Física Moderna e Conatemporânea
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4.6. Equações Relativísticas 1º) É importante ressaltar que as transformações de Lorentz tornam as equações do eletromagnetismo invariantes (Equações de Maxwell). Devido a isto, devemos então modificar as equações da Física Clássica para que também se tornem invariantes. 2º) Para modificar as equações, vamos ter que reformular alguns conceitos que estão muito profundos na nossa compreensão, isto é, “vão parecer estranhos como a dilatação do tempo e a contração do espaço”. 1) Energia e Quantidade de Movimento (ou Momento Linear) A massa, antes tida como um invariante na mecânica newtoniana (ver transformações de Galileu), pode apresentar um problema nesta nova mecânica. -> considere uma mesma massa medida em dois referenciais inerciais, um em repouso relativo S e em outro em movimento relativo S’. [Cristóvão R M Rincoski] p. 110 m' mS 1 v2 c2 mS -> massa de repouso medida no referencial S. m '-> massa relativística medida no referencial S’. Diante disto nos deparamos com os seguintes problemas: 1º) uma massa medida num referencial inercial relativístico pode apresentar resultado diferente quando medida em outro referencial inercial relativístico. 2ª) se o referencial móvel possui velocidade próxima da luz, vemos que a massa tem um “colapso”, se tornando infinita, pouco importando o sinal da velocidade (pois aparece ao quadrado). Quantidade de Movimento ou Momento Linear ou Momentum Alguns livros chamam de quantidade de movimento o “produto massa por velocidade”, outros chamam de momento linear e outros de momentum. A verdade é que nos referimos à mesma grandeza física. Aqui chamaremos de “momento linear”. Vamos considerar corpo de massa m e velocidade u. [Cristóvão R M Rincoski] p. 111 Considere que no referencial S medimos pS mS uS . No referencial S’, móvel em relação à S: p ' m ' u ' mS 1 v c 2 2 u' . Conclusão: desta maneira, o momento linear se torna invariante (na forma) para referenciais inerciais. Onde pS é o momento linear clássico e p’ é o momento linear relativístico, e m’ é dada pela correção relativística da massa. Ex.: 1) se aceleramos um elétron (massa de repouso 9,11 10-31 kg) a uma velocidade de 0,95c, a sua massa relativística seria 3,2 vezes maior que a de repouso. Ex.: 2) usando o nosso exemplo anterior, João em repouso e Maria viajando em um trem bala (v 500 km/h 139 m/s). Maria mede sua própria massa como sendo 60 kg, e João medirá para ela uma massa de 60,00000000000001 kg. Novamente para velocidade menores que a da luz, os efeitos relativísticos são negligenciáveis. Energia Relativística Einstein mostrou que a expressão relativística correta para a energia de uma partícula de massa de repouso mS e momento linear p é: [Cristóvão R M Rincoski] p. 112 E 2 p 2c 2 mS2 c 4 . 1º) Se fizermos u = 0 m/s teremos p = 0 kg m/s e portanto: E mS c 2 que é a famosa fórmula de Einstein de conversão de massa em energia. Ela pode ser entendida como sendo uma “inércia da energia”. Ou seja, mesmo em repouso relativo teremos uma energia de repouso. 2º) Se fizermos mS = 0 kg, ou seja, partícula sem massa: E pc em princípio poderíamos pensar que se mS = 0 kg, então p = 0 kg m/s. Não é bem assim. No caso de partículas de massa zero (ex.: fótons) o momento p não é mais dado pela expressão m u mas sim por: p h onde h é a constante de Planck (6,63 10-34 J s) e é o comprimento de onda da partícula sob a forma de onda. [Cristóvão R M Rincoski] p. 113 Energia Cinética Relativística A energia cinética relativística não terá uma forma simples como na física clássica, sofrendo modificação: Ec m ' c 2 mS c 2 mS 1 v2 c2 c 2 mS c 2 1º) neste caso, para v = 0 