Comparando os teoremas que tratam sobre o limite dos

VI ERMAC-R3
6o Encontro Regional de Matemática Aplicada e Computacional
08 a 10-Novembro-2006
Universidade Federal da Paraı́ba - João Pessoa/RN
Comparando os teoremas que tratam sobre o limite dos zeros de
um polinômio
Flaulles Boone Bergamaschi
Depto. de Ciências Exatas, UESB,
45083-900, Vitória da Conquista, BA
E-mail: [email protected]
Resumo
em [1] nos dá L
Em [1] apresentamos uma forma de limitar as raı́zes
reais ou complexas de um polinômio. Esse limite
foi dado por um disco em R2 uma vez que temos o
isomorfismo C ' R2 que associa cada número complexo a + bi com o par (a, b). A importância de
se estudar esses limites se faz no fato de que determinando uma região limitada, podemos iniciar nossos métodos numéricos para encontrar zeros dentro
dessas regiões e assim reduzindo consideravelmente
o tempo que um algoritmo numérico leva para encontrar uma aproximação.
Neste texto vamos comparar dois resultados que
tratam sobre o limite dos zeros de um polinômio
analisando algumas classes de polinômios.
Palavras-chave
=
2 max {|ai |1/(n−i) }
0≤i≤n−1
com
as
mesmas
hipóteses.
Isso
melhora consideravelmente o resultado, fornecendo
um disco um pouco menor.
Consideremos agora um resultado derivado dos
trabalhos de Lagrange no Século XVIII em “Traité
de Résolution des Équations Numériques de Tous
Degrés”:
Teorema 2. Seja p(x) = xn + an−1 xn−1 + · · · +
a1 x + a0 um polinômio de grau n e a0 6= 0. Se x é
um zero de p, então
|x| ≤ Lg ,
√
onde Lg = 1 + n−k B, 0 ≤ k ≤ (n −
1) é o maior ı́ndice dos coeficientes negativos e
B = max{|ai | ; 0 ≤ i ≤ (n − 1) e ai < 0}.
Observação: Caso o polinômio não possua coeficientes negativos basta tomar −p(x). Em [3] encontramos uma outra forma de enunciar o teorema de
Lagrange.
Introdução
Vamos manter neste texto as letras k, B do teorema acima. Dessa forma, sempre que aparecer k
Em [1] apresentamos o seguinte resultado:
ou B estamos falando dos elementos do Teorema de
Teorema 1. Seja p(x) = xn + an−1 xn−1 + · · · + Lagrange.
a1 x + a0 um polinômio de grau n e a0 6= 0. Se x é
Nosso trabalho agora será comparar esses dois reum zero de p, então
sultados. Começamos com os exemplos abaixo:
Zeros, raı́zes, polinômios, Lagrange.
Exemplo 1. Seja p(x) = x3 − 2x2 − 5x + 1.
Aplicando o resultado de Lagrange√temos k = 2,
1
B = 5 e portanto Lg = 1 + 3−2 5 = 6. Por
onde Lf =
max {|ai |1/(n−i) }
log(2) 0≤i≤n−1
outro lado aplicamos o Teorema 1 temos
√ Lf =
Não demonstraremos aqui, mas uma pe- 2√
max{|a0 |1/3 , |a1 |1/2 , |a2 |} = 2 max{1, 5, 2} =
quena modificação na demonstração dada 2 5 ∼
= 4.47.
|x| ≤ Lf ,
Neste exemplo podemos observar que Lf < Lg , ou
seja, podemos dizer que Lf é mais apropriado, pois
fornece um limite menor. Reduzindo nossa região
de busca.
Teorema 4. Seja p(x) = xn + an−1 xn−1 + · · · +
a1 x + a0 um polinômio de grau n com coeficientes
inteiros e a0 6= 0. Seja B = |ai0 |. Se k < i0 , então
Lg < L f .
Exemplo 2. Seja p(x) = x4 − 5x3 − 7x2 + 29x + 30. demonstração
Temos então Lg = 8 e Lf = 10.
Lg
Agora temos exatamente o contrário do exemplo anterior, ou seja, Lf > Lg . Diante dos dois
exemplos acima, uma pergunta surge:
Será que existem classes de polinômios onde
ocorre Lf ≤ Lg ou
˙ Lf > Lg ?
