Aula 07 Matrizes

Aula 07 – mtm B
MATRIZES
Matrizes
Definição
Tabela de números dispostos em linhas e colunas.
Representação






 ou 





 ou


Ordem da Matriz
Se uma matriz A possui m linhas e n colunas, dizemos que A tem
A mxn .
ordem m por n e escrevemos que a ordem de A é ...............
Matrizes
Ordem da Matriz
A mxn
linhas - i
Exemplo 1:
A 3x2
j - colunas
 -1 2 


=  0 1
 3 0


Exemplo 2: Calcule a quantidade de elementos de cada matriz.
a)A 3 x 4
12 elementos
b)(A 3 x 4)² 0 (zero) elementos, pois a matriz A não está definida.
c)(A 3 x 3)²
9 elementos
Matrizes
Forma Genérica
A mxn
 a11

= 
a
 m1
 a1n 


 
 amn 
 a11
A 3 x 2 =  a21
a
 31
a12 

a22 
a32 
Lei da Matriz
Exemplo 1: (Udesc) Calcule o Tr(A) da matriz A 2 x 2 dada pela
j

C
 i , se i ≠ j
seguinte lei: aij = 

P(i+ j) , se i = j
Resolução:
P2 = 2! = 2
C12 = 0
C12 = 2
P4 = 4! = 24
 2 0
A = 

 2 24
Tr(A)= ∑ DP = 26
Matrizes
Matrizes Especiais
Matriz Quadrada
Quando o número de linhas da matriz A for igual ao número de
m = n podemos dizer
colunas de A, ou seja, A m x n onde ................,
simplesmente matriz A de ordem n.
2
Exemplo A = 
7
-1

0
Exemplo 1: Classifique como Verdadeiro ou Falso.
( V ) Somente as matrizes quadradas tem diagonal.
( F ) Podemos calcular o determinante de qualquer matriz.
( V ) Pode-se calcular o traço de uma matriz, somente se ela for
quadrada.
Matrizes
Matrizes Especiais
Matriz Retangular
Quando o número de linhas da matriz A for diferente do número
m≠n .
de colunas de A, ou seja, toda matriz A m x n onde ................
5
Exemplo A = 
4
9 11 -7 

-1 0 2 
Exemplo 1: Classifique como Verdadeiro ou Falso.
( V ) (UFPR) Todo quadrado é um retângulo.
( F ) (UFPR) Toda matriz quadrada é uma matriz triangular.
Matrizes
Matrizes Especiais
Matriz Nula
O mxn .
Quando aij = 0, ∀ i e j. .................
Exemplo O
0
=
0
0
0
0

0
Exemplo 1: Classifique como Verdadeiro ou Falso.
( F ) (UFSC) Só existe matriz nula se ela for quadrada.
Matrizes
Matrizes Especiais
Matriz Oposta
Matriz oposta de uma matriz A = (aij)m x n é a matriz B = (bij)m x n tal
que bij = - aij.
Exemplo A
2
=
 -7
-1

5
B=-
 -2
A= 7

1

-5 
Exemplo 1: Classifique como Verdadeiro ou Falso.
( V ) A oposta de uma matriz nula, é sempre uma matriz nula.
Matrizes
Matrizes Especiais
Matriz Linha
Toda matriz que possui apenas uma linha, ou seja, toda matriz
A 1xn .
................
Exemplo A = ( -7 3 1)
Matriz Coluna
Toda matriz que possui apenas uma coluna, ou seja, toda matriz
A mx1 .
................
2
Exemplo A =  
 -3 
 
Matrizes
Matrizes Especiais
Matriz Diagonal
Uma matriz quadrada Amxn=(aij) é uma matriz diagonal quando
aij ∈ R ⇒ i = j e aij = 0 ⇒ i ≠ j .
................................................................
2
Exemplo A = 
0
0

-3 
Exemplo 1: Classifique como Verdadeiro ou Falso.
0
( V ) A matriz A =  0
0

0
0
0
0
0

0
é diagonal.
( F ) Toda matriz nula é diagonal.
Matrizes
Matrizes Especiais
Matriz Escalar
Matriz diagonal na qual os elementos da diagonal principal são
todos iguais.
3
Exemplo A = 
0
0

