TRABALHO E ENERGIA CINÉTICA

NOTA DE AULA
PROF. JOSÉ GOMES RIBEIRO FILHO
TRABALHO E ENERGIA CINÉTICA
1 INTRODUÇÃO
Suponha que você queira calcular a velocidade de uma flecha lançada de um arco. Você aplica a segunda lei de
Newton e as demais técnicas, já aprendidas, para a solução de problemas, porém defronta-se com uma dificuldade
inesperada: quando o arqueiro libera a flecha, o arco exerce uma força variável que depende da posição da flecha. Em
vista disso, os métodos simples que você aprendeu não são suficientes para calcular a velocidade. Não se preocupe,
ainda não terminamos de estudar a mecânica e existem outros métodos para abordar esse tipo de problema.
O novo método, que será aqui apresentado, usa os conceitos de trabalho e energia. A importância do conceito
de energia reside no princípio da conservação da energia: a energia é uma grandeza que pode ser convertida de uma
forma para outra, mas que não pode ser criada nem destruída. No motor de um automóvel, a energia química
armazenada no combustível é convertida parcialmente em energia térmica e parcialmente na energia mecânica que
acelera o automóvel. Em um forno de micro-ondas, a energia eletromagnética obtida da companhia que fornece
energia elétrica é convertida na energia térmica que cozinha o alimento. Nesses e em outros processos, a energia total
permanece constante, ou seja, a soma de todas as formas de energia envolvidas permanece a mesma. Nenhuma
exceção à essa conclusão foi jamais encontrada.
Usaremos o conceito de energia para estudar uma imensa variedade de fenômenos físicos. Esse conceito o
ajudará a compreender por que um agasalho conserva você quente, como o disparador de flash de uma máquina
fotográfica pode produzir um feixe instantâneo de luz e qual o significado da famosa equação de Einstein E = mc2.
Contudo, neste capítulo, concentraremos nossa atenção na mecânica. Aprenderemos a calcular uma forma
importante de energia chamada energia cinética, ou energia do movimento, e como ela se relaciona com o conceito de
trabalho. Consideraremos também a potência, definida como a taxa de variação com o tempo da realização de um
trabalho. No próximo capítulo, expandiremos os conceitos de trabalho e de energia cinética, aprofundando os conceitos
de energia e conservação da energia.
2 TRABALHO
Você provavelmente concorda que é um trabalho árduo puxar um sofá pesado ao longo da sala, levantar uma
pilha de enciclopédias do chão até uma estante elevada ou empurrar um automóvel enguiçado em uma estrada. Na
verdade, todos esses exemplos correspondem ao significado cotidiano da palavra trabalho — ou seja, qualquer
atividade que necessita de um esforço físico ou intelectual.
Na física, o trabalho possui uma definição muito mais precisa. Usando essa definição, verificaremos que em
qualquer movimento, por mais complicado que seja, o trabalho total realizado por todas as forças sobre uma partícula é
igual à variação de sua energia cinética — uma grandeza relacionada com a velocidade da partícula. Essa relação é
empregada mesmo quando as forças aplicadas não são constantes, ou seja, um problema difícil ou impossível de
resolver apenas com as técnicas já aprendidas nos capítulos 4 e 5. Assim, os conceitos de trabalho e de energia cinética
nos habilitam a resolver problemas de mecânica que não poderíamos resolver com os conceitos anteriores.
Neste tópico, veremos como definir trabalho e como calculá-lo em diferentes situações envolvendo forças
constantes. Embora já saibamos como resolver problemas para os quais as forças sejam constantes, ainda assim o
conceito de trabalho é útil para resolver tais problemas. Mais adiante neste capítulo, desenvolveremos as relações entre
trabalho e energia cinética e veremos como aplicar esses conceitos a problemas em que essas forças não são
constantes.
Os três exemplos de trabalho descritos anteriormente — puxar um sofá, levantar enciclopédias e empurrar um
automóvel — possuem algo em comum. Em cada caso, você realiza um trabalho exercendo uma força sobre o corpo
enquanto ele se move de um local para outro, ou seja, ocorre um deslocamento do corpo (figura 1). Você realiza um
trabalho maior quando a força é maior (você empurra o carro com mais intensidade) ou quando o deslocamento é
maior (você desloca o carro por uma distância maior ao longo da estrada).
1
FIGURA 1 Essas pessoas estão realizando um trabalho enquanto
empurram o carro enguiçado porque elas exercem uma força
sobre o carro, enquanto ele se desloca.
A definição física de trabalho pauta-se nessas observações. Considere um corpo que se desloca a uma distância
d ao longo de uma linha reta. (Por enquanto, consideraremos o corpo como uma partícula e poderemos, então, ignorar
qualquer rotação ou mudança em sua forma.) Enquanto o corpo se move, uma força com módulo constante atua sobre

ele na mesma direção e no mesmo sentido de seu deslocamento d (figura 2). Definimos o trabalho W realizado pela
força constante nessas condições como o produto da força de módulo F e o deslocamento de módulo d:
W = Fd
[1]
O trabalho realizado sobre o corpo é tanto maior quanto maior for ou a força F ou o deslocamento d, conforme
nossas observações anteriores.
FIGURA 2 O trabalho realizado por uma força constante
que atua na mesma direção e no mesmo sentido do
deslocamento.
A unidade SI de trabalho é o joule (abreviada pela letra J e pronunciada como ‘jaule’, nome dado em
homenagem ao físico inglês do século XIX James Prescott Joule). Pela equação (1), vemos que, em qualquer sistema de
unidades, a unidade de trabalho é dada pela unidade de força multiplicada pela unidade de deslocamento. A unidade SI
de força é o newton e a unidade de deslocamento é o metro, de modo que a unidade de trabalho joule é equivalente a
um newton . metro (N . m): 1 joule = (1 newton) (1 metro) ou 1 J = 1 N . m.
Para exemplificar a equação (1), pense em um homem empurrando um carro enguiçado. Se ele empurra o carro


ao longo de um deslocamento d com uma força F constante na direção do movimento, a quantidade de trabalho que
ele realiza sobre o carro é dada pela equação (1): W = Fd. Entretanto, e se alguém empurra o carro de modo a formar

um ângulo φ com o seu deslocamento (figura 3)? Nesse caso, F possui um componente F‖ = Fcosφ na direção do
deslocamento e um componente FꞱ = Fsenφ que é perpendicular ao deslocamento. (Outras forças devem atuar sobre o


carro para que ele se mova ao longo de d , não na direção de F . Porém, estamos interessados apenas no trabalho que a
pessoa realiza e, por isso, vamos considerar somente a força que ela exerce.) No caso em questão, somente o
componente paralelo F‖ é atuante no movimento do carro; portanto, definimos o trabalho como o produto desse
componente de força pelo módulo do deslocamento. Logo,
W =F‖ d = (Fcos φ)d ou
W = Fdcos φ
[2]
2
FIGURA 3 O trabalho realizado por uma força constante que forma um ângulo em relação ao deslocamento.

Estamos supondo que F e φ permanecem constantes durante o deslocamento. Quando φ = 0, de modo que F

está na mesma direção e no mesmo sentido do deslocamento d , então cosφ = 1 e retornamos para a equação (1).
 
A equação (2) possui a forma de um produto escalar entre dois vetores, visto no capítulo de vetores: A B = AB
cosφ. Usando essa definição, podemos escrever a equação (2) de modo mais compacto como
 
WF d
[3]
TRABALHO: POSITIVO, NEGATIVO OU NULO
Na figura 1, o trabalho realizado para empurrar o carro era positivo. Mas é importante entender que o trabalho
também pode ser negativo ou nulo. Essa observação mostra a diferença essencial entre o conceito físico de trabalho e a
definição ‘cotidiana’ de trabalho. Quando a força possui um componente na mesma direção e no mesmo sentido do
deslocamento (φ entre zero e 90°), cosφ na equação (2) é positivo e o trabalho W é positivo (figura 4a). Quando a força
possui um componente na mesma direção, mas no sentido contrário ao do deslocamento (φ entre 90° e 180°), cosφ é
negativo e o trabalho W é negativo (figura 4b). Quando a força é perpendicular ao deslocamento, φ = 90° e o trabalho
realizado pela força é igual a zero (figura 4c). O trabalho negativo e o trabalho nulo merecem um exame mais
cuidadoso, de modo que daremos alguns exemplos.


FIGURA 4 Uma força constante F pode realizar um trabalho positivo, negativo ou nulo, dependendo do ângulo entre F e

o deslocamento d .
Existem diversas situações em que uma força atua, mas não realiza nenhum trabalho. Você poderia imaginar
que faz um trabalho duro ao manter um haltere suspenso no ar por cinco minutos (figura 5), porém você não realiza
nenhum trabalho sobre o haltere porque não há nenhum deslocamento. Você fica cansado porque as fibras musculares
do seu braço realizam trabalho ao se contrair e dilatar continuamente. Entretanto, esse trabalho é realizado por uma
parte do braço sobre outra parte, e não sobre o haltere. Mesmo quando caminha com um livro na mão em um piso
horizontal, você não realiza nenhum trabalho sobre o livro. Nesse caso, o livro sofre um deslocamento, porém a força
(vertical) que você exerce para sustentar o livro não possui nenhum componente na direção (horizontal) do
deslocamento. Então, φ = 90° na equação (2) e cosφ = 0. Quando um corpo desliza ao longo de uma superfície, o
trabalho realizado pela força normal sobre o corpo é igual a zero; e quando uma bola presa a um fio gira com
movimento circular uniforme, o trabalho realizado pela tensão no fio sobre a bola também é igual a zero. Em ambos os
3
exemplos, o trabalho realizado é igual a zero porque a força aplicada não possui nenhum componente na direção do
deslocamento.
FIGURA 5 Um halterofilista não realiza nenhum trabalho
sobre um haltere, contanto que o mantenha estático.
Afinal, o que significa realizar um trabalho negativo? A resposta deriva da terceira lei de Newton. Quando um
halterofilista abaixa um haltere como na figura 6a, suas mãos e o haltere movem-se juntos com o mesmo deslocamento


