LOGARITMOS 1. Introdução Histórica No fim do

LOGARITMOS
1. Introdução Histórica
No fim do século XVI, o desenvolvimento da Astronomia e da Navegação exigia
longos e laboriosos cálculos aritméticos, que nos anos próximos de 1600, era um
problema fundamental. Procurava-se então um processo que permitisse reduzir
cada operação de multiplicação, divisão, potenciação e radiciação em adição e
subtração.
Esta descoberta científica foi feita simultaneamente por duas pessoas trabalhando
independentemente. Não se trata de simples coincidência: tal descoberta
corresponde à solução de um problema importante, do qual muitos se vinham
ocupando.
Os logaritmos foram descobertos por. Jost Bürgi (1552-1632), suíço, relojoeiro,
matemático e inventor, e Jhon Napier (1550 – 1617), um nobre escocês, teólogo e
matemático, cada um deles desconhecendo inteiramente o outro, publicaram as
primeiras tábuas de logaritmos. As tábuas de Napier foram publicadas em 1614 e
as de Bürgi em 1620.
Uma tábua de logaritmos consiste essencialmente de duas colunas de números. A
cada número da coluna à esquerda corresponde um número à sua direita,
chamado o seu logaritmo. Para multiplicar dois números, basta somar seus
logaritmos; o resultado é o logaritmo do produto. Para achar o produto, basta ler
na tábua, da direita para a esquerda, qual o número que tem aquele logaritmo.
Semelhantemente, para dividir dois números basta subtrair os logaritmos. Para
elevar um número a sua potência basta multiplicar o logaritmo do número pelo
expoente. Finalmente, para extrair a raiz n-ésima de um número, basta dividir o
logaritmo do número pelo índice da raiz.
Logo depois do aparecimento da primeira tábua de logaritmos de Napier, o
matemático inglês Henry Briggs (1561 – 1631), professor da Universidade de
Londres, e depois de Oxford, elaborou, juntamente com Napier, uma nova tábua.
Utilizou os chamados logaritmos decimais, ou logaritmos ordinários, que tiram
proveito do fato de usarmos um sistema de numeração decimal.
Durante os trezentos e cinqüenta anos sucederam à descobertas dos logaritmos,
sua utilidade revelou-se decisiva na Ciência e na Tecnologia. Já Kepler, por volta
de 1620, atestava seu reconhecimento pela nova descoberta que segundo ele
“aumentava vastamente o poder computacional do astrônomo”. O próprio Napier,
um tanto imodestamente, reconhecendo o valor de sua descoberta, deu às suas
tábuas o título Mirifici logarithmorum cononis descriptio, que significa Uma
descrição da maravilhosa regra dos logaritmos.
Recentemente, com a utilização cada vez mais divulgada dos computadores, as
tábuas de logaritmos perderam algo do seu poder como instrumento de cálculo, o
mesmo acontecendo com as outras tabelas de matemáticas. Mas há diversas
razões pelas quais o estudo de logaritmos ainda é o continuará a ser de central
importância.
A principal dessas razoes é de natureza teórica. Embora eles tenham sido
inventados como acessório para facilitar operações aritméticas, o desenvolvimento
da matemática e das ciências em geral veio mostrar que diversas leis matemáticas
e vários fenômenos naturais e mesmo sociais são estreitamente relacionados com
os logaritmos. Assim sendo, os logaritmos, que no princípio eram importantes
apenas por causa das tábuas, mostraram ter apreciável valor intrínseco.
2. DEFINIÇÃO
Chamamos de logaritmo de a, na base b, ao número c, tal que:
Onde:
a = logaritmando
b = base
c = logaritmo
Uma observação importante sobre o estudo dos logaritmos diz respeito ao seu
domínio ou campo de existência. Só existem logaritmos de números positivos,
com bases também positivas e diferentes de 1. Ou seja, para calcular o logaritmo
de a, na base b, é necessário que a > 0, b>0 e b≠1.
Desta forma, podemos afirmar que:
2.1 ALGUNS LOGARITMOS ESPECIAIS:
1)
O
logaritmo
da
unidade,
em
qualquer
base,
é
nulo,
ou
seja:
2) O logaritmo de um valor, na mesma base, é sempre igual a 1, ou seja:
3) O logaritmo de uma potência, cuja base seja igual à base do logaritmo, será
igual ao expoente da potência.
4) Se log M = log N então podemos concluir que M = N.
Esta propriedade é muito utilizada na solução de exercícios envolvendo equações
onde aparecem logaritmos (equações logarítmicas).
