2 -lei de coulomb e intensidade de campo elétrico

Universidade Federal de Ouro Preto
Instituto de Ciências Exatas e Aplicadas
Campus João Monlevade
NOTAS DE AULA
CEA 502 – ELETROMAGNETISMO
Professor: Felipe Eduardo Moreira Cota
JOÃO MONLEVADE – 2011
SUMÁRIO
Sumário
1 - ANÁLISE VETORIAL ................................................................................................................... 5
1.1 ÁLGEBRA VETORIAL ............................................................................................................. 6
1.2 SISTEMAS DE COORDENADAS ............................................................................................. 9
1.3 TRANSFORMAÇÃO APLICADA AOS SISTEMAS DE COORDENADAS ................................... 12
1.4 INTEGRAL DE LINHA .......................................................................................................... 14
1.5 INTEGRAL DE SUPERFÍCIE .................................................................................................. 16
2 -LEI DE COULOMB E INTENSIDADE DE CAMPO ELÉTRICO ........................................................ 18
2.1 A lei de Coulomb ............................................................................................................... 18
2.2 Intensidade de Campo Elétrico ......................................................................................... 20
2.3 Campo devido a uma distribuição contínua de cargas ..................................................... 20
2.4 Campo de uma linha de carga ........................................................................................... 21
2.5 Campo de uma lâmina de carga ........................................................................................ 21
2.6 Esboço de linhas de força .................................................................................................. 22
3 - DENSIDADE DE FLUXO ELÉTRICO, LEIS DE GAUSS E DIVERGÊNCIA ........................................ 23
3.1 Densidade de Fluxo Elétrico .............................................................................................. 23
3.2 A lei de Gauss .................................................................................................................... 25
3.3 Aplicação da Lei de Gauss: Algumas distribuições simétricas de cargas .......................... 27
3.4 Aplicação da Lei de Gauss: Elemento diferencial de volume ............................................ 27
3.5 Divergente ......................................................................................................................... 28
3.6 Primeira equação de Maxwell ........................................................................................... 28
4 – ENERGIA E POTENCIAL .......................................................................................................... 30
4.1 Energia gasta na movimentação de uma Carga Pontual em um campo Elétrico ............. 31
4.2 A Integral de Linha ............................................................................................................ 31
4.3 Definições de Diferença de Potencial e Potencial ............................................................. 32
4.4 O Campo de uma carga Pontual........................................................................................ 33
4.5 O campo Potencial de um Sistema de Cargas: Propriedade Conservativa ....................... 34
4.6 Gradiente de Potencial ..................................................................................................... 35
4.7 O Dipolo............................................................................................................................. 35
4.8 Densidade de Energia no Campo Eletrostático ................................................................. 36
5 – CORRENTE E CONDUTORES ................................................................................................... 38
5.1 Corrente e Densidade de Corrente ................................................................................... 38
aaaaaaaa. ................................................................................................................................ 38
aa ............................................................................................................................................. 39
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA ....................................................................................................... 40
A
CAPÍTULO
1
1 - ANÁLISE VETORIAL
O eletromagnetismo lida essencialmente com grandezas escalares e vetoriais.
Por grandeza escalar, entende-se uma grandeza física que possa ser quantificada por
um único parâmetro, como por exemplo, a massa de um objeto ou a carga de um corpo
carregado. Uma grandeza vetorial, por outro lado, requer parâmetros adicionais para a
sua completa especificação, como por exemplo, magnitude, linha de ação e sentido.
Esse é o caso, por exemplo, da velocidade de um objeto em movimento. Um outro
conceito que surge no estudo de eletromagnetismo é o de campo. Na maioria das
situações de interesse o campo é uma forma conveniente de representação do efeito
produzido por uma fonte física em cada ponto de espaço, a cada instante de tempo. O
campo será escalar ou vetorial, se a grandeza física a ele associada for de natureza
escalar ou vetorial, respectivamente. [1]
O estudo detalhado do eletromagnetismo requer familiaridade com as propriedades de
vetores, escalares e de campos escalares e vetoriais. Algumas destas propriedades são
examinadas a seguir.
Principais referências do Capítulo 1: . Slides do Prof. João Antônio de Vasconcelos –
Departamento de Engenharia Elétrica da UFMG
. ebook 2011 by Eduardo Fontana
Capítulo 01 – Análise Vetorial
1.1 ÁLGEBRA VETORIAL
Um vetor é representado no espaço por um segmento orientado onde o comprimento da
seta é proporcional a sua magnitude e a orientação da seta indica a direção e sentido do
vetor. Podemos representá-lo conforme a Fig.01:
Um campo é a denominação dada a toda distribuição de uma grandeza no espaço. Esta
distribuição pode ser escalar ou vetorial, variável ou não com o tempo. O potencial
eletrostático é um exemplo de campo escalar, enquanto o campo elétrico é um exemplo
de um campo vetorial.
