Página 1 de 10 ESCOLA TÉCNICA ESTADUAL FREDERICO GUILHERME SCHMIDT Rua Bento Gonçalves, 1171 – Telefone: 3592.1795 - CEP: 93010-220 – São Leopoldo – RS COMPONENTE: Matemática PROFESSOR: César Lima Turma: 3º ano Provão e PPDA 1, 2, 3. 1º trimestre/2015 1. Determine k e m para que z1 − z2 = 3 + 2i, sendo z1 = k + mi e z2 = 2 − 2i. 14. São dados os números complexos z1 = x + 2i e z2 = 2i + (x − 1), nos quais x é um número real. Determine x para que se tenha |𝑧1 | = |𝑧2 |. 2. Coloque na forma a + bi o número complexo 𝑖 4 − 2𝑖 2 +3𝑖 9 𝑖 16 −𝑖 20 +𝑖 35 15. Obtenha a forma algébrica de cada um dos seguintes números complexos: 5𝜋 5𝜋 a) z = 2(𝑐𝑜𝑠 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 ) 3. São dados os complexos z1 = (3x + y) + 4i e z2 = x + 2yi. Determine x e y de modo que z1 = 𝑧̅2 6 b) z = √2(cos 4. Resolva a equação no conjunto do número complexo 1 = 2y(1 − y). 5. Determine x ∈ ℝ de modo que o número complexo z = (x + i) ∙ (1 + 2i) seja um número real. Nesse caso, qual é o número z? 6. Desenvolva e simplifique (5 − y3) (5 + y3) + (5 + y3)2. + i sen 3𝜋 ) 4 16. Determine o módulo de cada um dos seguintes números complexos: a) z = (2 − 3i) ∙ (4 + 6i) b) z = 2 ∙ i119 17. Escreva os trigonométrica: seguintes 2+𝑖 5 −3𝑖 b) √3 +𝑖 √3 −𝑖 d) −1 + 5𝑖 2 ( 2+3𝑖 ) complexos na 1 a) z = 1 − i√3 b) z = 2 + forma √3 i 2 18. Determine o módulo de cada um dos seguintes números complexos: 3𝑖 a) z = 2i(−1 + 2i) b) z = 7. Calcule: a) 3𝜋 4 6 1+𝑖 c) (1 + i)2 ∙ 3 (1 −𝑖 1−𝑖 + 1 + 𝑖) 3 2 3 2 8. Desenvolva e simplifique (4 𝑥 + 𝑦) + (4 𝑥 − 𝑦) . 9. Resolva a equação no conjunto do número complexo (2b + 1)2 = − 4. 10. Determine x ∈ ℝ de modo que o número complexo z = (x + 3i) ∙ (1 − 2i) seja um número real. Nesse caso, qual é o número z? 11. Seja z = (a + i)3 um número complexo, em que a é um número real: a) Escreva z na forma a + b, em que a e b são números reais. b) Determine os valores de a para que z seja um número imaginário puro. 12. Escreva na forma w = a + bi o número complexo w= 30 1+ 𝑖 11 (1 −𝑖19 ) . 13. Se o quociente de 3 + 2i pelo complexo z é igual a 1 − i, determine z. 19. Dados os complexos u = 2 + i, v = 3 − 2i e w = i, determine o módulo de v − u ∙ w. 20. São dados os números complexos z1 = x + 3i e z2 = 2 + (x − 1)i, nos quais x é um número real. Determine x para que se tenha |𝑧1 | = |𝑧2 |. 21. Determine o argumento principal de cada um dos seguintes números complexos: 1 1 𝑖 2 a) z = − 2 − b) z = − √2 2 + √6 𝑖 2 22. Escreva os seguintes complexos na forma trigonométrica: 1 √3 ) 4 b) z = (− 4 , a) z = (−5, 5) 23. Obtenha a forma algébrica de cada um dos seguintes números complexos: 4𝜋 4𝜋 a) z = 6(𝑐𝑜𝑠 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 ) 3 3 b) z = 3(cos 90º + i sen 90º) 24. Resolva as equações seguintes em ℂ. a) x2 − 4x + 6 = 0 b) x2 = − 1 Página 2 de 10 25.Determine os reais x e y em cada uma das igualdades: a) (x − 3) + (y2 + 2)i = 4 + 11i 41. Obtenha o número complexo z tal que 𝑧̅ + 2z − i = 6 + 3i b) (2x − 5) + (x − 1)i = (2 − 3y) +y i 26. Efetue: a) (1 −𝑖)+ (2+𝑖) 42. Determine a forma trigonométrica dos números complexos representados no plano de Argand-Gauss. 