5) b elevado ao logaritmo de M na base b é igual a M
3. BASES ESPECIAIS
Entre as bases de logaritmos, duas se destacam, tanto pela sua aplicabilidade
prática, quanto pela sua importância no trato com logaritmos. Estas duas bases
são a base dez e a base e.
3.1. Base dez:
Quando um logaritmo apresenta a base dez, dizemos que se trata de um logaritmo
decimal. A base dez, por convenção, não precisa ser escrita. Veja os exemplos:
3.2. Base e:
O número e, é conhecido como número de Euller e vale aproximadamente 2,718...
Este número tem origem na expressão
Quando um logaritmo possui base e, ele é chamado de logaritmo neperiano, e
representado por ln. Deste modo:
4. MUDANÇA DE BASE
A base de um logaritmo pode ser modificada de acordo com a necessidade ou
com os dados de um determinado problema. Um bom exemplo de necessidade de
mudança de base de logaritmos é a utilização das calculadoras. Como vimos
anteriormente, as calculadoras trabalham apenas com a base 10 e base e. Desta
forma, se quisermos encontrar, utilizando calculadoras, o valor de um logaritmo
que não esteja numa destas duas bases, precisamos modificá-la.
Para mudar a base de um logaritmo utilizamos a seguinte relação:
Deste modo, podemos estabelecer as seguintes igualdades:
5. PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS
Foi dito, no início deste texto, que os logaritmos permitem transformar
multiplicações em somas e subtrações em divisões, entre outras alterações que
visam facilitar o trato dos números.
Estas transformações são possíveis com a utilização das propriedades dos
logaritmos, que veremos a seguir.
5.1 LOGARITMO DO PRODUTO:
5.2 LOGARITMO DO QUOCIENTE:
5.3 LOGARITMO DA POTÊNCIA:
5.3.1 CASO PARTICULAR: LOGARITMO DE RAIZ:
Um caso particular da propriedade de logaritmo da potência, é o logaritmo de
raízes. Para tanto, basta transformar a raiz nma potência de expoente fracionário,
conforme o modelo a seguir:
6. FUNÇÃO LOGARITMICA
6.1 DEFINIÇÃO
Chamamos de função logarítmica, à função da forma
6.2 DOMÍNIO E IMAGEM
Percebe-se, da definição de logarítmos, que esta fnção deve apresentar os
seguintes conjuntos para domínio e imagem:
Domínio: x > 0 , com b>0 e b≠1.
Imagem: Reais
6.3 GRÁFICOS DE FUNÇÕES LOGARITMICAS
Observe os gráficos das funçõs logarítmicas a seguir, que estão comparados aos
gráficos das suas respectivas funções inversas. Lembre-se que o gráfico de uma
função e o da sua inversa são simétricos em relação á bissetriz dos quadrantes
ímpares (reta x = y).
Função logaritmica crescente: Função
(base a > 1)
logaritmica
decrescente:
(base 0< a< 1)
7. APLICAÇÔES
1.
Quem é maior
Ora, suponha que
Então,
?
.
.
Daí segue que
E
ou
.
.
Multiplicando tudo por 9, vem:
O que confirma a suposição. Portanto,
2.
Quantos algarismos tem o número
.
é maior que
.
?
Sem dúvida é um número gigantesco. Agora observe que:
log 3 = 0,477121
log 20 = 1,301030
log 570 = 2,755875
log 6780 = 3,831230
log 10990 = 4,040998
log 325400 = 5,512418
Percebeste o que está acontecendo?
A parte inteira do logaritmo chama-se característica e a parte decimal chama-se
mantissa.
Por exemplo, log 570 =2,755875. A característica é 2 (parte inteira) e a mantissa é
0,755875.
Agora observe que se você determina o logaritmo de um número que tem 5
algarismos, a resposta obtida começará pelo número 4. Se você determina o
logaritmo de um número de 3 algarismos, a resposta obtida começará pelo
número 2. Ou seja, a característica será sempre a quantidade de algarismos do
número menos um.
Ah, e o que tem isso a ver com a quantidade de algarismos de
Façamos x =
Então log x = log
.
.
Segue que log x = 1000 log 2.
Daí log x = 1000 . 0,301029995.
Finalmente log x = 301,0299957.
.
Se a característica é 301 significa que x tem 302 algarismos, ou seja, não se sabe
quanto vale
algarismos.
, mas sabe-se com certeza que esse número possui 302