1.1.1
SOMA DE VETORES
A soma de vetores é realizada geometricamente, a partir do deslocamento paralelo de
um dos vetores até a extremidade do outro, conforme ilustrado na Fig.1.2. O vetor
resultante se estende na direção da diagonal do paralelogramo formado pelos dois
vetores. A partir dessa definição, a soma de vetores satisfaz as propriedades:
 Comutatividade:
 Associatividade:
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6
Capítulo 01 – Análise Vetorial
Fig. 2.: Soma de vetores
Fig. 3.: Soma de vetores (regra do paralelograma)
1.1.2
Diferença entre vetores
A diferença entre vetores a e b é feito da seguinte forma: a - b = a + (-b)
Fig. 4.: Diferença entre vetores
1.1.3
Produto vetorial
Este tipo de produto gera como resultado um vetor. Define-se esta operação pela relação
a x b = |a|.|b| sen θ,
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7
Capítulo 01 – Análise Vetorial
Anti-comutatividade:
Distributividade:
1.1.4
Produto escalar
O produto escalar entre dois vetores a e b e definido pelo produto da amplitude de a pela
magnitude da projecao de b sobre a. Isto e,
a·b = ab cos θ. (1)
Obviamente, a·b = b·a.
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Capítulo 01 – Análise Vetorial
1.2 SISTEMAS DE COORDENADAS
1.2.1
Coordenadas Cartesianas
Neste sistema, as coordenadas de um ponto no espaço são definidas a partir de três
eixos x, y , z, perpendiculares aos planos x = 0, y = 0 e z = 0, respectivamente,
conforme ilustrado na Fig.1.7. Qualquer vetor neste sistema de coordenadas pode
ser representado como combinação linear dos três vetores unitários, â1=âx, â2=ây,
â3=âz, paralelos aos eixos x, y, z, respectivamente. A origem do sistema cartesiano é
a interseção dos planos x=0 , y=0 e z=0. A localização de um ponto no espaço pode
ser representada pelo vetor posição
tendo uma das extremidades na origem do sistema, conforme ilustrado na Fig.1.4. A
distância do ponto P a origem é obtida de,
Fig. 7: Representação do Sistema de Coordenadas Cartesianas
1.2.2
Coordenadas Cilíndricas
Neste sistema as coordenadas de um ponto no espaço são representadas pelos
parâmetros:
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Capítulo 01 – Análise Vetorial
r = distância até a origem da projeção do ponto no plano xy.
ϕ = ângulo azimutal, que representa o desvio angular do vetor projeção no plano
xy relativamente ao eixo x.
z = coordenada axial do ponto.
A base de vetores neste sistema é formada pelos vetores unitários ortogonais as
superfícies,
r = constante, que representa a equação de uma superfície cilíndrica,
ϕ = constante, que representa a equação de um semi-plano,
z = constante, que representa a equação de um plano.
Essas superfícies e os vetores unitários correspondentes,
,
estão representados na Fig.8. É importante observar que a seqüência de vetores unitários
da base deste sistema, está escrita na forma de uma seqüência cíclica, conforme definido
anteriormente. Notemos também que diferentemente do que ocorre com os vetores de
base do sistema de coordenadas cartesianas, neste sistema os dois primeiros vetores de
base variam com a coordenada ϕ.
Fig.8: Sistema de Coordenadas Cilíndricas
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10
Capítulo 01 – Análise Vetorial
1.2.3
Coordenadas Esféricas
As coordenadas de um ponto neste sistema de coordenadas são representadas pelos
parâmetros ilustrados na Fig.9, a saber:
R = distância do ponto à origem,
θ = ângulo polar, que representa o desvio angular do vetor posição em relação ao
eixo z,
ϕ = ângulo azimutal, comum ao sistema de coordenadas cilíndricas.
A base deste sistema é formada pelos vetores,
,
que são perpendiculares as superfícies,
R = constante , que representa a superfície de uma esfera.
θ = constante , que representa a superfície de um cone.
ϕ = constante , que representa a superfície de um semi-plano.
O espaço tridimensional é gerado pelas condições,
e
. As
superfícies coordenadas, bem como os vetores de base estão ilustrados na Fig.9. Neste
sistema de coordenadas, o vetor posição é representado por
.
