocidade do ponto C; (b) a aceleração do ponto C. x 2 120 A0 0 f A 120rpm f A Hz 60 12.566 rad A 2 f A Af 4 s 12.566 0 A A0 A A f A t t 5 rad A 2.51 2 o negativo é devido ao sentido horário. s r vA vB A rA B rB B A A rB 800 rad B 12.566 B 26.17 384 s rad B 26.17 kˆ s B B0 26.17 0 B B f B t t 5 rad B 5.236 2 s x 0 0.4 0.4 Pontos A B C y 0.1 -0.1 0 z 0 0.2 0.2 (x,y,z) (0,0.1,0) (0.4,-0.1,0.2) (0.4,0,0.2) AB B A AB 0.4, 0.1,0.2 0,0.1,0 AB 0.4, 0.2,0.2 AB 0.4 iˆ 0.2 ˆj 0.2 kˆ AB 0.42 0.2 0.22 AB 0.4899 2 eˆ AB AB eˆ 0.4 ˆ 0.2 ˆ 0.2 ˆ i j k 0.4899 0.4899 0.4899 eˆ 0.8165 iˆ 0.4082 ˆj 0.4082 kˆ Anti-horário: eˆ 15 0.8165 iˆ 0.4082 ˆj 0.4082 kˆ 12.2475 iˆ 6.123 ˆj 6.123 kˆ rad s Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori Notas de aula 01 – 1° Bimestre eˆ 7 12.2475 iˆ 6.123 ˆj 6.123 kˆ y 85.7325 iˆ 42.861 ˆj 42.861 kˆ rad s2 AC C A AC 0.4,0,0.2 0,0.1,0 A C AC 0.4, 0.1,0.2 AC 0.4 iˆ 0.1 ˆj 0.2 kˆ vC AC vC 12.2475 iˆ 6.123 ˆj 6.123 kˆ 0.4 iˆ 0.1 ˆj 0.2 kˆ 0.203 m ˆj ˆj iˆ kˆ iˆ vC 12.2475 6.123 6.123 12.2475 6.123 0.4 0.1 0.2 0.4 0.1 m vC 0.61232 iˆ 0 ˆj 1.225 kˆ s aC AC vC ˆj ˆj iˆ kˆ iˆ AC 85.7325 42.861 42.861 85.7325 42.861 0.4 0.1 0.2 0.4 0.1 AC 4.2861 iˆ 0 ˆj 8.571 kˆ ˆj ˆj iˆ kˆ iˆ vC 12.2475 6.123 6.123 12.2475 6.123 0.61232 0 1.225 0.61232 0 vC 7.5 iˆ 18.7534 ˆj 3.7492 kˆ aC AC vC aC 4.2861 iˆ 0 ˆj 8.571 kˆ 7.5 iˆ 18.7534 ˆj 3.7492 kˆ m aC 3.2139 iˆ 18.7534 ˆj 12.3202 kˆ 2 s 18. O sistema ilustrado, composto por placas soldadas a um eixo fixo AB, gira em torno deste, com velocidade angular constante de = 5 rad/s. No instante considerado o ponto C está descendo. Pedem-se: (a) o vetor velocidade angular. (b) a velocidade do ponto C na forma vetorial. (c) a aceleração do ponto C na forma vetorial. D B x E z 0.152 m 0.178 m Pontos A B C D x 0 0 0.178 0.178 y 0.203 0 0.203 0 z 0 0.152 0 0 12 (x,y,z) (0,0.203,0) (0,0,0.152) (0.178,0.203,0) (0.178,0,0) BA A B BA 0,0.203,0 0,0,0.152 BA 0,0.203, 0.152 BA 0 iˆ 0.203 ˆj 0.152 kˆ BA 02 0.2032 0.152 BA 0.254 2 eˆ BA BA eˆ 0 ˆ 0.203 ˆ 0.152 ˆ i j k 0.254 0.254 0.254 eˆ 0 iˆ 0.8 ˆj 0.599 kˆ eˆ 5 0 iˆ 0.8 ˆj 0.599 kˆ 0 iˆ 4 ˆj 3 kˆ rad s eˆ 0 AC C A AC 0.178,0.203,0 0,0.203,0 AC 0.178,0,0 AD 0.178 iˆ 0 ˆj 0 kˆ v AD v 0 iˆ 4 ˆj 3 kˆ 0.178 iˆ 0 ˆj 0 kˆ ˆj kˆ iˆ ˆj iˆ v 0 4 3 0 4 0.178 0 0 0.178 0 m v 0 iˆ 0.53 ˆj 0.71 kˆ s a C A vC C A 0 Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori Notas de aula 01 – 1° Bimestre 0 iˆ 3.535 ˆj 3.535 kˆ rad s ˆj ˆj iˆ kˆ iˆ vC 0 4.0 3 0 4.0 0 0.53 0.71 0 0.53 eˆ 0 AE E A AE 0.4,0.1,0 0,0.5,0 vC 4.43 iˆ 0 ˆj 0 kˆ AC 0.4, 0.4,0 aC C A vC AE 0.4 iˆ 0.4 ˆj 0 kˆ a 0 iˆ 0 ˆj 0 kˆ vE AE vE 0 iˆ 3.535 ˆj 3.535 kˆ 0.4 iˆ 0.4 ˆj 0 kˆ 4.43 iˆ 0 ˆj 0 kˆ m a 4.43 iˆ 2 s 19. O sistema ilustrado, composto por placas soldadas a um eixo fixo AB, gira em torno deste, com velocidade angular constante de = 5 rad/s. No instante ilustrado, o ponto C está descendo. Pedem-se: (a) o vetor velovidade angular. (b) a velocidade do ponto E na forma vetorial. (c) a aceleração do ponto E na forma vetorial. y 0.2m C GD x 0 0 0.4 0.1 m x m aE 10 iˆ 5 ˆj 5 kˆ 2 s y 0.5 0 0.1 z 0 0.5 0 (x,y,z) (0,0.5,0) (0,0,0.5) (0.4,0.1,0) BA A B BA 0,0.5,0 0,0,0.5 BA 0,0.5, 0.5 BA 0 iˆ 0.5 ˆj 0.5 kˆ BA 02 0.52 0.5 BA 0.707 2 eˆ BA BA eˆ E A 0 aE 0 iˆ 0 ˆj 0 kˆ 10 iˆ 5 ˆj 5 kˆ 0.1 m 0.4 m Pontos A B E m vE 1.414 iˆ 1.414 ˆj 1.414 kˆ s a E E A vE a E E A vE 0.4 m E F z 20. Uma pedra de esmeril, de formato cilíndrico, com raio R = 0.45 