Provão e PPDA 1, 2, 3.

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ESCOLA TÉCNICA ESTADUAL FREDERICO GUILHERME SCHMIDT
Rua Bento Gonçalves, 1171 – Telefone: 3592.1795 - CEP: 93010-220 – São Leopoldo – RS
COMPONENTE: Matemática
PROFESSOR: César Lima Turma: 3º ano
Provão e PPDA 1, 2, 3.
1º trimestre/2015
1. Determine k e m para que z1 − z2 = 3 + 2i, sendo
z1 = k + mi e z2 = 2 − 2i.
14. São dados os números complexos z1 = x + 2i e
z2 = 2i + (x − 1), nos quais x é um número real.
Determine x para que se tenha |𝑧1 | = |𝑧2 |.
2. Coloque na forma a + bi o número complexo
𝑖 4 − 2𝑖 2 +3𝑖 9
𝑖 16 −𝑖 20 +𝑖 35
15. Obtenha a forma algébrica de cada um dos seguintes
números complexos:
5𝜋
5𝜋
a) z = 2(𝑐𝑜𝑠 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 )
3. São dados os complexos z1 = (3x + y) + 4i e
z2 = x + 2yi. Determine x e y de modo que z1 = 𝑧̅2
6
b) z = √2(cos
4. Resolva a equação no conjunto do número complexo
1 = 2y(1 − y).
5. Determine x ∈ ℝ de modo que o número complexo
z = (x + i) ∙ (1 + 2i) seja um número real. Nesse caso,
qual é o número z?
6. Desenvolva e simplifique
(5 − y3) (5 + y3) + (5 + y3)2.
+ i sen
3𝜋
)
4
16. Determine o módulo de cada um dos seguintes
números complexos:
a) z = (2 − 3i) ∙ (4 + 6i)
b) z = 2 ∙ i119
17. Escreva os
trigonométrica:
seguintes
2+𝑖
5 −3𝑖
b)
√3 +𝑖
√3 −𝑖
d)
−1 + 5𝑖 2
( 2+3𝑖 )
complexos
na
1
a) z = 1 − i√3
b) z = 2 +
forma
√3
i
2
18. Determine o módulo de cada um dos seguintes
números complexos:
3𝑖
a) z = 2i(−1 + 2i)
b) z =
7. Calcule:
a)
3𝜋
4
6
1+𝑖
c) (1 + i)2 ∙
3
(1 −𝑖
1−𝑖
+ 1 + 𝑖)
3
2
3
2
8. Desenvolva e simplifique (4 𝑥 + 𝑦) + (4 𝑥 − 𝑦) .
9. Resolva a equação no conjunto do número complexo
(2b + 1)2 = − 4.
10. Determine x ∈ ℝ de modo que o número complexo
z = (x + 3i) ∙ (1 − 2i) seja um número real. Nesse
caso, qual é o número z?
11. Seja z = (a + i)3 um número complexo, em que a é
um número real:
a) Escreva z na forma a + b, em que a e b são
números reais.
b) Determine os valores de a para que z seja um
número imaginário puro.
12. Escreva na forma w = a + bi o número complexo
w=
30
1+ 𝑖 11
(1 −𝑖19 ) .
13. Se o quociente de 3 + 2i pelo complexo z é igual a
1 − i, determine z.
19. Dados os complexos u = 2 + i, v = 3 − 2i e w = i,
determine o módulo de v − u ∙ w.
20. São dados os números complexos z1 = x + 3i e
z2 = 2 + (x − 1)i, nos quais x é um número real.
Determine x para que se tenha |𝑧1 | = |𝑧2 |.