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11
Capítulo 01 – Análise Vetorial
1.3 TRANSFORMAÇÃO APLICADA AOS SISTEMAS DE COORDENADAS
1.3.1
Cartesianas
Cilíndricas
A transformação de uma quantidade escalar e muito simples, pois basta fazer a
substituição das coordenadas de um sistema para a do outro sistema, empregando as
relações entre elas:
. x = r cos α
· y = r sen α
·z=z
· r = [(x2 + y2 )1/2
· a = tg-1[y/x]
.z=z
A transformação de uma quantidade vetorial é feita em duas etapas. Na primeira,
idêntica à etapa anterior, fazemos a substituição das coordenadas de um sistema para a
do outro sistema, empregando as relações já apresentadas. Na segunda etapa, fazemos a
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12
Capítulo 01 – Análise Vetorial
transformação dos vetores unitários. Isto pode ser feito empregando as operações a
seguir:
1.3.2
Cartesianas
Esféricas
A transformação de uma quantidade escalar, de forma semelhante ao caso da
transformação de coordenadas retangulares para coordenadas cilíndricas e vice e versa,
pode ser feita substituindo as coordenadas de um sistema para a do outro sistema,
empregando as relações entre elas:
· x = r sen θ cos α
· y = r sen θ sen α
· z = r cos θ
· r = [x2 + y2 + z2] 1/2
· q = tg-1[(x2 + y2 )1/2/z]
· a = tg-1[y/x]
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Capítulo 01 – Análise Vetorial
A transformação dos vetores unitários do sistema de coordenadas retangulares e
esféricas pode ser feita empregando as seguintes relações:
1.4 INTEGRAL DE LINHA
Considere o contorno C mostrado na figura a seguir, onde t(x,y,z) é o vetor unitário
tangente a curva C no ponto (x,y,z). Seja F(x,y,z) um campo vetorial que é definido em
todo ponto (x,y,z) do contorno C. Definimos integral de linha de F(x,y,z) ao longo do
contorno C, a seguinte integral:
∫ F(x, y, z) t(x, y, z)dl
Para avaliar esta integral, considere o vetor posição r que localiza o ponto (x, y, z),
tendo como referência a origem de um sistema de referência genérico O. O vetor r + Δr
é por sua vez o vetor posição que localiza, sobre a curva C, um ponto próximo ao ponto
(x, y ,z). Seja este o ponto (x´ ,y´ ,z´). Seja Δl o comprimento da curva C que vai do
ponto (x, y, z) ao ponto próximo (x´, y´, z´). Assim, podemos definir o vetor unitários
t(x,y,z) como sendo:
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Capítulo 01 – Análise Vetorial
Substituindo na integral de linha o vetor tangente, temos:
O vetor diferencial dr, nos sistemas de coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas,
possui a seguinte expressão:
a) Cartesianas
b) Cilíndricas
c) Esféricas
A substituição de dr dado nos sistemas de coordenadas cartesianas, cilíndricas e
esféricas conduz as seguintes expressões:
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Capítulo 01 – Análise Vetorial
A integral de linha, quando o percurso é fechado recebe o nome de circulação e ela e
representada pela seguinte expressão:
Exemplo: Dado o campo vetorial F (x, y,z) = xy x + y2 y, avalie a circulação deste
campo ao longo do percurso fechado C mostrado na figura a seguir.
1.5 INTEGRAL DE SUPERFÍCIE
Considere a superfície S mostrada na figura a seguir, onde n(x,y,z) e o vetor unitários
normal a superfície S no ponto (x,y,z).
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Capítulo 01 – Análise Vetorial
Fig. 10: Integral de superfície
Seja F(x,y,z) um campo escalar que é definido em todo ponto (x,y,z) da superfície S.
Dividindo S em N elementos de superfície contíguos de área Δsi, se o somatório do lado
direito da equação (14) convergir quando N tende para infinito e a área do elemento
tender a zero, a este resultado definimos como sento integral de superfície de F(x,y,z)
sobre S, cuja notação é dada a esquerda da equação
Ao resultado da integração do componente normal de uma quantidade vetorial sobre
uma superfície S denominamos de fluxo desta quantidade que atravessa a superfície. Se
a superfície e fechada, o resultado representa o fluxo liquido (o que sai menos o que
entra) que deixa a superfície S. A integral neste caso e escrita com o sinal da dupla
integral com um circulo no centro:
Exemplo: Dado o campo vetorial F (x,y,z) = (y+z) y + xy z, avalie em coordenadas
retangulares o fluxo que atravessa a superficie retangular no plano xy definida pelas
retas x = 0, x = 3, y = 1, e y = 2.
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18
Capítulo 02 – Lei de Coulomb e Intensidade de Campo Elétrico
Capitulo
2
2 -LEI DE COULOMB E INTENSIDADE
DE CAMPO ELÉTRICO
2.1 A lei de Coulomb
A eletrostática lida com a interação entre partículas carregadas em repouso e com a
análise de campos produzidos por distribuições de cargas em repouso. A carga elétrica é
uma grandeza fundamental, tal como, por exemplo, a massa, o comprimento e o tempo.
Experimentos demonstraram que cargas elétricas satisfazem as seguintes propriedades:
Existem dois tipos de carga na natureza, que diferem na forma com que interagem.
 Cargas do mesmo tipo se repelem, e cargas de tipos distintos se atraem.
