Ficha de Exercícios nº 2

Nova School of Business and Economics
Álgebra Linear
Ficha de Exercícios nº 2
Matrizes, Determinantes e Sistemas de Equações
Lineares
1
O produto de duas matrizes, A e B, é a matriz nula (mxn). O que pode
garantidamente afirmar sobre A e B?
a) Pelo menos uma delas é uma matriz nula.
b) Pelo menos uma delas tem determinante 0.
c) Ou o conjunto de colunas de A ou o conjunto de linhas de B (ou ambos) é
linearmente dependente.
d) Nada.
2
sobre
A e B são duas matrizes comutativas entre si. O que pode garantidamente afirmar
e ?
a) São iguais, respectivamente, a A e a B.
b) São comutativas entre si.
c) Pelo menos uma delas tem determinante 0.
d) Nada.
3
A é uma matriz anti-simétrica, com um número ímpar de linhas. O que pode
garantidamente afirmar sobre A?
a) O conjunto das linhas de A é linearmente independente.
b) A inversa de A é anti-simétrica.
c) Não é quadrada.
d) Tem determinante 0.
1
Álgebra Linear
Ficha de Exercícios nº 2
4
A e B são duas matrizes tais que
sobre A e B?
. O que pode garantidamente afirmar
a) O determinante de B é o inverso do determinante de A.
b) B não é a transposta de A.
c) A e B não são iguais.
d)
5
( ) pode menor que o número de colunas de A.
A é uma matriz quadrada. O que pode garantidamente afirmar sobre
( )?
a) Não existe.
( ).
b) É igual a
c) É igual a ,
( )- .
d) Nada.
6
A é uma matriz simétrica. O que pode garantidamente afirmar sobre
( )?
a) Tem determinante 0.
b) É igual a
-
.
c) É igual a A.
d) É simétrica.
7
A é uma matriz ortogonal e simétrica, com determinante positivo. O que pode
garantidamente afirmar sobre A?
a) É igual a
,
b) É igual a
e
-
e
-
, mas pode ser diferente de
c) Não é diagonal.
d) Não é idempotente.
2
( ).
( ).
Álgebra Linear
Ficha de Exercícios nº 2
8
O sistema de equações lineares
é possível e determinado. Qual das
seguintes afirmações é necessariamente verdadeira?
a) A é quadrada.
b) A tem determinante diferente de 0.
c) b pode ser obtido de uma forma única como combinação linear das colunas de A.
d) b não é um vector nulo.
9
A solução do sistema de equações lineares
é o conjunto dos vectores da
) (
)
forma (
. Qual das seguintes afirmações é necessariamente
verdadeira?
( )
a)
.
b) O sistema é homogéneo.
c) b pode ser obtido de uma forma única como combinação linear das colunas de A.
d) O sistema homogéneo associado é possível e determinado.
10
Os sistemas de equações lineares
*(
)(
)+ e
*(
respectivamente,
e
têm como soluções,
)+. Qual a solução do sistema de
, sendo A a matriz por blocos [ ] e b o vector por blocos [ ]?
equações lineares
a) ∅.
b) *(
)+.
*(
c)
d)
)+.
.
3
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Álgebra Linear
Correcção Ficha de Exercícios nº 2
Matrizes, Determinantes e Sistemas de Equações
Lineares
1.
O produto de duas matrizes, A e B, é a matriz nula (mxn). O que pode
garantidamente afirmar sobre A e B?
a) Pelo menos uma delas é uma matriz nula.
A resposta é incorrecta. Ao contrário do que acontece no produto de números reais, é
possível obter o elemento nulo do conjunto das matrizes (mxn) através do produto de dois
elementos não nulos. Por exemplo:
[
];
[
];
[
]
b) Pelo menos uma delas tem determinante 0.
A resposta é incorrecta. Não sabemos as dimensões de A e B, por isso, não é possível
garantir que sejam quadradas. Desta forma, não nos podemos referir aos seus
determinantes. Por exemplo, as seguintes matrizes A e B não são quadradas, mas o seu
produto é uma matriz nula:
[
];
[
[ ]
];
c) Ou o conjunto de colunas de A ou o conjunto de linhas de B (ou ambos) é
linearmente dependente.