m, gira com freqüência constante f0 = 1800 rpm; quando se desliga o motor elétrico do esmeril, a pedra gasta 10 s até parar; considerando movimento uniformemente variado, pedem-se: (a) a aceleração angular α da pedra; (b) a velocidade de um ponto P da borda da pedra quando a freqüência é 1800 rpm; (c) a aceleração de um ponto P da borda da pedra, quando a freqüência é 1800 rpm. 0 ˆ 0.5 ˆ 0.5 ˆ i j k 0.707 0.707 0.707 eˆ 0 iˆ 0.707 ˆj 0.707 kˆ eˆ 5 0 iˆ 0.707 ˆj 0.707 kˆ 13 vC 10 iˆ 5 ˆj 5 kˆ D B ˆj ˆj iˆ kˆ iˆ vE 0 3.535 3.535 0 3.535 0.4 0.4 0 0.4 0.4 ˆj ˆj iˆ kˆ iˆ vE 0 3.535 3.535 0 3.535 1.414 1.414 1.414 1.414 1.414 0.2m A z Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori Notas de aula 01 – 1° Bimestre vA vB A RA B RB B 20 rad 20 B 8.89 45 s B B0 B t B R y RA A RB 8.89 0 B 6.67 B 8.89 rad 6.67 s 2 1.33 vA A RA vA 20 0.02 vA 0.4 x 30 1800 rad f 1800rpm f Hz 0 2 f 0 188.5 60 s 0 0 188.5 t t 10 rad 18.85 2 s m vP r vP 188.5 0.45 vP 84.82 s m aPN r aPN 188.5 0.45 aPN 15989.1 2 s aPT 0 é cte 2 2 aPR aPN aPT aPR aPN 21. Dois discos de raios RB = 45 mm e RA = 20 mm estão em contato sem escorregar. O disco A(inferior) parte do repouso e acelera de forma uniforme com aceleração αA = 3 rad/s2. Para o instante em que a velocidade angular do disco A atinge valor A = 20 rad/s, pedem-se: (a) a aceleração angular do disco B. (b) a velocidade angular do disco B. (c) a velocidade de um ponto na borda do disco B. (d) a aceleração de um ponto na borda do disco B. m vB s m14 aBT B RB aBT 1.33 0.045 aBT 0.05985 aBN s2 vB2 0.42 m aBN aBN 3.55 2 RB 0.045 s aBR aBN aBT aBR aB2N aB2T aBR 3.552 0.059852 aBR 3.56 m s2 22. O disco de raio R = 80 mm parte do repouso e acelera de maneira uniforme, atingindo a velocidade angular = 30 rad/s em 10 voltas. Pedem-se: (a) a aceleração angular do disco; (b) o tempo gasto nessas 10 voltas iniciais. 80 mm Disco: MCUVA: 1 0 t t 2 2 2 10 20 rad B 62.832 2 2 30 0 2 62.831 2 2 0 2 302 rad 7.16 2 2 62.831 s 0 t 30 0 7.16 t 30 t t 4.19s 7.16 PB PA A Disco A: MCUVA: A A A t 0 20 0 3 t t 20 s 3 6.67 Disco B: 22. A haste ABCD gira apoiada nas articulações A e D; no instante ilustrado, a velocidade angular da barra é 95 rad/s, que decresce à taxa de 380 rad/s2. E o ponto C está subindo. Pedem-se: (a) a velocidade do ponto B, para o instante ilustrado; (b) a aceleração do ponto B, no instante ilustrado. Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori Notas de aula 01 – 1° Bimestre m vB 0 iˆ 9 ˆj 15 kˆ s aB AB vB ˆj ˆj iˆ kˆ iˆ AB 28500 19000 11400 28500 19000 0.3 0 0 0.3 0 A AB 0 iˆ 3420 ˆj 5700 kˆ B 200 mm ˆj ˆj iˆ kˆ iˆ vB 75 50 30 75 50 0 9 15 0 9 D z vB 1020 iˆ 1125 ˆj 675 kˆ 300 mm x C Pontos A B D x 0 0.3 0.3 y 0.2 0.2 0 aB AB vB 120 mm z 0.12 0.12 0 aB 0 iˆ 3420 ˆj 5700 kˆ 1020 iˆ 1125 ˆj 675 kˆ (x,y,z) (0,0.2,0.12) (0.3,0.2,0.12) (0.3,0,0) m aB 1020 iˆ 4545 ˆj 5025 kˆ 2 s DA A D DA 0,0.2,0.12 0.3,0,0 DA 0.3,0.2,0.12 23. O sistema de engrenagens ilustrado, deve suspender o bloco alçando-o por 6.10 m. A engrenagem A parte do repouso e, mantendo aceleração angular constante, atinge a freqüência de 120 rpm em 5 s, mantendo-se constante após atingí-la. Pedem-se: (a) o número de rotações da engrenagem; (b) o tempo gasto na operação. DA 0.3 iˆ 0.2 ˆj 0.12 kˆ 0.3 DA eˆ DA 2 0.22 0.122 DA 0.38 eˆ DA 0.3 ˆ 0.2 ˆ 0.12 ˆ i j k 0.38 0.38 0.38 Em mm 76.2 B eˆ 0.789 iˆ 0.5263 ˆj 0.3158 kˆ Anti-horário: eˆ 95 0.789 iˆ 0.5263 ˆj 0.3158 kˆ A 75 iˆ 50 ˆj 30 kˆ rad