2 b) (a + bi) − 2abi 1+2𝑖 27. Calcule o módulo de (1+𝑖)2 2 −𝑖 . 28. Escreva o complexo 5√3 − 5i na forma trigonométrica. 29. Obtenha a forma algébrica de cada um dos seguintes números complexos: 4𝜋 4𝜋 a) z = 6(𝑐𝑜𝑠 3 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 3 ) b) z = 3(cos 90º + i sen 90º) 30. Resolva as seguintes equações: a) x2 − 4x + 5 = 0 b) x2 − 2x + 4 = 0 31. Calcule x e y para que se tenha (2x − y) + (x − 2y)i = 4 − 𝑖. 32. Efetue os cálculos: a) (3 + i) ∙ (2 − i) + i ∙ (5 − 3i) 2 5 b) (2 + 𝑖) 33. Calcule: 1+𝑖 2 a) (1 −𝑖) b) (2+𝑖)(2 −𝑖) 𝑖 113 34. Calcule |𝑧| sabendo que z + 2𝑧̅ − 3 = 3i. 35. Escreva z na forma trigonométrica: a) z = 1 + √3 𝑖 b) z = −2√3 + 2𝑖 36. Calcule: 2 a) (3i)2 b) (3 + 3𝑖) 2 37. Sendo Z = (x − 1) + (2x − 3)i, calcule os números reais x, tais que: a) A parte real de z seja positiva b) A parte imaginaria de z seja negativa. 38. Sendo z1 = 2√3 + 2i e z2 = −2 + 2i√3, determine a 𝑧 medida do argumento 𝛼 do número complexo z3 = 𝑧1 . 2 39. Escreva na forma z = a + bi o número complexo z= (3 −4𝑖)(4 −3𝑖) 3 −2𝑖 . 40. Se z1 = (x + y) + 10i e z2 = 16 + (x − y)i, obtenha x e y para que z1 = z2. Página 3 de 10 2º Trimestre/2015. 1. Calcule a área da região hachurada da figura. (Adote 𝜋 = 3,14) 2. Calcule a área tracejada indicada na figura. 3. Num retângulo, a medida da base supera a medida da altura em 4 cm. Sabendo que o perímetro do retângulo mede 32 cm, determine sua área. Usar equação que permita calcular o que se pede. 4. Os círculos da figura são tangentes externamente. A distância entre os centros A e B é 13 cm. O raio do círculo maior tem 2x cm de comprimento, enquanto o 𝑥 raio do círculo menor tem (2 + 3) cm de comprimento. Determine: Nessas condições, determine: a) a área do círculo de centro A. b) a área do círculo de centro B. 5. No trapézio ABCD abaixo, determine as medidas ̅̅̅̅ e 𝐶𝐷 ̅̅̅̅, sabendo que a área desse trapézio das bases 𝐴𝐵 2 mede 60 cm . 6. Na figura, ABCD é um quadrado de lado 2 cm. Nessas condições, calcule a área do circulo. 7. O ∆ABC da figura é equilátero, e o seu perímetro mede 18 cm. Nessas condições, determine a área do semicírculo. 8. Na figura seguinte, a região colorida recebe o nome de coroa circular. Calcule a sua área. 9. Observe esta figura: Determine a área da figura, sabendo que: 1 1 AB = 32 cm DB = 2AC AC = 2AB 10. A área do retângulo ABCD é 91 cm2. Calcule a área do quadrado da figura usando uma equação que permita calcular o que se pede. Página 4 de 10 11. Na figura, ABCD é um quadrado, e M é o ponto ̅̅̅̅. Determine a área desse quadrado. médio do lado 𝐴𝐵 12. Na figura, ABCD é um trapézio, e AECD é um paralelogramo. As medidas indicadas são dadas em centímetros. Determine a área desse trapézio. 13. Calcule a área do retângulo ABCD. 18. Calcule a área da figura (as dimensões são dadas em cm): 19. Calcule a área da coroa circular, dados r1 = 6 cm e 2 r = 3 r1. 