 Para representar-se o tipo de interação entre cargas, atribui-se o sinal positivo para
cargas de um tipo, e o negativo para cargas pertencentes ao segundo tipo.
 A carga é quantizada, e o quantum de carga elétrica corresponde a carga de um eletron
e vale 1,60 ×10-19 Coulombs. O Coulomb é a unidade de carga no Sistema
Internacional (SI) de unidades.
 A carga total em um sistema isolado é conservada. Por sistema isolado nesse caso,
subtende-se aquele que bloqueie a entrada ou saída de matéria mas que seja
susceptível a penetração ou emissão de radiação eletromagnética.
Principais referências do Capítulo 2: ebook Eduardo Fontana
Capítulo 02 – Lei de Coulomb e Intensidade de Campo Elétrico
 Historicamente, foi atribuído o sinal negativo à carga do eletron.
Coulomb estabeleceu que a força entre dois objetos muito pequenos, separados pelo
vácuo ou espaço livre por uma distância grande se comparada ao seus tamanhos, é
proporcional á carga de cada um deles e inversamente proporcional ao quadrado da
distância entre eles, ou
𝐹=𝑘.
𝑄1 .𝑄2
𝑟2
(N)
onde k é uma contante de proporcionalidade, Q1 e Q2 são as quantidades positiva e
negativa de carga em (C), r é a distância de separação em (m). k pode ser escrito como
𝑘=
1
4𝜋𝜖0
onde 𝜖0 é chamada de permissividade do espaço livre. Em unidades SI,
.
Um outro resultado importante obtido de observações experimentais é que a força
eletrostática obedece ao princípio da superposição, i.e., a força total sobre uma carga de
teste, produzida por um conjunto de cargas puntiformes, pode ser obtida somando-se
vetorialmente a força de cada carga individual, na ausência das demais.
Consequentemente, para a situação ilustrada na Fig.2.2, a força total sobre a carga qt
devido ao conjunto de cargas qi pode ser obtida de,
Principais referências do Capítulo 2: ebook Eduardo Fontana
19
Capítulo 02 – Lei de Coulomb e Intensidade de Campo Elétrico
2.2 Intensidade de Campo Elétrico
Observa-se que uma carga elétrica produz uma região de influência ao seu redor. O
efeito pode ser sentido por outro objeto carregado posicionado nas imediações da carga.
Este transmissor de efeito, que faz-se presente no espaço, a partir da existência de uma
partícula carregada, é denominado de campo eletrostático.
A caracterização do campo eletrostático produzido por um conjunto de cargas elétricas,
pode ser feita colocando-se uma carga de teste qt na região de campo, e medindo-se a
força elétrica produzida sobre qt. A magnitude da carga de teste deve ser pequena de
forma a não perturbar o campo originalmente presente. A partir dessa medição, o campo
eletrostático pode ser definido pela relação
𝐸=
𝐹
𝑄
𝑄
𝐸 = 𝑘 . 12 𝒂𝒕𝟏
𝑟
Se extrapolarmos para um sistema genérico, at1 passa a ser um vetor unitário radial e R
passa a ser r.
Ou seja,
R=
ar=
E=
Se aplicarmos em um sistema que possui mais de uma carga,
E=
2.3 Campo devido a uma distribuição contínua de cargas
Se visualizarmos agora uma região preenchida com um número imenso de cargas
separadas diminutamente, percebemos que podemos substituir essa distribuição por uma
distribuição contínua e suave descrita por uma quantidade volumétrica de cargas.
Podemos fazer isso se somente não estivermos interessados em pequenas
irregularidades no campo, à medida que nos movemos de elétron para eletron.
Para nós, isso não se constitui em limitação porque nossos resultados é quase sempre
em uma escala macroscópica de larga escala. Seja na aplicação dessa teoria para
Principais referências do Capítulo 2: ebook Eduardo Fontana
20
Capítulo 02 – Lei de Coulomb e Intensidade de Campo Elétrico
estudarmos as corretes de elétrons em uma antena receptora, ou uma tensão em circuitos
eletrônicos ou uma carga em um capacitor. É muito raro estudarmos uma corrente
elétron por elétron.
A pequena quantidade ΔQ em um pequeno volume Δv é
ΔQ = ρv Δv
e a carga total dentro de um volume finito é
Q=
2.4 Campo de uma linha de carga
Considere um fio retilíneo infinitamente longo, com carga uniformemente distribuída
com densidade linear
(C/m). Para essa distribuição é importante observar que o
sistema de coordenadas que mais se adapta a simetria do problema é o cilíndrico, devido
a própria forma cilíndrica do fio retilíneo. A escolha mais adequada para o eixo de
simetria do sistema é aquela coincidente com o eixo do fio, conforme ilustrado na
Figura abaixo.
