1 Econometria - Danielle Carusi Machado

Operações básicas de vetores
Adição
Econometria
Suponha dois vetores x e y com n componentes
cada:
1. Alguns tópicos importantes de Álgebra Linear
Danielle Carusi Machado - Econometria II
Operações básicas de vetores
Multiplicação escalar
Operações básicas de vetores
Independência de vetores
Multiplicação
x é um vetor com n componentes, α é um escalar.
Considere os seguintes m vetores de dimensão
n:
Podemos escrevê-los da seguinte forma
{x1, x2, . . . , xm}
Independência de vetores
O conjunto de m vetores é dito independente
se nenhum deles pode ser escrito como uma
combinação linear dos demais.
Se {x1,x2,…,xm} são vetores independentes não
existe um conjunto de escalares diferentes de
zero {a1, a2, . . . ,am} tais que:
a1x1 + a2x2 + . . . + amxm = 0
1
Ortogonalidade
Dois vetores x e y são ortogonais se e somente
se:
x'y = 0
Isto implica que o ângulo formado entre estes
dois vetores tem coseno igual a zero.
Matrizes: operações
Adição: as matrizes devem ter a mesma
dimensão.
Matrizes: operações
Propriedades da Adição
Matrizes: operações
Multiplicação:
Se A = [aij]mxn, B = [bij]mxn, C = [cij]mxn, a, b escalares:
Se A é uma matriz mxn e B uma matriz nxm (o número de
colunas de A deve ser igual ao número de linhas de B):
1. A = B sss aij = bij para todo i, j
2. C = A ± B sss cij = aij ± bij para todo i, j
3. aA = [a×aij]mxn
4. a(A + B) = aA + aB
5. aA + bA = (a + b)A
6. A ± B = B ± A (lei comutativa)
7. A ± (B ± C) = (A ± B) ± C (lei associativa)
Matrizes: operações
Exemplo:
Matrizes: operações
Propriedades da Multiplicação
1. A(B + C) = AB + AC
2. (A + B)C = AC + BC
3. AB = 0 ≠ A = 0 ou B = 0
4. AB = AC ≠ B = C
5. AB ≠ BA na maioria dos casos
2
Matrizes: determinantes
Matriz 2×2:
Matrizes: determinantes
Matriz 3×3:
A = a11a22 − a12 a21
Matrizes: determinantes
Matriz 3×3:
Matrizes: transposta
Se a matriz A é mxn, sua transposta, A', será nxm, i.e., se A = [aij]
então A' = [aji].
Exemplo:
B = b11 (b22b33 − b23b32 ) −
− b21 (b12b33 − b32b13 ) + b31 (b12b23 − b13b22 )
Matrizes: transposta
Matrizes: posto
Propriedades:
1.
(A + B)' = A' + B‘
2.
(AB)' = B'A‘
3.
Uma matriz A tal que A’A=A é dita matriz idempotente
Seja A uma matriz mxn. O posto de A é dado pela
maior ordem possível das submatrizes quadradas de A,
com determinantes diferentes de zero.
O posto da linha de A é o maior número de linhas
linearmente independentes.
Se todas as linhas de A forem linearmente
independentes, A tem posto cheio (full row rank).
De forma similar, o posto da coluna de A é o maior
número de colunas linearmente independentes.
3
Matrizes: posto
Exemplo:
Matrizes: posto
3 
1 3 − 2 5


 1 11 − 15 19 14 
3 1
7
1 − 2
 7 − 3 25 − 7 0 


Para cada submatriz de ordem 4 (existem 5), o determinante é
zero. Para cada submatriz de ordem 3 (há 40), o determinante
também é zero. Mas, para a matriz abaixo, o determinante não é
nulo, logo, o posto é 2.
1 3 
det
 = 8 ≠ 0
1 11
 x + 2 y + 3z = 1

− 2 x + y + z = 0

6 x − 3 y − 3 z = − 1
2
3 
 1


1 
A = − 2 1
 6 − 3 − 3


Matrizes: posto
Propriedades:
Exemplo:
A matriz A tem determinante igual a zero (3a. linha igual a 2a.
linha multiplicada por -3).
Posto de A = 2
Matrizes: inversa
Considere uma matriz A quadrada, se a inversa de A
existir, será única:
Cofator: quando os elementos da i-ésima linha e da j-ésima coluna
da matriz A são removidos, o determinante da sub-matriz quadrada
que permanece é chamado de “first minor” (primeiro menor) de A
e denominado |Aij|. O determinante afetado pelo sinal (-1)i+j é
chamado de cofator de aij:
∆ij =(-1)i+j |Aij|
1. Posto da linha = posto da coluna
2. ρ(AB) ≤ ρ(A) e ρ(B)
3. ρ(A) + ρ(A') = ρ(AA') = ρ(A'A)
4. ρ(A + B) ≤ ρ(A) + ρ(B)
5. se |Amxm| = 0 logo ρ(A) < m
Matrizes: inversa
Exemplo:
Matrizes: inversa
Se a Matriz A é não singular, sua inversa é dada por:
Onde [Aij]' é a matriz dos cofatores transposta: matriz adjunta de
A.
4
Matrizes: inversa
Matrizes: inversa
Exemplo:
|A| = (-1)2(1)(0-6) + (-1)3(4)(10 + 2) + (-1)4(1)(6 - 0)
= (-6) - (48) + 6
= - 48
Matrizes: inversa
Matrizes: inversa
Propriedades:
1. Se |A|≠0
As linhas de A são linearmente independentes
As colunas de A são linearmente independentes
2. (AB)-1 = B-1A-1
Matrizes: traço
Transformações lineares
Traço de A =
Propriedades:
1.
Tr (kA) = k Tr(A), onde k é um escalar
Tr (AB) = Tr (BA)
Tr (In) = n
2.
3.
Transformação de um vetor no subespaço Rn em um vetor no
subespaço Rm
Na notação matricial: Y = AX , onde X e Y são vetores de ordem n
e m, respectivamente, e, A é uma matriz de dimensão mxn.
Exemplo:
A projeta o vetor X tridimensional,
em um plano bidimensional.
Danielle Carusi Machado - UFF - Econometria
2/2009
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