d . O haltere exerce uma força FH em M sobre sua mão na mesma direção e no mesmo sentido do deslocamento, de modo
que o trabalho realizado pelo haltere sobre sua mão é positivo (figura 6b). Pela terceira lei de Newton, as mãos do


halterofilista exercem sobre o haltere uma força igual e contrária: FM em H  FH em M (figura 6c). A força que impede o
haltere de despencar no piso atua em sentido contrário ao do deslocamento do haltere. Logo, o trabalho realizado pelas
mãos sobre o haltere é negativo. Como as mãos e o haltere possuem o mesmo deslocamento, o trabalho realizado pelas
mãos sobre o haltere é de sinal contrário ao do trabalho realizado pelo haltere sobre as mãos. Em geral, quando um
corpo realiza um trabalho negativo sobre outro corpo, este corpo realiza um trabalho positivo sobre o primeiro.
FIGURA 6 As mãos deste halterofilista realizam um trabalho negativo sobre um haltere enquanto o haltere realiza um
trabalho positivo sobre suas mãos.
TRABALHO TOTAL
Como calcular o trabalho quando diversas forças atuam sobre um corpo? Um método é usar a equação (2) ou a
equação (3) para calcular o trabalho que cada força realiza sobre o corpo. A seguir, como o trabalho é uma grandeza
escalar, o trabalho total Wtot realizado por todas as forças sobre o corpo é a soma algébrica de todos os trabalhos
realizados pelas forças individuais. Um método alternativo para calcular o trabalho total Wtot consiste em calcular a
soma vetorial de todas as forças que atuam sobre o corpo (ou seja, a força resultante) e a seguir usar essa soma vetorial

como F na equação (2) ou na equação (3).
3 ENERGIA CINÉTICA E O TEOREMA DO TRABALHO-ENERGIA
O trabalho total realizado pelas forças externas sobre um corpo é relacionado com o deslocamento do corpo, ou
seja, com variações da posição do corpo. Contudo, o trabalho total também é relacionado com a velocidade do corpo.
Para ver isso, considere a figura 7, que mostra três exemplos de um bloco deslizando sobre uma mesa sem atrito. As



forças que atuam sobre o bloco são seu peso p a força normal n e a força F exercida pela mão sobre ele.
Na figura 7a, a força resultante sobre o bloco está na mesma direção e no mesmo sentido do seu deslocamento.
Pela segunda lei de Newton, isso significa que o corpo acelera; pela equação (1), isso também significa que o trabalho
total Wtot realizado sobre o bloco é positivo. O trabalho total na figura 7b é negativo porque a força resultante se opõe
ao deslocamento; nesse caso o bloco diminui de velocidade. A força resultante é nula na figura 7c, de modo que a
velocidade permanece constante e o trabalho total sobre o bloco é igual a zero. Concluímos que quando uma partícula
sofre um deslocamento, ela aumenta de velocidade se Wtot > 0, diminui de velocidade quando Wtot < 0 e a velocidade
permanece constante se Wtot = 0.
4
FIGURA 7 A relação entre o trabalho total realizado sobre um corpo e a variação da velocidade escalar do corpo.
Vamos fazer essas observações de modo mais quantitativo. Considere uma partícula de massa m movendo-se
ao longo do eixo Ox sob a ação de uma força resultante constante de módulo F orientada no sentido positivo do eixo Ox
(figura 8). A aceleração da partícula é constante, sendo dada pela segunda lei de Newton, F = max.

FIGURA 8 Uma força resultante constante F realiza um trabalho
sobre um corpo em movimento.
Suponha que a velocidade varie de v1 a v2 enquanto a partícula vai do ponto x1 ao ponto x2 realizando um deslocamento
d = x2 - x1. Usando a equação do movimento com aceleração constante, e substituindo v0x por v1, vx por v2 e (x - x0) por d,
obtemos
v22  v12  2ax d
ax 
v22  v21
2d
Quando multiplicamos essa equação por m e igualamos a força resultante F com max, achamos
v22  v12
2d
1
1
Fd  mv22  mv12
2
2
F  max  m
[4]
O produto Fd é o trabalho realizado pela força resultante F e, portanto, é o trabalho total Wtot realizado por
todas as forças que atuam sobre a partícula. A grandeza ½ mv2 denomina-se energia cinética K da partícula:
1
K  mv2
2
[5]
Analogamente ao trabalho, a energia cinética é uma grandeza escalar; ela depende somente da massa e do módulo da
velocidade da partícula, e não da direção do movimento (figura 9). Um carro (encarado como uma partícula) possui a
mesma energia cinética quando se desloca de sul para norte a 10 m/s ou quando se desloca de oeste para leste a 10
m/s. A energia cinética nunca pode ser negativa, sendo igual a zero somente quando a partícula está em repouso.
5
FIGURA 9 Comparação da energia cinética de diferentes corpos.
Podemos agora interpretar a equação (4) em termos do trabalho e da energia cinética. O primeiro termo do
membro direito da equação (4) é K2 = ½ mv22 a energia cinética final da partícula (ou seja, depois do deslocamento). O
segundo termo do membro direito é a energia cinética inicial, K1 = ½ mv12 e a diferença entre os dois termos é a variação
da energia cinética. Logo, a equação (4) diz que:
O trabalho realizado pela força resultante sobre a partícula fornece a variação da energia cinética da partícula:
Wtot = K2 – K1 = ΔK
[6]
Esse resultado é conhecido como teorema do trabalho-energia.
O teorema do trabalho-energia concorda com as situações do bloco descritas na figura 7. Quando Wtot é
positivo, a energia cinética aumenta (a energia final K2 é maior do que a energia inicial K1) e a velocidade final da
partícula é maior do que sua velocidade inicial. Quando Wtot é negativo, a energia cinética diminui (K2 é menor do que
K1) e a velocidade final da partícula é menor do que sua velocidade inicial. Quando Wtot = 0, a energia cinética é
constante (K1 = K2) e a velocidade não se altera. Convém ressaltar que o teorema do trabalho-energia nos informa
somente sobre variações da velocidade escalar, não sobre o vetor velocidade, visto que a energia cinética não depende
da direção da velocidade.
Pelas equações (4) ou (6), a energia cinética e o trabalho devem possuir as mesmas unidades. Logo, o joule é a
unidade SI tanto para a energia cinética quanto para o trabalho (e, como veremos mais tarde, para todos os tipos de
energia). Para conferir esse resultado, note que as unidades SI para K = ½ mv2 são kg.(m/s)2 ou kg.m2/s2; lembrando que
1 N = 1 kg.m/s2, logo
1 J = 1 N . m = 1 (kg . m/s2) . m = 1 kg . m2/s2
Como empregamos as leis de Newton para deduzir o teorema do trabalho-energia, podemos usá-lo somente
para um sistema de referência inercial. Note também que o teorema do trabalho-energia é válido para qualquer sistema
de referência inercial, porém os valores de Wtot e de K2 - K1 podem diferir de um sistema de referência inercial para
outro (porque o deslocamento e a velocidade de um corpo possuem valores diferentes para cada sistema de referência
inercial).
Deduzimos o teorema do trabalho-energia para o caso especial de um movimento retilíneo com forças
constantes e, nos exemplos seguintes, vamos aplicá-lo somente para esse caso especial. Mostraremos na próxima seção
que o teorema é válido no caso geral, mesmo quando as forças não são constantes e a trajetória é uma curva.
O SIGNIFICADO DA ENERGIA CINÉTICA
O exercício resolvido 5 fornece um raciocínio para entender o significado físico da energia cinética. A cabeça do
martelo parte do repouso, e sua energia cinética quando atinge a viga é igual ao trabalho total realizado pela força
resultante sobre a cabeça do martelo até esse ponto. Esse resultado é em geral verdadeiro: para acelerar uma partícula
de massa m a partir do repouso (energia cinética zero) até uma velocidade v, o trabalho total realizado sobre ela deve
ser igual à variação da energia cinética desde zero até K = ½ mv2:
Wtot = K – 0 = K
Portanto, a energia cinética de uma partícula é igual ao trabalho total realizado para acelerá-la a partir do
repouso até sua velocidade presente. A definição K = ½ mv2, equação (5), não foi escolhida ao acaso; ela é a única
definição que corresponde ao significado físico da energia cinética.
Na segunda parte do exercício resolvido 5 a energia cinética da cabeça do martelo foi usada para realizar um
trabalho sobre a viga e cravá-la no solo. Isso nos permite fazer outra interpretação para a energia cinética: a energia
cinética de uma partícula é igual ao trabalho total que ela pode realizar no processo de ser conduzida até o repouso.
Isso explica por que você puxa a mão e o braço para trás quando apanha uma bola no ar. No intervalo em que a bola
chega ao repouso, ela realiza um trabalho (força vezes distância) sobre a sua mão que é igual à energia cinética inicial da
bola. Puxando sua mão para trás, você maximiza a distância na qual a força atua e minimiza a força exercida sobre sua
mão.
TRABALHO E ENERGIA CINÉTICA EM SISTEMAS COMPOSTOS
6
Neste tópico tomamos o cuidado de usar o teorema do trabalho-energia somente para corpos considerados
partículas, ou seja, massas pontuais que se movem. Novas sutilezas surgem para sistemas mais complexos que devem
ser representados por diversas partículas com movimentos diferentes. Não podemos analisar essas sutilezas com
detalhes neste capítulo, mas apresentamos a seguir um exemplo.
Considere um menino em pé apoiado sobre patins sem atrito sobre uma superfície horizontal, de frente para
uma parede rígida (figura 10). Ele empurra a parede e inicia um movimento para a direita. As forças que atuam sobre



ele são seu peso p as forças normais de baixo para cima n1 e n2 exercidas pelo solo sobre seus patins e a força

  
horizontal F que a parede exerce sobre ele. Como não existe deslocamento vertical, p , n1 e n2 não realizam trabalho. A

força horizontal F acelera o menino para a direita, porém as partes do corpo sobre as quais ela atua (suas mãos) não se