Nesse sistema de coordenadas, pode-se extrair as seguintes observações:
 Como o fio é infinitamente longo, não importa em que plano transversal do fio esteja
localizado o plano xy, o que implica na existência de simetria de translação ao longo
da direção z. Assim, as componentes de campo que existirem independem da
variável z, uma vez que a distribuição é inalterada perante translação ao longo dessa
direção.
 Rotações arbitrárias no ângulo ϕ, também não alteram a distribuição de carga,
indicando também que as componentes presentes do campo independem dessa
variável.
 As componentes do campo devem portanto depender apenas da variável r.
2.5 Campo de uma lâmina de carga
Essa configuração pode ser utilizada para aproximar a distribuição de carga de uma
linha de transmissão de fita ou em um capacitor de placas paralelas. Vamos utilizar o
campo de uma linha infinita para determinar o campo de uma lâmina de carga.
Então , nós temos que a densidade linear de carga é
Principais referências do Capítulo 2: ebook Eduardo Fontana
21
Capítulo 02 – Lei de Coulomb e Intensidade de Campo Elétrico
ρL = ρsdy
Sendo assim,
𝐄𝐱 =
ρs
𝟐𝜺
2.6 Esboço de linhas de força
Para esboçar as linhas de força aplicamos
𝑬𝒚
𝑑𝑦
=
𝑬𝒙
𝑑𝑥
para os casos de campos bidimensionais.
Então, considerando o campo de linha uniforme de carga
ρL = 2πε0
𝑬=
1
𝒂
𝜌 𝝆
Passando para coordenadas cartesianas
E=
Para avaliarmos a equação de linha de força para esboçá-las, basta aplicar as
coordenadas do ponto desejado e encontrar os valores da inclinação C
Principais referências do Capítulo 2: ebook Eduardo Fontana
22
23
Capítulo 03 – Densidade de fluxo Elétrico , Lei de Gauss e Divergência
Capitulo
3
3 - DENSIDADE DE FLUXO ELÉTRICO,
LEIS DE GAUSS E DIVERGÊNCIA
Após termos aprendido alguns conceitos de força magnética, campo elétrico,
linha de carga e lâmina de carga, que mostram o sentido e a direção da força em uma
carga de teste, vamos agora pensar nelas como linhas de fluxo.
3.1 Densidade de Fluxo Elétrico
Figura
Faraday realizou alguns experimentos e observou que:
- Existia um valor de carga na esfera mais interna e na esfera mais externa que eram
iguais em módulo independente do material dielétrico (isolante) que existia entre elas;
- Havia um deslocamento da esfera interna (+Q) para a esfera externa (-Q);
- Existia uma proporcionalidade direta entre o fluxo elétrico e a carga na esfera interna.
Os resultados dos experimentos de Faraday sugerem que o fluxo elétrico que
passa por uma superfície esférica imaginária localizada entre as duas esferas condutoras
é igual a carga contida dentro da própria superfície imaginária.
Principais referências do Capítulo 4: Hayt
Capítulo 03 – Densidade de fluxo Elétrico , Lei de Gauss e Divergência
Do experimento de Faraday, pode-se concluir que o fluxo elétrico era igual a
quantidade de carga (em módulo) que estava contida na esfera interna. Sendo assim,
Ψ=Q
Na superfície da esfera interna, Ψ coulombs de fluxo elétrico são produzidos
pela carga Q, distribuídas uniformemente na superfície da esfera, sendo A = 4πa2 .
A densidade de fluxo elétrico referente a figura
D=
(esfera interna)
D=
(esfera externa)
Em uma distancia radial r, a ≤ r ≤ b
Se fizermos a e;sfera interna se transformar em uma carga pontual mantendo a carga Q
teremos:
D=
Devemos então comparar D com E, ambas de uma carga pontual. Assim:
E=
D = ε.E
Apesar de D ser aplicada somente no vácuo, essa lei não é restrita para carga pontual.
Para uma distribuição volumétrica genérica de cargas teremos:
E=
Onde essa relação foi definida de uma carga pontual única. Da mesma forma:
D=
Por exemplo:
Se desejarmos encontrar D na região em volta de uma linha de cargas uniformes de
8nC/m que se estende ao longo de Z, no vácuo teremos que o campo é:
E=
Principais referências do Capítulo 4: Hayt
24
Capítulo 03 – Densidade de fluxo Elétrico , Lei de Gauss e Divergência
Em ...
Associado ao E, encontraremos:
D=
Em ...
D=
3.2 A lei de Gauss
As generalizações do experimento de Faraday nos leva ao seguinte
enunciado, conhecido como Lei de Gauss:
O fluxo elétrico que passa por qualquer superfície fechada é igual à carga total que
está contida dentro dessa superfície.
Figura
Vamos imaginar agora uma nuvem de cargas cercadas por uma superfície
fechada de qualquer formato. Se a carga total é Q, então Q coulombs de fluxo elétrico
passará pela superfície circundante. Sendo assim, em todos os pontos dessa superfície
terá um valor de Ds.