s eˆ 380 0.789 iˆ 0.5263 ˆj 0.3158 kˆ 76.2 300 iˆ 200 ˆj 120 kˆ rad s2 457 AB B A AB 0.3,0.2,0.12 0,0.2,0.12 381 AB 0.3,0,0 Engrenagem A: AB 0.3 iˆ 0 ˆj 0 kˆ vB AB vB 75 iˆ 50 ˆj 30 kˆ 0.3 iˆ 0 ˆj 0 kˆ ˆj kˆ iˆ ˆj iˆ vB 75 50 30 75 50 0.3 0 0 0.3 0 15 A 0 A 2 f A 2 0 A 12.566 A rad s 120 60 12.566 rad A A 2.513 2 t 5 s Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori Notas de aula 01 – 1° Bimestre rA A rB 0.0762 rad B 12.566 B 2.095 0.457 s vA vB A rA B rB B (b) o tempo gasto até parar. N o MUV o de B percorrido em 5s será: B2 02 2 B 2 02 2.0952 02 2 B 2 0.419 5.2375rad sB ri 0 B sB0 0.381 5.2375 sB0 2m sB rBi B B 16 sB 6.1 B rBi 0.381 B 16.01rad 2.095 rad B B B 0.419 2 t 5 s Faltam: 6.1 sB 6.1 2 4.1m 0 Nesses 4.1 m a engrenagem B percorre em velocidade angular constante; o tempo gasto será de: s 4.1 2.095 0.381 t t 4.1 t t 5.1365s 2.095 0.381 vB B rBi A polia A gastará 5 s em MUVA e 5.1365 s em MU: rad s A A t A 12.566 5.1365 A 12.566 AMU 64.546rad Em MUV: 1 AMUV A0 t A t 2 2 1 AMUV 0 t 2.513 52 AMUV 31.4125rad 2 AMU AMUV 64.546 31.4125 R 120 rad 0 12.566 60 s h 0.8 h R 2.5rad R 0.32 2 02 F2 02 2 F 2 2 2 0 12.566 rad 31.58 2 2 2.5 s 0 t 0 12.566 31.58 t 12.566 t t 0.397s 31.58 0 2 f 0 2 25. A figura figura ilustra uma correia que move-se entre duas polias A e B, de raios RA = 0.06 m e RB = 0.02 m, respectivamente, sem que ocorra escorregamento entre as superfícies em contato. A velocidade da correia aumenta uniformemente, desde v1 = 0.8 m/s até v2 = 2.4 m/s, em 5 s. Pedem-se: (a) a aceleração angular de cada polia; (b) o número de voltas efetuadas por cada uma das polias, nos 5 s. AMU AMUV 95.9585rad AMU AMUV 95.9585 rev 2 2 AMU AMUV 2 RA RB 15.27rev tT tMUV tMU 5 5.1365 tT 10.1365 24. A polia ilustrada na figura possui raio R = 0.32 m e é acionada por um motor elétrico, com o intuito de suspender o bloco A. Quando a polia apresenta freqüência de rotação f0 = 120 rpm, o motor é desligado. Mesmo assim, o bloco ainda sobe h = 0.80 , antes de parar. Pedem-se: (a) a aceleração angular da polia; A v v Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori Notas de aula 01 – 1° Bimestre v 2.4 0.8 m ac ac 0.32 t 5 s a ac aA aA A RA A A RA 0.32 rad A A 5.33 2 0.06 s a ac aB aB B RB B B RB 0.32 rad B B 16 2 0.02 s vB vB B RB B RB 2.4 rad B B 120 0.02 s vB0 vB0 B0 RB B0 RB 0.8 rad B0 B0 40 0.02 s B2 B20 2 2 B B0 2 B B B 2 B ac B t = 0 s), vA0 = 5 m/s. Considerando o intervalo de tempo de 2 s, pedem-se: (a) o número de voltas da polia; (b) as correspondentes velocidade e percurso do bloco B; (c) a aceleração centrípeta de um ponto da borda mais externa da polia (R1 = 1.5 m). 17 R2 vA R1 13 rad A A 8.667 1.5 s vA0 vA0 A0 R1 A0 R1 5 rad A0 A0 3.33 1.5 s a aA A R1 A A R1 4 rad A A 2.67 2 1.5 s vA A R1 A 63.7 vA A RA A A2 A2 2 A A A 2 A 2 A A2 A2 2 2 A A 2 A A A 2 A 0 0 A 402 13.332 A 133.42rad 2 5.33 A m s vA vA0 aA t vA 5 4 2 vA 13 1202 402 B 400rad 2 16 400 B rev 2 vA RA 2.4 rad A A 40 0.06 s vA0 vA0 A0 RA A0 RA 0.8 rad A0 A0 13.33 0.06 s R1 133.42 rev 2 21.2 26. Uma polia dupla, de raios R1 = 1.5 m e R2 = 0.8 m, gira sob ação de dois blocos A e B, conforme ilustrado. O bloco A apresenta aceleração aA = 4 m/s², com velocidade inicial (em 2 A0 0 8.667 2 3.332 A 11.99rad 2 2.67 11.99 A rev A 1.91rev 2 vB B R2 vB 8.667 0.8 m vB 6.93 s vB0 B0 R2 vB0 B0 R2 A Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori Notas de aula 01 – 1° Bimestre Exercícios 1. Uma polia está conectada