Estatística I Aula 4 - Profa. Patricia Maria Bortolon

Estatística I
Aula 4
Prof.: Patricia Maria Bortolon, D. Sc.
PROBABILIDADE
Antes...
• ... de estudarmos probabilidades é preciso saber
quais são as possibilidades de um determinado
fenômeno/experimento
• Precisamos estudar Técnicas de Contagem!!!
• O estudo de “o que é possível”
• Obs.: esse conteúdo está no final da Unidade 5 da sua apostila!!
Diagrama de árvore
• Marcos e Érico disputam um torneio de tênis. O primeiro que
ganhar dois jogos seguidos, ou que ganhar um total de três
jogos, vence o torneio. O diagrama dos resultados possíveis
do torneio é:
M
M
M
M
E
M
E
E
E
M
M
M
E
E
M
E
E
E
Resultados Possíveis:
MM
MEMM
MEE
MEMEM
MEMEE
EE
EMM
EMEE
EMEMM
EMEME
10 resultados possíveis
Multiplicação de Escolhas
• Os pacientes de um estudo médico são classificados pelo
grupo sanguíneo A, B, AB ou O, e pela pressão sanguínea
alta, baixa ou normal. De quantas maneiras pode um paciente
ser classificado?
baixa
normal
alta
baixa
A
B
normal
alta
AB
baixa
normal
O
alta
baixa
normal
alta
R: Haverá 4 x 3 = 12 classificações
possíveis.
Se uma escolha consiste
em dois passos, o
primeiro dos quais pode
ser realizado de m
maneiras, e para cada
uma dessas o segundo
passo pode ser realizado
de n maneiras, então a
escolha total pode ser
feita de m . n maneiras
Multiplicação de Escolhas (Generalizada)
Se uma escolha consiste em k passos, o primeiro
dos quais pode ser realizado de n1 maneiras, para
cada uma dessas o segundo passo pode ser
realizado de n2 maneiras, para cada combinação de
escolhas feitas nos dois primeiros passos o terceiro
passo pode ser realizado de n3 maneiras, ..., e para
cada uma dessas combinações de escolhas nos
primeiros k-1 passos o k-ésimo passo pode ser
realizado de nk maneiras, então a escolha total pode
ser feita de n1.n2.n3.....nk maneiras.
Exemplo 1
• Um vendedor de automóveis novos oferece um
carro em quatro estilos, dez acabamentos e três
potências. De quantas maneiras diferentes pode ser
encomendado um desses carros?
– Solução:
– Como n1 = 4, n2 = 10 e n3 = 3, há 4 x 10 x 3 = 120 maneiras
diferentes de encomendar um desses carros.
Exemplo 2
• Continuando com o exemplo anterior, quantas
escolhas existem se o comprador também precisar
escolher o carro com transmissão automática ou
manual e com ou sem ar-condicionado?
– Solução:
– Como n1 = 4, n2 = 10, n3 = 3, n4 = 2 e n5 = 2, há 4 x 10 x 3 x 2 x
2 = 480 escolhas diferentes.
Notação Fatorial
• É o produto de todos os inteiros positivos menores
do que ou iguais ao inteiro positivo n é denominado
“fatorial de n” e denotado por n!. Assim
–
–
–
–
–
–
–
–
1! = 1
2! = 2 x 1
3! = 3 x 2 x 1
4! = 4 x 3 x 2 x 1
.
.
.
n! = n x (n-1) x (n-2) x .... x 3 x 2 x 1
Arranjos
• Permite contar de quantas formas diferentes,
levando em consideração a ordem, posso escolher r
objetos dentre n objetos distintos.
– De quantas formas posso escolher duas das cinco vogais a, e, i,
o, u?
• ae, ai, ao, au, ea, ei, eo, eu, ia, ie, io, iu, oa, oe, oi, ou, ua, ue, ui, uo
• Equivale a multiplicar 5 x 4, pois tenho cinco opções na primeira
escolha e quatro opções para a segunda escolha
– Dentre 20 candidatas a Miss de quantas formas podem ser
escolhidas o primeiro e segundo lugar?
• Há 20 opções para o primeiro lugar e depois 19 para o segundo
lugar, logo, há 20 x 19 = 380 possíveis resultados.
– De quantas maneiras os 48 membros de um sindicato podem
escolher um presidente, um vice-presidente, um secretário e um
tesoureiro?
• 48 x 47 x 46 x 45 = 4.669.920 maneiras
Arranjos
• Generalizando e encontrando uma expressão para o cálculo:
n!
A(n, r )  n(n  1)(n  2)...(n  r  1) 
(n  r )!
a segunda parte da fórmula vem do fato de que
n(n  1)(n  2)...(n  r  1)  (n  r )!
(n  r )!
n!
A(n, r ) 
(n  r )!
n(n  1)(n  2)...(n  r  1) 
Permutações
• São um caso especial dos arranjos em que os n
objetos distintos são tomados todos de uma só vez,
ou seja, r = n.
n!
P(n, r ) 
(n  r )!
n!
n! n!
P(n, n) 
 