m/s (ou v << c) obtemos a resposta da mecânica clássica E c = 0 J. 2º) sofre um acréscimo de massa: Ec m ' c 2 m S c 2 ( m ' m S ) c 2 pode ser entendido assim, pois m’ > mS. isto Energia Total Relativística A energia total relativística de uma partícula será, a soma da energia cinética com a energia de repouso: E Ec mS c 2 m ' c 2 mS c 2 mS c 2 E mS 1 v2 c2 mS 1 v2 c2 c2 m ' c2 c2 m ' c2 [Cristóvão R M Rincoski] p. 114 4.7. Relatividade Geral Em 1916, Einstein propôs a existência de uma Relatividade Geral, mas a base matemática tinha sido desenvolvida por Henri Poincaré, usando os trabalhos de FitzGerald e Lorentz. -> Henri Poincaré (Nancy, França, 29 de abril de 1854 Paris, França, 17 de julho de 1912) -> foi um matemático, físico e filósofo da ciência francês -> Poincaré estava preocupados em explicar a experiência de Michelson-Morley Einstein não estava interessado em explicar resultados experimentais. Estava muito envolvido com idéias puramente teóricas. Como já foi dito, Einstein tinha a crença de que as leis físicas deveriam ser simples e elegantes. Das idéias que levaram à Relatividade Restrita, sem dúvida, o Princípio da Relatividade (como já foi visto) é de grande importância “as leis da física devem ser escritas da mesma forma em qualquer referencial inercial”. Einstein, na tentativa de expandir o conceito de relatividade restrita (revisto acima), supôs que a gravidade, devido ao princípio da equivalência entre massa inercial e gravitacional, seria oriunda de um tipo de força inercial, isto é, semelhante aquela que aparece em sistemas não inerciais (em movimento acelerado) -> Ex.: a força centrífuga em um carrossel, ou a força que nos empurra para trás durante a aceleração de um carro, etc. [Cristóvão R M Rincoski] p. 115 Generalizando este princípio da Relatividade Restrita para a Geral: “As leis da física devem ser escritas da mesma forma em qualquer sistema de coordenadas, em movimento uniforme ou não”. O postulado base da Teoria da Relatividade Geral, chamado de Princípio da Equivalência, especifica que sistemas acelerados e sistemas submetidos a campos gravitacionais são fisicamente equivalentes. Nas próprias palavras de Einstein em seu trabalho de 1916: Postulado da Relatividade Geral Princípio da Equivalência: “Nós iremos portanto assumir a completa equivalência física entre um campo gravitacional e a correspondente aceleração de um sistema de referência. Esta hipótese estende o princípio da relatividade especial para sistemas de referência uniformemente acelerados”. Por esse princípio: 1º Exemplo) uma pessoa fechada em um foguete, acelerada com a mesma aceleração que a da gravidade na Terra (9,78 m/s2), não poderia descobrir se a força que a prende ao chão tem origem no campo gravitacional terrestre ou se é devida à aceleração do foguete através do espaço. [Cristóvão R M Rincoski] p. 116 2º Exemplo) Uma pessoa em órbita ou queda livre em direção a um planeta não saberá dizer, por observação local, se ela se encontra em órbita ao redor de um planeta ou no espaço profundo, longe de qualquer corpo celeste. -> Este experimento mental (“gedankenexperiment” queda livre) é conhecido na literatura como o elevador de Einstein. Então podemos dizer que: enquanto a Relatividade Restrita de Einstein, está relacionada a referenciais inerciais (velocidades nulas ou constantes relativas a outros referenciais), a Relatividade Geral de Einstein baseia-se na constância da aceleração (A = constante). 1º) A Relatividade Restrita está relacionada com eventos que ocorrem em referenciais inerciais em repouso ou em movimento retilíneo uniforme (MRU). 