21. Determine o argumento principal de cada um dos
seguintes números complexos:
1
1
𝑖
2
a) z = − 2 −
b) z = −
√2
2
+
√6
𝑖
2
22. Escreva os seguintes complexos na forma
trigonométrica:
1 √3
)
4
b) z = (− 4 ,
a) z = (−5, 5)
23. Obtenha a forma algébrica de cada um dos seguintes
números complexos:
4𝜋
4𝜋
a) z = 6(𝑐𝑜𝑠 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 )
3
3
b) z = 3(cos 90º + i sen 90º)
24. Resolva as equações seguintes em ℂ.
a) x2 − 4x + 6 = 0
b) x2 = − 1
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25.Determine os reais x e y em cada uma das
igualdades:
a) (x − 3) + (y2 + 2)i = 4 + 11i
41. Obtenha o número complexo z tal que
𝑧̅ + 2z − i = 6 + 3i
b) (2x − 5) + (x − 1)i = (2 − 3y) +y i
26. Efetue:
a)
(1 −𝑖)+ (2+𝑖)
42. Determine a forma trigonométrica dos números
complexos representados no plano de Argand-Gauss.
2
b) (a + bi) − 2abi
1+2𝑖
27. Calcule o módulo de
(1+𝑖)2
2 −𝑖
.
28. Escreva o complexo 5√3 − 5i na forma
trigonométrica.
29. Obtenha a forma algébrica de cada um dos
seguintes números complexos:
4𝜋
4𝜋
a) z = 6(𝑐𝑜𝑠 3 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 3 )
b) z = 3(cos 90º + i sen 90º)
30. Resolva as seguintes equações:
a) x2 − 4x + 5 = 0
b) x2 − 2x + 4 = 0
31. Calcule x e y para que se tenha
(2x − y) + (x − 2y)i = 4 − 𝑖.
32. Efetue os cálculos:
a) (3 + i) ∙ (2 − i) + i ∙ (5 − 3i)
2
5
b) (2 + 𝑖)
33. Calcule:
1+𝑖 2
a) (1 −𝑖)
b)
(2+𝑖)(2 −𝑖)
𝑖 113
34. Calcule |𝑧| sabendo que z + 2𝑧̅ − 3 = 3i.
35. Escreva z na forma trigonométrica:
a) z = 1 + √3 𝑖
b) z = −2√3 + 2𝑖
36. Calcule:
2
a) (3i)2
b) (3 + 3𝑖)
2
37. Sendo Z = (x − 1) + (2x − 3)i, calcule os números
reais x, tais que:
a) A parte real de z seja positiva
b) A parte imaginaria de z seja negativa.
38. Sendo z1 = 2√3 + 2i e z2 = −2 + 2i√3, determine a
𝑧
medida do argumento 𝛼 do número complexo z3 = 𝑧1 .
2
39. Escreva na forma z = a + bi o número complexo
z=
(3 −4𝑖)(4 −3𝑖)
3 −2𝑖
.
40. Se z1 = (x + y) + 10i e z2 = 16 + (x − y)i, obtenha x e
y para que z1 = z2.
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2º Trimestre/2015.
1. Calcule a área da região hachurada da figura.
(Adote 𝜋 = 3,14)
2. Calcule a área tracejada indicada na figura.
3. Num retângulo, a medida da base supera a medida da
altura em 4 cm. Sabendo que o perímetro do
retângulo mede 32 cm, determine sua área. Usar
equação que permita calcular o que se pede.
4. Os círculos da figura são tangentes externamente. A
distância entre os centros A e B é 13 cm. O raio do
círculo maior tem 2x cm de comprimento, enquanto o
𝑥
raio do círculo menor tem (2 + 3) cm de
comprimento. Determine:
Nessas condições, determine:
a) a área do círculo de centro A.
b) a área do círculo de centro B.
5. No trapézio ABCD abaixo, determine as medidas
̅̅̅̅ e 𝐶𝐷
̅̅̅̅, sabendo que a área desse trapézio
das bases 𝐴𝐵
2
mede 60 cm .
6. Na figura, ABCD é um quadrado de lado 2 cm. Nessas
condições, calcule a área do circulo.
7. O ∆ABC da figura é equilátero, e o seu perímetro
mede 18 cm. Nessas condições, determine a área do
semicírculo.
8. Na figura seguinte, a região colorida recebe o nome de
coroa circular. Calcule a sua área.
9. Observe esta figura:
Determine a área da figura, sabendo que:
1
1
AB = 32 cm DB = 2AC AC = 2AB
10. A área do retângulo ABCD é 91 cm2. Calcule a área
do quadrado da figura usando uma equação que
permita calcular o que se pede.