(n  n)! 0! 1
P(n, n)  n!
Exemplo 3
• Quantas permutações de três objetos, a, b e c
existem?
– 3! = 3x2x1=6
– abc acb bac bca cab cba
Exemplo 4
• De quantas maneiras oito professores substitutos
podem ser distribuídos para lecionar oito turmas de
um curso de Economia?
– Solução:
– Tomando n = 8 na fórmula P (n,n) = n! = 8! = 40.320 maneiras.
Amostras Ordenadas
• Muitos exemplos de probabilidade estão ligados à escolha de
uma bola de uma urna contendo n bolas (ou cartas de baralho,
ou pessoas de uma população). Quando escolhemos uma bola
após outra da urna, digamos r vezes, chamamos a escolha da
amostra ordenada de tamanho r. Consideramos dois casos:
– (i) Amostragem com reposição: aqui a bola é recolocada na urna, antes
da escolha da próxima. Ora, já que há n diferentes maneiras de
escolher cada bola, existem, pelo princípio fundamental da contagem:
n.n.n.n...n = nr amostras ordenadas diferentes, com reposição, de
tamanho r.
– (ii) Amostragem sem reposição: aqui a bola não é recolocada na urna
antes da escolha da próxima. Assim, não há repetição na amostra
ordenada. Em outras palavras, uma amostra ordenada, sem reposição,
de tamanho r é simplesmente uma r-permutação dos objetos da urna.
Ou seja, há
n!
A(n, r )  n(n  1)(n  2)...(n  r  1) 
(n  r )!
amostras ordenadas diferentes, sem reposição, de tamanho r de uma
população de n objetos.
Exercícios
1. Se não são permitidas repetições
1. Quantos números de 3 dígitos podem ser formados dos seis
dígitos 2, 3, 5, 6, 7 e 9?
2. Quantos destes são menores que 400?
3. Quantos são pares?
4. Quantos são ímpares?
5. Quantos são múltiplos de 5?
Dica: em cada caso desenhe três caixas
para
representar um número arbitrário, e então escreva, em cada
caixa, o número de dígitos que podem ser colocados nela.
Exercícios - Solução
•
Se não são permitidas repetições
1 - A caixa à esquerda pode ser preenchida de 6 maneiras; a seguir, a do
meio pode ser preenchida de 5 maneiras; e, finalmente, a da direita
pode ser preenchida de 4 maneiras:
6
5
4 Assim, existem 6 x 5 x 4 = 120 números
2 – A caixa da esquerda pode ser preenchida somente de 2 maneiras, por
2 ou 3, já que cada número deve ser menor que 400; a caixa do meio
pode ser preenchida de 5 maneiras; e, finalmente, a da direita pode
ser preenchida de 4 maneiras:
2
5
4 Assim, existem 2 x 5 x 4 = 40 números
3 - A caixa da direita pode ser preenchida somente de 2 maneiras, por 2
ou 3, já que os números devem ser pares; a da esquerda pode ser
preenchida de 5 maneiras; e, finalmente a do meio pode ser
preenchida de 4 maneiras:
5
4
2 Assim, existem 5 x 4 x 2 = 40 números
Exercícios - Solução
•
Se não são permitidas repetições
4 – A caixa da direita pode ser preenchida somente de 4 maneiras,
por 3, 5, 7 ou 9, já que os números devem ser ímpares; a da
