A Teoria da Relatividade Especial

A Teoria da
Relatividade Especial
Prof. Edgard P. M. Amorim
Disciplina: FEE 0001 – 1º sem/2011.
Introdução
Para definirmos o estado de um sistema físico precisamos:
Sistema de referência: em relação ao quê?
+
Posições e derivadas das posições em relação ao tempo
+
Massas e forças que atuam entre as partículas
Determinístico: podemos determinar o estado do sistema em
qualquer instante futuro em termos de seu estado inicial.
Introdução
• Do que trata a Teoria da Relatividade?
A Teoria da Relatividade estuda o comportamento de um sistema
físico sob o ponto de vista de dois sistemas de referência inerciais:
a) um sistema em repouso;
b) um sistema em movimento retilíneo uniforme (vel. constante)
em relação ao primeiro.
• Como é este comportamento na Mecânica Clássica?
Na Mecânica Clássica as leis básicas da Mecânica assumem sua
forma mais simples nos referenciais inerciais. Dois referenciais
inerciais, um em repouso, outro se movendo com velocidade
constante se relacionam através das Transformações de Galileu.
Transformações de Galileu
Num referencial inercial, um corpo
que não sofre ação de uma força e
que está inicialmente em repouso
permanece em repouso.
 x' = x − vt

 y' = y , z' = z , t ' = t
d 2 ( x ' , y ' , z ' ) d 2 ( x, y , z )
=
⇒ Fx ', y ', z ' = Fx , y , z
2
2
dt '
dt
Portanto, o comportamento de todos os sistemas mecânicos serão
idênticos em todos os referenciais inerciais, embora estes referenciais
se movam com velocidade constante uns em relação aos outros!
Transformações de Galileu
E os fenômenos eletromagnéticos? As equações de Maxwell nos
prevêem a existência de perturbações eletromagnéticas que se
propagam como uma onda, mas e o meio? Éter (século XIX).
Portanto, no sistema de referência em repouso ao éter:
1) A luz se propaga com uma velocidade de valor fixo c em relação
ao seu meio de propagação, o éter, da mesma forma que as ondas
sonoras se propagam no ar.
2) A velocidade da luz em relação a um referencial em movimento
em relação ao éter pode ser obtido através de uma adição vetorial
comum entre velocidades relativas.
Será? O que a experiência nos diz sobre isso?
Experimento de Michelson-Morley
Movimento da Terra em relação ao éter (1881 a 1887):
Não foi detectado deslocamento das franjas de interferência!
Conclusão: A velocidade da luz no vácuo independe do movimento
do observador e do movimento da fonte.
Postulados da Relatividade Restrita
•
As leis físicas são as mesmas em
todos os referenciais inerciais.
•
A velocidade da luz no vácuo é a
mesma em todos os referenciais
inerciais e é independente da
velocidade da fonte.
Estes postulados exigiam que as
equações de Maxwell ou as
transformações de Galileu
fossem modificadas!
Einstein de maneira ousada, propôs modificações nas transformações
de Galileu.
Simultaneidade
Se um evento 1 ocorre em P1 no instante t1, sendo marcado pela
emissão de um sinal luminoso que parte de P1 nesse instante, e o
mesmo vale para P2 em t2 (evento 2), dizemos que eles são
simultâneos (t1 = t2) quando o ponto de encontro dos dois sinais
luminosos é o ponto médio do segmento P1 P2.
P1
P2
x
t1
Ponto médio
t2
Em outras palavras, podemos dizer
que dois observadores em
movimentos relativos não concordam
com a simultaneidade de dois
eventos, portanto a simultaneidade
depende do estado do observador!
Relatividade do tempo
L
2D
2L
(Maria)
e ∆t =
(João)
∆t0 =
c
c
2
2
2
2
1