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11. Na figura, ABCD é um quadrado, e M é o ponto
̅̅̅̅. Determine a área desse quadrado.
médio do lado 𝐴𝐵
12. Na figura, ABCD é um trapézio, e AECD é um
paralelogramo. As medidas indicadas são dadas em
centímetros. Determine a área desse trapézio.
13. Calcule a área do retângulo ABCD.
18. Calcule a área da figura (as dimensões são dadas em
cm):
19. Calcule a área da coroa circular, dados r1 = 6 cm e
2
r = 3 r1.
20. Num trapézio retângulo, a altura mede 5 cm, a
diagonal maior, 13 cm, e a menor, √74 cm. Calcule a
área.
21. (x −3) e (2x + 1) são dois números inteiros que
representam as medidas (em cm) dos lados de um
retângulo, cuja área é dada pela expressão x2+4x+7.
a) Verifique o possível valor de x.
14. Neste paralelogramo, calcule a área.
b) Determine a área
22. Calcule a área do quadrado ABCD.
15. Num triângulo equilátero ABC, o perímetro mede
36√3 cm. Calcule sua área
16. A diagonal maior de um losango é o quádruplo da
menor. Sabendo que sua área é 11,52 m2, determine
as medidas das diagonais.
17. A figura mostra um trapézio isósceles ABCD.
Sabendo que AD = 6 cm, BC = 10 cm e 𝐵̂ = 60º,
calcule sua área.
23. Num triângulo retângulo, a soma dos catetos vale 7
dm e a diferença é 1dm. Determine:
a) as medidas dos catetos.
b) a área
24. ABCD é um quadrado de perímetro igual a 8√2cm.
Calcule a área do círculo de centro 0 e raio r.
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25. Calcule a área de cada uma das seguintes figuras:
31. As medidas das diagonais de um losango
𝑥 + 𝑦 = 31
correspondem à solução do sistema {
.
5𝑥 − 𝑦 = 11
Determine a área desse losango.
a)
32. Calcule a área da figura
b)
c)
33. Calcule a área colorida da figura, sendo a = 4 dm.
26. Num círculo de raio r = 10 cm, calcule:
a) o comprimento de um arco com 𝛼 = 45º
b) a área de um setor circular com 𝛼 = 60º
c) a área de um setor circular com 𝛼 = 120º
27. Calcule a área de um losango cujo perímetro mede
120 cm e sua diagonal maior, 48 cm.
28. Determinar a medida x indicada no retângulo
ABCD da figura. Em seguida, calcule a área do
retângulo sabendo que as medidas são dadas em
centímetros.
34. Determine a área do paralelogramo, abaixo:
35. Calcule a área de um losango cujo perímetro mede
120 cm e sua diagonal maior, 48 cm.
29. Determine a medida x do cateto AB do triângulo
retângulo da figura. Em seguida, calcule a área desse
triângulo.
36. Calcule a área do trapézio.
37. Calcule as dimensões de um retângulo que tem área
de 32 cm2 e perímetro de 24 cm.
30. No triângulo isóscele temos dois lados congruentes
de 20 cm e o terceiro lado de 24 cm. Calcule a
medida h da altura relativa à base e calcule, em
seguida, a área do triângulo ABC.
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3º Trimestre/2015.
1. Encontre a distância entre dois pontos dados.
a) A(5, 2) e B(1, 3)
b) C(−1, 4) e D(−2, −3)
12. Considere os pontos P(1, b) e M(b, 2), onde
b > 0. Determine o valor de b para d(PM) = √13.
13. Observando a figura seguinte, dê:
c) N(√2, −√2) e P(−√2, √2)
2. Calcule o perímetro do triangulo ABC, sendo
A(1, 0), B(3, 7) e C(−2, 4).
3. O ponto B tem ordenada nula e dista 5 de A, que
possui ambas coordenadas iguais a 4. Ache a abscissa
de B.
4. O centro de uma circunferência é o ponto (−1, 3).
Sabendo que o ponto (2, 5) pertence à circunferência,
determine a medida de seu diâmetro.
5. O ponto P pertence ao eixo dos y e equidista de
A(−1, 1) e B(4, 2). Determine as coordenadas de P.
