logaritmos - Professor Tenani

FUNÇÃO LOGARITMICA
LOGARITMOS
DEFINIÇÃO
f ( x )  log a x
loga N  x  a x  N
a  0 , a 1 , b  0
a  0 , a 1 , x  0
Exemplos
1. Esboce o gráfico da função y  log 2 x
Exemplos:
 log 3 81  4 pois 34  81
 log 2 2  2 pois
 2
2
2
 log 6 1  0 pois 60  1
CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA
N  0
log a N existe  
a  0, a  1
EXEMPLO:
Determine os valores para os quais existe
log5 ( x  4) .
RESOLUÇÃO
x40 x 4
Dom( f )  {x  | x  0}
Im( f ) 
2. Esboce o gráfico da função y  log 1 x
CONSEQUÊNCIAS DA DEFINIÇÃO
 log a 1  0
2
 log a a  1
 loga a n  n
 a loga N  N
 log a x  log a y  x  y
PROPRIEDADES OPERATÓRIAS
 log a ( M . N )  log a M  log a N
M
 log a 
N

  log a M  log a N

 loga M N  N loga M
1
 log a     log a N  co log a N
N
 log
N
a
M 
1
N
log a M
)
MUDANÇA DE BASE
logb N 
log a N
loga b
Dom( f )  {x  | x  0}
Im( f ) 
3. Esboce o gráfico da função y  log 2 ( x  1)
Dom( f )  {x  | x  1}
Im( f ) 
INEQUAÇÕES
Ao estudarmos as inequações logarítmicas,
devemos ter cuidados especiais com as
restrições sobre a incógnita. Na resolução das
inequações, procuraremos obter logaritmos de
mesma base nos dois membros. A partir disso,
trabalharemos apenas com os logaritmandos,
usando o fato de a função ser crescente ou
decrescente:
 Mantendo o mesmo sinal da inequação
quando a base for maior que 1, pois a função é
crescente;
 Invertendo o sinal da inequação quando a
base estiver entre 0 e 1, pois a função é
decrescente.
Exemplos:
1. Resolver a inequação log 2 ( x  1)  log 2 6
C.E. : x  1  0  x  1
a  2  a  1.
x 1  6  x  5
Portanto S  {x  | x  5}
2
C.E. : 2 x  4  0  x  2
1
a   0  a 1.
2
7
2x  4  3  x 
2
7
|2  x  }
2
Portanto S  {x 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01) (UFMT)
Sendo log 4 25 
afirmar que log 2 5 é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
x
3
2x
3
x2
9
x
3
3
3
x2
9
x
,
3
03) (UMC-SP) O logaritmo de 7776 no sistema
de base 6 vale:
a) 6
b) 5
c) 3
d) 2,5
e) Não pode ser determinado sem tabela
apropriada.
04) (UNIFOR-CE)
Qual
[log5 (25log2 32)]3 ?
o
valor
de
05) (ITA) A expressão log 2 16  log 4 32 é igual
a:
2. Resolver a inequação log 1 (2 x  4)  log 1 3
2
02) (UEL) Supondo que exista, o logaritmo de a
na base b é:
a) O número ao qual se eleva a para se
obter b.
b) O número ao qual se eleva b para se
obter a.
c) A potência de base b e expoente a.
d) A potência de base a e expoente b.
e) A potência de base 10 e expoente a.
podemos
a)
b)
c)
1
2
3
2
1
2.log 4 2
d) 4
e) 1
06) (PUC-SP) A expressão log11 1 é igual a:
a) 11
b) 1
c) 0
d) Não temos elementos para calcular
e) 12
07) (UNIMAUA - SP) Achar o valor da expressão
1
M  log 1 3 3  log 2  log5 5
4
3
08) (PUC-SP) A expressão a loga b é igual a:
(Supor 0  a  1 e b  0 )
a) b
b) a
c) a b
d) b a
e) ab
09) (CESULON-PR) Resolvendo a equação
log 3 (2 x  7)  4 , obtemos:
a) S  {40}
b)
c)
d)
e)
S  {41}
S  {42}
S  {43}
S  {44}
15) (CESGRANRIO) Se log10 123  2,09 , o valor
10) (UNIFOR) Seja m um número real que
satisfaz a equação log2 ( x 2  1)  3 . Nestas
condições, o valor de m  1 é:
a) 10 ou -8
b) 4 ou -2
c) 9
d) 5
e) 3
11) (PUC-SP) Assinale a propriedade válida
sempre: (Supor válidas as condições de
existência do logaritmo)
