Introdução a Teoria da Probabilidade - Informática
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Introdução a Teoria da Probabilidade Prof. Magnos Martinello Aula - Introdução a Teoria da Probabilidade Universidade Federal do Espı́rito Santo - UFES Departamento de Informática - DI 30 de março de 2012 Introdução a Teoria da Probabilidade 1/8 Teorema da Probabilidade Total B = BA + BA0 → B = BA ∪ BA0 P[B] = P[BA] + P[BA0 ] P[B] = P[B|A].P[A] + P[B|A0 ].P[A0 ] P[B] = P[B|A].P[A] + P[B|A0 ].(1 − P[A]) B = BA + BA’ Introdução a Teoria da Probabilidade 2/8 Teorema de Bayes Equação estabelece que a probabilidade de ocorrência do evento B, é definida como uma média ponderada da probabilidade condicional de B dado que A ocorreu e a probabilidade condicional de B dado que A não ocorreu, P[B] = P[B|A].P[A] + P[B|A0 ].(1 − P[A]) P[A|B] = P[A|B] = P[BA] P[B] P[B|A].P[A] P[B] P[B|A].P[A] P[B|A].P[A]+P[B|A0 ].P[A0 ] Introdução a Teoria da Probabilidade = 3/8 Exercı́cios propostos Exercı́cio Considere duas urnas. A primeira contém 2 bolas brancas e 7 bolas pretas, e a segunda contém 5 bolas brancas e 6 bolas pretas. Nós jogamos uma moeda justa e então tiramos uma bola da primeira urna ou da segunda urna dependendo se o resultado for cara ou coroa. Qual é a probabilidade condicional que o resultado da jogada seja cara, dado que um bola branca foi selecionada ? Introdução a Teoria da Probabilidade 4/8 Exercı́cios propostos Solução Seja W o evento da bola branca ser tirada Seja H o evento cujo resultado é cara A probabilidade desejada P(H|W ) pode ser calculada assim: P(W |H)P(H) P[W |H].P[H]+P[W |H 0 ].P[H 0 ]) 2/9×1/2 2/9×1/2+5/11×1/2 = 22/67 P(H|W ) = P(HW )P(W ) = P(H|W ) = Introdução a Teoria da Probabilidade 5/8 Exercı́cios propostos Exercı́cio Um laboratório de teste de sangue é 95% efetivo em detectar uma doença quando essa está de fato presente. Entretanto, o teste também resulta em ”falso positivo”para 1% de pessoas saudáveis testadas (Ou seja, se uma pessoa saudável é testada, então com probabilidade 0.01, o resultado do teste implicará que ela tem a doença. ) Se 0.5% da população atualmente tem a doença, qual é a probabilidade de uma pessoa ter a doença, dado que o resultado do teste é positivo ? Introdução a Teoria da Probabilidade 6/8 Exercı́cios propostos Solução Seja D o evento que a pessoa testada tem a doença Seja E o evento cujo resultado do teste é positivo A probabilidade desejada P(D|E ) pode ser calculada assim: P(D|E ) = P(DE )P(E ) = P(D|E ) = Introdução a Teoria da Probabilidade P(E |D)P(D) P[E |D].P[D]+P[E |D 0 ].P[D 0 ]) 0.95×0.005 0.95×0.005+0.01×0.995 = 95/224 = 0.323 7/8 Generalizando a Regra de Bayes Usando o fato de que os eventos E , Fi , ... para i = 1, 2, 3... são mutuamente exclusivos, pode-se obter: P P(E ) = N P(EFi ) PN i=1 P(E ) = i=1 P(E |Fi ) × P(Fi ) Supondo agora que E tenha ocorrido, e estamos interessados em determinar a probabilidade de ocorrer o evento Fj : P[Fj |E ] = P[EFj ] P[E ] Introdução a Teoria da Probabilidade = PN P[E |Fj ].P[Fj ] P(E |Fi )×P(Fi ) i=1 8/8