por cabos inextensíveis conforme mostra a figura. O movimento da polia é controlado pelo cabo C o qual tem uma aceleração constante de 9 in/s2 e uma velocidade inicial de 12 in/s, ambas para a direita.Determine: (a) o número de revoluções executados pela polia em 2 s. (b) a velocidade e a mudança na posição do corpo B após 2s. (c) a aceleração do ponto D da polia interior no instante t = 0s. m s aB B R2 aB 2.67 0.8 m aB 2.136 2 s vB2 vB20 2 2 vB vB0 2 aB sB sB 2 aB vB0 3.33 0.8 vB0 2.664 sB acpA 6.932 2.6642 sB 9.58m 2 2.136 vA20 R1 acpA 18 52 m acpA 16.67 2 1.5 s 27. As engrenagens ilustradas A, B e C, tem respectivamente raios RA = 0.24 m, RB = 0.16 m e RC = 0.32 m e apresentam eixos fixos. A engrenagem A gira com velocidade angular constante A = 5 rad/s, no sentido horário. Pedem-se: (a) as velocidades angulares das engrenagens B e C; (b) a aceleração de um ponto periférico da engrenagem A. Solução: RB RA vD0 r 0 12 3 0 0 4 rad s aDt r 9 3 3 rad s 2 14 rad 1 rev 2.23 rev 2 rad 0 t 4 3 2 10 rad s RC 1 2 1 2 0 t t 2 4 2 3 22 14rad B 7.50 rad rad m C 3.75 ; a 4.5 2 s s s vB r vB 5 10 vB 50 in s yB r yB 514 yB 70in aD t aC 9 in s 2 aD n rD 02 aD n 3 42 aD n 48 in tan 48 48 arctan 79.4 9 9 aD sen79.4 48 aD 48 in aD 48.8 2 sen79.4 s s2 Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori Notas de aula 01 – 1° Bimestre 2. O movimento de um corpo é dado por: tan t t 3 9 t 2 15 t SI . Determine a posição angular, a velocidade angular e a aceleração angular nos instantes: (a) t = 0 s (b) t =3s. aN B aTB arctan tan 37.5 9 37.5 76.50 9 3. No problema anterior, determine a posição angular e a aceleração nos instantes em que a velocidade angular se anula. 6. A vara dobrada ABCDE gira sobre uma linha que une os pontos A e E com uma velocidade angular constante de 9 rad/s. Sabendo que a rotação observada do ponto E é no sentido horário, determine a velocidade e a aceleração de C. 4. A cinta conecta as rodas do auto. O eixo B possui aceleração angular constante de 120 rad/s2 em sentido antihorário, Ela está inicialmente em repouso, Determine a aceleração da cinta no ponto C, quando: (a) t = 0.5 s (b) t = 2s. 19 5. Uma série de componentes pequenos estão sendo movidos por um transportador. O cinto passa por uma polia tensora de 6 in de raio. No instante mostrado, a velocidade do ponto A é 15 in/s para a esquerda e sua aceleração vale 9 in/s2 para a direita. Determinar: (a) a velocidade angular e aceleração angular da polia, (b) a aceleração total da máquina componente em B. Obs.: AC CE AE eˆ AE AE ê AC AC AE CE EC CE AC AE EC AE EC 0 pois AE AC EC Logo, tanto faz escolher o ponto A ou E!!! A (0,0.4,0.2); C(0,0.15,0); E(0.4,0,0) vB 15 rad B B 2.5 r 6 s aTB 9 rad aTB r 1.5 2 r 6 s 2 2 v 15 in aN B B aN B aN B 37.5 2 r 6 s rAC C A rAC (0,0.15,0) (0,0.4,0.2) rAC 0 iˆ 0.25 ˆj 0.2 kˆ vB r B aB aN2 B aT2B B aNB aTB aB 37.52 92 in aB 38.6 2 s nˆ EA EA EA EA A E EA 0,0.4,0.2 0.4,0,0 AE 0.4 iˆ 0.4 ˆj 0.2 kˆ AE 0.4 nˆ AE 2 0.42 0.22 AE 0.6 0.4 ˆ 0.4 ˆ 0.2 ˆ i j k 0.6 0.6 0.6 nˆEA 0.4 ˆ 0.4 ˆ 0.2 ˆ i j k 0.6 0.6 0.6 6 iˆ 6 ˆj 3 kˆ 9 Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori Notas de aula 01 – 1° Bimestre vC r vC 6 iˆ 6 ˆj 3 kˆ 0 iˆ 0.25 ˆj 0.2 kˆ ˆj ˆj iˆ kˆ iˆ vC 6 6 3 6 6 0 0.25 0.2 0 0.25 vC 6 0.2 0.25 3 iˆ 1.2 ˆj 6 0.25 kˆ v 0.45 iˆ 1.2 ˆj 1.5 kˆ m s C aC vC ˆj ˆj iˆ kˆ iˆ aC 6 6 3 6 6 0.45 1.2 1.5 0.45 1.2 aC 12.6 iˆ 7.65 ˆj 9.9 kˆ m s 2 7. A aceleração angular de um disco oscilando é definida pela relação: k Determine: (a) o valor de k para o qual = 8 rad/s quando = 0 e = 4 rad quando = 0. (b) a velocidade angular do disco quando = 3 rad. (a) 4 s-2 (b) 5.29 rad/s 8. Resolva o problema 2 encontrando a posição angular e a aceleração angular quando a velocidade angular for nula. 9. No problema 6, determine a velocidade e a aceleração do ponto B. Assuma que a velocidade angular é 9 rad/s e aumenta a uma taxa de 45 rad/s2. 