Interpolaç ˜ao - DCA
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Introdução Interpolação de Lagrange Interpolação Ivanovitch Medeiros Dantas da Silva Universidade Federal do Rio Grande do Norte Departamento de Engenharia de Computação e Automação DCA0399 - Métodos Computacionais para Engenharia Civil Natal, 24 de outubro de 2011 Ivanovitch Silva Interpolação Introdução Interpolação de Lagrange Sumário 1 Introdução 2 Interpolação de Lagrange Ivanovitch Silva Interpolação Introdução Interpolação de Lagrange Sumário 1 Introdução 2 Interpolação de Lagrange Ivanovitch Silva Interpolação Introdução Interpolação de Lagrange Introdução Definindo o problema de interpolação O problema de interpolação surge quando deseja-se aproximar uma função f(x) por outra g(x). A técnica de interpolação é usada nas seguintes situações: Não conhecemos a forma analı́tica de f(x) porém um pequeno conjunto de entradas e saı́das (xi , f (xi )) é conhecido. Nessa caso é desejado calcular o valor da função para um determinado intervalo. f(x) é extremamente complicada e de difı́cil manejo. Então, às vezes, é interessante sacrificar a precisão em benefı́cio da simplificação dos cálculos. Ivanovitch Silva Interpolação Introdução Interpolação de Lagrange Introdução Definindo o problema de interpolação O problema de interpolação surge quando deseja-se aproximar uma função f(x) por outra g(x). A técnica de interpolação é usada nas seguintes situações: Não conhecemos a forma analı́tica de f(x) porém um pequeno conjunto de entradas e saı́das (xi , f (xi )) é conhecido. Nessa caso é desejado calcular o valor da função para um determinado intervalo. f(x) é extremamente complicada e de difı́cil manejo. Então, às vezes, é interessante sacrificar a precisão em benefı́cio da simplificação dos cálculos. Ivanovitch Silva Interpolação Introdução Interpolação de Lagrange Introdução Definindo o problema de interpolação O problema de interpolação surge quando deseja-se aproximar uma função f(x) por outra g(x). A técnica de interpolação é usada nas seguintes situações: Não conhecemos a forma analı́tica de f(x) porém um pequeno conjunto de entradas e saı́das (xi , f (xi )) é conhecido. Nessa caso é desejado calcular o valor da função para um determinado intervalo. f(x) é extremamente complicada e de difı́cil manejo. Então, às vezes, é interessante sacrificar a precisão em benefı́cio da simplificação dos cálculos. Ivanovitch Silva Interpolação Introdução Interpolação de Lagrange Introdução Definindo o problema de interpolação O problema de interpolação surge quando deseja-se aproximar uma função f(x) por outra g(x). A técnica de interpolação é usada nas seguintes situações: Não conhecemos a forma analı́tica de f(x) porém um pequeno conjunto de entradas e saı́das (xi , f (xi )) é conhecido. Nessa caso é desejado calcular o valor da função para um determinado intervalo. f(x) é extremamente complicada e de difı́cil manejo. Então, às vezes, é interessante sacrificar a precisão em benefı́cio da simplificação dos cálculos. Ivanovitch Silva Interpolação Introdução Interpolação de Lagrange Introdução Definindo o problema de interpolação O problema de interpolação surge quando deseja-se aproximar uma função f(x) por outra g(x). A técnica de