2º) A Relatividade Geral está relacionada com eventos que ocorrem em referenciais acelerados ou em movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV). Einstein propôs 3 testes experimentais para a relatividade geral: 1º Teste) de imediato, conseguiu explicar a precessão de 43 segundos de arco, por século, do periélio de Mercúrio. -> problema que “infernizara” a mecânica celeste do final do século XIX [Cristóvão R M Rincoski] p. 117 2º Teste) O desvio da luz pelo Sol. -> desvio medido da ordem de 1,75 segundo de arco, para o raio luminoso que tangenciasse o Sol, isto é demonstrado quando ocorre eclipse do Sol (Lente Gravitacional). [Cristóvão R M Rincoski] p. 118 3º Teste) O desvio gravitacional da luz para o vermelho (decaimento gravitacional para o vermelho). -> desde então, o tempo passou a ser incorporado como coordenada, ou seja, podemos tratar como sendo x4 = v t (ou x4 = i c t) e o tempo passou a ser uma coordenada (temporal) do espaço-tempo. Como resultado disto, e do 3º teste, levou os físicos a entenderem o espaço-tempo com sendo um ente curvo, isto é, a gravidade curva o espaço-tempo. Coordenadas do espaço-tempo x1 x, x2 y, x3 z, x4 v t ou x4 i c t . A cosmologia foi uma área onde se acreditava que a relatividade geral teria relevância observacional. Somente no início dos anos 60, com a descoberta dos “quasars”, é que ficou claro que esta teoria teria importantes aplicações na astrofísica. [Cristóvão R M Rincoski] p. 119 Quasars: abreviatura de “quasistellar radio source”, que pode ser entendido como “fonte de rádio emitida por quase estrelas” ou “semelhante a estrelas”. No começo de 1960 foram observados (somente com a ajuda de radiotelescópios e posteriormente de telescópios óticos sendo impossível observar a olho nu), que certos corpos celestes emitiam grande quantidade de energia e devido ao fato de estarem a grande distâncias (mais de 10 bilhões de anos luz, que, alguns chamam de “borda do universo observável”), não era possível saber ao certo o que eram. Acredita-se hoje que sejam núcleos galácticos, muito distantes e muito brilhantes, onde ocorre alguma forma de atividade envolvendo grande energia, mais provavelmente devido à presença de um buraco negro super-massivo (supermassivo significando bilhões de massa solares) no centro desta galáxia. Imagem do quasar 3C273 feita pelo telescópio Hubble Representação artística de um quasar [Cristóvão R M Rincoski] p. 120 Buracos Negros Um dos aspectos mais importantes e interessantes do renascimento da relatividade geral (permaneceu meio que deixada de lado desde que Einstein a propôs, até o início dos anos 60) é a investigação e pesquisa dos buracos negros. Este estudo teve início nos anos 60, quando os físicos procuravam entender a natureza dos quasares. Até hoje a aplicação da relatividade geral é de grande importância no estudo dos buracos negros. Buracos Negros: um buraco negro se forma quando uma estrela exaure o combustível termonuclear necessário para a produção de calor e de pressão, que a equilibram contra a sua gravidade. A estrela começa a contrair-se e, se a sua massa for suficiente, continua a contrair-se até que o seu raio aproxime de um valor conhecido como o raio gravitacional, ou raio de Schwarzschild (rS) rS 2G M c2 . Onde G é a constante gravitacional (6,67 10-11 N m2/kg2) e M é a massa da estrela (ex.: MSol = 1,99 1030 kg o que daria rS = 2.949,62 m, ou rS 3 km). A relatividade geral passou, então, a ser utilizada em diversas áreas do conhecimento, como: mecânica celeste, matemática pura, física experimental, mecânica quântica, astronomia observacional, física das partículas e astrofísica teórica. [Cristóvão R M Rincoski] p. 121 FIM 7a Lista de Exercícios (Ex.: 15 a 21) Introdução à Relatividade [Cristóvão R M Rincoski] p. 122