a) log(a.b)  log a.log b
b) log(a  b)  log a  log b
c) log m.a  m.log a
d) log a  log m.a
de log10 1, 23 é:
a) 0,0209
b) 0,09
c) 0,209
d) 1,09
e) 1,209
16) (MACK-SP) Se log m  2  log 4 , então m
vale:
a) 0,04
b) 1,5
c) 20
d) 25
e) 200
1
17) (FFRECIFE) Se log x  log b  2 log c  log a ,
3
então:
a) x 
b c
b) x 
abc
m
e) log a m  m.log a
c) x 
12) (PUC-SP) A expressão log 27 27 é igual a:
a) 2
b) 1
c) 27
d) 0
e) -1
13) (UNIP-SP)
o
valor
d) x 
e) x 
de
log 4 (24,96)  log 4 (3,12) é
a) 1
b)
3
2
c) 2
d)
5
2
e) 1,4
14) (UNIJUÍ-RJ) Sendo os números A e B reais e
positivos, a sentença verdadeira é:
a) log( A  B )  log A.log B
 A3 
b) 3log A  log B  log  
B
1
1
c) log A  log B  log A.log B 2
2
d) log A  log B / 4 
log A
4.log B
2
e) log A  log B  log( A / B )
2
3
a
a/3
b c
a3
bc 2
3
a
bc 2
a3
18) (MACK-SP) Se log 5 81  k , então log3 15
vale:
k 4
a)
2
k 4
b)
k
k 2
c)
2k
k 4
d)
2k
k 2
e)
2k
19) (VUNESP-SP) Se
log 72 é igual a:
a) 2 x  3 y
b) 3 x  2 y
c) 2 x  3 y
d) 3 x  2 y
e) x  y
log 2  x
e
log 3  y ,
20) (MACK-SP) Se log 3 2  log 3 ( x  1)  1 , então
x é igual a:
a) 1/2
b) 1/3
c) 0
d) 2
e) 3
21) (FEI-SP)
Se
log2  a
e
log3  b ,
32
escrevendo log
em função de a e b
27
obtemos:
a) 2a  b
b) 2a  b
c) 2ab
d) 2a / b
e) 5a  3b
22) (PUC-SP) Se
m  log b a ,
m  0 , então
2
log 1 b vale:
a
a) m
b) m  2
c) m2
2
d) 
m
1
e) 
m
23) (UFPR) Considere o conjunto S={1,2,-1,-2}.
É correto afirmar que:
(01) O total de subconjuntos de S é igual ao
número de permutações de quatro
elementos.
(02) O conjunto solução da equação
( x 2  1)( x 2  4)  0 é igual a S.
(04) O conjunto-solução da equação
2
2log10 x  log10 3  log10 ( x  )
está
3
contido em S.
(08) Todos os coeficientes de x no
( x  1)4
desenvolvimento
de
pertencem a S.
24) (MACK-SP) O domínio da função definida
por f ( x)  3 log( x 2  x  7) é o conjunto:
a) 
b) {x  | x  0}
c) 
d) {x  | x  23}
e)
25) (UNICID-SP) Se log10 2  m e log10 3 =n,
podemos afirmar que log5 6 é:
a)
b)
c)
d)
e)
2m
1 m
mn
1 m
mn
mn
mn
1 m
3mn
1 m
26) (FUVEST-SP) Sabendo-se 5 p  2 , podemos
concluir que log 2 100 é igual a:
2
p
b) 2 p
a)
c) 2  p 2
d) 2  2 p
e)
2  2p
p
27) (UFS-BA)
O
domínio
da
f ( x)  log 1 (5x 2  26 x  5) é:
função
2
a) {x 
| x  5}
1
|0  x  }
5
1
c) {x  | x  ou x  5}
5
d) {x  | x  2}
e)
b) {x 
28) (AFA) No conjunto dos números reais, o
campo
de
definição
da
função
2
f ( x)  log( x 1) (2 x  5x  2) é dado por
a) {x  | x  2 ou x  1}
1
1
 x 1 e x  }
2
2
1
c) {x  |   x  0 e x  0}
2
b) {x 
|
d) {x 
|  1  x  0 ou 0  x 
e) 
1
ou x>2}
2
29) (UFPR) Sendo a, b e x números reais tais
a
b
b
x
que 3  2 , 9  4 e a  0 , é correto
afirmar:
(01) b  x log 2 3
(02) Se a  2 , então b  3 .
(04) a, b e x, nesta ordem, estão em
progressão geométrica.
(08) a  b  a log 2 6
a  2b
 2b  2 x
(16) 3
30) (UEPG-PR) Considerando que p é o produto
2
das raízes da equação log x  log x  6  0
2 
m
3 p
e que
.4 p  7
8 p
assinale o que for
correto.
(01) p é um número primo
(02) p é um múltiplo de três
(04) p | m m 
(08) 60 < m < 70
(16) m > p
GABARITO
01) A
06) C
11) E
16) D
21) E
26) E
02) B
07) *
12) B
17) D
22) D
27) C
*
1
2
03) B
08) A
13) B
18) D
23) 06
28) D
04) 27
09) E
14) B
19) B
24) E
29) 28
05) B
10) B
15) B
20) A
25) D
30) 24