Função Logaritmo – Exercício - Avançado

Função Logaritmo – Exercício - Avançado
1. (ITA) Sejam x e y dois números reais tais que ex, ey e o quociente
ex − 2 5
são todos racionais. A soma x + y é igual a:
4 − ey 5
(A) 0.
(B) 1.
(C) 2 log5 3.
(D) log5 2.
(E) 3 loge 2.
2. (ITA) Sendo dado
(
)
1n 2 4 3 6 4 8 ...n 2n = an
então,
e 1n
(
)
2 3 3 4 4 ...2 n 2n = bn
1n 2 1n3 1n 4 1n 5
1n 2n
−
+
–
+ ...+
2
4
5
2n
3
é igual a:
(A) an - 2bn
(B) 2an - bn
(C) an - bn
(D) bn - an
(E) an + bn.
3. (ITA) Um subconjunto D de IR tal que a função f : D Æ IR, definida por f(x) = |ln(x2 – x + 1)| é injetora, é dado por
(A) IR
(B) (–∞, 1)
(C) [0,1/2]
(D) (0, 1)
(E) [1/2, ∞).
4. (ITA) Para b > 1 e x > 0, resolva a equação em x: (2x)
log 2
b
5. (ITA) Seja a função f dada por:
–(3x)
log 3
b
= 0.
2
f(x) = (log35) . log5 8x–1 + log3 41+2x–x – log3 2x(3x+1).
Determine todos os valores de x que tornam f não-negativa.
6. (IME) Sejam a e b números reais positivos e diferentes de 1.
Dado o sistema abaixo:
⎧⎪a x . b1 / y = ab
⎨
⎪⎩2 . log a x = log1 / b y . log
determine os valores de x e y.
a
b
7. (IME) Para que valores de x a função
1
f(x) = x
ln x 4
. ln x2
1
assume o valor e 4 ?
8. (ITA) Seja f(x) = ln (x2 + x + 1), x ∈ IR. Determine as funções h, g : IR Æ IR tais que f(x) = g(x) + h(x), ∀x ∈ IR, sendo h
uma função par e g uma função ímpar.
9. Resolva o sistema
⎧log 2 x + log 4 y + log 4 z = 2
⎪
⎨log 3 y + log 9 z + log 9 x = 2
⎪log z + log x + log y = 2
16
16
⎩ 4
10. Sejam a , b e c ∈ IR *+ , c ± b ≠ 1 , Prove que:
a 2 + b 2 = c 2 ⇔ log c + b a + log c −b a = 2 log c + b a log c− b a .
11. Prove que:
∑ (log
n
k =1
b
2− k
a − log
a
2k
)
b2=
(
1 n +1
4
−1
3
)⎛⎜⎜ log
⎝
2
b
1
a +
4
n
log 2b
12. Sejam ( a , b, c ) P.G. tai que a , b e c ∈ IR *+ − {1 } , então:
log a N log a N − log b N
=
, N > 0.
log c N log b N − log c N
13. Sejam a , b e c ∈ IR *+ − {1 } e N > 0 , então:
log a N log b N + log b N log c N + log c N log a N =
14. Resolva o sistema abaixo:
⎧a x b y = ab
⎪
⎨2 log a x = log 1 y log
⎪
b
⎩
a
b
log a N log ba N log c N
.
log abc N
⎞
⎟ − 2(n + 1) .
a ⎟⎠
15. Demonstre que:
log a x
= 1 + log a b , a , b e x ∈ IR *+ , a ≠ 1 e ab ≠ 1
log ab x
16. Prove que:
n
∑ log
k =1
Gabarito
1. E
2. C
3. C
⎧ 1⎫
4. S = ⎨ ⎬ .
⎩ 6⎭
⎡ 1 ⎤
5. S = ⎢ , 1 ⎥ .
⎣ 5 ⎦
6.
⎧
⎧⎛
1⎞
* ⎫
⎪ab = 1 ⇒ S = ⎨ ⎜ k , ⎟ , k ∈ IR ⎬
k⎠
⎪
⎩⎝
⎭
⎨
⎪ab ≠ 1 ⇒ S = ⎧ ⎛ 1 , 2 ⎞ ⎫
⎟ ⎬
⎨⎜
⎪
⎠ ⎭
⎩⎝ 2
⎩
{
7. S =
e ,−
8.
h : IR → IR
e
x a h (x) =
}
(
1
ln x 4 + x 2 + 1
4
g : IR → IR
x a g (x) =
1
ln
2
⎛ x 2 + x +1
⎜
⎜ x 2 − x +1
⎝
⎧ ⎛ 2 27 32 ⎞ ⎫
,
9. S = ⎨ ⎜ ,
⎟⎬
⎩⎝3 8 3 ⎠⎭
14. S = { (log a b , log b a ) , ( 1, 1) }
⎞
⎟
⎟
⎠
)
1
k
P
=
1
, P ∈ IR *+ − {1 }
log n! P