 c∆t   1
 1

2
L =  v∆t  + D ⇒ 
 =  v∆t  +  c∆t0  ⇒
2

 2  2
 2

2
∆t0
∆t 2 (c 2 − v 2 ) = c 2 ∆t0 ⇒ ∆t =
(dilatação do tempo)
2
1 − (v / c )
Relatividade do comprimento
A relatividade do comprimento é uma conseqüência direta da
relatividade do tempo. Suponhamos que João e Maria queiram medir
o comprimento da plataforma:
João mede L0 que é um comprimento próprio pois a plataforma está
em repouso em relação a ele. Além disso, João observa que uma
marca fixa no trem percorre este comprimento em ∆t = L0 / v .
Já para Maria, a plataforma é que está em movimento. Ela vê a
plataforma se aproximar e depois de afastar, e mede ∆t0 (tempo
próprio). Para ela o comprimento da plataforma é dado por: L = v∆t0 .
Isolando v e substituindo na eq. acima e usando a relação entre os
tempos nos diferentes referenciais, temos que:
L = 1 − (v / c) 2 L0 (contração do comprimento)
Fator de Lorentz
L
Fator de Lorentz: γ =
João
∆t =
1 − (v / c )
Maria
∆t0
1 − (v / c )
1
2
= γ∆t0
(dilatação do tempo)
Maria
2
=
1
1− β 2
João
2
L = 1 − (v / c) L0 = L0 / γ
(contração do comprimento)
Transformações de Galileu/Lorentz
Como podemos obter as equações que são utilizadas na teoria da
relatividade para transformar variáveis espaciais e temporais de um
sistema para outro que se move em vel. constante em relação ao 1º?
?
 x' = x − vt  x' = γ ( x − vt )
 y' = y
 y' = y


⇒

z' = z
z' = z
?
t ' = t
t ' = γ (t + δ )
Se v/c 0, δ 0 e γ 1
As frentes de ondas nos 2 referenciais:
x '2 + y ' 2 + z ' 2 = c 2t '2
Após algumas substituições:
δ = −vx / c 2
e
x 2 + y 2 + z 2 = c 2t 2
e γ = 1/ 1− v2 / c2
Transformações de Galileu/Lorentz
Logo, podemos escrever que:
 x' = x − vt
 y' = y

⇒

z' = z
t ' = t
1

(x − vt )
 x' =
2
2
1− v / c

 y' = y

z' = z

1
2
t
t
vx
c
'
=
(
−
/
)

2
2
v
c
−
1
/

Note que na transformação inversa –v torna-se +v!
E as transformações de velocidade relativística?
Velocidades relativísticas
Tomando as diferenciais da transformação de Lorentz e considere
que ux, uy e uz são as velocidades para cada coordenada:
dx
dx' u x − v
1
=
u x = ; u'x =

(
)
dx
dx
vdt
'
=
−
dt
dt ' 1 − vu x

2
2
1− v / c

c2
dy ' = dy
uy
dy
dy '

=
u y = ; u' y =
dz
'
=
dz

dt
dt '
 vu y 
γ 1 − 2 

1
2
c 

dt
'
=
(
dt
−
vdx
/
c
)

1 − v2 / c2

dz
dz '
uz
u z = ; u'z =
=
dt
dt '
 vu z 
Note que v é constante e
γ 1 − 2 
c 
checar para c ∞!

Massa e momento relativístico
r
d
p
Sabemos pela segunda Lei de Newton que: F =
dt
E a conservação do momento, como
reinterpretá-la no contexto relativístico?
m( v ) =
1
2
1− v / c
2
m0 = γm0
Ou seja, uma teoria relativística que seja
consistente com a conservação do momento
exige que a massa m(v) de uma partícula que
está se movendo com velocidade v seja
maior do que m0 medida quando ela está em
repouso! Conseqüentemente,
p = m (v )v =
1
1 − v2 / c2
m0 v = γm0 v
Momento relativístico
Velocidade de alguns feixes de aceleradores:
fração de c
Energia relativística*
A partir do teorema trabalho-energia é possível mostrar que:
E=
m0 c 2
1 − v2 / c2
= mc 2
Por sua vez, na Relatividade Restrita, a energia cinética de um corpo
deve se anular quando sua velocidade é nula, assim temos que:


1
T = m0 c 
− 1
2
2
1
−
/
v
c


2
Numa simples manipulação de equações: E =
m02 c 4 + c 2 p 2
No caso do fóton (luz) que m=0: E = cp
*Divirtam-se!
FIM-Aula 2