3
Matriz Unidade (Identidade)
É a matriz diagonal de ordem
aij = 0, ∀ i ≠ j e aij = 1, ∀ i = j .
...............................................................
1
Exemplo A =  0

n
0

1
na
qual
satisfaz
Matrizes
Matrizes Especiais
Matriz Transposta
t
A
É a matriz ....... cujas linhas são as colunas da matriz A, escritas
t
A
na mesma ordem, e as colunas de ......., são as linhas de A.
Exemplo A
0
=
1
-2
3
5

8
0
At =  -2
5

1

3
8 
Exemplo 1: Classifique como Verdadeiro ou Falso.
( V ) Se a matriz A é de ordem 2 x 3, então At é de ordem 3 x 2.
( F ) A transposta de uma matriz nula é ela mesma.
Matrizes
Matrizes Especiais
Matriz Simétrica
Quando os elementos de uma matriz quadrada que ocupam
posições simétricas em relação a diagonal principal são iguais
t
A
=
A
................. .
4

Exemplo A =  8
 -7

8
1
3
-7 

3
-2 
Matrizes
Matrizes Especiais
Matriz Anti-simétrica
Quando os elementos de uma matriz quadrada que ocupam
posições simétricas em relação a diagonal principal são opostos
A = -A t .
..................
Exemplo A
0

= 8
 -7

-8
0
3
7

-3 
0 
Matrizes
Matrizes Especiais
Matriz Anti-simétrica
Exemplo 1: (UFSC 2005) Pode-se afirmar que a matriz A
é anti-simétrica.
0

A = 0
1

0
0
0
1

0
0 
Resolução:
A = -A t
0 0

-A t =  0 0
 -1 0

-1

0
0 
Neste casa a matriz a é simétrica.
Matrizes
Matrizes Especiais
Matriz Anti-simétrica
Exemplo 2: (UFRGS) Sabendo que a matriz A é anti-simétrica
calcule o valor de a + b + c + d.
a

A =  -2
d

Resolução:
a= 0
c= -1
b= 2
d= 7
b
0
1
-7 

c
0 
a+b+c+d= 0+2-1+7= 8
Matrizes
Matrizes Especiais
Matriz Involutiva
−1
A
=
A
Uma matriz A quadrada é involutiva quando .................. .
Exemplo A
1
=
0
1

-1
Exemplo 1: Classifique como Verdadeiro ou Falso.
( F ) A matriz O2 é uma matriz involutiva.
Matrizes
Matrizes Especiais
Matriz Triangular
Matriz quadrada, na qual os elementos situados acima (triangular
inferior) ou abaixo (triangular superior) da diagonal principal são
todos nulos.
2

Exemplo A =  2
5

0
-3
4
0

0
1 
Triangular inferior
2

=
Exemplo A  0
0

Triangular superior
Exemplo 1: Classifique como Verdadeiro ou Falso.
2
( V ) A matriz A =  0
0

0
3
0
0
0

1
6 -7 

-3 11
0 1 
é dita só triangular.
Matrizes
Matrizes Especiais
Matriz Ortogonal
t
-1
A
A
=
Matriz A cuja inversa coincide com sua transposta ..................... .
1
Exemplo A = 
0
0

-1
Matriz Singular
Uma matriz quadrada é dita singular quando não admitir inversa,
ou seja, seu determinante é nulo.
2
Exemplo A = 
1
6

3
Matrizes
Matrizes Especiais
Matriz Inversível
Uma matriz quadrada é dita inversível ou regular, quando admite
inversa, ou seja, seu determinante é diferente de zero.
5