movem. Portanto, a força horizontal F também não realiza trabalho. Então, de onde vem a energia cinética do menino?
FIGURA 10 Forças externas atuando sobre um patinador que
empurra uma parede. O trabalho realizado por essas forças é
igual a zero, mas, apesar disso, sua energia cinética variou.
A dificuldade é que não podemos representar o menino simplesmente como uma partícula. Diferentes partes
do corpo dele possuem movimentos diferentes; suas mãos permanecem paradas sobre a parede, porém o seu torso se
afasta da parede. As diversas partes do corpo interagem entre si, e uma parte poderá exercer forças e realizar trabalho
sobre a outra. Sendo assim, a energia cinética total do corpo pode variar, embora nenhum trabalho seja realizado pelas
forças externas aplicadas sobre o corpo (como a força da parede).
4 TRABALHO E ENERGIA COM FORÇAS VARIÁVEIS
Até o momento, neste capítulo consideramos apenas forças constantes. Porém, o que ocorre quando você
comprime uma mola? Quanto mais ela se comprime, maior é o esforço para você empurrar, de modo que a força que
você exerce não é constante. Também restringimos nossos estudos ao movimento retilíneo. Podemos imaginar diversas
situações em que as forças aplicadas variam em módulo, direção e sentido e o corpo se desloca em uma trajetória
curva. É necessário estarmos aptos para calcular o trabalho realizado nesses casos gerais. Felizmente, verificaremos que
o teorema do trabalho-energia permanece válido, mesmo quando consideramos forças variáveis e quando o corpo
descreve uma trajetória curva.
TRABALHO REALIZADO POR UMA FORÇA VARIÁVEL EM MOVIMENTO RETILÍNEO
Para acrescentar uma complicação de cada vez, vamos considerar um movimento retilíneo no qual a força Fx
possui um componente x paralelo ao deslocamento, mas o módulo da força é variável. (Um exemplo do cotidiano é
dirigir um carro por uma estrada retilínea com sinais de parada que fazem o motorista alternar entre pisar no acelerador
e frear.) Suponha uma partícula movendo-se ao longo do eixo Ox, de um ponto x1 a um ponto x2 (figura 11a). A figura
11b mostra um gráfico do componente x da força em função da coordenada x da partícula.
FIGURA 11 Cálculo do trabalho realizado por uma força variável Fx na direção de x, enquanto uma partícula se move de
x1 para x2.
Para calcularmos o trabalho realizado por essa força, dividimos o deslocamento total em pequenos segmentos
Δxa, Δxb e assim por diante (figura 11c). Aproximamos o trabalho realizado pela força no deslocamento Δxa como a força
7
média Fax neste intervalo multiplicada pelo deslocamento Δxa. Fazemos isso para cada segmento e depois somamos os
resultados de todos os segmentos. O trabalho realizado pela força no deslocamento de x1 a x2 é dado aproximadamente
por
W = FaxΔxa + FbxΔxb + . . .
À medida que o número de segmentos aumenta e a largura de cada segmento torna-se cada vez menor, essa soma
fornece (no limite) a integral de Fx de x1 a x2:
x2

W  Fx dx
[7]
x1
Note que FaxΔxa representa a área da primeira faixa vertical indicada na figura 11c e que a integral na equação (7)
representa a área abaixo da curva da figura 11b no deslocamento de x1 a x2. Em um gráfico da força em função da
posição, o trabalho total realizado pela força é representado pela área abaixo da curva entre a posição inicial e a posição
final. Uma interpretação alternativa para a equação (7) é que o trabalho W é igual à força média no intervalo
considerado, multiplicada pelo deslocamento.
A equação (7) também se aplica no caso particular em que o componente x da força F for constante. Nesse caso,
Fx pode ser retirada da integral
x2

x2

W  Fx dx  Fx dx  Fx (x2  x1 )
x1
x1
Porém, x2 - x1 = d, o deslocamento total da partícula. Portanto, no caso de uma força F constante, a equação (7) diz que
W = Fd, concordando com a equação (1). A interpretação do trabalho como a área abaixo da curva de Fx em função de x
também vale para uma força constante; W = Fd é a área de um retângulo de altura F e largura d (figura 12).
FIGURA 12 O trabalho realizado por uma força F constante no
sentido do eixo Ox enquanto uma partícula se move de x1 a x2.
Vamos agora aplicar o que aprendemos ao caso da deformação de molas. Para esticar a mola de uma distância x
além de sua posição não deformada, devemos aplicar uma força de módulo F em cada uma de suas extremidades
(figura 13). Quando o alongamento x não é muito grande, verifica-se que o módulo F é diretamente proporcional ao
módulo do deslocamento x:
Fx = kx
[8]
onde k é uma constante denominada constante da força (ou constante da mola). As unidades de k são a força dividida
pela distância: N/m em unidades SI. Para a mola fraca típica de um brinquedo, a constante da mola é aproximadamente
igual a 1 N/m; para molas duras, como as molas de suspensão de um automóvel, k é aproximadamente igual a 105 N/m.
A observação de que a força é diretamente proporcional ao deslocamento quando o deslocamento não é muito grande
foi feita em 1678 por Robert Hooke, sendo conhecida como lei de Hooke. Na realidade, ela não deveria ser chamada de
‘lei’, visto que é uma relação específica e não uma lei geral da natureza. As molas reais não obedecem à equação (8) de
modo exato, contudo ela é um modelo idealizado bastante útil.
FIGURA 13 A força necessária para esticar a mola ideal é diretamente
proporcional ao seu alongamento: F = kx.
Para esticar qualquer mola devemos realizar um trabalho. Aplicamos forças iguais e opostas às extremidades da
mola e gradualmente aumentamos as forças. Mantemos a extremidade esquerda da mola em repouso, de modo que a
força que atua nessa extremidade não realiza trabalho. A força que atua na extremidade móvel realiza trabalho. A figura
14 mostra um gráfico da força Fx em função de x, o alongamento da mola.
8
FIGURA 14 Cálculo do trabalho realizado para esticar a mola em um
alongamento X.
O trabalho realizado por F quando o alongamento varia de zero a um valor máximo X é dado por
X
X
1
W  Fx dx  kxdx  kX2
2
0
0


[9]
Podemos também obter esse resultado graficamente. A área do triângulo sombreado indicado na figura 14, que
representa o trabalho total realizado pela força, é igual ao produto da base pela altura dividido por dois, ou seja
1
1
W  (X)(kX)  kX2
2
2
Essa equação diz também que o trabalho é a força média kX/2 multiplicada pelo deslocamento total X. Vemos que o
trabalho total é proporcional ao quadrado do alongamento total X. Para esticar em 2 cm uma mola ideal, você deve
realizar um trabalho quatro vezes maior do que o necessário para esticá-la em 1 cm.
A equação (9) supõe que a mola estava inicialmente sem nenhuma deformação. Se a mola sofre um
alongamento inicial x1, o trabalho realizado para esticá-la até um alongamento final x2 (figura 15a) é dado por
x2
x2
1
1
W  Fx dx  kxdx  kx22  kx12
2
2
x1
x1


[10]
Você deve usar seu conhecimento de geometria para se convencer de que a área trapezoidal abaixo do gráfico na figura
15b é dada pela expressão na equação (10).
FIGURA 15 Cálculo do trabalho realizado para esticar uma mola de uma extensão a outra maior.
Se a mola possui espaço entre as espirais, ela também pode ser comprimida, e a lei de Hooke vale igualmente
quando a mola é esticada ou quando ela é comprimida. Nesse caso, a força F e o deslocamento x possuem sentidos
contrários aos indicados na figura 13, de modo que Fx e x na equação (8) possuem sinais negativos. Como Fx e x estão
invertidos, a força continua no mesmo sentido do deslocamento, e o trabalho será novamente positivo. Desse modo, o
trabalho total continua sendo dado pela equação (9) ou pela equação (10), mesmo quando X é negativo ou quando x1
ou x2, ou ambos, são negativos.
TEOREMA DO TRABALHO-ENERGIA PARA UM MOVIMENTO RETILÍNEO COM FORÇA VARIÁVEL
Já deduzimos o teorema do trabalho-energia, Wtot = K2 - K1, para o caso especial de um movimento retilíneo com
força resultante constante. Podemos agora provar que esse teorema também vale para o caso em que a força varia com
a posição. Vamos considerar uma partícula que sofre um deslocamento x quando submetida a uma força resultante cujo
componente x é Fx, que agora é variável. Como na figura 11, dividimos o deslocamento total x em um grande número de
pequenos deslocamentos Δx. Podemos aplicar o teorema do trabalho-energia, equação (6), para cada segmento porque
o valor de Fx em cada pequeno segmento é aproximadamente constante. A variação da energia cinética no segmento
Δxa é igual ao trabalho Fax Δxa e assim por diante. A variação total da energia cinética é a soma das variações da energia
cinética nos segmentos individuais e, portanto, é igual ao trabalho total realizado sobre a partícula no deslocamento
9
total. Desse modo, a fórmula Wtot = ΔK permanece válida tanto no caso de uma força constante quanto no caso em que
a força varia.
Agora vamos fazer uma dedução alternativa para o teorema do trabalho-energia para o caso em que a força
varia com a posição. Ela envolve uma troca da variável x para vx na integral do trabalho. De início, notamos que a
aceleração a de uma partícula pode ser expressa de vários modos, usando ax = dvx/dt, vx = dx/dt, e a regra da derivação
em cadeia:
ax 
dv x dv x dx
dv

 vx x
dt
dx dt
dx
[11]
Usando esse resultado na equação (7), vemos que o trabalho total realizado pela força resultante Fx é
x2

x2
x2


Wtot  Fx dx  max dx  mv x
x1
x1
x1
dv x
dx
dx
[12]
Agora (dvx/dx) dx é a variação de velocidade dvx durante o deslocamento dx, de modo que na equação (12) podemos
substituir dvx por (dvx/dx) dx. Com isso, a variável de integração muda de x para vx, portanto os limites de integração
devem ser trocados de x1 a x2 para os valores correspondentes de v1 a v2. Isso fornece
v2

Wtot  mv x dv x
v1
A integral de vx dvx é simplesmente igual a vx2/2. Substituindo os limites da integral, achamos finalmente
1
1
Wtot  mv22  mv12
2
2
[13]
Esse resultado é igual ao da equação (6), portanto o teorema do trabalho-energia permanece válido mesmo sem a
hipótese de que a força resultante é constante.
TEOREMA DO TRABALHO-ENERGIA PARA UM MOVIMENTO AO LONGO DE UMA CURVA
Podemos generalizar ainda mais nossa definição de trabalho de modo que inclua forças que variam em módulo,
direção e sentido, bem como deslocamentos ao longo de trajetórias curvas. Suponha que uma partícula se desloque de
um ponto P1 a um ponto P2 ao longo de uma curva, como indicado na figura 16a. Dividimos o segmento da curva entre

esses pontos em muitos vetores deslocamentos infinitesimais, e cada deslocamento típico será representado por d l .