Vamos tentar responder parcialmente essa pergunta com alguns resultados que apresentaremos
agora.
n−k
< 1+
n−io
|ai0 |
p
|
|ai |
{z 0}
≥1
≤
p
|ai0 | +
n−io
p
n−io
|ai0 |
p
≤ 2 n−io |ai0 |
≤ 2
Comparando os Limites
Começamos com o seguinte resultado:
n
p
= 1+
q
max { n−j |aj |}
0≤j≤n−1
≤ Lf
n−1
Teorema 3. Seja p(x) = x + an−1 x
+ ··· +
a1 x + a0 um polinômio de grau n com coeficientes
Veja que neste caso temos um polinômio mônico
inteiros e a0 6= 0. Se p(x) possui um único coeficom coeficientes inteiros qualquer (a0 6= 0) com apeciente negativo, então Lg ≤ Lf .
nas k menor que i0 . No caso k > i0 não podemos
afirmar nada. Isto decorre dos exemplos já citados
demonstração
anteriormente.
Seja ai0 o coeficiente negativo. Neste caso k = i0 Teorema 5. Seja p(x) = xn + an−1 xn−1 + · · · +
e B = |ai0 | logo
a1 x + a0 um polinômio de grau n tal que |ai | ≤ 0.5.
Então Lf < Lg
p
demonstração
Lg = 1 + n−i0 |ai0 |
≤ 1+
q
max { n−j |aj |}
0≤j≤n−1
|
{z
}
Pelo Teorema de Lagrange temos que Lg > 1
para qualquer polinômio. Observe p
que por hipótese
temos |ai | ≤ 0.5 o que implica em i |ai | ≤ 0.5 para
i = 1, 2, . . .. Veja que neste caso temos:
≥1
≤
q
max { n−j |aj |} +
0≤j≤n−1
≤ 2
q
max { n−j |aj |}
q
max { n−j |aj |}
0≤j≤n−1
Lf
√
= 2 max{ n−0 a0 ,
≤
√
n−1
a1 , . . . ,
√
n−(n−1)
an−1 }
1
0≤j≤n−1
≤ Lf
< Lg
Teorema 6. Seja p(x) = xn + an−1 xn−1 + · · · +
Assim podemos observar que para polinômios a1 x + a0 um polinômio de grau n com coeficientes
mônicos com coeficientes inteiros e apenas um coefi- inteiros e a0 6= 0. Seja B = |ai0 |. Se k = n − 1 e
ciente negativo, temos que o resultado de Lagrange |ai0 |
≥
max
{|ai |}, então Lf ≤ Lg .
é melhor. Vejamos um outro caso agora:
0≤i≤n−1,i6=i0
2
Referências
demonstração
[1] Boone, Flaulles B.,“Limite dos Zeros de um
Polinômio”,V Ermac-R3, (2005).
Veja que
Lf
=
2 max{|a0 |1/n , |a1 |1/(n−1) , . . . , |an−1 |}
≤
2 max{|
≤
|ai0 |
ai0 1/n ai0 1/(n−1)
ai
| ,| |
, . . . , | 0 |}
2
2
2
Portanto Lf ≤ |ai0 |
(∗).
[3] Andrade, L. N., “Cotas das Raı́zes de
um Polinômio”,Revista do Professor de
Matemática 42, págs 40-43, (2000).
[4] I.N. Hernstein, “Tópicos de Álgebra”, Ed.
Polı́gono, (1970).
Continuando temos:
Lg
J.L.,“Traité
de
Résolution
[2] Lagrange,
des
Équations
Numériques
de
Tous
Degrés”,www.gallica.bnf.fr,(XVIII).
p
= 1+
n−k
|ai0 |
= 1+
n−(n−1)
p
|ai0 |
= 1 + |ai0 |
≥ 1 + Lf
≥ Lf
Como aplicação do Teorema acima façamos o
Exemplo 3. Seja p(x) = x5 −2x4 −5x3 +x2 +x+1,
observe que k = 4, i0 = 3, B = 5. Assim temos
|ai0 |
5
= ≥
max
{|ai |} = 2.Veja que Lg = 6
2
2 √ 0≤i≤n−1,i6=i0
e Lf = 2 5, como previsto pelo Teorema acima
Lf ≤ Lg .
Com isto, temos algumas classes de polinômios
onde podemos observar a aplicação dos teoremas
para limitar os zeros. Na verdade tentamos comparar esses teoremas com o objetivo de encontrar
a região mı́nima onde todos os zeros estão. Essa
região mı́nima ainda não foi encontrada e não sabemos se é possı́vel determina-lá. Mas a fortes justificativas de que essa região minimal exista e dependa
apenas dos coeficientes do polinômio para ser calculada.
Agradecimentos
Gostaria de agradecer ao professor Júlio César dos
Reis por conversas valiosas.
[5] Walter Rudin,
“Princı́pios de Análise
Matemática”, Ed. Ao Livro Técnico, (1971).