Devemos considerar agora a natureza de um elemento incremental de superfície.
Um incremento de área ΔS é quase uma porção de uma superfície plana e possui
direção e sentido. Ou seja, ΔS é uma grandeza vetorial e tem direção normal ao plano
que é tangente à superfície no ponto em questão.
Considerando ΔS em qualquer ponto P e suponha que Ds faça um ângulo θ com
ΔS. O fluxo que atravessa o incremental de área é dado por
ΔΨ =
Sendo assim, o fluxo total que passa pela superfície em questão é obtido
somando-se as contribuições diferenciais que atravessam cada elemento de superfície
ΔS.
Ψ=
onde ΔS envolve duas coordenadas dxdy, ρdφdρ ou r2senθdθdφ.
Principais referências do Capítulo 4: Hayt
25
Capítulo 03 – Densidade de fluxo Elétrico , Lei de Gauss e Divergência
Se a superfície concentra várias cargas pontuais:
Q=
ou uma linha de cargas
Q=
ou uma superfície de cargas
Q=
ou uma distribuição volumétrica de cargas
Q=
Sendo assim, a lei de Gauss pode ser escrita em termos de distribuição da cargas como
Ψ=Q=
uma definição matemática que significa simplesmente que o fluxo elétrico total que
atravessa qualquer superfície fechada é igual à carga envolvida por essa superfície.
Para ilustrar a aplicação da lei de Gauss vamos verificar os resultados do
experimento de Faraday colocando uma carga pontual na Q na origem de um sistema de
coordenadas esféricas e vamos escolher uma superfície fechada com uma esfera de raio
“a”.
Já definimos
E=
D=
Figura
Logo,
D=
Sabemos que o elemento diferencial de área em coordenadas esféricas é:
ds =
então o integrando
Ds . dS =
e o fluxo fica
Ψ=
Principais referências do Capítulo 4: Hayt
26
Capítulo 03 – Densidade de fluxo Elétrico , Lei de Gauss e Divergência
Portanto, acabamos de obter o resultado onde Q coulombs de fluxo elétrico atravessa
aquela superfície.
3.3 Aplicação da Lei de Gauss: Algumas distribuições simétricas de cargas
A partir da Lei de Gauss
Q=
e considerando novamente a carga na origem. Como Ds é constante e se escolhermos
uma superfície esférica como superfície gaussiana,
Q=
Considerando uma linha de carga com distribuição uniforme de carga.
Anteriormente provamos que somente a componente radial de D está presente, ou seja,
D=
Escolheremos a superfície cilíndrica porque DP é normal a todos os pontos e pode ser
fechada por superfícies planas normais ao eixo z.
Aplicando a lei de Gauss:
Q=
Em termos de densidade de carga
Q=
Então,
DS =
De
D = ε.E
E=
3.4 Aplicação da Lei de Gauss: Elemento diferencial de volume
Figura
Quando a distribuição de carga não for constante, ou D não o for, devemos escolher
uma superfície gaussiana de tamanho incremental a fim de considerar o D constante ao
longo da superfície gaussiana.
Principais referências do Capítulo 4: Hayt
27
Capítulo 03 – Densidade de fluxo Elétrico , Lei de Gauss e Divergência
Sendo assim, a carga envolvida no volume é dada por,
Q=
3.5 Divergente
Se aproximarmos o volume para zero,
Nos sistemas de coordenadas,
Cartesianas;
Cilíndricas:
Esféricas:
A divergência do vetor densidade de fluxo, portanto, é o fluxo que deixa uma pequena
superfície por unidade de volume, quando Δv tende a zero.
div D =
3.6 Primeira equação de Maxwell
Definimos 3 equações:
div D =
(1)
div D =
(2)
div D =
(3)
(1) é a definição do divergente
(2) resultado da aplicação da definição a um elemento diferencial de volume em
coordenadas cartesianas
(3) outra forma de escrever o resultado do divergente.
Portanto, partindo da lei de Gauss,
Principais referências do Capítulo 4: Hayt
28
Capítulo 03 – Densidade de fluxo Elétrico , Lei de Gauss e Divergência
Teremos o div D à esquerda e a densidade volumétrica à direita, ou seja
div D = ρv
que é a PRIMEIRA EQUAÇÃO DE MAXWELL. Ela determina que o fluxo elétrico
por unidade de volume que deixa uma pequena unidade de volume é exatamente igual à
densidade volumétrica de carga ali existente.
A título de exemplificação, considere o div D na região de uma carga pontual Q
posicionada na origem. Temos que a densidade de fluxo elétrico é dado por
Principais referências do Capítulo 4: Hayt
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Capítulo 4: Energia e Potencial
Capitulo
4
4 – ENERGIA E POTENCIAL
Nos capítulos 2 e 3 nos familiarizamos com a Lei de Coulomb e como utilizá-la
para encontrar o campo elétrico para diversas distribuições simples de carga e, também
com a Lei de Gauss e as suas aplicações para o cálculo do campo devido a algumas
distribuições simétricas de cargas.