Cada vetor d l é tangente à trajetória em cada posição considerada. Seja F a força em um ponto típico da trajetória


curva, e seja φ o ângulo entre F e d l neste ponto. Então, o pequeno elemento de trabalho dW realizado sobre a

partícula durante o deslocamento d l pode ser escrito como
 
dW = Fcosφdl = F‖dl = F  d l



onde F‖ = Fcosφ é o componente de F na direção paralela a d l (figura 16b). O trabalho total realizado por F sobre a
partícula enquanto ela se desloca de P1 a P2 é
P2
P2
P2
 
W  Fcos dl  Fdl  F  d l

P1

P1

[14]
P1

FIGURA 16 Uma força F que varia em módulo,
direção e sentido atua sobre uma partícula que se
desloca de um ponto P1 a um ponto P2 ao longo
de uma curva.
Podemos agora mostrar que o teorema do trabalho-energia, equação (6), permanece verdadeiro mesmo para o

caso de forças variáveis e deslocamentos ao longo de uma trajetória curva. A força F permanece essencialmente

constante em qualquer deslocamento infinitesimal d l ao longo da trajetória, de modo que podemos aplicar o teorema
do trabalho-energia no caso do movimento retilíneo para este deslocamento. Portanto, a variação da energia cinética K
 
da partícula nesse intervalo é igual ao trabalho dW = F‖dl = Fd l realizado sobre a partícula. Somando essas quantidades
infinitesimais de trabalho para todos os deslocamentos infinitesimais ao longo da trajetória, obtemos o trabalho total
realizado, equação (14), e isso é igual à variação total da energia cinética para a trajetória completa. Logo, Wtot = ΔK = K2
– K1 é um resultado geral, qualquer que seja a trajetória e qualquer que seja o caráter da força aplicada. Isso pode ser
demonstrado de modo mais rigoroso usando-se etapas como as descritas na dedução da equação (11) à equação (13).
10
Note que somente o componente da força resultante paralelo ao deslocamento, F‖ realiza trabalho sobre a
partícula, de modo que somente esse componente pode alterar a velocidade e a energia cinética da partícula. O
componente perpendicular à trajetória, FꞱ = Fsenφ, não produz nenhum efeito sobre o módulo da velocidade da
partícula; ele apenas altera a direção da velocidade da partícula.
A integral indicada na equação (14) denomina-se integral de linha. Para calcular essa integral em um problema

específico, necessitamos de uma descrição detalhada da trajetória e de como a força F varia ao longo da trajetória.
Geralmente expressamos a integral de linha em termos de alguma variável escalar.
5 POTÊNCIA
A definição de trabalho não faz nenhuma referência ao tempo. Quando você levanta verticalmente um haltere
pesando 100 N até uma altura de 1,0 m com velocidade constante, você realiza um trabalho de (100 N) (1,0 m) = 100 J,
independentemente de você levar 1 segundo, 1 hora ou 1 ano para realizá-lo. Contudo, muitas vezes precisamos saber
quanto tempo levamos para realizar um trabalho. Isso pode ser descrito pela potência. Na linguagem comum ‘potência’
em geral é sinônimo de ‘energia’ ou ‘força’. Na física, usamos uma definição muito mais precisa: potência é a taxa
temporal da realização de um trabalho. Assim como trabalho e energia, a potência é uma grandeza escalar.
Quando um trabalho ΔW é realizado durante um intervalo de tempo Δt, o trabalho médio realizado por unidade
de tempo ou potência média Pm é definido como
Pm 
W
t
[15]
A taxa de realização de um trabalho pode não ser constante. Podemos definir uma potência instantânea P como o limite
da razão indicada na equação (15) quando Δt tende a zero:
P  lim
t 0
W dW

t
dt
[16]
A unidade SI de potência é o watt (W), nome dado em homenagem ao inventor inglês James Watt. Um watt
equivale a um joule por segundo: 1 W = 1 J/s (figura 17). O quilowatt (1 kW = 103 W) e o megawatt (1 MW = 106 W)
também são unidades muito usadas.
FIGURA 17 O mesmo total de trabalho é realizado em cada uma destas situações, mas a potência (a taxa de realização
de um trabalho) é diferente.
No sistema inglês, o trabalho é expresso em pé-libras, e a unidade de potência é o pé-libra por segundo.
Algumas vezes, usa-se também uma unidade maior denominada horse-power (hp, que quer dizer ‘potência de cavalo’)
(figura 18):
1 hp = 550 pés.lb/s = 33000 pés.lb/min
Ou seja, um motor de 1 hp funcionando a plena capacidade produz 33000 pés.libras de trabalho por minuto. Um fator
de conversão útil é
1 hp = 746 W = 0,746 kW
FIGURA 18 O valor do horse-power deriva de experiências
conduzidas por James Watt, que mediu que um cavalo poderia
produzir 33000 pés-libra de trabalho por minuto ao içar carvão de
uma mina.
11
O watt é uma unidade familiar muito usada para potência elétrica; uma lâmpada de 100 W converte 100 J de
energia elétrica em luz e calor a cada segundo. Porém, não existe nada intrinsecamente elétrico nos termos watt e
quilowatt. Uma lâmpada pode ser avaliada em horse-power e o motor de um carro em quilowatt.
O quilowatt-hora (kW. h) é a unidade comercial de energia elétrica. Um quilowatt-hora é o trabalho total
realizado em 1 h (3600 s) quando a potência é de 1 quilowatt (103 J/s), logo
1 kW.h = (103 J/s)(3600 s) = 3,6.106 J = 3,6 MJ
O quilowatt-hora é uma unidade de trabalho ou de energia, não é uma unidade de potência.
Na mecânica, também podemos escrever a potência em função da força e da velocidade. Suponha que uma



força F atue sobre um corpo enquanto ele sofre um deslocamento vetorial d . Se F‖ for o componente da força F

tangente à trajetória (paralelo a d ), então o trabalho realizado por essa força será ΔW = F‖Δd; a potência média será
F d
d
Pm    F
 F vm
[17]
t
t
A potência instantânea P é o limite da potência média quando Δt → 0:
P = F‖v
[18]
onde v é o módulo da velocidade instantânea. Podemos também escrever a equação (18) em função do produto
escalar:
 
PF v
[19]
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. a) Caio exerce uma força uniforme de 210 N sobre o carro enguiçado como na figura abaixo, conforme o desloca por
uma distância de 18 m. O carro também está com um pneu furado, de modo que para manter o movimento retilíneo
Caio deve empurrá-lo a um ângulo de 30° em relação à direção do movimento. Quanto trabalho ele realiza?

b) Disposto a cooperar mais, Caio empurra outro carro enguiçado com uma força uniforme F  (160N)iˆ  (40N)jˆ . O

deslocamento do carro é d  (14m)iˆ  (11m)jˆ . Quanto trabalho Caio realiza neste caso?
SOLUÇÃO
a) Pela equação (2),
ΔW = Fdcosφ = (210)(18)cos30° = 3,3.103J


b) Os componentes de F são Fx = 160 N e Fy = - 40 N, e os componentes de d são x = 14 m e y = 11 m. (Não há
componente z para vetor algum.) Logo,
 
W  F  d  Fx x  Fy y  (160) (14)  (40) (11)  1,8.103 J
02. Um elétron se move em linha reta de oeste para leste com velocidade constante de 8.107 m/s. Sobre ele atuam
forças elétricas, magnéticas e gravitacionais. O trabalho total realizado sobre o elétron em um deslocamento de 1 m é
i) positivo;
ii) negativo;
iii) zero;
iv) não há informação suficiente para responder.
SOLUÇÃO
iii) O elétron possui velocidade constante, portanto sua aceleração é igual a zero e (de acordo com a segunda lei de
Newton) a força resultante sobre o elétron também é nula. Logo, o trabalho total realizado por todas as forças
(equivalente ao trabalho realizado pela força resultante) deve ser também, igual a zero. As forças individuais podem
produzir trabalho diferente de zero, mas essa não é a questão.
03. Um fazendeiro engata um trenó carregado de madeira ao seu trator e o puxa até uma distância de 20 m ao longo de
um terreno horizontal (figura a). O peso total do trenó carregado é igual a 14.700 N. O trator exerce uma força
12
constante de 5000 N, formando um ângulo de 36,9° acima da horizontal, como indicado na figura b. Existe uma força de
atrito de 3500 N que se opõe ao movimento. Calcule o trabalho que cada força realiza sobre o trenó e o trabalho total
realizado por todas as forças.
a)
b)
SOLUÇÃO
O trabalho realizado pelo peso Wp é igual a zero porque sua direção é perpendicular ao deslocamento. Pela mesma
razão, o trabalho realizado pela força normal Wn também é igual a zero. Logo, Wp = Wn = 0. Falta considerar a força FT
exercida pelo trator e a força de atrito f. Pela equação (2), o trabalho WT realizado pelo trator é
WT = FT d cosφ = (500) (20) (0,800) = 80000N.m = 80kJ

