Lista 01 de cálculo 3

Lista 01 de cálculo 3
1. sabendo que r(t) ∈ R3 , determine o domínio da função
√
(d) r(t)
=
t2 − 9 i + ln |t − 3| j +
(t2 + 2t − 8) k
√
1
i + 4 − tj
t
(b) r(t) = arcsin t i + ln (t + 1) j
√
√
(c) r(t) = t2 + 2 i + 4 − t j + cot t k
(a) r(t) =
(e) r(t) = tan t i +
√
4 − t2 j +
1
k
2+t
2. Dadas as funções vetoriais F e G em R3 , e sabendo que f e g são funções em R, calcule
(F + G) (t), (F − G) (t), (f F) (t), (f G) (t), (F ◦ g) (t) e (G ◦ g) (t)
(a) F(t) = (t + 1) i + (t2 − 1) j + (t − 1) k
G(t) = (t − 1) i + j + (t + 1) k
f (t) = t − 1
g(t) = t + 1
(c) F(t) = cos t i − sin t j + t k
G(t) = sin t i + cos t j − t k
f (t) = sin t
g(t) = arcsin t
(b) F(t) = (4 − t2 ) i + 4 j − (4 − t2 ) k
G(t) = t2 i + (t2 − 4) j − 4 k
1
f (t) =
2−t
g(t) = t + 1
(d) F(t) = sec t i + tan t j − 2 k
G(t) = sec t i − tan t j + t k
f (t) = cos t
g(t) = arccos t
3. sabendo que r(t) ∈ R3 , determine o limite, se existe
t+1
t2 − 1
i+
j + |t + 1| k
t+1
t−1
1 − cos t
(b) limt→0 r(t); r(t) =
i + et j + e−t k
t
ln(t + 1)
(c) limt→0 r(t); r(t) =
i + sinh t j + cosh t k
t
(a) limt→−1 r(t); r(t) =
4. sabendo que r(t) ∈ R3 , determine o intervalo de continuidade
1
k
t−2
1
|t − 1|
(b) r(t) = (t − 1) i + t
j+
k
e −1
t−1
(c) r(t) = sin πt i − tan πt j + cot πt k