A resposta é correcta. De facto, o produto das matrizes A e B, por esta ordem, pode ser
pensado como a geração de colunas que são combinações lineares das colunas de A, sendo
os coeficientes de cada uma das combinações lineares os elementos de cada uma das
colunas de B. Repare-se neste exemplo:
[
];
[
(
]
);
(
)
;
[
(
)
(
)
(
(
)
(
)
(
)
)
]
1
Álgebra Linear
Correcção Ficha de Exercícios nº 2
Por outro lado, o produto das matrizes A e B pode também ser interpretado como a geração
de linhas que são combinações lineares das linhas de B, sendo os coeficientes de cada uma
das combinações lineares os elementos de cada uma das linhas de A. Utilizando as matrizes
do exemplo anterior:
[
];
(
[
]
);
(
)
;
[
(
)
(
)
(
(
)
(
)
(
)
)
]
É então necessário provar que, se as colunas de A formarem um conjunto linearmente
independente, o conjunto das linhas de B é linearmente dependente (ao provarmos isto,
provamos que é impossível as colunas de A e as linhas de B formarem simultaneamente
conjuntos linearmente independentes, o que é equivalente ao enunciado desta resposta).
Sabemos que AB é a matriz nula (mxn), logo todas as suas colunas são o vector nulo de
.
Sabemos ainda que as colunas de AB são combinações lineares das colunas de A, cujos
coeficientes são os elementos das colunas de B. Mas se as colunas de A formam um
conjunto linearmente independente, a única combinação linear destas colunas que permite
obter o vector nulo é aquela cujos coeficientes são todos 0. Logo, se a primeira coluna de AB
é o vector nulo, é necessário que todos os elementos da 1ª coluna de B sejam 0. O mesmo se
aplica à segunda coluna de AB e a todas as outras. Conclusão: se o conjunto das colunas de A
é linearmente independente, B é uma matriz nula, tendo, por isso, linhas que formam um
conjunto linearmente dependente. Aqui, excluímos os casos em que A só tem 1 coluna, ou B
só 1 linha, situações em que a discussão sobre a independência linear do conjunto das
colunas de A e das linhas de B perde relevância.
d) Nada.
A resposta é incorrecta. Já sabemos que, se AB for uma matriz nula, ou as colunas de A
formam um conjunto linearmente independente, ou B é uma matriz nula. Podemos ainda
acrescentar que ou as linhas de B formam um conjunto linearmente dependente, ou A é
uma matriz nula, o que facilmente se prova, pensando em AB como uma matriz cujas linhas
são combinações lineares das linhas de B, cujos coeficientes são os elementos das linhas de
A.
Resposta correcta: c)
2
Álgebra Linear
Correcção Ficha de Exercícios nº 2
2.
A e B são duas matrizes comutativas entre si. O que pode garantidamente
afirmar sobre e ?
a) São iguais, respectivamente, a A e a B.
b) São comutativas entre si.
c) Pelo menos uma delas tem determinante 0.
d) Nada.
Se A e B comutam, sabemos que
. Mas se estas duas matrizes (AB e BA) são iguais,
( ) . A transposta do produto de duas matrizes
as suas transpostas também são: ( )
é igual ao produto das transpostas por ordem inversa, logo:
. Mas isto significa
que é indiferente a ordem pela qual se faz o produto de
e
e, por isso,
e
são
comutativas entre si. Repare-se que não podemos garantir
, nem
, o que
apenas seria possível se A e B fossem simétricas, nem é possível referirmo-nos ao
determinante de A e B, por não sabermos se são matrizes quadradas.
Resposta correcta: b)
3.
A é uma matriz anti-simétrica, com um número ímpar de linhas. O que pode
garantidamente afirmar sobre A?
a) O conjunto das linhas de A é linearmente independente.
A resposta é incorrecta. Por exemplo, qualquer matriz nula quadrada é anti-simétrica e o
conjunto das suas linhas (bem como o das suas colunas) é linearmente dependente (a não
ser que A tenha apenas 1 linha e 1 coluna).
b) A inversa de A é anti-simétrica.
A resposta é incorrecta. Não nos podemos referir à inversa de A, se não garantirmos a sua
existência. Se A for uma matriz nula quadrada, é anti-simétrica, mas não invertível.
c) Não é quadrada.