20. Num trapézio retângulo, a altura mede 5 cm, a diagonal maior, 13 cm, e a menor, √74 cm. Calcule a área. 21. (x −3) e (2x + 1) são dois números inteiros que representam as medidas (em cm) dos lados de um retângulo, cuja área é dada pela expressão x2+4x+7. a) Verifique o possível valor de x. 14. Neste paralelogramo, calcule a área. b) Determine a área 22. Calcule a área do quadrado ABCD. 15. Num triângulo equilátero ABC, o perímetro mede 36√3 cm. Calcule sua área 16. A diagonal maior de um losango é o quádruplo da menor. Sabendo que sua área é 11,52 m2, determine as medidas das diagonais. 17. A figura mostra um trapézio isósceles ABCD. Sabendo que AD = 6 cm, BC = 10 cm e 𝐵̂ = 60º, calcule sua área. 23. Num triângulo retângulo, a soma dos catetos vale 7 dm e a diferença é 1dm. Determine: a) as medidas dos catetos. b) a área 24. ABCD é um quadrado de perímetro igual a 8√2cm. Calcule a área do círculo de centro 0 e raio r. Página 5 de 10 25. Calcule a área de cada uma das seguintes figuras: 31. As medidas das diagonais de um losango 𝑥 + 𝑦 = 31 correspondem à solução do sistema { . 5𝑥 − 𝑦 = 11 Determine a área desse losango. a) 32. Calcule a área da figura b) c) 33. Calcule a área colorida da figura, sendo a = 4 dm. 26. Num círculo de raio r = 10 cm, calcule: a) o comprimento de um arco com 𝛼 = 45º b) a área de um setor circular com 𝛼 = 60º c) a área de um setor circular com 𝛼 = 120º 27. Calcule a área de um losango cujo perímetro mede 120 cm e sua diagonal maior, 48 cm. 28. Determinar a medida x indicada no retângulo ABCD da figura. Em seguida, calcule a área do retângulo sabendo que as medidas são dadas em centímetros. 34. Determine a área do paralelogramo, abaixo: 35. Calcule a área de um losango cujo perímetro mede 120 cm e sua diagonal maior, 48 cm. 29. Determine a medida x do cateto AB do triângulo retângulo da figura. Em seguida, calcule a área desse triângulo. 36. Calcule a área do trapézio. 37. Calcule as dimensões de um retângulo que tem área de 32 cm2 e perímetro de 24 cm. 30. No triângulo isóscele temos dois lados congruentes de 20 cm e o terceiro lado de 24 cm. Calcule a medida h da altura relativa à base e calcule, em seguida, a área do triângulo ABC. Página 6 de 10 3º Trimestre/2015. 1. Encontre a distância entre dois pontos dados. a) A(5, 2) e B(1, 3) b) C(−1, 4) e D(−2, −3) 12. Considere os pontos P(1, b) e M(b, 2), onde b > 0. Determine o valor de b para d(PM) = √13. 13. Observando a figura seguinte, dê: c) N(√2, −√2) e P(−√2, √2) 2. Calcule o perímetro do triangulo ABC, sendo A(1, 0), B(3, 7) e C(−2, 4). 3. O ponto B tem ordenada nula e dista 5 de A, que possui ambas coordenadas iguais a 4. Ache a abscissa de B. 4. O centro de uma circunferência é o ponto (−1, 3). Sabendo que o ponto (2, 5) pertence à circunferência, determine a medida de seu diâmetro. 5. O ponto P pertence ao eixo dos y e equidista de A(−1, 1) e B(4, 2). Determine as coordenadas de P. 6. Com base no gráfico a seguir, determine m. a) as coordenadas dos pontos M e N. b) a distância entre esses pontos. 14. Dados os pontos A (2√3, 3) e B (4√3, 1), calcule d (A, B). 15. Calcule a distância do ponto M (−12, 9) à origem. 16. Calcule o número real a de forma que a distância do ponto P(2a, 3) ao ponto Q(1, 0) seja igual a 3√2. 