Document

EO
Q
Electromagnetismo e óptica
Aula 2: Electroestática
Determinação do Campo Eléctrico e do Potencial Eléctrico para
distribuições de carga não condutoras e condutoras.
Esferas condutoras em contacto
Capítulos XXIII e XXIV, Tipler, 4ª edição
EO
1
Formulário
Teorema de GAUSS
∫
Permite calcular o campo E para situações
onde existe simetria na distribuição de carga
rr
Qint
E.n dS =
ε0
sup erficie
fechada
B
r r
∆V = VB − VA = − ∫ E ⋅ d l
Conhecido E calculamos o potencial V
usando o Integral de Linha do Campo
A
Em condutores em equilibrio electroestático
qualquer excesso de carga reside a sua
superfície.
EO
2
Ex1 (T-XXIII-44) Um cilindro não condutor infinitamente longo,
de raio R, contém uma densidade volumétrica de carga uniforme
ρ0. Sendo λ = ρ π R 2 , mostre que o campo eléctrico é dado por
ρ0 R 2
1 λ
Er =
, r>R
=
2ε 0 r
2 π ε0 r
ρ
λ
Er = 0 r =
r, r<R
2
2ε 0
2 π ε0 R
Solução:
Pelo teorema de Gauss:
r
n
r
E
r r
1
φE = ∫ E.n dA = Q interior de S
S
ε0
∫S
r
r r
E.n dA = E × 2πrL
Q int = ρ0 × volume = ρ0 × π R L
2
r
nr
E
L
r
n
r
E
Para r<R : Q int = ρ0 × π r L ⇒
2
EO
ρ0 R 2
1 λ
E=
,
=
2ε 0 r
2 π ε0 r
r>R
ρ0
λ
r=
r,
2
2ε 0
2 π ε0 R
r<R
E=
3
Ex2 (T-XXIV-53) Considere uma esfera não condutora de raio R com uma
carga Q uniformemente distribuída. Pretende-se determinar o potencial eléctrico V
para r < R. Para tal, calcule:
a)
b)
c)
c)
A carga q’ dentro de uma esfera de raio r.
Use o teorema de Gauss para calcular o campo E em r.
Mostre que V(R)=KQ/R
Calcule V em r <R a partir do campo eléctrico, usando o intergral de linha.
Solução:
a) ρ =
q'
4
3
πr
3
=
c)
Q
4 πR
3
3
⇒ q' =
r3
R3
V ( R) − V (r ) = − ∫
R
r
b)
Q
′ KQ
q
E ⋅ 4πr 2 = ⇒ E = K 2 = 3 r
r
R
ε0
q′
(
KQ
KQ R
E (r )dr = − 3 ∫ rdr = − 3 R 2 − r 2
2R
R r
)
KQ KQ 2 3KQ KQ 2
V (r ) = V ( R) +
− 3r =
− 3r
2R 2R
2R 2R
EO
4
Ex3 (T-XXIII-58) Quando a amplitude do campo eléctrico
no ar é maior do que 3.106 N/C, o ar torna-se ionizado e
começa a conduzir electricidade (disrupção dieléctrica).
Uma carga de 18 µC é colocada numa esfera condutora.
Determine qual o raio mínimo que essa esfera deve ter para
se evitar a disrupção.
Solução:
Campo eléctrico no exterior de uma esfera
condutora carregada:
E=
Quando r → R :
Em á x =
kQ
2
R min
⇒
kQ
r2
Rm í n =
→
E=
kQ
r2
kQ
R2
kQ
= 0, 23m
Emá x
EO
5
Ex4 Considere coroa esférica condutora com carga Q e raio R.
a)
Determine as expressões do campo eléctrico E(r) dentro e fora
da coroa. Justifique. Faça uma representação gráfica
Determine as expressões do potencial eléctrico V(r) dentro e fora
da coroa esférica. Justifique. Faça uma representação gráfica
Qual seria a resposta as alineas a) e b) se tivesse uma esfera
condutora com carga Q e raio R ? Justifique
b)
c)
R
Solução:
a)
b)
E (r ) = 0; r < R
V (r ) = K
Q
;r < R
R
E (r ) = K
Q
;r > R
2
r
V (r ) = K
Q
;r > R
r
c) Idêntica pois num condutor em equilibrio electroestatico qualquer excesso
de carga reside a superficie
EO
6
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Ex5 (T-XXIII-71) As 3 coroas esféricas condutoras apresentadas
na figura são concêntricas e, inicialmente, estão descarregadas.