Exemplo A =  1
0

-1 2 

0 1
3 -2 
Matrizes
Matrizes Especiais
Exemplo 1: (UEM) O diagrama abaixo representa um mapa
rodoviário, mostrando, as estradas que ligam as cidades 1, 2, 3,
4. A matriz A = [ aij ]4x4 associada a este mapa é definida da
seguinte forma: aij = 1 se i está ligado diretamente a j; 0 se i = j
ou i não tem ligação direta com j. Sabendo que i, j referem-se
às cidades do mapa e variam no conjunto {1, 2, 3, 4}, assinale o
que for verdadeiro.
01. A matriz é simétrica.
02. A matriz é quadrada.
04. A matriz é inversível.
08. A matriz é diagonal.
16. A matriz é triangular.
Matrizes
Matrizes Especiais
01. ( V ) A matriz é simétrica. A = At
02. ( V ) A matriz é quadrada. A n x n
04. ( V ) A matriz é inversível. det (A) ≠ 0
08. ( F ) A matriz é diagonal. aij ∈ R ⇒ i = j e aij = 0 ⇒ i ≠ j
16. ( F ) A matriz é triangular. aij = 0 ⇒ i > j ou aij = 0 ⇒ i < j
Resolução:
 a11

 a21
A=
 a31

 a41
a12
a22
a32
a13
a23
a33
a42
a43
0 1 0 0
a14 



1
0
1
1
a24  A = 

 0 1 0 1
a34 


0 1 1 0

a44 
Gabarito: 07
Matrizes
Operações com Matrizes
Traço da Matriz Quadrada
Soma dos elementos da sua diagonal principal.
Exemplo 1: Classifique como Verdadeiro ou Falso.
( V ) Tr (A) = Tr (At).
Igualdade de Matriz
Duas matrizes são iguais se possuírem a mesma ordem e valer a
aij=bij ∀ i, j .
igualdade ...........................
Exemplo 1: Encontre os valores de x, y e z.
1

6
-2   1
=
y   2x
2z 

7
x=3
y=7
z = -1
Matrizes
Operações com Matrizes
Adição de Matriz
Dadas as matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)mxn é definida por A + B = C
= (cij)mxn, então temos cij = aij + bij.
1
Exemplo 1: Calcule: 
4
-2   1
+
3   -3
0   2 -2 
=


5  1 8 
Matrizes
Operações com Matrizes
Multiplicação de um Número Real por Uma Matriz
O produto de um escalar α por uma matriz A, é a matriz obtida
multiplicando cada elemento de A pelo escalar α.
2 3  4 6 
Exemplo 1: Calcule: 2 
= 

 1 5   2 10 
Multiplicação de um Número Real por Um Determinante
O produto de um escalar α por um determinante, é o determinante
obtido multiplicando o escalar αpor uma fila do determinante.
4
2 3
Exemplo 1: Calcule: 2
=
1
1 5
6
5
Matrizes
Propriedades
Elemento Neutro
A + O = O + A = A (Válido na soma)
A – O = A (Não vale na diferença)
O–A=–A
Associativa
(A + B) + C = A + (B + C) (Válido na soma)
(A – B) – C ≠ A – (B – C) (Não vale na diferença)
Matrizes
Propriedades
Comutativa
A+B=B+A
(Válido na soma)
A–B≠B–A
(Não vale na diferença)
A.B≠B.A
(Não vale no produto)
Elemento Oposto
A + (- A) = (- A) + A = O
Matrizes
Propriedades
Transposta
(At)t = A
(nº de transposta for par ⇒ A)
(At)t)t = At
(nº de transposta for ímpar ⇒ At)
(A + B)t = At + Bt
(A . B)t = Bt . At
(A m x p . B p x n)t = (B
A np x pm))tt..(A
(Bpnxxmp)t
Não são iguais, logo, não existe o produto.
Matrizes
Problema
UCMG | Classifique cada afirmação como V ou F.
a. (
b. (
c. (
d. (
e. (
f. (
g. (
V ) Toda matriz identidade é necessariamente quadrada.
F ) Existe matriz identidade que não é quadrada.
F ) Toda matriz nula é necessariamente quadrada.
V ) Existe matriz nula que não é quadrada.
V ) (At)t = A, qualquer que seja A.
t
F ) A ≠ A, qualquer que seja a matriz A.
V ) Se a matriz A é do tipo 2 x 3, então At é do tipo 3 x 2.
Aula 07 – mtm B
FIM