17. Dados P (x, 2), A (4, −2) e B (2, −8), calcule o número real de x de modo que o ponto P seja equidistante de A e B. 7. A abscissa de um ponto P é −6 e sua distância ao ponto Q(1, 3) é √74. Determine a ordenada do ponto. 8. Calcule a distância entre os pontos, sendo: a) M(5, 7) e N(9, 4) 18. São dados os pontos A (2, y), B (1, −4) e C (3, −1). Qual deve ser o valor de y para que o triângulo ABC seja retângulo em B? 19. Determine os pontos médios dos lados de um triângulo cujos vértices são: A(1, 2), B(6, 4) e C(3, 7). b) L(10, 15) e P(22, 10) c) 1 A(2 , 3) e 1 1 B(− 2 , 2) d) R(3a, −a) e S(2a, a), com a > 0 9. Determine o valor de m nos seguintes casos: a) M(18, 7), N(6, m) e d(MN) = 13 b) L(m, m +8), P(−14, 8) e d(LP) = 26 10. Um ponto P está no eixo das ordenadas. Determine a ordenada de P, de modo que P seja equidistante de M(3, 5) e N(−1, 4). 11. Um dos vértices de um quadrado ABCD é A(−2, −1). Uma circunferência inscrita no quadrado tem centro (1, 3). Qual a medida da diagonal do quadrado? 20. Calcule as coordenadas do ponto B, sabendo-se que o ponto A tem coordenadas (2, 1) e segmento ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 tem como ponto médio M(3, 3). 23. Determine o baricentro do triângulo ABC, cujos vértices são A(3, 7), B(1, 2) e C(6, 4). 24. Sabendo-se que o baricentro de um triângulo ABC, onde A(−2, 2), é G(1, −3), calcule o ponto médio do ̅̅̅̅ . lado 𝐵𝐶 25. (UFRN) Se três vértices de um retângulo são os pontos (−2, −1), (3, −1) e (3, 3), identifique o quarto ponto do vértice. Página 7 de 10 26. Determine as coordenadas do ponto médio do ̅̅̅̅ quando: segmento 𝐴𝐵 1 5 a) A(−2, 5) e B(−4, −1) b) A(2 , 1) e B(2 , −4) 27. A figura abaixo nos mostra um triângulo retângulo ABC. Prove, analiticamente, que o ponto M é equidistante dos três vértices do triângulo. 35. Calcule os comprimentos das medianas de um triângulo cujos vértices são os pontos A(0, 0), B(4, −6) e C(−2, −4). 36. Verifique se os pontos A, B e C estão alinhados nos seguintes casos: a) A(1, 7), B(−2, 6) e C(4, 8) b) A(2, −3), B(−1, 4) e C(1, 1) 37. (UFGO-GO) Qual o valor de m para que os pontos A(2m+1, 2), B(−6, −5) e C(0, 1) sejam colineares? 38. (UFMS) Qual a área do triângulo cujos vértices são os pontos A(2, 3), B(4, −5) e C(−3, −6), em unidades de áreas (u.a.)? 28. O baricentro de um triângulo ABC é o ponto G(3, 4). Sabendo-se que A(5, 5) e B(1, 8), determine as coordenadas do vértice C. 29. Seja M(3, 4) o ponto médio do segmento AB. Sabendo que A está sobre o eixo das abscissas, e B, sobre o eixo das ordenadas, determine as coordenadas de A e B. 30. Sabendo que os pontos P(3, −2), Q(m, 0) e R(4, 8) formam um triângulo cuja área é 19 u.a., determine o valor de m. 31. O ponto P pertence a duas retas, ou seja, intercepta: a que passa por A(1, 5) e B(4, 14) e a que contém C(0, −3) e (D(6, 9). Quais são as coordenadas de P? 39. (UFSC) Num sistema de coordenadas cartesianas, com suas unidades em centímetros, são localizados três pontos: A(−2, 3), B(3, −3) e C(6, 3). Calcule, em cm2, a área da figura da figura determinada desses três pontos. 40. (PUC-MG) Calcule o valor de t sabendo que os 1 2 pontos A(2 , 𝑡), B(3 , 0) e C(−1, 6) são colineares. 