esquerda pode ser preenchida de 5 maneiras; e, finalmente, a
do meio pode ser preenchida de 4 maneiras:
5
4
4 Assim, existem 5 x 4 x 4 = 80 números
5 – A caixa da direita pode ser preenchida somente de 1 maneira,
por 5, já que os números devem ser múltiplos de 5; a da
esquerda pode ser preenchida de 5 maneiras; e, finalmente, a
do meio pode ser preenchida de 4 maneiras:
5
4
1 Assim, existem 5 x 4 x 1 = 20 números
Exercícios - Solução
2 - De quantas maneiras um grupo de 7 pessoas pode
se dispor em uma fila?
Solução:
As sete pessoas podem se dispor em uma fila de
7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 7! = maneiras
Exercícios - Solução
3 - (i) De quantas maneiras 3 rapazes e 2 moças podem se sentar
em uma fila? (ii) De quantas maneiras eles podem se sentar
em uma fila se os rapazes devem ficar juntos e as meninas
também? (iii) De quantas maneiras eles podem se sentar em
uma fila, se somente as meninas devem sentar juntas?
Solução:
(i) As cinco pessoas podem se sentar em uma fila de 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5!
= 120 maneiras
(ii) Existem duas maneiras de distribuí-los segundo o sexo: RRRMM ou
MMRRR. Em cada caso, os rapazes podem se sentar de 3 x 2 x 1 = 3! = 6
maneiras e as moças de 2 x 1 = 2! = 2 maneiras. Então existem, ao todo,
2 x 3! x 2! = 2 x 6 x 2 = 24 maneiras
(iii) Existem 4 maneiras para distribuí-los segundo o sexo: MMRRR,
RMMRR, RRMMR, RRRMM. Note que cada maneira corresponde ao
número 0, 1, 2 ou 3, de rapazes sentados à esquerda das moças. Em
cada caso, os rapazes podem se sentar de 3! maneiras e as moças de 2!
maneiras. Portanto existem, ao todo, 4 x 3! x 2! = 4 x 6 x 2 = 48 maneiras
Exercícios - Solução
4 - Seja uma urna contendo 8 bolas. Ache o número de
amostras ordenadas de tamanho 3. (i) com
reposição (ii) sem reposição.
Solução:
(i) Cada bola pode ser escolhida de 8 maneiras na amostra ordenada,
então, existem 8 x 8 x 8 = 83 = 512 amostras com reposição
(ii) A primeira bola, na amostra ordenada, pode ser escolhida de 8
maneiras, a seguinte de 7 e a última, de 6 maneiras. Assim, existem 8 x 7
x 6 = 336 amostras sem reposição.
Combinações
• Quando a ordem na qual os elementos são escolhidos não
importa
• Para entender a fórmula que se aplica a esses casos vamos
analisar os arranjos de 3 letras escolhidas entre a, b, c e d.
• Formamos A(4,3) = 4!/1! = 4x3x2 = 24 possíveis escolhas
São permutações das mesmas 3 letras da primeira
coluna. 3! = 6 permutações em cada linha.
abc
abd
acd
bcd
acb
adb
adc
bdc
bac
bad
cad
cbd
bca
bda
cda
cdb
cab
dab
dac
dbc
cba
dba
dca
dcb
Essas são as combinações. O número de
combinações multiplicado por 3! é igual ao
número de arranjos de 4 letras 3 a 3.
Combinações
A(4,3)
C (4,3)  3! A(4,3) ou C (4,3) 
4
3!
A(n, r )  r!  C (n, r )
A(n, r )
n!
C (n, r ) 