A força de atrito f possui sentido contrário ao do deslocamento, de modo que φ = 180° e cosφ = -1. O trabalho Wf
realizado pela força de atrito é
Wf = f d cos180° = (3500) (20) (-1) = - 70000N.m = -70kJ
O trabalho total Wtot realizado por todas as forças sobre o trenó é a soma algébrica do trabalho que cada força realiza:
Wtot = Wp + Wn + WT + Wf = 0 + 0 + 80kJ + (-70kJ) = 10kJ
No método alternativo, inicialmente calculamos a soma vetorial de todas as forças que atuam sobre o corpo (ou seja, a
força resultante) e a seguir usamos essa soma vetorial para achar o trabalho total. A soma vetorial pode ser mais
facilmente calculada usando-se os componentes. Pela figura b
∑Fx = FT cosφ + (-f) = (500) (cos36,9°) - 3500 = 500N
∑Fy = FT senφ + (n) + (-W) = (500) (sen36,9°) + n – 14,7
Nós não precisamos de fato da segunda equação; sabemos que o componente y da força é perpendicular ao
deslocamento, logo ela não realiza trabalho. Além disso, não existe aceleração no eixo Oy e de qualquer forma o
trabalho é nulo, pois ∑Fy é mesmo igual a zero. Logo, o trabalho total é dado pelo trabalho da força resultante no eixo
Ox:
 
Wtot  F  d  F d  (500) (20)  10000J


x
Nós obtemos o mesmo resultado tanto para Wtot quanto para o encontrado calculando-se o trabalho que cada força
realizou separadamente.
04. Considerando o exercício resolvido anterior, suponha que a velocidade inicial v1 é 2,0 m/s. Qual é a velocidade
escalar do trenó após um deslocamento de 20 m?
SOLUÇÃO
A figura abaixo mostra nosso desenho para este caso. A direção do movimento está no sentido positivo de x.
No exercício resolvido anterior, encontramos para o trabalho total de todas as forças: Wtot = 10 kJ, de modo que a
energia cinética do trenó carregado deve aumentar em 10 kJ. Para escrever as expressões para as energias cinéticas
inicial e final, necessitamos da massa do trenó e de sua carga. Sabemos que o peso é 14.700 N, portanto a massa é
m
p 14700

 1500kg
g
9,8
Então, a energia cinética inicial K1 é dada por
1
1
K1  mv12  (1500)(2)2  3000kg.m2 / s2  3000J
2
2
A energia cinética final K2 é
1
1
K2  mv22  (1500)v22
2
2
13
onde v2 é a velocidade desconhecida que desejamos calcular. A equação (6) fornece
K2 = K1 + Wtot = 3000 + 10000 = 13000J
Igualando as duas relações anteriores de K2, substituindo 1 J = 1 kg .m2/s2 e explicitando v2, achamos v2 = 4,2m/s.
05. Em um bate-estaca, um martelo de aço de 200 kg é elevado até uma altura de 3,0 m acima do topo de uma viga
vertical que deve ser cravada no solo (figura abaixo). A seguir, o martelo é solto, enterrando mais 7,4 cm a viga. Os
trilhos verticais que guiam a cabeça do martelo exercem sobre ele uma força de atrito constante igual a 60 N. Use o
teorema do trabalho-energia para achar
a) a velocidade da cabeça do martelo no momento em que atinge a viga e
b) a força média exercida pela cabeça do martelo sobre a mesma viga. Despreze os efeitos do ar.
SOLUÇÃO
A figura (a) mostra as forças verticais que atuam sobre a cabeça do martelo em sua queda livre, do ponto 1 ao ponto 2.
(Podemos desprezar qualquer força horizontal que porventura exista, porque ela não realiza nenhum trabalho, uma vez
que a cabeça do martelo se move verticalmente.) Nesta parte do movimento, nossa incógnita é a velocidade escalar v2
da cabeça do martelo. A figura (b) mostra as forças verticais que atuam sobre a cabeça do martelo durante o
movimento do ponto 2 ao ponto 3. Além das forças mostradas na figura (a), a viga exerce uma força normal de baixo
para cima com módulo n sobre a cabeça do martelo. Na verdade, essa força varia até a cabeça do martelo parar, mas
para simplificar vamos tratar n como uma constante. Portanto, n representa o valor médio dessa força de baixo para
cima durante o movimento. Nossa incógnita para esta parte do movimento é a força que a cabeça do martelo exerce
sobre a viga; é a força de reação à força normal exercida pela viga e, portanto, pela terceira lei de Newton, seu módulo
também é n.
a) Do ponto 1 ao ponto 2, as forças verticais são o peso de cima para baixo p = mg = (200 kg) (9,8 m/s2) = 1960 N e a
força de atrito de baixo para cima f = 60 N. Logo, a força resultante de cima para baixo é p – f = 1900 N. O deslocamento
da cabeça do martelo de cima para baixo do ponto 1 ao ponto 2 é d12 = 3,0 m. Portanto, o trabalho total quando a
cabeça do martelo vai do ponto 1 ao ponto 2 é
Wtot = (p – f)d12 = (1900) (3) = 5700J
No ponto 1, a cabeça do martelo está em repouso, então sua energia cinética inicial K1 é igual a zero. Logo, a energia
cinética K2 no ponto 2 equivale ao trabalho total realizado sobre a cabeça do martelo entre os pontos 1 e 2:
14
1
Wtot  K2  K1  K2  0  mv22  0
2
2Wtot
2(5700)
v2 

 7,55m / s
m
200
Esse é o valor da velocidade da cabeça do martelo no ponto 2, no momento em que ele atinge a viga.
b) No deslocamento de cima para baixo da cabeça do martelo, entre os pontos 2 e 3, a força resultante de cima para
baixo que atua sobre ele é p – f – n (figura b). O trabalho total realizado sobre a cabeça do martelo durante esse
deslocamento é
Wtot = (p – f - n)d23
A energia cinética inicial para essa parte do movimento é K2, que pelo item (a) equivale a 5700 J. A energia cinética final
é K3 = 0, uma vez que a cabeça do martelo termina em repouso. Então, pelo teorema do trabalho-energia
Wtot  (p  f  n)d23  K3  K2
npf 
K 3  K2
d23
n  1960  60 
0  5700
 79000N
0,074
A força que a cabeça do martelo exerce de cima para baixo sobre a viga possui esse mesmo módulo, 79000 N (cerca de
9 toneladas) — mais de 40 vezes o peso da cabeça do martelo.
06. Dois barcos que deslizam no gelo apostam corrida sobre um lago horizontal sem atrito (figura abaixo). Os barcos
possuem massas m e 2m, respectivamente. A vela de um barco é idêntica à do outro, de modo que o vento exerce a

mesma força constante F sobre cada barco. Os dois barcos partem do repouso e a distância entre a partida e a linha de
chegada é igual a d. Qual dos dois barcos chegará ao final da linha com a maior energia cinética?
SOLUÇÃO
Se você simplesmente usasse a definição matemática de energia cinética K = ½ mv2, da equação (5), a resposta deste
problema não seria óbvia. O barco de massa 2m possui massa maior, de modo que você poderia pensar que ele teria a
maior energia cinética no final da linha. Porém, o barco menor, de massa m, cruzaria a linha de chegada com velocidade
maior, e você poderia pensar que ele teria a maior energia cinética no final da linha. Como podemos decidir?
O método correto para resolvermos este problema é lembrarmos que a energia cinética de uma partícula é igual ao
trabalho total realizado para acelerá-la a partir do repouso até sua velocidade presente. Os dois barcos percorrem o
mesmo deslocamento d, e somente a força horizontal F, paralela ao deslocamento, realiza trabalho sobre os dois
barcos. Logo, o trabalho total realizado entre os pontos inicial e final é o mesmo para cada barco, Wtot = Fd. Na linha
final, cada barco possui uma energia cinética igual ao trabalho total Wtot realizado sobre ele, porque os barcos partiram
do repouso. Logo, os dois barcos possuem a mesma energia cinética na linha de chegada!
Você poderia supor que esta questão envolve uma ‘pegadinha’, mas não se trata disto. Ao entender realmente o
significado físico de grandezas como a energia cinética, você poderá resolver os problemas mais facilmente e com
melhor interpretação da física. Note que não dissemos nada sobre o tempo que cada barco leva até chegar ao final da
linha. Isso porque o teorema do trabalho-energia não faz nenhuma referência ao tempo; somente o deslocamento é
importante para o trabalho. Na verdade, o barco de massa m leva menos tempo para chegar à linha de chegada do que
o barco de massa 2m, devido à sua maior aceleração.
07. Classifique os seguintes corpos por ordem da sua energia cinética, da menor para a maior.
i) um corpo de 2,0 kg movendo-se a 5,0 m/s;
ii) um corpo de 1,0 kg inicialmente em repouso, que passa a ter realizado sobre si 30 J de trabalho;
iii) um corpo de 1,0 kg inicialmente movendo-se a 4,0 m/s e que passa a ter 20 J de trabalho realizado sobre si;
iv) um corpo de 2,0 kg inicialmente movendo- se a 10 m/s e que passa a realizar um trabalho de 80 J sobre outro corpo
SOLUÇÃO
(iv), (i), (iii) e (ii)
15
O corpo (i) possui energia cinética K = ½ mv2 = ½ (20)(5)2 = 25 J. O corpo (ii) possuía energia cinética inicial igual a zero e
depois 30 J de trabalho realizado, portanto sua energia cinética final é K2 = K1 + W = 0 + 30 J = 30 J. O corpo (iii) possuía
energia cinética inicial K1 = ½ mv2 = (1)(4)2 = 8,0 J e, depois, teve 20 J de trabalho realizado sobre ele, portanto sua
energia cinética final é K2 = K1 + W = 8,0 J + 20 J = 28 J. O corpo (iv) possuía energia cinética inicial K1 = ½ mv2 = (2)(10)2 =
100 J; quando ele produziu 80 J de trabalho sobre outro corpo, o outro corpo produziu -80 J de trabalho sobre o corpo
(iv), portanto a energia cinética final do corpo (iv) é K2 = K1 + W = 100 J + (-80) J = 20 J.
08. Uma mulher pesando 600 N está em pé sobre uma balança de mola contendo uma mola rígida (figura abaixo).
No equilíbrio, a mola está comprimida 1,0 cm sob a ação do seu peso. Calcule a constante da mola e o trabalho total
realizado pela força de compressão sobre a mola.
SOLUÇÃO
Consideramos valores de x positivos para o alongamento da mola (de baixo para cima como na figura), de modo que o
deslocamento da mola (x) e o componente x da força que a mulher exerce sobre ela (Fx) sejam ambos negativos.
O topo da mola é deslocado por x = -1,0 cm = - 0,010 m, e a força que a mulher realiza sobre a mola é Fx = –600 N. Pela
equação (8), a força constante é
k
Fx
600