10. A Terra faz uma volta completa a cada 23h e 56 min. Sabendo que o seu raio é 3960 mi, determine a velocidade linear e a aceleração linear em um ponto sobre o equador. 11. O anel C possui raio interno de 55 mm e raio externo de 60 mm e está posicionado entre duas rodas A e B, cada uma de raio externo de 24 mm. Sabendo que a roda A gira com freqüência 300 rpm e que não ocorre deslizamento, determine: (a) a velocidade angular do anel C e da roda B. (b) a aceleração dos pontos A e B que estão em contato com C. vA A rA vA vCext C rCext A rA C rC 2 f A rA 2 fC rC ext ext f r 300 24 fC A A fC fC 120 rpm rCext 60 B rB C rC 2 fB rB 2 fC rC fB fC rCint rB int int fB 20 120 55 f B 275 rpm 24 vA2 aA rA aA rA 300 vA 2 f A rA vA 2 0.024 60 m vA 0.754 s 2 0.754 m aA a A 23.7 2 0.024 s 275 vB 2 f B rB vB 2 0.024 60 m vB 0.6911 s v2 aB B2 rB aB B rB 2 A aB 0.69112 m aB 19.9 2 0.024 s 12. Um cilindro A está se movendo para baixo a uma velocidade de 9 ft/s quando um breque é aplicado repentinamente no tambor. Sabendo que o cilindro se move 18 ft para baixo antes de parar, e, assumindo movimento com aceleração uniforme, determine: (a) a aceleração angular da roda. (b) o tempo que leva para o cilindro parar. Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori Notas de aula 01 – 1° Bimestre vA A rA A vA 9 rad A A 12 rA 0.75 s 2 02 2 s 18 24 rad r 0.75 122 rad 02 122 2 24 3 2 48 s 1 0 0 t t 2 2 1 24 0 12 t 3 t 2 2 2 2 3 t 24 t 48 0 t 8 t 16 0 15. O anel B tem um raio interno r2 e externo r3. A barra A de raio r1 gira com velocidade angular constante A. Não há escorregamento entre as superfícies. Determine as relações entre os raios r1, r2, r3 e A para: (a) a velocidade angular do anel B; (b) a aceleração dos pontos entre a barra A e o anel B que estão em contato. s r t b b 4 a c 8 64 64 t t 4s 2 a 2 2 13. Uma polia e dois pesos são conectados por uma corda inextensível. O peso A tem uma aceleração constante de 300 mm/s2 e uma velocidade inicial de 240 mm/s, ambos dirigidos para cima. Determine: (a) o número de revoluçõe executados pela polia em 3 s. (b) a velocidade e a posição do peso B após 3s. (c) a aceleração do ponto D na borda da polia, em t = 0s. 21 16. Um disco circular de raio r = 0.16 m gira em relação a um eixo fixo O com velocidade angular = 2 rad/s e aceleração angular = 3 rad/s2 com sentidos indicados na figura. Determine os valores instantâneos da velocidade e da aceleração no ponto A da figura. y 14. Uma chapa circular está inicialmente em repouso. Sabendo que r = 200 mm e que a placa possui aceleração angular constante de 0.3 rad/s2, determine a magnitude da aceleração total no ponto B quando: (a) t = 0, (b) t = 2 s, (c) t = 4 s. r 4 O x r A rA OA r cos iˆ r sen ˆj cos 1 1 sen 1 cos2 sen 1 4 4 sen 15 sen 0.968 4 rA r 0.25 iˆ r 0.968 ˆj rA 0.16 0.25 iˆ 0.16 0.968 ˆj 2 Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori Notas de aula 01 – 1° Bimestre rA 0.04 iˆ 0.15488 ˆj kˆ 2 kˆ vA rA v A 2 kˆ 0.04 iˆ 0.15488 ˆj vA 2 0.04 