Após uma carga -Q0 ser colocada na esfera interior e uma carga
+Q0 ser colocada na exterior, determine:
O sentido do campo eléctrico entre as coroas I e II.
A carga nas superfícies interior da coroa II.
A carga na superfície exterior da coroa II.
A carga na superfície interior da coroa III
A carga na superfície exterior da coroa III.
O gráfico de E em função de r.
III
II
I
Solução:
r
E
a) Para
o centro
-Q0
b) +Q0
II
c) -Q0
III
I
+Q0 0
-Q0
+Q0
-Q0
e) QIIIext= +Q0 + (-Q0) = 0
+Q0
f)
d) +Q0
EO
7
Ex6: Uma carga pontual q está à distância x do centro de uma
esfera condutora de raio R mantida ao potencial V0.
Q=?
R
q
a) Qual a carga na esfera de raio R
b) Qual a carga que a esfera adquire se for ligada a masssa
x
c) Qual a força entre a esfera e a carga na alinea b)
Solução:
V0 = K
a) O potencial na esfera tem de ser o V0
dado, pelo que, podemos calcular Q:
b) Se a esfera for ligada à massa o seu potencial é V0=0. A
esfera vai absorver, da terra, a carga:
q
Q
+k
x
R
q⎞ R
⎛
⇒ Q = ⎜V0 − k ⎟
x⎠K
⎝
V0 = 0 ⇒ Q = − q
c) Para calcular a força basta usar a lei de Coulomb para 2 cargas pontuais
à distância x uma da outra :
Se considerarmos o exemplo de esfera ligada à massa, já conhecemos
o valor de Q, que é negativo, significando que a força é atractiva:
EO
F=K
R
x
qQ
x2
q2 R
F = −K 3
x
8
V0
Ex7 Uma carga pontual +q coloca-se no centro de
a)
b)
c)
d)
uma coroa esfera metálica isolada, com carga -2q, de
raio R.
Determine as expressões do campo eléctrico E(r) e do
potencial V(r) dentro da esfera
Determine as expressões do campo eléctrico E(r) e do
potencial V(r) fora da esfera
Faça uma representacão gráfica da função E(r) dentro
e fora da esfera
Faça uma representação gráfica da função V(r) dentro
e fora da esfera
-2q
R
+q
Solução:
EO
9
a)
b)
c)
d)
e)
Ex8 Uma esfera condutora de raio a possui uma carga positive 2Q. Uma coroa
esférica de raio interior b e raio exterior c concentrico com a esfera e com uma
carga –Q. Calcule:
O campo eléctrico dentro da esfera
O campo eléctrico entre a esfera e a coroa para a<r<b
O campo eléctrico dentro da coroa esférica para b<r<c
O campo eléctrico na região exterior a coroa para r>c
A distribuição de cargas na coroa esférica
Solução:
EO
10
Ex9 (T-XXIV-65) Considere 2 esferas
condutoras, carregadas, ligadas por
um fio condutor. Sendo RA=2RB,
determine qual é a esfera que tem o
maior campo eléctrico perto da sua
superfície e calcule EA/EB.
Solução:
1) Os campos eléctricos podem ser obtidos a partir do teorema de Gauss
EA = k
QA
EB = k
R 2A
QB
R B2
2) As esferas estão em contacto pelo que estão ao mesmo potencial
VA = VB
⇒
EA 1
=
EB 2
EO
11
Ex10 (XXIV-85) Um condutor esférico
de raio R1 é carregado a 20 kV. Quando
é ligado por um fio a outro condutor
esférico muito distante, o seu potencial
baixa para 12 kV. Determine o raio da
segunda esfera.
Solução:
Admitindo que a carga na esfera de raio R1 antes de ser
ligada à outra é igual a Q1+Q2, o seu potencial é:
Após a ligação:
Substituindo:
k Q1
V1 =
⇒
R1
Q1 =
( 12kV ) R1
k
; V2 =
20kV =
k Q2
⇒
R2
⎛ ( 12kV ) R1 ( 12kV ) R 2 ⎞
k⎜
+
⎟
k
k
⎝
⎠ = 12kV + 12kV ⎛ R 2 ⎞ ⇒
20kV =
⎜
⎟
R1
R
1
⎝
⎠
EO
k ( Q1 + Q 2 )
Q2 =
R2 =
R1
( 12kV ) R 2
k
2
R
3 1
12