Entretanto, que escolhermos encontrar o campo para uma distribuição de carga
mais complexa, tipo duas cargas pontuais diferentes separadas por uma pequena
distância, perceberíamos que traçar uma superfície gaussiana apropriada para obter uma
resposta seria praticamente impossível. Porém, para resolver um problema com
distribuições de carga mais complicada podemos aplicar a Lei de Coulomb porque ela
nos permite encontrar soluções para problema onde a Lei de Gauss não pode ser
aplicada. A lei de Coulomb é mais trabalhosa, detalhada e complicada. A razão da Lei
de Coulomb ser mais complexa vem do fato de que a intensidade de campo elétrico é
encontrada diretamente através da distribuição de carga. Em geral, seu cálculo envolve
três integrações, uma para cada componente, associado à decomposição do vetor em
componentes.
Todavia, seria interessante encontrarmos o valor do campo elétrico através de
uma componente escalar, ainda não definida até o presente momento, com uma
integração única, ou então determinar o E através desse escalar por algum procedimento
Principais referências do Capítulo 4: Hayt
Capítulo 4: Energia e Potencial
simples e direto, tal como a diferenciação. Essa função escalar existe e é definida
como o potencial ou campo potencial.
4.1 Energia gasta na movimentação de uma Carga Pontual em um campo Elétrico
A intensidade de campo elétrico pode ser definida como a força em uma carga
unitária de teste no ponto em que desejamos calcular o valor desse campo vetorial.
Se tentarmos mover uma carga compra um campo elétrico, vamos ter que
exercer uma força igual em módulo e oposta a direção àquela exercida pelo campo, e
isso requer de nós o gasto de energia ou a realização de trabalho. Caso desejamos mover
a carga na direção do campo E, nosso gasto de energia será negativo indicando
estaremos recebendo energia.
Suponha que desejamos mover uma carga Q por uma distância d em um campo
elétrico E
figura
F=
Temos então que a força F é calculada devido ao campo.
Então, a força que devemos aplicar deve ser igual e oposta à F para movermos a
carga Q na direção oposta ao campo E.
F=e o gasto de energia é o produto da força pela distância, ou seja,
dW =
Logo, para movermos a carga na direção de dl e em sentido oposto ao campo, o trabalho
realizado em relação ao campo elétrico no deslocamento de uma carga
W=
Para esse cálculo, devemos conhecer o caminho bem como devemos admitir que
Q se encontra em repouso tanto na posição final quanto na inicial.
4.2 A Integral de Linha
Suponha a trajetória abaixo,
Principais referências do Capítulo 4: Hayt
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Capítulo 4: Energia e Potencial
Figura
Para resolver uma integral de linha para calcular W devemos fragmentá-la em um
grande número de segmentos muito pequenos, multiplicar o segmento orientado do
campo pelo comprimento do segmento da direção e, então, somar todos os resultados.
Essa é uma maneira aproximada para calcular o valor dessa integral e o seu valor exato
é obtido apenas quando o número de segmentos se torna infinito.
W=
Se o campo é uniforme,
W=
O valor de W não depende do caminho em particular que selecionamos ao longo do
qual movemos a carga. W depende de Q, E, e das coordenadas dos pontos final e inicial.
EXEMPLO 4.1
Dado o campo não uniforme
E = y ax + x ay + 2 az
Pede-se que seja determinado o trabalho realizado para deslocar 2C de B(1,0,1) até
A(0.8,0.6,1) ao longo do arco mais curto do círculo
x2 + y2 = 1
z =1
EXEMPLO 4.2
Seja uma linha de carga com
E=
Figura
Calcule W resultante.
4.3 Definições de Diferença de Potencial e Potencial
De uma maneira bem semelhante àquela que definimos a intensidade de campo
E onde é considerado uma carga de teste unitária, definiremos agora diferença de
Principais referências do Capítulo 4: Hayt
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Capítulo 4: Energia e Potencial
potencial V como o trabalho realizado por uma fonte externa no deslocamento de uma
carga positiva unitária de um ponto a outro no campo elétrico.
Diferença de potencial =
Para a linha de cargas mencionada anteriormente
W=
quando Q vai de b para a. Logo V é
V=
Para uma carga pontual Q fixada na origem, vamos encontrar o potencial entre
os pontos a e b em distância radiais em relação a origem.
Figura
E=
W=
V=
4.4 O Campo de uma carga Pontual
Temos que
VAB =
Considera-se que os dois pontos estão posicionados sobre a mesma linha radial
ou tinham os mesmos valores para as coordenadas θ e φ, permitindo-nos montar um
caminho simples nessa linha radial ao longo do qual deslocamos nossa carga positiva.