kˆ iˆ 2 0.15488 kˆ ˆj ˆj iˆ vA 0.08 ˆj 0.30976 iˆ vA 0.30976 iˆ 0.08 ˆj kˆ 3 kˆ 19. O ponto A da polia está na posição angular = 0 em t = 0s. O disco tem velocidade angular inicial 0 = 0.1 rad/s em t = 0 e é acelerado com uma aceleração angular constante = 2 rad/s2. Determine a velocidade e a aceleração do ponto A, no instante t = 1 s, em função dos vetores unitários iˆ e ĵ . aA rA vA a A 3 kˆ 0.04 iˆ 0.15488 ˆj 22 a A 0.12 kˆ iˆ 0.4646 kˆ ˆj 0.6194 kˆ iˆ 0.16 kˆ ˆj 20. Uma fita magnética utilizada para gravar dados em um computador consiste no sistema indicado. 2 kˆ 0.30976 iˆ 0.08 ˆj 0.6194 ˆj 0.16 iˆ a A 0.12 ˆj 0.4646 iˆ aA 0.12 ˆj 0.4646 iˆ 0.6194 ˆj 0.16 iˆ a A 0.3046 iˆ 0.739 ˆj 17. Para testar a resistência de um adesivo, é colocado um bloco de massa m = 0.3 kg em um disco que gira a partir do repouso em t = 0 s com aceleração angular uniforme = 2 rad/s2. Se a fita se solta depois de 3 s do movimento do disco, quantas voltas o disco execuitará? Se a velocidade v da fita é constante e a magnitude da aceleração do ponto A é 4/3 a aceleração do ponto B, determine o raio de A. 21. As características de um sistema de engrenagens é ilustrado a seguir: 18. A correia acoplada ao conjunto de polias faz girar o sistema aumentando sua velocidade angular. Num certo instante, a velocidade da correia é 1.5 m/s e a aceleração total do ponto A é 75 m/s2.Para esse instante, determine: (a) a velocidade angular e a aceleração angular da polia B. (b) a aceleração total do ponto B. (c) a aceleração do ponto C. A engrenagem B está girando no sentido horário, com 300 rev/min, quando um torque é aplicado na engrenagem A, em t = 2 s, forçando-a a girar no sentido anti-horário com uma aceleração angular que varia com o tempo conforme o gráfico indicado, durante 4 s. Determine a velocidade da polia B, quando t = 6 s. Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori Notas de aula 01 – 1° Bimestre 23. A potência de um motor elétrico quando ligado o faz girar a 3300 rpm em 6 s, e quando é desligado ele retorna ao repouso em 80 s. Assumindo aceleração uniforme, determine o número de revoluções dado pelo motor quando: (a) é ligado e atinge a máxima rotação; (b) é desligado a partir da máxima rotação até atingir o repouso. 23 1 rad/s 0.318 mm/s 24. Assumindo que a Terra gira em torno de seu eixo em 23h e 56 min e seu raio é aproximadamente 6400 km, determine a velocidade de rotação sobre um ponto da superfície do Equador. E num ponto na latitude de 400 N? 25. No sistema de polias abaixo, o disco B está em repouso quando é colocado em contato com o disco A que está girando no sentido horário a 450 rpm. Após 6 s de deslizamento, cada disco tem uma aceleração angular constante e o disco A possui uma freqüência de 140 rpm no sentido horário. Determine a aceleração angular de cada disco durante o período de deslizamento. 27. O cordão de diâmetro d é enrolado em torno do tambor afunilado que tem as dimensões ilustradas. Se o tambor está girando a uma taxa constante de , determinar a aceleração para cima do bloco. Negligenciar o pequeno deslocamento horizontal do bloco. r2 – r1 r - r1 26. Devido ao parafuso em E, o atuador fornece movimento linear para o braço em F quando o motor gira a engrenagem em A. Se as engrenagens têm os raios listados na figura e o parafuso em E tem um passo de p = 2 mm, determine a velocidade em F quando o motor gira a A 20 rad s . Sugestão: O passo do parafuso indica a