 6.104 N / m
x 0,010
Então, usando x1 = 0 e x2 = -0,010 m na equação (10),
1
1
1
W  kx22  kx12  (6.104 ) (0,010)2  0  3J
2
2
2
09. Um cavaleiro com 0,100 kg de massa está ligado à extremidade de um trilho de ar horizontal por uma mola cuja
constante é 20,0 N/m (ver figura abaixo).
Inicialmente a mola não está esticada e o cavaleiro se move com velocidade igual a 1,50 m/s da esquerda para a direita.
Ache a distância máxima d que o cavaleiro pode se mover para a direita
a) supondo que o ar esteja passando no trilho e o atrito seja desprezível e
b) supondo que o ar não esteja fluindo no trilho e o coeficiente de atrito cinético seja μc = 0,47.
SOLUÇÃO
Na figura a, escolhemos a direção positiva de x como sendo da esquerda para a direita (na direção do movimento do
cavaleiro). Consideramos x = 0 na posição inicial do cavaleiro (quando a mola não está esticada) e x = d (a variável-alvo)
na posição onde o cavaleiro para. O movimento é exclusivamente horizontal, logo somente forças horizontais realizam
trabalho. Note que a equação (10) fornece o trabalho realizado sobre a mola quando ela é esticada, mas para usar o
teorema do trabalho-energia necessitamos do trabalho realizado pela mola sobre o cavaleiro - que é a negativa da
equação (10).
16
a) Quando o cavaleiro se move de x1 = 0 para x2 = d, ele produz trabalho sobre a mola conforme é dado pela equação
(10): W = ½ kd2 – ½ k(0)2 = ½ kd2. O total de trabalho realizado pela mola sobre o cavaleiro é a negativa desse valor, ou
seja, - ½ kd2. Amola estica até que o cavaleiro fique momentaneamente em repouso, de modo que a energia cinética
final do cavaleiro K2 é igual a zero. A energia cinética inicial do cavaleiro é igual a ½ mv12 onde v1 = 1,50 m/s é a
velocidade escalar inicial do cavaleiro. Usando o teorema do trabalho-energia, obtemos
1
1
 kd2  0  mv12
2
2
Portanto, a distância d percorrida pelo cavaleiro é:
d  v1
m
0,100
 1,5
 0,106m  10,6cm
k
20,0
Em seguida, a mola esticada puxa o cavaleiro de volta para a esquerda, de modo que o repouso é apenas instantâneo.
b) Quando o ar não circula, devemos incluir também o trabalho realizado pela força constante de atrito cinético. A força
normal n possui módulo igual ao peso do cavaleiro, visto que o trilho é horizontal e não existe nenhuma outra força
vertical. O módulo da força de atrito cinético é então fc = μcn = μcmg. A força de atrito se opõe ao deslocamento, logo o
trabalho realizado pela força de atrito é
Watr = fc d cos180° = - fc d = - μcmgd
O trabalho total é a soma de Watri com o trabalho realizado pela mola, ou seja, - ½ kd2. Portanto, de acordo com o
teorema do trabalho- energia
1
1
kmgd  kd2  0  mv12
2
2
1
1
(0,47) (0,100) ((9,8)d  (20)d2   (0,100) (1,5)2
2
2
2
10d  0,461d  0,113  0
Essa é uma equação do segundo grau para d. As duas soluções dessa equação são
d = 0,086m ou - 0,132m
Usamos o símbolo d para designar um deslocamento positivo, de modo que somente o valor do deslocamento positivo
faz sentido. Logo, considerando o atrito, o cavaleiro se desloca até uma distância
d = 0,086 m = 8,6 cm
10. Em um piquenique familiar você foi designado a empurrar seu primo chato, João, em um balanço (ver figura abaixo).
Seu peso é p; o comprimento da corrente é R e você empurra João até que as correntes façam um ângulo θ0 com a

vertical. Para isso, você empurra com uma força horizontal variável F que começa em zero e cresce gradualmente até
um valor suficiente para que João e o balanço movam-se lentamente e permaneçam aproximadamente em equilíbrio.
Qual é o trabalho total realizado por todas as forças sobre João? Qual é o trabalho realizado pela tensão T nas

correntes? Qual é o trabalho que você realiza ao exercer a força variável F ? (Despreze o peso das correntes e do
assento.)
SOLUÇÃO
A figura a seguir mostra o diagrama do corpo livre e o sistema de coordenadas. Substituímos as tensões nas duas
correntes por uma tensão única T.
Diagrama do corpo liver para João (desprezando-se o peso das correntes)
17
Há duas formas de calcular o trabalho total realizado durante o movimento: (1) calcular o trabalho total de cada força e
depois somar todos os totais e (2) calcular o trabalho realizado pela força resultante. O segundo método é muito mais
fácil neste caso porque João está em equilíbrio em cada ponto. Portanto, a força resultante sobre ele é igual a zero, a
integral da força resultante na equação (14) é igual a zero e o trabalho total realizado por todas as forças é igual a zero.
Também é fácil determinar o trabalho total pela tensão das correntes sobre João porque essa força é perpendicular ao

deslocamento d l em todos os pontos da trajetória. Logo, em todos os pontos, o ângulo entre a tensão das correntes e o
deslocamento é igual a 90° e o produto escalar na equação (14) é igual a zero. Portanto, o trabalho realizado pela

tensão nas correntes é igual a zero. Para calcularmos o trabalho que você realiza ao exercer a força F , devemos
descobrir como ela varia em função do ângulo θ. A força resultante sobre João é nula; logo, ∑Fx = 0 e ∑Fy = 0.
Pela figura, obtemos
∑Fx = F + (-Tsenθ) = 0
∑Fy = Tcosθ + (-p) = 0
Eliminando T dessas duas equações, encontramos
F = ptgθ

O ponto de aplicação da força F oscila no interior do arco d. O comprimento do arco d é igual ao raio R da circunferência

multiplicado pelo ângulo (em radianos), logo s = Rθ. Embora o deslocamento d l corresponda a uma pequena variação

de ângulo, dθ possui módulo dado por dl = ds = Rdθ. O trabalho realizado por F é
 
W  F  d l  Fcos  ds


Agora expressamos essas grandezas em termos do ângulo variável θ, cujo valor aumenta de 0 para θ0:
0
0


W  (ptg) cos  (Rd)  pR sen d  pR(1  cos 0 )
0
0
11. A força exercida num objeto é F(x) = F0(x/x0 -1). Calcule o trabalho realizado para deslocar o objeto de x = 0 até x =
2x0
a) fazendo um gráfico de F(x) e determinando a área sob a curva e
b) calculando a integral analiticamente.
SOLUÇÃO
a) A expressão de F(x) diz-nos que a força varia linearmente com x. Supondo x0 > 0, escolhemos dois pontos
convenientes para, através deles, desenhar uma linha reta.
Para x = 0 temos F = - F0 enquanto que para x = 2x0 temos F = F0, ou seja devemos desenhar uma linha reta que passe
pelos pontos (0, -F0) e (2x0, F0). Faça a figura!
Olhando para a figura vemos que o trabalho total é dado pela soma da área de dois triângulos: um que vai de x = 0 até x
= x0, o outro indo de x = x0 até x = 2x0.
Como os dois triângulos tem a mesma área, sendo uma positiva, a outra negativa, vemos que o trabalho total é ZERO.
b) Analiticamente, a integral nos diz que
2x 0
 x