r!
r!(n  r )!
n!
C (n, r ) 
r!(n  r )!
Exemplo 5
• De quantas maneiras diferentes uma pessoa pode escolher três
livros de uma lista de dez best-sellers, supondo que é
inconsequente a ordem de escolha dos três livros?
Solução:
Substituindo n = 10 e r = 3 na expressão de C(n,r)
n!
C (n, r ) 
r!(n  r )!
10! 10  9  8  7!
C (10,3) 

 5  3  8  120 maneiras
3! 7!
3  2  7!
Exemplo 6
• De quantas maneiras diferentes o diretor de um laboratório de
pesquisa pode escolher dois químicos dentre sete candidatos e
três físicos dentre nove candidatos?
Solução:
Os dois químicos podem ser escolhidos de C(7,2) maneiras e os três físicos
podem ser escolhidos de C(9,3) maneiras, de modo que pela multiplicação de
escolhas, todos os cinco juntos podem ser escolhidos de
7!
9!
C (7,2) C (9,3) 


2! 5! 3! 6!
7  6  5! 9  8  7  6!


 21 84  1764 maneiras
2  5!
3  2  6!
Exercícios
1. De quantas maneiras uma comissão formada de 3
homens e 2 mulheres pode ser escolhida dentre 7
homens e 5 mulheres?
2. Um aluno precisa responder a 8 das 10 questões
em um exame.
1. Quantas alternativas ele tem?
2. Quantas alternativas, se ele deve responder às 3 primeiras
questões?
3. Quantas, se deve responder ao menos 4 das 5 primeiras
questões?
Exercícios - Solução
1. De quantas maneiras uma comissão formada de 3
homens e 2 mulheres pode ser escolhida dentre 7
homens e 5 mulheres?
Solução:
Os três homens podem ser escolhidos dentre os 7 de C(7,3)
maneiras e as 2 mulheres, dentre as 5, de C(5,2) maneiras. Logo,
a comissão pode ser escolhida de
7!
5!
C (7,3) C (5,2) 


3! 4! 2! 3!
7  6  5  4! 5  4  3!


 35 10  350
3  2  4!
2  3!
maneiras
Exercícios - Solução
2 - Um aluno precisa responder a 8 das 10 questões em um
exame.
1 - Quantas alternativas ele tem?
Solução: as questões podem ser selecionadas de C(10,8) maneiras, ou
seja, 45 maneiras
10! 10  9  8!
C (10,8) 

 5  9  45
8! 2!
2  8!
2 - Quantas alternativas, se ele deve responder às 3 primeiras questões?
Solução: Se ele responde às 3 primeiras questões, então pode escolher
as outras 5 questões, dentre as 7 últimas, de C(7,5), ou seja de 21
maneiras.
7! 7  6  5!
C (7,5) 

 7  3  21
5! 2!
2  5!
Exercícios - Solução
2 - Um aluno precisa responder a 8 das 10 questões em um
exame.
3 - Quantas, se deve responder ao menos 4 das 5 primeiras questões?
Solução: Se responder a todas as 5 primeiras questões, então pode
escolher as outras 3, dentre as cinco últimas de C(5,3) = 10 maneiras.
C (5,3) 
5! 5  4  3!

 5  2  10
3! 2!
2  3!
Por outro lado, se responder somente a 4 das 5 primeiras questões, então
ele pode escolher estas 4 de C(5,4) = 5 maneiras e as outras 4
questões, dentre as 5 últimas, de C(5,4) = 5 maneiras; logo, ele pode
escolher as 8 questões de 5 x 5 = 25 maneiras. Assim, tem um total de
35 escolhas.
C (5,4) C (5,4) 

5!
5!


1! 4! 1! 4!
5  4! 5  4!