quantidade de avanço do parafuso para cada volta completa. r2 r x r1 L r r1 x r2 r1 L r r1 r2 r1 x L d 2 d x nd x dx 1 d dt 2 dt r r1 r2 r1 x L Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori Notas de aula 01 – 1° Bimestre dr 1 dx r2 r1 dt L dt dv d dr v r r dt dt dt dv dr 0 r dt dt dv dr dt dt dv 1 dx r2 r1 dt L dt dv 1 1 d r2 r1 d dt L 2 dt a r2 r1 a d 2 L 24 Ponto P de contato de A e B: 2 28. O mecanismo é utilizado para converter o movimento circular de constante da haste AB no movimento de translação da haste CD na fenda vertical anexa. Determine a velocidade e aceleração de CD para qualquer ângulo de AB. vP A rA B rB 2 f A rA 2 f B rB f A rA f B rB r 25 fB A f A fB 3000 f B 750rpm rB 100 750 rad fB Hz B 2 f B B 26 60 s 81.68 13 Eixo do motor é o mesmo da enfrenagem A: n = 200 A 2 n A 2 200 A 400 rad 1256.64 A2 A2 2 A A A 2 A 2 A 2 A0 0 A 2 f A A 2 A x l cos dx d l sen dt dt v l sen dv d d a l cos l sen dt dt dt 2 a l cos 29. O motor gira a engrenagem A de modo que sua freqüência aumenta uniformemente de zero a 3000 rev/min depois que o eixo gira 200 rev. Determine a velocidade angular da engrenagem D quando t = 3 s. Os raios das engrenagens A, B, C e D são: rA = 25 mm, rB = 100 mm, rC = 40 mm e rD = 100 mm, respectivamente. B 3000 rad A 100 60 s 314.2 314.22 02 rad A 39.28 2 2 1256.64 s aTP A rA B rB rA 25 rad A B 39.28 B 9.82 2 rB 100 s Mesmo eixo C e B: Em t = 3s: B B B t B 0 9.82 3 0 rad s rad B C 29.46 s rad C B 9.82 2 s B 29.46 Ponto P´ de contato de C e D: Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori Notas de aula 01 – 1° Bimestre vP D rD C rC r 40 rad D C C D 29.46 D 11.784 rD 100 s 30. A manivela AB está girando a uma velocidade angular constante de = 150 rad/s. Determine a velocidade do pistão P no instante em que = 30 °. 25 x 0.2 cos 0.752 0.2 sen 2 x 0.2 cos 0.752 0.04 sen2 x 0.2 cos 0.75 0.04 sen 2 2 1 2 1 1 dx d 1 d 0.2 sen 0.752 0.04 sen2 2 0.04 2 sen cos dt dt 2 dt dx d 1 0.2 sen dt dt 2 0.08 sen cos 0.75 d dt 1 2 0.04 sen 2 2 dx sen cos 0.2 sen 0.04 dt 0.752 0.04 sen2 Pois d ; Para = 300 e = 150 rad/s: dt dx sen300 cos300 150 0.2 sen300 150 0.04 dt 0.752 0.04 sen2 300 dx 64.951 2.598 15 0.04 15 dt 0.7433 0.5625 0.01 dx ft 15 3.4952 v 18.49 dt s Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori Notas de aula 01 – 1° Bimestre Movimento Plano Geral Um movimento plano geral pode ser considerado como a soma de uma translação e de uma rotação: Movimento geral = Translação + Rotação 26 Observe que: Movimento de um corpo decomposto em uma translação e uma rotação: Velocidade absoluta e relativa: vB vA vB/ A v vB vA tg vB/ A l B/ A l vA vA cos vB / A vB / A cos vA l cos Chega-se ao mesmo resultado escolhendo B como pono de referência. Decompondo-se o movimento dado em uma translação com B e uma rotação ao redor de B (vide figura), teremos: vB : velocidade absoluta do ponto B. v A : translação da placa com A. vB / A : velocidade relativa associada à rotação da placa ao redor do ponto A, medida em relação a eixos com origem em A e de orientações fixas. Denotando por : rB/ A : vetor de posição de B em relação a A: rB/ A B A Movimento plano = Translação com B + Rotação em torno de B. k̂ : velocidade angular em relação aos eixos de orientações fixas. vB / A kˆ rB / A vB vA kˆ rB / A vA vB vA/ B Observe que: vA/ B vB / A vA/ B vB / A l Movimento plano = Translação com A + Rotação em torno de A. O sentido da velocidade relativa deponde do ponto