W= F0   1  dx
 x0

0

2x 0
 x2

F0 
x  0
 2x 0
0
12. Cada um dos dois motores a jato de um avião Boeing 767 desenvolve uma propulsão (força que acelera o avião)
igual a 197000 N. Quando o avião está voando a 250 m/s (900 km/h), qual é a potência instantânea que cada motor
desenvolve?
SOLUÇÃO
Usaremos a equação (18). A propulsão está no mesmo sentido da velocidade, de modo que é exatamente igual à
propulsão. Em v = 250 m/s, a potência desenvolvida por cada motor é
P = F‖v = (1,97.105) (250) = 4,93.107 W = 4,93.107 W (1hp/746 W) = 66000 hp
13. O ar que circunda um avião em voo exerce uma força de arraste que atua em oposição ao movimento do avião.
Quando o Boeing 767 do exercício resolvido anterior está voando em linha reta, a altitude constante e velocidade
constante de 250 m/s, qual é a taxa em que a força de arraste produz trabalho sobre ele?
18
SOLUÇÃO
O avião possui velocidade horizontal constante, portanto a força resultante horizontal sobre ele deve ser igual a zero.
Logo, a força de arraste para trás deve ter o mesmo módulo que a força para a frente, devido à propulsão combinada
dos dois motores. Isso significa que a força de arraste deve produzir trabalho negativo sobre o avião à mesma taxa com
que a força da propulsão combinada produz trabalho positivo. A propulsão combinada realiza trabalho a uma taxa de 2
(66000 hp) = 132000 hp; logo, a força de arraste deve realizar trabalho à taxa de -132000 hp.
14. Uma velocista de Chicago com massa de 50,0 kg sobe correndo as escadas da Torre Sears em Chicago, o edifício mais
alto dos Estados Unidos, com altura de 443 m (ver figura abaixo).
Para que ela atinja o topo em 15,0 minutos qual deve ser sua potência média em watts? E em quilowatts? E em horsepower?
SOLUÇÃO
O trabalho realizado para elevar a massa m contra a gravidade é igual ao peso mg multiplicado pela altura h. Logo, o
trabalho realizado por ela é
W = mgh = (50) (9,8) ( 443) = 2,17.105 J
O tempo é 15,0 min 900 s; logo, pela equação (15), sua potência média é
2,17.105
Pm 
 241 W  0,241kW  0,323 hp
900
Um método alternativo consiste em usar a equação (17). A força exercida é vertical, e o componente vertical do módulo
da velocidade média é dado por (443 m)/(900 s) = 0,492 m/s; portanto, a potência média é
P = F‖vm = (mg) (vm) = (50) (9,8) (0,492) = 241 W, cujo resultado é igual ao anterior.
15. A força (mas não a potência) necessária para rebocar um barco com velocidade constante é proporcional à velocidade. Se são necessários 10 hp para manter uma velocidade de 4 km/h, quantos cavalos-vapor são necessários para
manter uma velocidade de 12 km/h?
SOLUÇÃO
Como o problema afirma que a força é proporcional à velocidade, podemos escrever que a força é dada por F = αv, onde
v é a velocidade e α é uma constante de proporcionalidade. A potência necessária é P = Fv = αv2.
Esta fórmula nos diz que a potência associada a uma velocidade v1 é P1 = αv21 e a uma velocidade v2 é P2 = αv22.
Portanto, dividindo-se P2 por P1 podemos nos livrar da constante α desconhecida, obtendo que
2
v 
P2   2  P1
 v1 
Para P1 = 10 hp e v2 = 3v1, vemos sem problemas que
2
 12 
P2    10  90hp
 4 
EXERCÍCIOS PARA RESOLVER
01. Explique por que uma pessoa fica fisicamente cansada quando ela empurra uma parede, mas não consegue movê-la
e, portanto, não realiza nenhum trabalho sobre a parede.
02. Suponha que três forças constantes estejam agindo sobre uma partícula enquanto esta move-se de uma posição
para outra. Prove que o trabalho realizado sobre a partícula pela resultante destas três forças é igual à soma do trabalho
realizado por cada uma destas três forças calculada separadamente.
19
03. Você vagarosamente levanta uma bola de boliche do chão e coloca-a sobre uma mesa. Duas forças agem sobre a
bola: o peso dela, de intensidade mg, e a sua força para cima, também de intensidade mg. A soma destas duas forças é
igual a zero, de modo que parece que nenhum trabalho é realizado. Por outro lado, você sabe que você realizou algum
trabalho. O que está errado?
04. Um bloco de massa m = 2,50 kg é empurrado por uma distância d = 2,20 m, ao longo de uma mesa horizontal sem
atrito, por uma força aplicada constante de módulo F = 16,0 N com direção em um ângulo θ = 25,0° abaixo da
horizontal, como mostrado na figura.
Determine o trabalho realizado sobre o bloco pela
a) força aplicada,
b) força normal exercida sobre a mesa,
c) força gravitacional e
d) força resultante sobre o bloco.
05. Para empurrar um caixote de 50 kg num piso sem atrito, um operário aplica uma força de 210 N, dirigida 20° acima
da horizontal. Se o caixote se desloca de 3 m, qual o trabalho executado sobre o caixote
a) pelo operário,
b) pelo peso do caixote e
c) pela força normal exercida pelo piso sobre o caixote?
d) Qual o trabalho total executado sobre o caixote?
06. Um saco de farinha de 5,00 kg é elevado verticalmente com uma velocidade constante de 3,5 m/s até uma altura de
150 m.
a) Qual o módulo da força necessária?
b) Qual o trabalho realizado por essa força sobre o saco? Em que se transforma esse trabalho?
07. Um pintor de 75,0 kg sobe uma escada com 2,75 m de comprimento apoiada em uma parede vertical. A escada
forma um ângulo de 30,0° com a escada.
a) Quanto trabalho a gravidade realiza sobre o pintor?
b) A resposta ao item (a) depende do fato de o pintor subir a uma velocidade escalar constante ou acelerar escada
acima?
08. Dois rebocadores puxam um navio petroleiro. Cada rebocador exerce uma força constante de 1,80 . 106 N, uma a
14° na direção noroeste e outra a 14° na direção nordeste, e o petroleiro é puxado até uma distância de 0,75 km do sul
para o norte. Qual é o trabalho total realizado sobre o petroleiro?
09. Um bloco de 10 kg, sustentado por uma força horizontal de 50 N, desce desde A até B com velocidade constante de
2 m/s. (Use g = 10 m/s2)