A resposta é incorrecta. Se A é anti-simétrica, sabemos que
( ). Isto significa que, se
transpusermos A, ficamos com uma matriz cujas linhas são o simétrico das colunas de A e
cujas colunas são o simétrico das linhas de A. Para que isto seja possível, é necessário que as
linhas e colunas de A tenham o mesmo número de elementos, ou seja, que A seja quadrada.
d) Tem determinante 0.
A resposta é correcta. Se A é anti-simétrica,
( ). Mas se as duas matrizes são iguais
(A e
), os seus determinantes são iguais: | | | ( )|. O produto de uma matriz por
um número real é equivalente ao produto de cada uma das suas linhas por esse número.
Logo, ao multiplicarmos por 1, estamos a multiplicar todas as suas linhas pelo mesmo
3
Álgebra Linear
Correcção Ficha de Exercícios nº 2
número. Por cada linha multiplicada por 1, o determinante de é multiplicado por 1,
logo, | ( )| ( ) | |. Como n é ímpar, ( )
. Sabendo ainda que o
deteminante de uma matriz é igual ao determinante da sua transposta, ficamos com:
| |
| |
| ( )|
(
)
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
Resposta correcta: d)
4.
A e B são duas matrizes tais que
sobre A e B?
. O que pode garantidamente afirmar
a) O determinante de B é o inverso do determinante de A.
A resposta é incorrecta. Não conhecendo as dimensões de A e B, não podemos garantir que
sejam quadradas, logo nada podemos afirmar sobre o seu determinante.
b) B não é a transposta de A.
A resposta é incorrecta. Basta que A seja auto-inversa (igual à sua inversa) e simétrica (igual
à sua transposta), para que AB seja a matriz identidade (nxn), sendo B a transposta de A. Por
exemplo:
[
];
[
]
[
;
]
c) A e B não são iguais.
A resposta é incorrecta. Basta que A seja auto-inversa, para que AB seja a matriz identidade
(nxn), sendo B igual a A. Por exemplo:
[
d)
];
[
]
;
[
]
( ) pode menor que o número de colunas de A.
A reposta é correcta. Claro que, se A e B forem matrizes quadradas, é impossível que o
( ) (número máximo de linhas de A que formam um conjunto linearmente
independente, ou número máximo de colunas de A que formam um conjunto linearmente
independente) seja menor que o número de colunas de A, porque isso implicaria que o
conjunto das colunas de A fosse linearmente dependente e que o determinante de A fosse 0.
Como o determinante de AB é o produto dos determinantes de A e B, o determinante de AB,
neste caso, seria 0 e AB não poderia ser uma matriz identidade, cujo determinante é 1. Mas,
( ) seja menor que o número de colunas de
não sendo A e B quadradas, é possível que
A. As colunas de AB são combinações lineares das colunas de A, cujos coeficientes são os
elementos das colunas de B. Para que AB seja
, é necessário que as suas colunas sejam os
vectores da base canónica de . Mas estes vectores podem ser gerados a partir das colunas
de A, mesmo se estas formarem um conjunto linearmente dependente. Por exemplo:
4
Álgebra Linear
Correcção Ficha de Exercícios nº 2
[
];
[
[
]
]
Resposta correcta: d)
5.
( )?
A é uma matriz quadrada. O que pode garantidamente afirmar sobre
a) Não existe.
( ).
b) É igual a
c) É igual a ,
( )- .
d) Nada.
A matriz adjunta de uma matriz quadrada é constituída pelos co-factores de cada um dos
seus elementos. O co-factor do elemento
é o determinante da matriz que resulta da
eliminação da linha i e da coluna j multiplicado por ( ) . Ao transpormos A, as suas linhas
passam a colunas e as suas colunas passam a linhas, o que quer dizer que o elemento que
estava na posição i,j passa a estar na posição j,i:
[
]
Por exemplo, o co-factor do elemento
[
]
, em A, é (
)
|
este elemento passa a estar na posição 2,1. O seu co-factor, em
|
|. O expoente de
|. Em
, é (
,
)
mantém-se, já que, embora os seus índices de
linha e coluna sejam trocados, a sua soma mantém-se. A matriz cujo determinante é
calculado é a transposta da matriz original. Como o determinante da transposta de uma
matriz é igual ao seu determinante, o determinante calculado é o mesmo. Quer isto dizer
que o co-factor do elemento que em A estava na posição 1,2 e em está na posição 2,1 é o
( ), era inserido na posição 1,2, em
mesmo. Contudo, enquanto que em
( ) passa a
( )
estar na posição 2,1. E o mesmo raciocínio se aplica a qualquer elemento de A. Logo,
e
( ) são constituídas pelos mesmos elementos, mas em posições diferentes: cada
( ), se encontra na posição i,j, encontra-se na posição j,i em
elemento que, em
Por isso,
( )
,
( ).