 5  5  25
1 4! 1 4!
No total 25 + 10 = 35 maneiras de escolher
Probabilidade – Definições Prévias
• Experimento Aleatório: é um experimento cujo
resultado final é desconhecido “a priori”, e que se
repetido um grande número de vezes, apresenta
uma certa estabilidade quanto ao conjunto final dos
resultados obtidos
Lei dos Grandes Números
Se determinada situação, experimento ou tentativa é
repetida um grande número de vezes, a proporção de
sucessos tenderá para a probabilidade de que um dado
resultado qualquer seja um sucesso.
Probabilidade – Definições Prévias
• Espaço Amostral (Ω): é o conjunto que contém
todos os possíveis resultados de um experimento
aleatório.
– O experimento aleatório lançamento de um dado tem como
espaço amostral Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
– O experimento aleatório retirada de uma carta do baralho para
observação do naipe tem como espaço amostral Ω = {copas,
ouros, paus, espadas}
• Evento: é todo e qualquer subconjunto do espaço
amostral Ω
– O evento pode ser, na jogada do dado:
• Obter no. par, o que dá o subconjunto Epar = {2, 4, 6}
• Obter no. ímpar, o que dá o subconjunto Eimpar = {1, 3, 5}
– Na retirada da carta do baralho obter um paus E = {paus}
Probabilidade – Definições Prévias
• Evento Complementar E: são os demais elementos
do espaço amostral que não fazem parte do evento
E.
– O evento complementar de Epar é {1, 3, 5}
– Usando os diagramas de conjuntos visualizamos
Ω
E
E
• Evento União: quando o evento envolve duas ou
mais características simultâneas
– A união dos eventos “menor que cinco” e “ser número par”:
• Epar = {2, 4, 6} U Emenor que cinco = {1, 2, 3, 4} resulta no evento
Epar U Emenor que cinco = {1, 2, 3, 4, 6}
O conjunto tem todos os elementos que pertencem a um ou outro
evento
Probabilidade – Definições Prévias
• Evento Intersecção: quando os eventos ocorrem
simultaneamente.
– A a intersecção dos eventos “menor que cinco” e “ser número
par”:
• Epar = {2, 4, 6} U Emenor que cinco = {1, 2, 3, 4} resulta no evento
Epar ∩ Emenor que cinco = {2, 4}
O conjunto tem os elementos que têm as duas características
simultaneamente
• Eventos Mutuamente Exclusivos: quando os eventos
não podem ocorrer simultaneamente, ou seja, sua
intersecção é o conjunto vazio
– Os eventos na jogada do dado “é par” e “é impar” são
mutuamente exclusivos pois não há elementos em comum nos
dois conjuntos. A intersecção é o conjunto vazio.
Probabilidade
• O conceito clássico de Probabilidade
Se há n possibilidades igualmente prováveis, das quais
uma deve ocorrer, e s são consideradas como favoráveis,
ou então um “sucesso”, a probabilidade de um “sucesso”
é de s/n.
Exemplos
• Qual a probabilidade de se tirar um ás de um baralho bem
misturado de 52 cartas?
– Solução: por “bem misturado” queremos dizer que cada carta têm a
mesma chance de ser tirada, podendo, portanto, aplicar-se o conceito de
probabilidade clássica. Como há s = 4 ases entre as n = 52 cartas, a
probabilidade de tirar um ás é:
s 4
1


n 52 13
• Qual a probabilidade de obter um 3, um 4, um 5 ou um 6 numa
jogada de um dado equilibrado?
– Solução: por “equilibrado” queremos dizer que cada face do dado tem a
mesma chance de aparecer, podendo, portanto, aplicar-se o conceito de
probabilidade clássica. Como s = 4 e n = 6, vemos que a probabilidade
procurada é:
s 4 2
 
n 6 3
Exemplos
• Se K representa “cara” e C representa “coroa”, os oito
resultados possíveis de três jogadas de uma moeda equilibrada
são KKK, KKC, KCK, CKK, CCK, CKC, KCC e CCC. Quais são as
probabilidades de obter duas caras ou três caras?
– Solução: novamente, moeda “equilibrada” significa que cada face da
moeda tem a mesma chance de aparecer, podendo, portanto, aplicar-se
o conceito de probabilidade clássica. Contando as possibilidades,
vemos que para duas caras temos s = 3 e n = 8 e que para três caras
temos s = 1 e n = 8. Assim, a probabilidade de obter duas caras
s 3
é
e a de obter três caras é s  1 .

