Roteiro 1

Roteiro de Estudo de F604
1o Semestre de 2014
Prof. Carlos Lenz Cesar
Primeira Parte: Teoria da Probabilidade
1. Teoria dos conjuntos: considere a seguinte notação A+B = AB, AB = AB,
Ā = complementar de A, A – B = conjunto dos elementos que pertencem à A e não
pertencem à B, {} = conjunto vazio, S = conjunto universo. Mostre que:
a.
A  B  AB
b. AB  A  B
c. Considere a função Indicador de um conjunto definida por: (e): A 
/ (e) = 1 se e  A e (e) = 0 se e  A. Mostre que (AB) = (A) (B),
(Ā) = 1- (A) e que (A+B) = (A) + (B) - (A) (B).
2. Quais são os 3 axiomas da Teoria da Probabilidade? Partindo dos axiomas e da
álgebra de conjuntos mostre que:
a. P({Ø}) = 0.
b. P(A) = 1 – P(Ā).
c. P(S) = 1.
d. P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB).
e. Mostre que a probabilidade condicional definida por P( A | B) 
P( AB )
satisfaz
P( B)
os axiomas da probabilidade.
f. Teorema de Bayes. Seja {A1, A2, ..., An} uma partição do conjunto A, i.e.,
Ai Aji ={} e i Ai = A. Prove que P( Ai | B) 
P( B | Ai ) P( Ai )
.
 P( B | A j ) P( A j )
j
3. Seja a função probabilidade de uma variável aleatória definida por
F  x   P  xv  x .
a. Mostre que F    1 , F    0 , F  x2  x1   F  x1  , ou seja, F  x  é
crescente, e que F  x    F  x  , ou seja, F  x  é contínua à direita.
b. A função densidade de probabilidade é definida por f  x  
f  x  0 ,

x2

x1
d
F  x  . Mostre que
dx
 f ( x) dx 1 e que P( x1  x  x2 )   f ( x) dx .

4. A operação esperança é definida por E  g  x    g  x  f  x  dx para uma variável

ou E  g  x, y  

 g  x, y  f  x, y  dx dy
para duas variáveis. A covariância entre x

e y é definida por cov  x, y   E  x  E  x   y  E  y  e a variância por
2
V  x   cov  x, x   E  x  E  x   . Mostre que:


a. E  a   a ;
b. E  x  y   E  x   E  y  ;
c. E  x   y    E  x    E  y  ;
d. Se
f  x, y   f x  x  f y  y  ,
variáveis
aleatórias
independentes,
então
E  xy   E  x  E  y  ;
e. Se x e y são independentes então cov  x, y   0 ;
f.
cov  x,  y    cov  x, y  ;
g. cov  x, a   0 ;
h. V    x   V  x  ;
2
i.
V  x  y   V  x   V  y   2cov  x, y  ;
j.
cov 2  x, y   V  x V  y 
5. Seja o momento de ordem n definido por M n  E  x n  . Mostre que se pode
extrair os momentos de qualquer ordem da função geradora dos momentos
 dn

M  t   E e  através de M n   n M  t  , desde que a função exista. A
 dt
 t 0
ixt
função característica é definida por   t   E  e  . Mostre que   0   1 e que
 
 t   1.
xt 
n
6. Os momentos centrados de ordem n são definidos por mn  E  x     onde


  E  x  . Mostre que os momentos centrados podem ser extraídos através de
 dn

e que a relação entre os momentos centrados e não
mn   n e t M  t 
dt

 t 0
n
n
n
n
nk
centrados é dada por M n      n k mk ou mn         M k . Mostre que os
k 0  k 
k 0  k 
momentos centrados ímpares de uma distribuição simétrica f    x   f    x 
são nulos.

i k ck k
t . Mostre
k 0 k !
7. A função geradora dos cumulantes é definida por C  t   ln   t   
que c0  0 e ck   i 
k
dk
ln   t  .
dt k 
t 0
Mostre que co  0 , c1   , c2   2 ,
c3  m3 e c4  m4  3 4 . Mostre que se x e y
ck , x  y  ck , x  ck , y , ou seja, os cumulantes se acumulam.
são independents então
8. Distribuição de Bernoulli. Nessa distribuição digital, onde só temos duas
possibilidades, 0 ou 1, falso ou verdadeiro, cara ou coroa, com probabilidade p de
obter 1 e probabilidade q de obter 0, a função densidade de probabilidade é dada por
f  x   q  x   p   x 1 . Mostre que a função característica da distribuição de
Bernoulli é dada por  Ber  t   q  peit e a função geradora dos cumulantes dada por
CBer  t   ln  q  peit  . Mostre que M k  p k e que mk  pq k   1 qp k . Em
k
particular mostre que m2  pq ; m3  pq 1  2 p  e m4  pq 1  3 pq .
9. Distribuição de Binomial. A binomial é obtida através da adição dos resultados de n
jogo de Bernoulli independentes. Mostre que a função característica da distribuição de
Binomail é dada por  Bin  t    q  peit  , a função geradora dos cumulantes dada por
n
CBin  t   n ln  q  peit  . Usando transformada de Fourier inversa mostre que a
n
n
densidade de probabilidade da binomial é dada por f  x      qn k p k  x  k  .
k 0  k 
10. Distribuição de Poisson. A distribuição de Poisson é uma caso particular da
binomial no qual n   , mas p  0 mantendo o produto np   constante. Mostre
  eit 1
que a função característica da distribuição de Poisson é dada por  Poisson  t   e
e
e  k
 x  k .
k!
k 0
Mostre que todos os cumulantes da distribuição de Poisson valem  . Encontre os
momentos M k de 1 a 4 da distribuição de Poisson.