t
 sin t i + 1 − cos t j + 1 − e k se t 6= 0
t
t
t
(d) r(t) =

i− j
se t = 0
(a) r(t) = t2 i + ln(t − 1) j +
5. Obter a equação cartesiana das seguintes curvas
1
(a) r(t) = t i + 3t + 5 j
2
(b) r(t) = (t − 1) i + (t2 − 2t + 2) j
(c) r(t) = (s2 − 1) i + (s2 + 1) j + 2 k
6. Determine a equação paramétrica:
1
(a) 2x2 − 8y + 4 = 0
1
= 0; x > 1
(b) y −
x−1
(c) x2 + y 2 − 6x + 8y = 0
2
(d) y = 2x , z = x
(f) O segmento de reta que passa por A =
(2, 1, 2) e B = (−1, 1, 3)
(g) x + y + z = 1,
z = x − 2y
3
(e) y = 2 (x + 1)2 + y 2 ,
(h) x2 + y 2 + z 2 = 2y,
z=2
z=y
7. Dada as figuras, selecione a qual equação corresponde, justifique matematicamente sua resposta
(a) r(t) = cos 4t i + t j + sin 4t k
(d) r(t) = cos t i + sin t j + sin 5t k
(b) r(t) = t i + t2 j + et k
(e) r(t) = cos t i + sin t j + ln t k
(c) r(t) = e−t cos 10t i + e−t sin 10t j + e−t k
8. Encontre a equação cartesiana para as curvas com as seguintes equações paramétricas
(a) r(t) = t cos t i + t sin t j + t k
(b) r(t) = sin t i + cos t j + sin2 t k
9. Encontre o ponto ou a curva de interseção de:
p
(a) r(t) = t i + (2t − t2 ) k com z = x2 + y 2
(d) z =
(b) r(t) = sin t i + cos t j com x2 + y 2 = 5
(e) z = 4x2 + y 2 e y = x2
x2 + y 2 e z = 1 + y
(c) x2 + y 2 = 4 e z = xy
10. Encontre r0 (t) e r00 (t)
(d) r(t) = at cos 3t i + b sin3 t j + c cos3 t k
t
1
(e) r(t) =
i + j; suponha t = −1/2
t+1
t
5t − 2
(f) r(t) =
i + ln (1 − t2 ) j + 5 k
2t + 1
(a) r(t) = arctan t i + arcsin t j + arccos t k
(b) r(t) = (e3t + 2) i + 2e3t j + 3 · 2t k
(c) r(t) = tan3t i + ln sin t j +
1
k
t
2
11. Determine o vetor tangente à curva definida pela função vetorial no ponto indicado r(t) =
i+ j+ k
(a) r(t) = sin t i + (t2 − cos t) j + et k, t0 = 0
(b) r(t) = t2 i + (2t − 1) j + t3 k, t0 = 2
t−1
j + t ln t k, t0 = 1
t+2
(d) r(t) = cos t i + sin t j + sin 2t k, t0 = π/2
(c) r(t) = ln t i +
12. Encontre a equação paramétrica da linha tangente às curvas que tem as seguintes equações
paramétricas no ponto específico
√
(a) r(t) = 1 + 2 t i+(t3 − t) j+(t3 + t) k;
P0 = (3, 0, 2)
t
t
t2
(b) r(t) = e i + te j + te k; P0 = (1, 0, 0)
(c) r(t) = et cos t i + e− t sin t j + e− t k; P0 =
(1, 0, 1)
√
(d) r(t) = ln t i + 2 t j + t2 k; P0 = (0, 2, 1)
(e) Encontre o ponto de interseção das linhas tangente da curva r(t) = sin πt i +
2 sin πt j + cos πt k que passam pelos pontos definidos por t = 0 e t = 0.5.
13. Esboçar as curvas seguentes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrario
(a) r(t) = (2 + 3 cos t) i + (1 = sin t) j, t ∈
[0, 2π]
(c) r(t) = (1 + cos t) i + (1 + sin t) j + (2t) k,
t ∈ [0, 4π]
(b) r(t) = (t) i + (t + 2) j + (2t + 1) k, t ∈
[0, 1]
h πi
(d) r(t) = (2 cos t) i + 2 sin t j, t ∈ 0,
2
3
3
14. Encontre as funções mais gerais possíveis, sabendo que as funções abaixo são as suas derivadas
(r0 (t))
1
j
t
(b) ln t i + t2 j
1
4
i+
j
2
4+t
1 − t2
(e) e3t i + e−3t j − te3t k
1
t
(f) Se r0 (t) =
i − tan t j + 2
k e
t+1
t −1
r(0) = 4 i − 3 j + 5 k
(a) tan t i +
(d)
(c) Se r0 (t) = et sin t i + cos t j − et ke
r(0) = i − j + k
15. Verificar quais das seguentes curvas são suaves
hπ π i
(b) r(t) = 3 cos t i + 3 sin t j, t ∈
,
6 3
(c) r(t) = 2 cos t i + 3 sin t j, t ∈ [0, 2π]
(a) r(t) = 2 (t − sin t) i + 2 (1 − cos t) j,
t ∈ [−1, 1]
3
3
16. Determine o comprimento de arco
(a) r(t) = (t + 1) i − t2 j + (1 − 2t) k;
−1 ≤ t ≤ 2
(c) r(t) = 4t3/2 i + 2 sin t j + 3 cos t k;
0≤t≤2
1 3
1 3
2
(d) r(t) = t i + t + t j + t − t k;
3
3
0≤t≤1
(b) r(t) = sin 2t i + cos 2t j + 2t3/2 k;
0≤t≤1
3
17. Escreva a função de comprimento de arco, l, desde t = 0
(a) r(t) = (sin t − t cos t) i + (cos t + t sin t) j
(c) r(t) = cosh t i + sinh t j + t k
(b) r(t) = 2 (t − sin t) i + 2 (1 − cos t) j
(d) r(t) = et cos t i + et sin t j + et k
18. Reparametrize pelo comprimento de arco as seguentes curvas
2√ 3
(a) r(t) = 2t i +
8t j + t2 k
3
t ∈ [0, 3]
(c) r(t) = (1 − t) i + (2 + 2t) j + 3t k
t ∈ [0, 1]
3
(b) r(t)h= a cos
t i + a sin3 t j
i
π
t ∈ 0,
2
(d) r(t)h= 2 cos
t i + 4t j + 2 sin t k
πi
t ∈ 0,
2
19. Verificar se as curvas dadas estão parametrizadas pelo comprimento de arco.
(a) r(t) = ln (t + 1) i +
s3
+ s2
3
t
t
t
(c) r(t) = a cos i + 4 sin j + b k
c
c
c
c 2 = a2 + b 2
j
t>0
t
t
(b) r(t) = 4 cos i + 4 sin j
4
4
t ∈ [0, 8π]
(d) r(t) = (2t − 1) i + (t + 2) j + t k
t>0
20. Dar o dominio das seguentes funções vetoriais
(a) q(x, y) =
√
(c) v(x, y, z) = y j + x + z k
p
(d) r(x, y, z) = 2 − x2 − y 2 i +
p
1 − x2 = y 2 j + z k
1
√
i + xy j
xy
(b) u(x, y, z) = x2 y i + y j +
√
zk
4