6. Com base no gráfico a seguir, determine m.
a) as coordenadas dos pontos M e N.
b) a distância entre esses pontos.
14. Dados os pontos A (2√3, 3) e B (4√3, 1), calcule
d (A, B).
15. Calcule a distância do ponto M (−12, 9) à origem.
16. Calcule o número real a de forma que a distância do
ponto P(2a, 3) ao ponto Q(1, 0) seja igual a 3√2.
17. Dados P (x, 2), A (4, −2) e B (2, −8), calcule o
número real de x de modo que o ponto P seja
equidistante de A e B.
7. A abscissa de um ponto P é −6 e sua distância ao
ponto Q(1, 3) é √74. Determine a ordenada do ponto.
8. Calcule a distância entre os pontos, sendo:
a) M(5, 7) e N(9, 4)
18. São dados os pontos A (2, y), B (1, −4) e C (3, −1).
Qual deve ser o valor de y para que o triângulo ABC
seja retângulo em B?
19. Determine os pontos médios dos lados de um
triângulo cujos vértices são: A(1, 2), B(6, 4) e C(3, 7).
b) L(10, 15) e P(22, 10)
c)
1
A(2 , 3)
e
1 1
B(− 2 , 2)
d) R(3a, −a) e S(2a, a), com a > 0
9. Determine o valor de m nos seguintes casos:
a) M(18, 7), N(6, m) e d(MN) = 13
b) L(m, m +8), P(−14, 8) e d(LP) = 26
10. Um ponto P está no eixo das ordenadas. Determine
a ordenada de P, de modo que P seja equidistante de
M(3, 5) e N(−1, 4).
11. Um dos vértices de um quadrado ABCD é
A(−2, −1). Uma circunferência inscrita no quadrado
tem centro (1, 3). Qual a medida da diagonal do
quadrado?
20. Calcule as coordenadas do ponto B, sabendo-se que o
ponto A tem coordenadas (2, 1) e segmento ̅̅̅̅
𝐴𝐵 tem
como ponto médio M(3, 3).
23. Determine o baricentro do triângulo ABC, cujos
vértices são A(3, 7), B(1, 2) e C(6, 4).
24. Sabendo-se que o baricentro de um triângulo ABC,
onde A(−2, 2), é G(1, −3), calcule o ponto médio do
̅̅̅̅ .
lado 𝐵𝐶
25. (UFRN) Se três vértices de um retângulo são os
pontos (−2, −1), (3, −1) e (3, 3), identifique o quarto
ponto do vértice.
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26. Determine as coordenadas do ponto médio do
̅̅̅̅ quando:
segmento 𝐴𝐵
1
5
a) A(−2, 5) e B(−4, −1)
b) A(2 , 1) e B(2 , −4)
27. A figura abaixo nos mostra um triângulo retângulo
ABC. Prove, analiticamente, que o ponto M é
equidistante dos três vértices do triângulo.
35. Calcule os comprimentos das medianas de um
triângulo cujos vértices são os pontos A(0, 0), B(4, −6)
e C(−2, −4).
36. Verifique se os pontos A, B e C estão alinhados nos
seguintes casos:
a) A(1, 7), B(−2, 6) e C(4, 8)
b) A(2, −3), B(−1, 4) e C(1, 1)
37. (UFGO-GO) Qual o valor de m para que os pontos
A(2m+1, 2), B(−6, −5) e C(0, 1) sejam colineares?
38. (UFMS) Qual a área do triângulo cujos vértices são
os pontos A(2, 3), B(4, −5) e C(−3, −6), em unidades
de áreas (u.a.)?
28. O baricentro de um triângulo ABC é o ponto G(3,
4). Sabendo-se que A(5, 5) e B(1, 8), determine as
coordenadas do vértice C.
29. Seja M(3, 4) o ponto médio do segmento AB.
Sabendo que A está sobre o eixo das abscissas, e B,
sobre o eixo das ordenadas, determine as coordenadas
de A e B.
30. Sabendo que os pontos P(3, −2), Q(m, 0) e R(4, 8)
formam um triângulo cuja área é 19 u.a., determine o
valor de m.