que a função densidade de probabilidade é dada por f Poisson  x   
11. Distribuição Normal. A função característica da normal é obtida através de uma
função geradora dos cumulantes que só tem termos até ordem 2, ou seja
C  t   i t 
2
2
t 2 . Mostre, usando a transformada de Fourier inversa, que a função
densidade de probabilidade da normal é dada por f  x  
e

 x   2
2 2
2 
. Mostre que os
momentos pares da distribuição normal valem m2k   2k 1!! 2k .
12. Distribuição Log-Normal. A distribuição log-normal é obtida da distribuição
normal através da mudança de variável y  e x . Mostre que a função densidade de
probabilidade da log-normal é dada por f  y  
de ordem k da log-normal valem M k  e
m3  e
3
3   2
2
e
2
 e
1
2
2

k  k 2

2
2
e

 ln y   2
2 2
2  y


. Mostre que m2  e2  2 e  1 ,
2
 e
 2 e m4  e4  2 e  1
2
. Mostre que os momentos
2
2
4 2
2

 2e3  3e 2  3 .
2
2
13.Distribuição Gamma. A função densidade de probabilidade da distribuição Gamma

 1
x


e
H  x  , onde ( z )  ( z  1)!  t z 1e  t dt é a
é dada por f  x;  ,    
   
0
x

função Gamma. Mostre que
 f ( x; ,  ) dx  1 .
0
Mostre que  (t )  (1  i t ) e
que C (t )   ln(1  i  t ) . Expandindo a função característica em binômio de Newton
mostre que os momentos são dados por M k 
(  k  1)! k
 . Expandindo o
(  1)!
logaritmo da função geradora dos cumulantes em série de Taylor-McLaurin mostre
que os cumulantes são dados por ck   k  1! k . Mostre que m2   2 ,
m3  2 3 e m4  3   2  4 . Mostre que a distribuição Gamma converge para a
distribuição Normal quando    . Aditividade da Distribuição Gamma: sejam
x1 , x2 , , xn n v.a.’s que seguem uma distribuição Gamma com mesmo
diferentes. Mostre que a v.a. y  x1  x2   xn segue a distribuição gamma com
  1  2   n e mesmo  .
14. Teorema Central do Limite:
Segunda Parte: Mecânica Estatística
15.A partir das equações de Hamilton-Jacobi da Mecância Clássica e da equação da
continuidade prove o teorema de Liouville para a densidade de estados no espaço das
fases. Mostre que se a densidade de estados só depende das coordenadas
generalizadas q e p através do Hamiltoniano então

 0 e o sistema estará em
t
equilíbrio.
16. Mostre que o volume de uma hiperesfera de raio R em n dimensões vale:
 n/2 n
Vn   dx1dx2 ...dxn 
R .
(
n
/
2
)!
n
2
2
 xi  R
i 1
17. Problemas 2.4, 2.6 e 2.7 do Reif.
18. Problemas 6.13, 6.14 e 6.15 do Reif.
19. Mostre que U = (3/2) nRT e PV = nRT para um gás ideal monoatômico utilizando os
ensembles microcanônico, canônico, grand-canônico e T-P.
20. Use as propriedades das transformadas de Laplace para calcular a densidade de
estados do ensemble microcanônico através da função de partição do ensemble
canônico.
21. Mostre que U = (5/2) nRT para um gás ideal monoatômico na presença de uma
campo gravitacional constante g. Sugestão: use o ensemble canônico.
22. Repita o problema 14 no ensemble microcanônico para o caso em que Lz é infinito. O
que complicaria se Lz fosse finito?
23. Resolva o problema de um sólido paramagnético com spin ½ na presença de uma
campo magnético externo H nos ensembles microcanônico e canônico.
24. Rubber band model. Imagine que a cadeia polimérica da figura abaixo seja formada
por n monômeros que só podem se posicionar ao longo do eixo x ou y. A energia dos
monômeros ao longo do eixo x é nula e do y vale E. Considere nx+, nx-, ny+ e ny- o
número deles orientados em +x, -x, +y e –y. Determine nx+, nx-, ny+ e ny- para manter
n, U, Lx e Ly constantes (ensemble microcanônico) e calcule a entropia do sistema.
Com isso calcule as tensões no polímero. Mostre que equilíbrio mecânico obriga
Ly = 0. Calcule o comprimento Lx
x e o módulo de
elasticidade para tensões pequenas.
Ly
Lx
x
25.
o. Ache a energia média
de um sistema de osciladores no ensemble canônico. Calcule o calor específico à
volume constante e discuta seu comportamento para temperaturas muito altas e muito
baixas. Qual seria o valor do calor específico no caso clássico?