41. Uma reta r passa pelos pontos A(2, 0) e B(0, 4). Outra reta s passa pelos pontos C(−4, 0) e D(0, 2). O ponto de intersecção das duas retas é P(a, b). Nessas condições, calcule as coordenadas a e b do ponto P. 42. Determine a equação geral da reta que passa pelos 1 3 3 pontos L( , ) e M( , −1). 4 4 32. Quais as coordenadas do baricentro de um triângulo de vértices A(2, 5), B(4, −2) e C(6, 4) 33. Sabendo que G(2, −4) é o baricentro do triângulo de vértices P(−2, 1), Q(5, −6) e R(x, y), calcule x e y 4 43. Determine o valor de p, sabendo-se que o ponto M(15, p) está na reta de equação 5x − 4y + 9 = 0 44. As equação das retas r e s da figura abaixo são, respectivamente: x + y − 4 = 0 e x − y + 8 = 0 34. Observe o ∆ABC em um plano cartesiano. Determine a equação geral da reta t. a) Determine as coordenadas do baricentro desse triângulo. b) Calcule a distância entre o baricentro e C. 45. Sabendo que os pontos P(3, −2), Q(m, 0) e R(4, 8) formam um triângulo cuja área é 19 u.a., determine o valor de m. 46. O ponto P pertence a duas retas, ou seja, intercepta: a que passa por A(1, 5) e B(4, 14) e a que contém C(0, −3) e D(6, 9). Quais são as coordenadas de P? Página 8 de 10 47. Dados os pontos A(2, 5), B(−3, 2) e C(−1, −4), ache a equação geral da reta que passa pelos pontos ̅̅̅̅ e 𝐴𝐶 ̅̅̅̅ . Em seguida, represente-a médios de 𝐴𝐵 graficamente. 57. A figura mostra um terreno às margens de duas estradas, X e Y, que são perpendiculares. O proprietário deseja construir uma tubulação reta passando pelos pontos P e Q. 48. Ache a equação geral da reta vertical que passa por (2, 17). 48. Uma reta paralela ao eixo x passa pelo ponto 5). Qual é a sua equação geral? (1, 49. Considerando um reta r que passa pelos pontos A(−1, −2) e B(4, 2) e intersecta o eixo y no ponto P, determine as coordenadas do ponto P. 50. Ache as coordenadas de M e de N na figura abaixo. O ponto P dista 6 Km da estrada X e 4 Km da estrada Y, e o ponto Q está a 4 Km da estrada X e a 8 Km da estrada Y. Determine as coordenadas dos pontos P e Q em relação ao sistema de eixos formado pelas margens das estradas. 58. O ponto B tem ordenada nula e dista 5 de A, que possui ambas as coordenadas iguais a 4. Ache a abscissa de B. 51. Determine a área do triângulo na figura seguinte. 𝑚 59. Na figura, P é equidistante de A(1, −1) e B(2, 3). Obtenha as coordenadas de P. 1 52. Para que os pontos L( 2 , 3), S(−4, 2) e T(−1, 4) pertençam a uma mesma reta, quanto deve val 53. Sabendo que Q(1, x) é um ponto do 4º quadrante e que a distância de Q ao ponto P(0, 4) é 5√2, calcule o valor de x. 60. Os pontos A(2, −4), B(−2, 1) e C(−4, 5) são vértices de um triângulo. Determine o comprimento da mediana ̅̅̅̅̅ 𝐴𝑀 do triângulo ABC. 61. Na figura a seguir, o triângulo de vértices A(6, 0), O(0, 0) e B é retângulo, e sua hipotenusa mede 8. 54. Considerando o triângulo de vértices A(4, 5), B(4, 2) e C(1, 5), retângulo em A, calcule 𝑠𝑒𝑛 𝐶̂ . 55. Sabendo que P(0, 1), Q(4, −3) e R(5, 3) são vértices de um triângulo, determine o comprimento da mediana em relação ̅̅̅̅ 𝑃𝑄 . 56. Os pontos A(2, m), B(4, 1) e C(6, m) são vértices de um triângulo. Calcule m para que o baricentro desse triângulo tenha coordenadas G(4, 3). Determine: a) as coordenadas de B; b) a medida da mediana relativa à hipotenusa. 