31. O ponto P pertence a duas retas, ou seja, intercepta:
a que passa por A(1, 5) e B(4, 14) e a que contém
C(0, −3) e (D(6, 9). Quais são as coordenadas de P?
39. (UFSC) Num sistema de coordenadas cartesianas,
com suas unidades em centímetros, são localizados três
pontos: A(−2, 3), B(3, −3) e C(6, 3). Calcule, em cm2,
a área da figura da figura determinada desses três
pontos.
40. (PUC-MG) Calcule o valor de t sabendo que os
1
2
pontos A(2 , 𝑡), B(3 , 0) e C(−1, 6) são colineares.
41. Uma reta r passa pelos pontos A(2, 0) e B(0, 4).
Outra reta s passa pelos pontos C(−4, 0) e D(0, 2). O
ponto de intersecção das duas retas é P(a, b). Nessas
condições, calcule as coordenadas a e b do ponto P.
42. Determine a equação geral da reta que passa pelos
1 3
3
pontos L( , ) e M( , −1).
4 4
32. Quais as coordenadas do baricentro de um triângulo
de vértices A(2, 5), B(4, −2) e C(6, 4)
33. Sabendo que G(2, −4) é o baricentro do triângulo
de vértices P(−2, 1), Q(5, −6) e
R(x, y), calcule x e y
4
43. Determine o valor de p, sabendo-se que o ponto
M(15, p) está na reta de equação 5x − 4y + 9 = 0
44. As equação das retas r e s da figura abaixo são,
respectivamente: x + y − 4 = 0 e x − y + 8 = 0
34. Observe o ∆ABC em um plano cartesiano.
Determine a equação geral da reta t.
a) Determine as coordenadas do baricentro desse
triângulo.
b) Calcule a distância entre o baricentro e C.
45. Sabendo que os pontos P(3, −2), Q(m, 0) e R(4, 8)
formam um triângulo cuja área é 19 u.a., determine o
valor de m.
46. O ponto P pertence a duas retas, ou seja, intercepta: a
que passa por A(1, 5) e B(4, 14) e a que contém
C(0, −3) e D(6, 9). Quais são as coordenadas de P?
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47. Dados os pontos A(2, 5), B(−3, 2) e C(−1, −4),
ache a equação geral da reta que passa pelos pontos
̅̅̅̅ e 𝐴𝐶
̅̅̅̅ . Em seguida, represente-a
médios de 𝐴𝐵
graficamente.
57. A figura mostra um terreno às margens de duas
estradas, X e Y, que são perpendiculares. O
proprietário deseja construir uma tubulação reta
passando pelos pontos P e Q.
48. Ache a equação geral da reta vertical que passa por
(2, 17).
48. Uma reta paralela ao eixo x passa pelo ponto
5). Qual é a sua equação geral?
(1,
49. Considerando um reta r que passa pelos pontos
A(−1, −2) e B(4, 2) e intersecta o eixo y no ponto P,
determine as coordenadas do ponto P.
50. Ache as coordenadas de M e de N na figura abaixo.
O ponto P dista 6 Km da estrada X e 4 Km da estrada
Y, e o ponto Q está a 4 Km da estrada X e a 8 Km da
estrada Y. Determine as coordenadas dos pontos P e Q
em relação ao sistema de eixos formado pelas margens
das estradas.
58. O ponto B tem ordenada nula e dista 5 de A, que
possui ambas as coordenadas iguais a 4. Ache a
abscissa de B.
51. Determine a área do triângulo na figura seguinte.
𝑚
59. Na figura, P é equidistante de A(1, −1) e B(2, 3).
Obtenha as coordenadas de P.
1
52. Para que os pontos L( 2 , 3), S(−4, 2) e T(−1, 4)
pertençam a uma mesma reta, quanto deve val
53. Sabendo que Q(1, x) é um ponto do 4º quadrante e
que a distância de Q ao ponto P(0, 4) é 5√2, calcule o
valor de x.
60. Os pontos A(2, −4), B(−2, 1) e C(−4, 5) são vértices
de um triângulo. Determine o comprimento da mediana
̅̅̅̅̅
𝐴𝑀 do triângulo ABC.