( )- .
Resposta correcta: c)
5
Álgebra Linear
Correcção Ficha de Exercícios nº 2
6.
A é uma matriz simétrica. O que pode garantidamente afirmar sobre
( )?
a) Tem determinante 0.
b) É igual a
-
.
c) É igual a A.
d) É simétrica.
Sabemos, da pergunta anterior, que, sendo A uma matriz quadrada,
( ) , ( )- . Se
A é uma matriz simétrica, as suas linhas são iguais às suas colunas, sendo, por isso, A
quadrada e aplicando-se a esta matriz a igualdade referida. Se A é simétrica, também é
verdade que
. Logo, ficamos com:
{
,
( )
( )
Mas, se
simétrica.
( ),
( )
,
( )-
( )- , a matriz adjunta de A é igual à sua transposta sendo, por isso,
Por outro lado, se não conhecessemos o resultado da pergunta anterior, poderíamos reparar
que, se A for uma matriz simétrica, é da seguinte forma:
[
]
O co-factor do elemento que se encontra na posição 1,2, por exemplo, é:
(
)
|
|.
Já o co-factor do elemento que se encontra na posição 2,1 é:
(
)
|
|.
O sinal atribuído aos 2 co-factores é o mesmo já que os índices de linha e de coluna, ainda
que estejam trocados, somam o mesmo valor. O valor do determinante envolvido nos 2 cofactores é o mesmo, já que a matriz a que se refere o 1º é a transposta da associada ao 2º (o
que advém do facto de A ser simétrica) e o determinante da transposta de uma matriz é
igual ao determinante da matriz. Logo, os co-factores destes 2 elementos são iguais e o
mesmo raciocínio se aplica aos elementos em qualquer posição i,j e j,i. Com isto, concluímos
( ) é simétrica.
que
6
Álgebra Linear
Correcção Ficha de Exercícios nº 2
Resposta correcta: d)
7.
A é uma matriz ortogonal e simétrica, com determinante positivo. O que pode
garantidamente afirmar sobre A?
a) É igual a
,
b) É igual a
e
-
( ).
e
-
( ).
, mas pode ser diferente de
c) Não é diagonal.
d) Não é idempotente.
-
Sendo A ortogonal, sabemos que
. Por outro lado, se A é simétrica, podemos afirmar
-
que
. Logo, já sabemos que
podemos conhecer o seu valor, porque:
| |
|
| |
|
Existindo inversa de A,
, ( )⇔
| |
| |
-
Logo, A também é igual a
⇔
| || |
| |
. Se o determinante de A é positivo,
| |
| |
⇒
) ⇔
( )
⇔
| |
| |
, sabemos que:
,
( )-
( )
(
( ) e podemos afirmar que
-
( )
( ).
Repare-se que, nas condições do enunciado, A tanto pode ser diagonal (tendo todos os
elementos que não pertencem à diagonal principal nulos), como idempotente (igual a ).
Basta pensar na matriz identidade de qualquer dimensão, que é ortogonal, simétrica e tem
determinante 1, logo positivo.
Resposta correcta: a)
8.
O sistema de equações lineares
é possível e determinado. Qual das
seguintes afirmações é necessariamente verdadeira?
a) A é quadrada.