a) Qual o trabalho realizado pela força F no trecho AB?
b) Qual o trabalho realizado pelo peso no trecho AB?
c) Qual o trabalho total realizado pela força de atrito no trecho AB?
d) Qual o valor da força de atrito dinâmica?
20
10. Considere um corpo de massa 20 kg, homogêneo, em forma de paralelepípedo, como ilustrado abaixo.
O corpo, inicialmente apoiado sobre sua maior face (figura 1), é erguido por um operador, ficando apoiado sobre sua
menor face (figura 2). Sendo g = 10 m · s–2, calcule o trabalho da força do operador no erguimento do corpo.
11. Três blocos B1, B2 e B3 de mármore, de mesma massa específica ρ e mesma área de secção transversal A têm alturas
respectivamente iguais a h1, h2 e h3, sendo h1 > h2 > h3. Eles estão inicialmente no solo horizontal, repousando sobre
suas bases. Em seguida são empilhados, formando uma coluna de altura h = h1 + h2 + h3. A aceleração da gravidade é g.
Determine o trabalho realizado na operação de empilhar.
12. Quando um corpo de 4,00 kg é pendurado verticalmente em uma mola leve que obedece à lei de Hooke, a mola se
distende 2,50 cm. Se o corpo de 4,00 kg é removido,
a) a que distância a mola é distendida se um corpo de 1,50 kg é pendurado nela?
b) Quanto trabalho um agente externo deve realizar para distender a mesma mola 4,00 cm de sua posição relaxada?
13. Um arqueiro puxa a corda de seu arco para trás 0,400 m exercendo uma força que aumenta uniformemente de zero
a 230 N.
a) Qual é a constante elástica equivalente do arco?
b) Quanto trabalho o arqueiro realiza sobre a corda ao tracionar o arco?
14. Um bloco de 5,0 kg se move com v0 = 6,0 m/s sobre uma superfície horizontal sem atrito, dirigindo-se contra uma
mola cuja constante é dada por k = 500 N/m e que possui uma de suas extremidades presa a uma parede (figura
abaixo). A massa da mola é desprezível.
a) Calcule a distância máxima que a mola pode ser comprimida.
b) Se a distância máxima que a mola pudesse ser comprimida fosse de 0,150 m, qual seria o valor máximo de v0?
15. Você atira uma rocha de 20 N verticalmente para o ar a partir do nível do solo. Você observa que, quando alcança
15,0 m acima do solo, ela se desloca a 25,0 m/s de baixo para cima. Use o teorema do trabalho-energia para calcular
a) a velocidade escalar da rocha assim que deixou o solo e
b) sua altura máxima.
16. Um carro é parado em uma distância D por uma força de atrito constante que não depende da sua velocidade. Qual
é o fator de variação da distância (em termos de D) que ele leva até parar
a) quando sua velocidade inicial é triplicada? e
b) se a velocidade escalar for a mesma que a original, porém a força de atrito é triplicada?
17. Como parte de seu exercício diário, o Professor Gomes deita de costas e empurra com seus pés uma plataforma
ligada a duas molas duras dispostas de modo que elas fiquem paralelas. Quando o Professor Gomes empurra a
plataforma, comprime as molas. O Professor Gomes realiza 80,0 J de trabalho para comprimir as molas 0,200 m a partir
do seu comprimento sem deformação.
a) Qual é o módulo da força que o Professor Gomes deve aplicar para manter a plataforma nessa posição?
b) Qual é a quantidade adicional de trabalho que o Professor Gomes deve realizar para mover a plataforma mais 0,200
m e qual é a força máxima que o Professor Gomes deve aplicar?
18. Um cabo uniforme, de massa M e comprimento L, está inicialmente equilibrado sobre uma pequena polia de massa
desprezível, com a metade do cabo pendente de cada lado da polia. Devido a um pequeno desequilíbrio, o cabo começa
21
a deslizar para uma de suas extremidades, com atrito desprezível. Com que velocidade o cabo está se movendo quando
a sua outra extremidade deixa a polia?
19. Uma única força atua sobre um objeto de 3,0 kg que se comporta como uma partícula de tal forma que a posição do
objeto em função do tempo é dada por x = 3,0t - 4,0t2 + 1,0t3, com x em metros e t em segundos. Determine o trabalho
realizado pela força sobre o objeto de t = 0 a t = 4,0 s.
20. No vagão de um trem que se move uniformemente um homem atua com uma força F sobre uma mola estendida.
O trem percorreu o trajeto L. Que trabalho realiza o homem no sistema de coordenadas relacionado à terra?
21. Uma corda é usada para fazer descer verticalmente um bloco, inicialmente em repouso, de massa M com uma
aceleração constante g/4.
Depois que o bloco desceu uma distância d, calcule
a) o trabalho realizado pela corda sobre o bloco,
b) o trabalho realizado sobre o bloco pelo seu peso,
c) a energia cinética do bloco e
d) a velocidade do bloco.
22. Um martelo de massa M atinge um prego com velocidade v, fazendo-o enterrar-se de uma profundidade ℓ numa
prancha de madeira. Usando a relação entre trabalho e energia cinética, obtenha a força média exercida sobre o prego.
23. Uma bola de massa m cai de uma altura H e, após bater no chão, chega a uma altura máxima (4/5)H.
a) Calcule o trabalho feito pela força de contato entre a bola e o chão.
b) Que fração da energia inicial ele representa?
24. Uma partícula de massa m = 10 kg acha-se em repouso na origem do eixo Ox, quando passa a agir sobre ela uma
força resultante F , paralela ao eixo. De x = 0 a x = 4,0 m, a intensidade de F é constante, de modo que F = 120 N. De x =
4,0 m em diante, F adquire intensidade que obedece à função:
F = 360 – 60x (SI)
a) Trace o gráfico da intensidade de F em função de x.
b) Determine a velocidade escalar da partícula no ponto de abscissa x = 7,0 m.
25. Uma melancia de 4,80 kg é largada (sem velocidade inicial) da extremidade do telhado de um edifício a uma altura
de 25,0 m. A resistência do ar é desprezível.
a) Calcule o trabalho realizado pela gravidade sobre a melancia durante seu deslocamento do telhado ao solo.
b) Imediatamente antes de a melancia colidir com o solo, qual é (i) sua energia cinética; e (ii) sua velocidade escalar?
c) Qual das respostas nos itens (a) e (b) seria diferente se a resistência do ar fosse significativa?
22
26. Você atira uma rocha de 20 N verticalmente para o ar a partir do nível do solo. Você observa que, quando alcança
15,0 m acima do solo, ela se desloca a 25,0 m/s de baixo para cima. Use o teorema do trabalho-energia para calcular
a) a velocidade escalar da rocha assim que deixou o solo e
b) sua altura máxima.
27. Um elétron em movimento possui energia cinética K1. Depois da realização de um trabalho W total sobre ele, o
elétron passa a se mover com uma velocidade quatro vezes menor em um sentido contrário ao inicial.
a) Calcule W em termos de K1.
b) Sua resposta depende da direção final do movimento do elétron?
28. É necessário realizar um trabalho de 12,0 J para esticar 3,0 cm uma mola a partir do seu comprimento sem
deformação.
a) Qual é a constante de força dessa mola?
b) Qual o módulo de força necessário para alongar a mola em 3,0 cm a partir do seu comprimento sem deformação?
c) Calcule o trabalho necessário para esticar 4,0 cm essa mola a partir do seu comprimento sem deformação e qual força
é necessária para alongá-la nessa distância.
29. a) Suponha que você corte pela metade uma mola ideal sem massa. Se a mola inteira possuía uma constante elástica
k, qual é a constante elástica de cada metade, em termos de k? (Sugestão: pense na mola original como duas metades
iguais, cada uma produzindo a mesma força que a mola inteira. Você sabe por que as forças devem ser iguais?)
b) Se você cortar a mola em três partes iguais, qual é a constante elástica de cada parte, em termos de k?
30. Um pedreiro engenhoso montou um dispositivo que dispara tijolos até a altura da parede onde ele está
trabalhando. Ele coloca o tijolo comprimindo uma mola vertical com massa desprezível e constante da mola k = 450
N/m. Quando a mola é liberada, o tijolo é disparado de baixo para cima. Sabendo que o tijolo possui massa de 1,80 kg e
que ele deve atingir uma altura máxima de 3,6 m acima de sua posição inicial sobre a mola comprimida, qual é a
distância que a mola deve ser inicialmente comprimida? (O tijolo perde o contato com a mola no instante em que a
mola retorna ao seu comprimento sem deformação. Por quê?)
31. As molas A e B são idênticas, exceto pelo fato de que A é mais rígida do que B, isto é kA > kB. Qual das duas molas
realiza um trabalho maior
a) quando elas sofrem o mesmo deslocamento e
b) quando elas são distendidas por forças iguais.
32. Uma mola possui uma constante elástica de 15,0 N/cm.
a) Qual é o trabalho necessário para estender a mola de 7,60 mm desde a sua posição relaxada?
b) Qual é o trabalho necessário para estender a mola de um valor adicional de 7,60 mm?
33. Uma mola “rígida” tem uma lei de força dada por F = – kx3. O trabalho necessário para distender a mola desde a sua
posição relaxada x = 0 até ao comprimento distendido x = L é Wo. No que diz respeito a Wo, qual é o trabalho necessário
para distender a mola do comprimento distendido L até ao comprimento 2L?
34. Observa-se que uma certa mola não obedece à Lei de Hooke. A força (em Newtons) que ela exerce quando esticada
de uma distância x (em metros) possui uma intensidade igual a 52,8x + 38,4x2 na direção contrária ao alongamento.
a) Calcule o trabalho necessário para alongar a mola de x = 0,50 m até 1,00 m.
b) Com uma das extremidades da mola fixa, uma partícula de massa igual a 2,17 kg é presa à outra extremidade da mola
quando esta é esticada de uma distância x = 1,00 m. Se a partícula for solta do repouso neste instante, qual será a sua
velocidade no instante em que a mola tiver retornado à configuração na qual seu alongamento é de x = 0,50 m?
c) A força exercida pela mola é conservativa ou não-conservativa? Explique.
35. A força que age sobre uma partícula é Fx = (8x - 16),onde F está dada em newtons, e x em metros,
23
a) Trace um gráfico dessa força em função de x de x = 0 a x = 3,00 m.
b) Em seu gráfico, encontre o trabalho resultante realizado por essa força sobre a partícula quando ela se move de x = 0
a x = 3,00 m.
36. Uma partícula de massa igual a 2 kg desloca-se ao longo de uma reta. Entre x = 0 e x = 7 m ela está sujeita à força
F(x) representada no gráfico da figura. Calcule a velocidade da partícula depois de percorrer 2, 3, 4, 6 e 7 m, sabendo
que sua velocidade para x = 0 é de 3 m/s.
37. O Professor Gomes usou um sistema de roldanas para elevar uma lata com 45 litros de água até uma altura de 15
metros. Entretanto, o Professor Gomes não percebeu que a lata estava furada e perdia água com uma vazão
aproximadamente constante, até que quando chegou lá no topo, restavam no recipiente cerca de 2/3 da quantidade de
água inicial.
a) Faça um esboço do gráfico do peso da lata com água P (N) em função da altura percorrida h(m).
b) Qual foi o trabalho realizado pelo Professor Gomes para elevar a lata até o topo?

38. Qual o trabalho realizado por uma força dada em Newtons por F  2xiˆ  3jˆ , onde x está em metros, que é exercida

sobre uma partícula enquanto ela se move da posição, em metros, r1  2iˆ  3jˆ para a posição (em metros)

r2   4iˆ  3jˆ .
39. Uma corrente é mantida sobre uma mesa sem atrito, ficando um quarto do seu comprimento dependurado na
borda (veja figura). O comprimento da corrente é L e sua massa m; que trabalho é necessário para puxar para o tampo
da mesa a parte dependurada?
40. Um bloco de 5,0 kg se move em linha reta sobre uma superfície horizontal sem atrito sob influência de uma força
que varia com a posição, como mostra a figura. Qual é o trabalho realizado pela força quando o bloco se move desde a
origem até x = 8,0 m?


41. Uma partícula se move no plano xy, sob a ação da força F1  10yiˆ  10xjˆ , onde F1 e medido é N, e x em m.

a) Calcule o trabalho realizado por F1 ao longo do quadrado indicado na figura abaixo.

b) Faça o mesmo para F2  10yiˆ  10xjˆ .


c) O que você pode concluir a partir de (a) e (b) sobre o caráter conservativo ou não de F1 e F2 ?
24
42. Um bloco maciço requer uma potência P para ser empurrado, com velocidade constante, para subir uma rampa
inclinada de um ângulo θ em relação à horizontal. O mesmo bloco requer uma potência Q quando empurrado com a
mesma velocidade, em uma região plana de mesmo coeficiente de atrito. Supondo que a única fonte de dissipação seja
o atrito entre o bloco e a superfície, determine o coeficiente de atrito entre o bloco e a superfície.
43. Mostre que a velocidade v alcançada por um carro de massa m dirigido com potência constante P é dada por
1/3
 3xP 
v 

 m 
onde x é a distância percorrida a partir do repouso.
44. Uma mulher de 57 kg sobe correndo um lance de escadas alcançando uma subida de 4,5 m em 3,5 s. Qual é a
potência média que ela precisa fornecer?
45. Um elevador de esqui para 100 pessoas transporta passageiros com um peso médio de 667 N a uma altura de 152 m
em 55,0 s, com uma velocidade constante. Determine a potência de saída do motor, supondo que não existem perdas
por atrito.
46. Um nadador move-se através da água com uma velocidade de 0,22 m/s. A força de arrasto oposta a este movimento
é de 110 N. Qual é a potência desenvolvida pelo nadador?
47. Uma força age sobre uma partícula de 2,80kg de modo que a posição da partícula como uma função do tempo é
dada por x = (3,0 m/s)t – (4,0 m/s2)t2 + (1,0 m/s3)t3.
a) Determine o trabalho realizado pela força durante os primeiros 4,0s.
b) Qual é a taxa instantânea com a qual a força realiza trabalho sobre a partícula no instante t = 3,0 s?
48. O elevador de uma mina é empregado no transporte vertical de minério em um poço de 60 m de profundidade. O
elevador e a carga transportada perfazem juntos peso de 5,00 toneladas-força e o esforço admissível no cabo do
elevador é 7,50 toneladas-força. Na ascensão o elevador não usa freio. Adotar g = 10 m/s2 e desprezar dissipação. O
Professor Gomes pede que se determine
a) o menor tempo em que pode ser feita a ascensão,
b) a máxima potência, em CV, para o motor.
49. Como deve variar a potência do motor de uma bomba, para que ela possa bombear, através de um orifício fino, o
dobro da quantidade de água por unidade de tempo? A fricção é desprezada.
50. O coração humano é uma bomba potente e extremamente confiável. A cada dia ele recebe e descarrega cerca de
7500 litros de sangue. Suponha que o trabalho realizado pelo coração seja igual ao trabalho necessário para elevar essa
quantidade de sangue até uma altura igual à altura média de uma mulher norte-americana (1,63 m). A densidade
(massa por unidade de volume) do sangue é igual a 1,05.103 kg/m3.
a) Qual é o trabalho realizado pelo coração em um dia?
b) Qual a potência de saída em watts?
25