Devemos então observar se os resultados são modificados quando essas coordenadas
são diferentes para o ponto inicial e final.
Podemos observar que obteremos a mesma resposta, de modo que a diferença de
potencial entre dois pontos só depende da distância dos pontos em relação à origem e
não depende do caminho particular utilizado no deslocamento da carga unitária de um
ponto a outro.
Se definirmos um zero de potencial no infinito para usarmos como referência e
mandarmos rb para o infinito teremos que
V=
Principais referências do Capítulo 4: Hayt
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Capítulo 4: Energia e Potencial
4.5 O campo Potencial de um Sistema de Cargas: Propriedade Conservativa
Para um ponto em r com valor de potencial definido, o valor de V em relação a
esse ponto de campo será
V(r) =
(1 carga)
V(r) =
(2 carga)
V(r) =
( muitas cargas)
Se cada carga representar um pequeno elemento de uma distribuição volumétrica
uniforme de carga ρvdv
V(r) =
Para um anel de cargas de densidade ρl, vamos calcular V ao longo do eixo z
onde ρ = a no plano z =0.
Figura
V=
Para o zero de potencial no infinito
1. O potencial devido a uma carga única é o trabalho realizado para deslocar uma
carga unitária positiva do infinito até o ponto no qual desejamos o potencial, e o
trabalho independe do caminho.
2. O campo potencial na presença de certo número de cargas é igual a soma dos
campos vetoriais individuais devido a cada carga.
3. O potencial devido a um certo número de cargas pontuais ou qualquer
distribuição contínua de cargas pode ser calculado deslocando uma carga
positiva unitária do infinito até o ponto em questão ao longo de qualquer
caminho que escolhemos.
4. Nenhum trabalho é realizado ao se deslocar uma carga unitária por um caminho
fechado, ou simplesmente
Principais referências do Capítulo 4: Hayt
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Capítulo 4: Energia e Potencial
4.6 Gradiente de Potencial
Suponha agora um campo vetorial onde E e V variam de ponto a ponto.
Figura
O valor diferencial de V gerado por um campo vetorial incremental, a partir da
definição da integral de linha é
V=
dV =
se designarmos um ângulo entre E e dL, então
dV =
dV / dL =
Em que direção deve-se colocar dL para que V seja máximo? Esse valor é
máximo quando cosθ = -1. Ou seja, o valor de V é máximo quando dL estiver no
sentido oposto de E.
E=
Para uma superfície equipotencial, o valor de V ocorre na direção normal ao
plano, ou seja
E=
EXEMPLO 4.3
Dado o campo potencial V = 2x2y – 5z e um ponto P(-4,3,6) desejamos calcular V, E, a
direção e o sentido de E, D e ρv.
4.7 O Dipolo
Um dipolo elétrico é o nome dado a duas cargas pontuais de igual magnitude e
sinais opostos, separadas por uma pequena distância se comparada à distância ao ponto
P, no qual desejamos saber o campo elétrico e o campo potencial.
Principais referências do Capítulo 4: Hayt
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Capítulo 4: Energia e Potencial
Figura 1
Figura 2
Para P distante R1 é essencialmente paralelo a R2 e encontramos que
R2 - R1 = d.cosθ
V é a soma dos potenciais escalares das duas cargas em V.
V=
Para um ponto muito distante R2 = R1
V=
Como E = - grad V,
E=
Esses são os campos distantes do dipolo.
Definimos o momento do dipolo como
P=
Um vez que d.ar = dcosθ,
Esse resultado pode ser generalizado como
V=
onde r posiciona o ponto de campo P e r’ determina o centro do dipolo.
4.8 Densidade de Energia no Campo Eletrostático
Para calcular a densidade de energia em um campo de densidade uniformemente
distribuída aplicamos
WE =
Principais referências do Capítulo 4: Hayt
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Capítulo 04 - Energia e Potencial
a
Principais referências do Capítulo 4: Hayt
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Capítulo 5: Corrente e Condutores
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Capitulo
5
5 – CORRENTE E CONDUTORES
5.1 Corrente e Densidade de Corrente
aaaaaaaa.
Principais referências do Capítulo 4: Hayt
Capítulo 5: Corrente e Condutores
aa
Principais referências do Capítulo 4: Hayt
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Referência Bibliográfica
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA
[1] Copyright Versão ebook 2011 by Eduardo Fontana
[2] Hayt, W. H. e Buck, J. A. Eletromagnetismo. 6. ed. São Paulo: LT,
2003
[3] Kraus, J. D. e Fleisch, D. A. Eletromagnetics with Applications. New
York: McGraw-Hill, 1999.
[4] Kraus, J. D. e Carver, K. R. Eletromagnetismo. Rio de Janeiro: Editora
Guanabara Dois, 1978.
[5] Quevedo, C. P. Eletromagnetismo. São Paulo: Edições Loyola, 1993.
Principais referências do Capítulo 4: Hayt
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