62. Para que valores reais de k os pontos (6, k), (3, 4) e (2 − k, 2) estão alinhados? Página 9 de 10 63. Na figura, M, N e P estão alinhados. Qual é a ordenada de M? 67. A base de um prisma reto de 8 cm de altura é um quadrado inscrito em um círculo de 6√2 cm de diâmetro. Determine a área total e o volume desse prisma. 68. Sabe-se que a base de um prisma reto é um hexágono regular cujo apótema mede 6√3 dm. Se a altura desse prisma mede 20 dm, determine sua área total e seu volume. 69. A base de uma pirâmide de 6 cm de altura é um quadrado de 8 cm de perímetro. Calcule o seu volume. 64. Calcule a área lateral, a área total e o volume de cada um dos seguintes prismas: a) 70. Calcule o volume de uma pirâmide de 12 m de altura, sendo a base um losango cujas diagonais medem 6m e 10m. 71. Calcule a área lateral, a área total e o volume de cada uma das pirâmides regulares, cujas dimensões estão indicadas nas figuras abaixo a) b) 65. Considere um prisma reto cuja base é um triângulo equilátero de perímetro 12 dm. Determine a área total e o volume desse prisma, sabendo que a medida da sua altura é o dobro da medida da altura da base. b) 66. Na figura tem-se a planificação de um prisma reto cuja base é um trapézio isóscele. 72. Calcule a área total dos prismas representados a seguir. a) Considerando que a unidade das medidas indicadas é o centímetro, determine o volume desse prisma. b) Página 10 de 10 73. Considere um dado com formato de tetraedro regular, cuja soma das medidas das arestas é 12 cm. Em relação a esse dado, calcule: a) a área lateral b) a área total 74. Se uma pirâmide quadrangular regular tem apótema da base medindo 5 dm e altura 10 dm, então qual é: a) medida da aresta da base? b) medida do raio da circunferência que circunscreve a base? c) área da base? d) área total? 75. Um prisma é triangular regular. A aresta da base mede 10 cm e a área total é de 50(2 + √3)𝑐𝑚2 . Calcule a área lateral. 76. A base de um prisma reto é um hexágono regular. Determine o que se pede. a) A área lateral no caso em que a aresta da base mede 8 cm e a altura do prisma mede 12 cm. b) A altura do prisma no caso em que a aresta da base mede 5 cm e a área lateral é 225 cm2. 77. Uma pilastra de sustentação de um viaduto tem a forma de prisma hexagonal regular de altura 8m. Uma aresta da base mede 1 m. Determine quantos metros cúbicos de concreto foram utilizados na construção dessa pilastra. 78. Em uma pirâmide quadrangular regular, a área da base é 256 dm2 e a área lateral é 320 dm2. Ache a medida da altura da pirâmide. 79. Se as arestas laterais de uma pirâmide reta de base quadrada medem 30 cm e o perímetro de base é 72√2 cm, quanto mede a altura da pirâmide? 80. A área da base de um prisma é 30 dm2 e sua altura é 6 dm. Calcule o volume de uma pirâmide que tenha a mesma base e a mesma altura do prisma. 81. Uma pirâmide de cartolina tem 25 cm de altura. Sua base é um hexágono regular construído num círculo de 6 cm de raio. Calcule quantos centímetros cúbicos de areia cabem nessa pirâmide.