A afirmação é falsa. Se o sistema é possível e determinado, então sabemos que há um único
de vector de
que o resolve. A matriz A contém os coeficientes das variáveis, presentes
em cada uma das equações do sistema. Se A não for quadrada, o número de variáveis
envolvidas no sistema e o número de equações são diferentes, mas isto não implica que não
possa haver um único vector a resolver o sistema. Basta que haja mais equações do que
variáveis, mas um número de equações relevantes (que dão informações diferentes) igual ao
número de variáveis. Por exemplo, veja-se o seguinte sistema:
7
Álgebra Linear
Correcção Ficha de Exercícios nº 2
{
[
][ ]
[ ]
A matriz A não é quadrada, mas as 2 últimas equações dão a mesma informação sobre a
solução do sistema. Logo, temos 2 variáveis e 2 informações relevantes e há um único vector
de
que resolve o sistema, o vector ( ).
b) A tem determinante diferente de 0.
A afirmação é falsa. Se não podemos garantir que a matriz A é quadrada, não nos podemos
referir ao seu determinante. Contudo, se A for uma matriz quadrada, então o seu
determinante é necessariamente diferente de 0. De facto, para que o sistema seja possível e
( )
(
)
determinado, é necessário que
. Sendo A uma matriz (nxn), isto
apenas será possível se as linhas de A (bem como as suas colunas) formarem um conjunto de
vectores linearmente independente. Para isso, | |
.
c) b pode ser obtido de uma forma única como combinação linear das colunas de A.
A afirmação é verdadeira. Ao resolvermos o sistema
, estamos a descobrir os vectores
de
, chamemos-lhes x*, que, multiplicados por A, à direita, resultam no vector b. O
produto de A e x* resulta numa matriz com uma única coluna b, que, já sabemos, vai ser
uma combinação linear das colunas de b, cujos coeficientes são os elementos de x*. Em
qualquer sistema
, há 3 hipóteses. Pode ser impossível gerar o vector b a partir das
( )
(
), o que significa que, reunindo o
colunas de A (o que acontece se
vector b às colunas de A que formam um conjunto linearmente independente, ficamos com
um conjunto ainda linearmente independente, pelo que b não pode ser obtido a partir das
colunas de A) e, neste caso, o sistema é impossível. Pode, por outro lado, ser possível obter
( )
(
), o que implica que,
b a partir das colunas de A (o que acontece se
reunindo b às colunas de A, ficamos com um conjunto de vectores constituído por tantos
vectores linearmente independentes quantos os que figuram em A e, por isso, b é
linearmente dependente das colunas de A, podendo, por isso, ser obtido a partir destas) e,
neste caso, o sistema é possível. Nesta situação, há 2 casos possíveis. Pode haver mais do
que uma combinação linear das colunas de A que gere o vector b (o que acontece se
( )
, o número de colunas de A, o que nos diz que nem todas as colunas de A são
linearmente independentes, pelo que há pelo menos 2 que desempenham o mesmo papel
na geração de qualquer vector, sendo possível ignorar uma delas numa combinação linear
que permita obter b e eliminar a outra noutra combinação linear diferente que também gera
b) e o sistema é possível e indeterminado. Finalmente, pode haver apenas uma combinação
( )
linear das colunas de A que permita obter b (o que acontece se
, o que significa
que as colunas de A formam uma base de
e, por isso, geram qualquer vector de
de
forma única), situação em que o sistema é possível e determinado. Estamos neste último
caso, pelo que há apenas uma combinação linear das colunas de A que gera b.
d) b não é um vector nulo.
8
Álgebra Linear
Correcção Ficha de Exercícios nº 2
A afirmação é falsa. Sendo o sistema possível e indeterminado, pode perfeitamente ser
homogéneo (o que significa que b é o vector nulo). Um sistema homogéneo é sempre
possível, porque há pelo menos uma combinação linear das colunas de A (qualquer que seja
A) que permite obter o vector nulo: aquela cujos coeficientes são nulos. Isto significa que o
vector nulo é sempre solução de um sistema homogéneo. Pode, no entanto, ser
determinado (se as colunas de A formarem um conjunto linearmente independente, o que
significa que a única combinação linear que as envolve e gera o vector nulo tem todos os
coeficientes nulos), ou indeterminado (caso em que o conjunto das colunas de A é
linearmente dependente, havendo, por isso, mais do que uma combinação linear destas
colunas que gera o vector nulo). Por exemplo, o seguinte sistema tem como única solução o
vector ( ):
{
[
][ ]
[ ]
Resposta correcta: c)
9.