61. Na figura a seguir, o triângulo de vértices A(6, 0),
O(0, 0) e B é retângulo, e sua hipotenusa mede 8.
54. Considerando o triângulo de vértices A(4, 5),
B(4, 2) e C(1, 5), retângulo em A, calcule 𝑠𝑒𝑛 𝐶̂ .
55. Sabendo que P(0, 1), Q(4, −3) e R(5, 3) são
vértices de um triângulo, determine o comprimento
da mediana em relação ̅̅̅̅
𝑃𝑄 .
56. Os pontos A(2, m), B(4, 1) e C(6, m) são vértices
de um triângulo. Calcule m para que o baricentro
desse triângulo tenha coordenadas G(4, 3).
Determine:
a) as coordenadas de B;
b) a medida da mediana relativa à hipotenusa.
62. Para que valores reais de k os pontos (6, k), (3, 4) e
(2 − k, 2) estão alinhados?
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63. Na figura, M, N e P estão alinhados. Qual é a
ordenada de M?
67. A base de um prisma reto de 8 cm de altura é um
quadrado inscrito em um círculo de 6√2 cm de
diâmetro. Determine a área total e o volume desse
prisma.
68. Sabe-se que a base de um prisma reto é um hexágono
regular cujo apótema mede 6√3 dm. Se a altura desse
prisma mede 20 dm, determine sua área total e seu
volume.
69. A base de uma pirâmide de 6 cm de altura é um
quadrado de 8 cm de perímetro. Calcule o seu volume.
64. Calcule a área lateral, a área total e o volume de
cada um dos seguintes prismas:
a)
70. Calcule o volume de uma pirâmide de 12 m de altura,
sendo a base um losango cujas diagonais medem 6m e
10m.
71. Calcule a área lateral, a área total e o volume de cada
uma das pirâmides regulares, cujas dimensões estão
indicadas nas figuras abaixo
a)
b)
65. Considere um prisma reto cuja base é um triângulo
equilátero de perímetro 12 dm. Determine a área total
e o volume desse prisma, sabendo que a medida da
sua altura é o dobro da medida da altura da base.
b)
66. Na figura tem-se a planificação de um prisma reto
cuja base é um trapézio isóscele.
72. Calcule a área total dos prismas representados a
seguir.
a)
Considerando que a unidade das medidas indicadas é o
centímetro, determine o volume desse prisma.
b)
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73. Considere um dado com formato de tetraedro
regular, cuja soma das medidas das arestas é 12 cm.
Em relação a esse dado, calcule:
a) a área lateral
b) a área total
74. Se uma pirâmide quadrangular regular tem apótema
da base medindo 5 dm e altura 10 dm, então qual é:
a) medida da aresta da base?
b) medida do raio da circunferência que circunscreve
a base?
c) área da base?
d) área total?
75. Um prisma é triangular regular. A aresta da base
mede 10 cm e a área total é de 50(2 + √3)𝑐𝑚2 .
Calcule a área lateral.
76. A base de um prisma reto é um hexágono regular.
Determine o que se pede.
a) A área lateral no caso em que a aresta da base
mede 8 cm e a altura do prisma mede 12 cm.
b) A altura do prisma no caso em que a aresta da base
mede 5 cm e a área lateral é 225 cm2.
77. Uma pilastra de sustentação de um viaduto tem a
forma de prisma hexagonal regular de altura 8m. Uma
aresta da base mede 1 m. Determine quantos metros
cúbicos de concreto foram utilizados na construção
dessa pilastra.
78. Em uma pirâmide quadrangular regular, a área da
base é 256 dm2 e a área lateral é 320 dm2. Ache a
medida da altura da pirâmide.
79. Se as arestas laterais de uma pirâmide reta de base
quadrada medem 30 cm e o perímetro de base é 72√2
cm, quanto mede a altura da pirâmide?
80. A área da base de um prisma é 30 dm2 e sua altura é
6 dm. Calcule o volume de uma pirâmide que tenha a
mesma base e a mesma altura do prisma.
81. Uma pirâmide de cartolina tem 25 cm de altura.
Sua base é um hexágono regular construído num
círculo de 6 cm de raio. Calcule quantos centímetros
cúbicos de areia cabem nessa pirâmide.