de referência escolhido e deverá ser cuidadosamente determinada a partir dos diagramas ilustrados. Finalmente, observemos que a velocidade angular da barra em sua rotação ao redor de B é a mesma que em sua rotação ao redor de A. Em ambos os casos é medida pela derivada temporal do ângulo : d dt Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori Notas de aula 01 – 1° Bimestre Este resultado é geral; assim, sempre a velocidade angular de um corpo rígido animado de movimento plano é independente do ponto de referência. A maior parte dos mecanismos mecânicos constam não de um, mas de vários elementos em movimento. Quando tais elementos se encontram articulados, pode-se estudá-los considerando cada um como um corpo rígido, sem, contudo, esquecer que os pontos de articulação de dois deles devem ter a mesma velocidade absoluta. Um estudo semelhante pode ser feito quando se trata de engrenagens, já que os dentes em constato devem ter a mesma velocidade absoluta. Entretanto, se os elementos de um mecanismo possuem um deslizamento relativo entre si, deve-se levar em consideraçãoa velocidade relativa das partes em contato. Exemplos resolvidos 1. A engrenagem dupla mostrada na figura rola sobre a cremalheira inferior estacionária; a velocidade do seu centro A é de 1.2 m/s para a direita. Determinar: (a) a velocidade angular da engrenagem, (b) as velocidades da cremalheira superior R e do ponto D da engrenagem. Assim, a velocidade da cremalheira superior é a velocidade do ponto B: vR vB vB vA vAB vB vA rAB vB 1.2 iˆ 8 kˆ 0.1 ˆj iˆ vB 1.2 iˆ 0.8 kˆ ˆj m vB 1.2 iˆ 0.8 iˆ vB 2.0 iˆ s Velocidade do ponto D: vD vA rAD vD 1.2 iˆ 8 kˆ 0.15 iˆ 27 ˆj vD 1.2 iˆ 8 0.15 kˆ iˆ m vD 1.2 iˆ 1.2 ˆj s m vD 1.22 1.22 vD 2.88 1.7 s tan 1 45 m m vD 1.2 iˆ 1.2 ˆj vD 1.7 45 s s Como a engrenagem rola sobre a cremalheira inferior, seu centro A percorrerá uma distância igualao comprimento da circunferência exterior, 2r1, para cada rotação completa da engrenagem. Como 1 ver = 2 rade, quando A rola para a direita, (xA > 0), a engrenagem gira em sentido horário ( < 0), escrevemos: xA r1 dxA d r1 vA r1 dt dt v 1.2 rad A 8 r1 0.150 s rad kˆ 8 kˆ s O rolamento é decomposto em dois movimentos: um de translação do centro A e outro de rotação ao redor deste centro. Na translação, todos os pontos da engrenagem deslocam-se com a mesma velocidade va. Na rotaça, cada ponto P da engrenagem se desloca ao redor de A com velocidade: vP rAP rAP P A Aqui rPA é o vetor de posição de P em relação a A. 2. No sistema esboçado, a manivela AB possui uma velocidade angular constante de 2000 rpm (freqüência f) no sentido horário. Determinar para a posição da manivela indicada na figura: (a) a velocidade angular da biela BD. (b) a velocidade do pistão P. Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori Notas de aula 01 – 1° Bimestre f 2000rpm f 2000 2 f 1 100 Hz f Hz 60 3 200 rad rad 209.45 3 s s vAB r AB vAB 0.0762 209.45 m vAB 15.95 500 s Movimento da Biela BD: Aplicando a lei dos senos: sen sen40 sen40 sen 0.0762 0.0762 0.203 0.203 sen 0.241 arcsen0.241 13.96 Observe que a velocidade vD do ponto D, onde a biela se une ao pistão, deve ser horizontal. Decompondo o movimento de BD: Movimento plano de BD= Translação + rotação vD vB vDB Fazendo o diagrama vetorial dessa relação: vD v vB DB sen53.9 sen50 sen76.1 vD v 15.9 15.9 DB vDB sen50 sen53.9 sen50 sen76.1 sen76.1 m vDB 12.5 76.1° s 15.9 m vD sen53.9 vD 13.2 sen76.1 s 28