interpolação é usada nas seguintes situações: Não conhecemos a forma analı́tica de f(x) porém um pequeno conjunto de entradas e saı́das (xi , f (xi )) é conhecido. Nessa caso é desejado calcular o valor da função para um determinado intervalo. f(x) é extremamente complicada e de difı́cil manejo. Então, às vezes, é interessante sacrificar a precisão em benefı́cio da simplificação dos cálculos. Ivanovitch Silva Interpolação Introdução Interpolação de Lagrange Exemplo de interpolação Qual foi a temperatura de Natal em 2003? Ano Temperatura 1970 17 1980 18.5 1990 19.0 2000 19.3 2010 20.6 Ivanovitch Silva Interpolação Introdução Interpolação de Lagrange Como encontrar a interpolação? Um dos métodos mais utilizados para interpolação é o polinomial, onde uma função f(x) é aproximada por um polinômio P O problema geral da interpolação por polinômios consiste em: Dados n+1 números distintos (x0 , x1 , x2 , . . . , xn ) e n+1 valores (y0 , y1 , y2 , . . . , yn ), encontrar um polinômio P tal que: P(xi ) = a0 + a1 · xi + a2 · xi2 + . . . + an · xin P(x0 ) = y0 P(x1 ) = y1 P(x2 ) = .. . y2 .. . P(xn ) = Ivanovitch Silva yn Interpolação Introdução Interpolação de Lagrange Como encontrar a interpolação? Um dos métodos mais utilizados para interpolação é o polinomial, onde uma função f(x) é aproximada por um polinômio P O problema geral da interpolação por polinômios consiste em: Dados n+1 números distintos (x0 , x1 , x2 , . . . , xn ) e n+1 valores (y0 , y1 , y2 , . . . , yn ), encontrar um polinômio P tal que: P(xi ) = a0 + a1 · xi + a2 · xi2 + . . . + an · xin P(x0 ) = y0 P(x1 ) = y1 P(x2 ) = .. . y2 .. . P(xn ) = Ivanovitch Silva yn Interpolação Introdução Interpolação de Lagrange Como encontrar a interpolação? Um dos métodos mais utilizados para interpolação é o polinomial, onde uma função f(x) é aproximada por um polinômio P O problema geral da interpolação por polinômios consiste em: Dados n+1 números distintos (x0 , x1 , x2 , . . . , xn ) e n+1 valores (y0 , y1 , y2 , . . . , yn ), encontrar um polinômio P tal que: P(xi ) = a0 + a1 · xi + a2 · xi2 + . . . + an · xin P(x0 ) = y0 P(x1 ) = y1 P(x2 ) = .. . y2 .. . P(xn ) = Ivanovitch Silva yn Interpolação Introdução Interpolação de Lagrange Como encontrar a interpolação? Um dos métodos mais utilizados para interpolação é o polinomial, onde uma função f(x) é aproximada por um polinômio P O problema geral da interpolação por polinômios consiste em: Dados n+1 números distintos (x0 , x1 , x2 , . . . , xn ) e n+1 valores (y0 , y1 , y2 , . . . , yn ), encontrar um polinômio P tal que: P(xi ) = a0 + a1 · xi + a2 · xi2 + . . . + an · xin P(x0 ) = y0 P(x1 ) = y1 P(x2 ) = .. . y2 .. . P(xn ) = Ivanovitch Silva yn Interpolação Introdução Interpolação de Lagrange Qual o grau de um do polinômio interpolador? Para n + 1 pontos, existe apenas 1 polinômio interpolador de ordem n que passa por esses pontos. Ivanovitch Silva Interpolação Introdução Interpolação de Lagrange Encontrando o polinômio interpolador Exemplo Dados os pares de pontos: (-1, 15), (0, 8), (3,-1), determinar o polinômio de interpolação para a função definida por este conjunto de pares de pontos. x0 = −1 y0 = 15 x1 = 0 e y1 = 8 x2 = 3 y2 = −1 Como n = 2, devemos determinar P(x) = a0 + a1 · x + a2 · x 2 , tal que P(xk ) = yk , k = 0, 1, 2. Ivanovitch Silva Interpolação Introdução Interpolação de Lagrange Encontrando o polinômio interpolador Exemplo Dados os pares de pontos: (-1, 15), (0, 8), (3,-1), determinar o polinômio de interpolação para a função definida por este conjunto de pares de pontos. x0 = −1 y0 = 15 x1 = 0 e y1 = 8 x2 = 3 y2 = −1 Como n = 2, devemos determinar P(x) = a0 + a1 · x + a2 · x 2 , tal que P(xk ) = yk , k = 0, 1, 2. Ivanovitch Silva Interpolação Introdução Interpolação de Lagrange Encontrando o polinômio interpolador Exemplo Dados os pares de pontos: (-1, 15), (0, 8), (3,-1), determinar o polinômio de interpolação para a função definida por este conjunto de pares de pontos. x0 = −1 y0 = 15 x1 = 0 e y1 = 8 x2 = 3 y2 = −1 Como n = 2, devemos determinar P(x) = a0 + a1 · x + a2 · x 2 , tal que P(xk ) = yk , k = 0, 1, 2. Ivanovitch Silva Interpolação Introdução Interpolação de Lagrange Encontrando o polinômio interpolador Exemplo 2 P(x0 ) ⇒ a0 + a1 · x0 + a2 · x0 = y0 P(x1 ) ⇒ a0 + a1 · x1 + a2 · x12 = y1 P(x2 ) ⇒ a0 + a1 · x2 + a2 · x22 = y2 P(−1) ⇒ a0 − a1 + a2 = 15 P(0) ⇒ a0 = 8 P(3) ⇒ a0 + 3 · a1 + 9 · a2 = 9 Resolvendo o sistema, temos que: a0 = 8, a1 = −6 e a2 = 1 P(x) = 8 − 6 · x + x 2 Ivanovitch Silva Interpolação Introdução Interpolação de Lagrange Encontrando o polinômio interpolador Exemplo 2 P(x0 ) ⇒ a0 + a1 · x0 + a2 · x0 = y0 P(x1 ) ⇒ a0 + a1 · x1 + a2 · x12 = y1 P(x2 ) ⇒ a0 + a1 · x2 + a2 · x22 = y2 P(−1) ⇒ a0 − a1 + a2 = 15 P(0) ⇒ a0 = 8 P(3) ⇒ a0 + 3 · a1 + 9 · a2 = 9 Resolvendo o sistema, temos que: a0 = 8, a1 = −6 e a2 = 1 P(x) = 8 − 6 · x + x 2 Ivanovitch Silva Interpolação Introdução Interpolação de Lagrange Encontrando o polinômio interpolador Exemplo 2 P(x0 ) ⇒ a0 + a1 · x0 + a2 · x0 = y0 P(x1 ) ⇒ a0 + a1 · x1 + a2 · x12 = y1 P(x2 ) ⇒ a0 + a1 · x2 + a2 · x22 = y2 P(−1) ⇒ a0 − a1 + a2 = 15 P(0) ⇒ a0 = 8 P(3) ⇒ a0 + 3 · a1 + 9 · a2 = 9 Resolvendo o sistema, temos que: a0 = 8, a1 = −6 e a2 = 1 P(x) = 8 − 6 · x + x 2 Ivanovitch Silva Interpolação Introdução Interpolação de Lagrange Encontrando o polinômio interpolador Exemplo Ivanovitch Silva Interpolação Introdução Interpolação de Lagrange Encontrando o polinômio interpolador Observações Observe que para os pontos informados (x0 , x1 , x2 , . . . , xk ), o valor do polinômio encontrado deverá coincidir com y0 , y1 , y2 , . . . , yk . Se os valores forem diferentes, provavelmente erros de cálculo foram cometidos. A determinação do polinômio por meio de solução de sistemas é muito trabalhosa e ineficiente. Erros de arredondamentos podem ocorrer fazendo com que a solução seja irreal. Ivanovitch Silva Interpolação Introdução Interpolação de Lagrange Sumário 1 Introdução 2 Interpolação de Lagrange Ivanovitch Silva Interpolação Introdução Interpolação de Lagrange Método de Lagrange Dados n + 1 pontos distintos ((x0 , y0 ), (x1 , y1 ), . . ., (xn , yn )), o método de Lagrange encontra uma combinação linear dos polinômios de ordem n gerado por esses pontos. Pn (x) = n X Li (x) · f (xi ) i=0 n Y (x − xj ) Li (x) = (xi − xj ) j=0,j6=i Ivanovitch Silva Interpolação Introdução Interpolação de Lagrange Método de Lagrange Exemplo literal Vamos supor, que foram dados 4 pontos ((x0 , y0 ), (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), (x3 , y3 )), dessa forma o polinômio de Lagrange tem ordem 3. (x − x1 )(x − x2 )(x − x3 ) (x0 − x1 )(x0 − x2 )(x0 − x3 ) (x − x0 )(x − x2 )(x − x3 ) L1 = (x1 − x0 )(x1 − x2 )(x1 − x3 ) (x − x0 )(x − x1 )(x − x3 ) L2 = (x2 − x0 )(x2 − x1 )(x2 − x3 ) (x − x0 )(x − x1 )(x − x2 ) L3 = (x3 − x0 )(x3 − x1 )(x3 − x2 ) L0 = Pn (x) = L0 · y0 + L1 · y1 + L2 · y2 + L3 · y3 Ivanovitch Silva Interpolação Introdução Interpolação de Lagrange Método de Lagrange Exemplo literal Vamos supor, que foram dados 4 pontos ((x0 , y0 ), (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), (x3 , y3 )), dessa forma o polinômio de Lagrange tem ordem 3. (x − x1 )(x − x2 )(x − x3 ) (x0 − x1 )(x0 − x2 )(x0 − x3 ) (x − x0 )(x − x2 )(x − x3 ) L1 = (x1 − x0 )(x1 − x2 )(x1 − x3 ) (x − x0 )(x − x1 )(x − x3 ) L2 = (x2 − x0 )(x2 − x1 )(x2 − x3 ) (x − x0 )(x − x1 )(x − x2 ) L3 = (x3 − x0 )(x3 − x1 )(x3 − x2 ) L0 = Pn (x) = L0 · y0 + L1 · y1 + L2 · y2 + L3 · y3 Ivanovitch Silva Interpolação Introdução Interpolação de Lagrange Método de Lagrange Exemplo literal Vamos supor, que foram dados 4 pontos ((x0 , y0 ), (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), (x3 , y3 )), dessa forma o polinômio de Lagrange tem ordem 3. (x − x1 )(x − x2 )(x − x3 ) (x0 − x1 )(x0 − x2 )(x0 − x3 ) (x − x0 )(x − x2 )(x − x3 ) L1 = (x1 − x0 )(x1 − x2 )(x1 − x3 ) (x − x0 )(x − x1 )(x − x3 ) L2 = (x2 − x0 )(x2 − x1 )(x2 − x3 ) (x − x0 )(x − x1 )(x − x2 ) L3 = (x3 − x0 )(x3 − x1 )(x3 − x2 ) L0 = Pn (x) = L0 · y0 + L1 · y1 + L2 · y2 + L3 · y3 Ivanovitch Silva Interpolação Introdução Interpolação de Lagrange Método de Lagrange Exemplo Suponha que a função f(x) é desconhecida, porém alguns pontos são registrados na tabela abaixo. Com base nos seus valores, encontre: O polinômio interpolador de Lagrange f(0.350) x f(x) 0.000 1.000 0.100 0.761 0.300 0.067 0.400 -0.376 Ivanovitch Silva Interpolação Introdução Interpolação de Lagrange Método de Lagrange Exemplo (x − x1 )(x − x2 )(x − x3 ) (x0 − x1 )(x0 − x2 )(x0 − x3 ) (x − x0 )(x − x2 )(x − x3 ) L1 = (x1 − x0 )(x1 − x2 )(x1 − x3 ) (x − x0 )(x − x1 )(x − x3 ) L2 = (x2 − x0 )(x2 − x1 )(x2 − x3 ) (x − x0 )(x − x1 )(x − x2 ) L3 = (x3 − x0 )(x3 − x1 )(x3 − x2 ) L0 = Ivanovitch Silva = −0.012+0.19x−0.8x 2 +x 3 −0.012 = 0.12x−0.7x 2 +x 3 0.006 = 0.04x−0.5x 2 +x 3 −0.006 = 0.03x−0.4x 2 +x 3 0.012 Interpolação Introdução Interpolação de Lagrange Exemplo Pn (x) = L0 · 1 + L1 · 0.761 + L2 · 0.067 + L3 · (−0.367) Pn (x) = 1 − 2x − 4x 2 + x 3 f (0.350) ≈ Pn (0.350) = 1 − 2(0.350) − 4(0.3502 ) +0.3503 = −0.147125 Ivanovitch Silva Interpolação Introdução Interpolação de Lagrange Polinômio interpolador de Lagrange Exemplo Ivanovitch Silva Interpolação Introdução Interpolação de Lagrange Método de Lagrange Exemplo Considerando os valores da tabela abaixo: Determine o polinômio de interpolação, na forma de Lagrange, sobre todos os pontos f(3.5) x f(x) 1 0 3 6 4 24 Ivanovitch Silva Interpolação Introdução Interpolação de Lagrange Método de Lagrange Exemplo A integral elı́ptica completa é definida por: Z π/2 dx f (k) = 2 (1 − k sen2 x)1/2 0 k f(k) 1 1.5708 2 1.5719 3 1.5739 Usando o polinômio de interpolação, na forma de Lagrange, determinar f(2.5). Ivanovitch Silva Interpolação