n
8
n
8
Exemplos
• Se três de um grupo de vinte levantadores de peso têm usado
esteróides anabolizantes e quatro quaisquer deles são testados
para o uso de esteóides, qual é a probabilidade de que
exatamente um dos três levantadores de peso do grupo seja
incluído no teste?
20!
20 19 18 17
C
(
20
,
4
)


 4.845 maneiras de
– Solução: Há
4!16!
4  3 2
escolher os quatro levantadores de peso a serem testados e essas
possibilidades podem ser consideradas igualmente prováveis em virtude
da aleatoriedade da escolha. O número de resultados “favoráveis” é o
número de maneiras pelas quais podemos escolher um dos três
levantadores de peso que tem usado esteóides e três dos 17
levantadores de peso que não têm usado esteóides, a saber,
s  C(3,1)  C(17,3)  3  680  2.040
Segue que a probabilidade de pegar exatamente um dos levantadores
de peso que tem usado esteróides é:
s 2.040 8


n 4.845 19
A desvantagem da probabilidade clássica...
• ... é a sua aplicabilidade limitada, porque em poucas
situações da vida prática as possibilidade podem ser
consideradas como igualmente prováveis. Isso
ocorre, por exemplo, se quisermos saber se uma
experiência irá corroborar ou refutar uma nova
teoria; se uma expedição será capaz de localizar um
caso de um navio afundado; se o desempenho de
uma pessoa justificará um aumento salarial; se o
índice da bolsa de valores terá alta ou queda.
• Dentre os diversos conceitos de probabilidade, o de
maior uso é a....
Interpretação Frequencial da Probabilidade
• Ou interpretação experimental
A probabilidade de um evento (acontecimento ou
resultado) é a proporção do número de vezes em que
eventos do mesmo tipo ocorrem a longo prazo.
• Se dissermos que há uma probabilidade de 0,78 de
um avião da linha São Paulo – Salvador chegar no
horário, queremos dizer que esses vôos chegam no
horário em 78% das vezes.
Exemplos
• Uma pesquisa conduzida há poucos anos mostrou que dentre
8.319 mulheres de faixa etária dos 20 aos 30 anos que casaram
novamente depois do divórcio, 1.358 voltaram a se divorciar.
Qual é a probabilidade de uma mulher divorciada da faixa etária
dos 20 aos 30 anos divorciar-se novamente?
– Solução: no passado isso ocorreu 1.358/8.319 x 100 = 16,3% das
vezes, de modo que podemos usar 0,163 como uma estimativa da
probabilidade solicitada.
• Os registros indicam que 34 de 956 pessoas recentemente
visitaram a África Central contraíram malária. Qual é a
probabilidade de que uma pessoa que recentemente visitou a
África Central não tenha contraído malária?
– Solução: como 956 – 34 = 922 das 956 pessoas não contraíram
malária, estimamos que a probabilidade solicitada é de
Mas será que
aproximadamente 922/956 = 0,96.
probabilidade
s estimadas
dessa maneira
são
confiáveis???
Lei dos Grande Números
• Mais a frente veremos técnicas para medir a
confiabilidade da estimativa, por ora...
• ... o teorema denominado Lei dos Grandes Números
nos diz que
A probabilidade de um evento (acontecimento ou
resultado) é a proporção do número de vezes em que
eventos do mesmo tipo ocorrem a longo prazo.
• entretanto, o teorema também conhecido como “lei
das médias” refere-se a proporções de sucessos no
longo prazo, e quase nada tem a dizer sobre
qualquer experimento isolado.
Como seria possível
testar a veracidade
desta lei ???