A solução do sistema de equações lineares
é o conjunto dos vectores da
) (
)
forma (
. Qual das seguintes afirmações é necessariamente
verdadeira?
( )
a)
.
)
A afirmação é verdadeira. Sendo a solução o conjunto de vectores da forma (
(
)
, o sistema é possível e indeterminado, por haver um número infinito de
soluções. Como este conjunto contém vectores de , o sistema envolve 3 variáveis e A tem
( )
3 colunas. Sendo o sistema possível e indeterminado, é forçoso que
, pelo
( ) é 1 ou 2. O c
que
çõ
“v r áv
vr ” á q é
ív
escolher o valor de 1 variável, , quando procuramos soluções do sistema. Quer isto dizer
que, das 3 variáveis do sistema, 2 são determinadas pelas informações relevantes do sistema
e 1 é livre. Logo, é necessário que, independentemente do número de equações do sistema
(número de linhas de A), 2 delas sejam independentes, no sentido em que fornecem
( )
informações diferentes sobre o conjunto de soluções. Logo,
:
“
r áv
vr ”
( )
ív
r
( )
( )
b) O sistema é homogéneo.
A afirmação é falsa. Se um sistema de equações lineares for homogéneo, tem como solução,
) não é solução deste
necessariamente, o vector nulo, neste caso de . Mas o vector (
sistema:
9
Álgebra Linear
Correcção Ficha de Exercícios nº 2
(
)
(
)
(
{
)
(
)
(
)
ív
c) b pode ser obtido de uma forma única como combinação linear das colunas de A.
A afirmação é falsa. Se b pudesse ser obtido de uma forma única como combinação linear
das colunas de A, haveria um único vector x* que, multiplicado à direita por A, resultaria em
b, o que quereria dizer que o sistema é possível e determinado. Sendo possível e
indeterminado, não é possível que isto aconteça.
d) O sistema homogéneo associado é possível e determinado.
A afirmação é falsa. O sistema homogéneo associado a qualquer sistema de equações
lineares possível tem a mesma classificação que este. De facto, o que separa um sistema
( ) e este não depende do 2º membro do
determinado de um indeterminado é
sistema, b. Sendo o sistema
possível e indeterminado, o sistema homogéneo
associado a este também é.
Resposta correcta: a)
10.
Os sistemas de equações lineares
*(
*(
)(
)+ e
respectivamente,
e
têm como soluções,
)+. Qual a solução do sistema de
, sendo A a matriz por blocos [
equações lineares
] e b o vector por blocos [ ]?
a) ∅.
b) *(
)+.
*(
c)
d)
)+.
.
Sendo as soluções dos sistemas
e
vectores de , tanto como têm 3
colunas, já que os dois sistemas envolvem 3 variáveis. Assim, os sistemas são da seguinte
forma:
[ ]
[
]
[
]
{
[
]
{
[ ]
[
10
]
Álgebra Linear
Correcção Ficha de Exercícios nº 2
A matriz A tem tantas colunas como e e um número de linhas igual à soma do número
de linhas de cada uma destas matrizes. As primeiras
linhas correspondem à matriz
e
as últimas
são as de . O mesmo se passa com b e e . Assim, o sistema
éo
seguinte:
[ ]
[
[
]
]
{
Quer isto dizer que este último sistema é definido por todas as equações dos sistemas
e
. Como qualquer solução de
tem que tornar válidas todas as
igualdades deste sistema, o conjunto de vectores que o resolvem corresponde ao conjunto
de vectores que resolvem simultaneamente os dois sub-sistemas. As soluções de
e
, denominadas e , respectivamente, são estas:
*(
)(
)+
*(
)
(
)
*(
)
(
)
*(
)
(
)
(
(
)
)
+
+
*(
)
+
+
*(
)+
*(
)
(
)
*(
)
(
)
*(
)
(
)
(
+
)
+
*(
)
+
+
A solução do 1º sub-sistema é o conjunto de vectores de
cujas 1ª e 3ª coordenadas são
iguais. A solução do 2º é o conjunto de vectores de
cujas 3 coordenadas são iguais. Estes
dois conjuntos têm em comum o 2º:
(
{
(
)
)
{
(
)
(
(
)
*(
)
(
)
)
{
+
*(
)+
Resposta correcta: c)
11