Modelagem Matemática I - ICC500

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Introdução à Otimização Combinatória
Modelagem Matemática I
Professora:
Rosiane de Freitas
([email protected])
Colaborador
Bruno Raphael Cardoso Dias
([email protected])
Universidade Federal do Amazonas - UFAM
Instituto de Computação - IComp
Manaus-AM, Brasil
Abril de 2015
Abril de 2015
Rosiane de Freitas (IComp/UFAM)
Modelagem Matemática I
Abril de 2015
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Roteiro
Roteiro
1
Programação Linear
Modelagem Matemática
Problema da Mochila 0 − 1
Problema da Mochila Inteira
Problema da Mochila Fracionária
Exemplos de Modelagem de Problemas de PL Contı́nua
2
Referências
Rosiane de Freitas (IComp/UFAM)
Modelagem Matemática I
Abril de 2015
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Programação Linear
Modelagem Matemática
Modelagem Matemática
Na área de Pesquisa Operacional os problemas são representados
por modelos matemáticos.
Rosiane de Freitas (IComp/UFAM)
Modelagem Matemática I
Abril de 2015
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Programação Linear
Modelagem Matemática
Modelagem Matemática
Na área de Pesquisa Operacional os problemas são representados
por modelos matemáticos.
Um modelo matemático é uma representação simplificada de
uma situação da vida real, formalizado com sı́mbolos e expressões
matemáticas.
Rosiane de Freitas (IComp/UFAM)
Modelagem Matemática I
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Programação Linear
Modelagem Matemática
Modelagem Matemática
Tipos de Modelos Matemáticos de Otimização:
Rosiane de Freitas (IComp/UFAM)
Modelagem Matemática I
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Programação Linear
Modelagem Matemática
Modelagem Matemática
Tipos de Modelos Matemáticos de Otimização:
1
Programação Linear
Rosiane de Freitas (IComp/UFAM)
Contı́nua
Inteira
Modelagem Matemática I
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Programação Linear
Modelagem Matemática
Modelagem Matemática
Tipos de Modelos Matemáticos de Otimização:
Contı́nua
Inteira
1
Programação Linear
2
Programação Não-linear.
Rosiane de Freitas (IComp/UFAM)
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Programação Linear
Modelagem Matemática
Programação Linear Contı́nua
Programação Linear Contı́nua
Um caso particular dos modelos de programação linear em que as
variáveis são contı́nuas e apresentam comportamento linear, tanto em
relação às restrições como à função objetivo.
Rosiane de Freitas (IComp/UFAM)
Modelagem Matemática I
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Programação Linear
Modelagem Matemática
Programação Linear Contı́nua
Programação Linear Contı́nua
Um caso particular dos modelos de programação linear em que as
variáveis são contı́nuas e apresentam comportamento linear, tanto em
relação às restrições como à função objetivo.
Os problemas de Programação Linear determinam um planejamento
ótimo das atividades, que representa a melhor solução entre todas as
soluções possı́veis.
Rosiane de Freitas (IComp/UFAM)
Modelagem Matemática I
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Programação Linear
Modelagem Matemática
Programação Linear Contı́nua
Programação Linear Contı́nua
Um caso particular dos modelos de programação linear em que as
variáveis são contı́nuas e apresentam comportamento linear, tanto em
relação às restrições como à função objetivo.
Os problemas de Programação Linear determinam um planejamento
ótimo das atividades, que representa a melhor solução entre todas as
soluções possı́veis.
Exemplos:
Maximizar
Sujeito a
z =c ·x
A · x = b
x ∈ R+
Rosiane de Freitas (IComp/UFAM)
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Programação Linear
Modelagem Matemática
Programação Linear Inteira
Programação Linear Inteira
Um modelo de otimização constitui um problema de Programação
Inteira se qualquer variável não puder assumir valores contı́nuos,
ficando condicionada a assumir valores discretos.
Rosiane de Freitas (IComp/UFAM)
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Programação Linear
Modelagem Matemática
Programação Linear Inteira
Programação Linear Inteira
Um modelo de otimização constitui um problema de Programação
Inteira se qualquer variável não puder assumir valores contı́nuos,
ficando condicionada a assumir valores discretos.
Exemplos:
Maximizar
Sujeito a
z =c ·x
A · x = b
x ∈ Z+
Rosiane de Freitas (IComp/UFAM)
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Programação Linear
Modelagem Matemática
Programação Não-linear
Programação Não-linear
Um modelo de otimização constitui um problema de Programação
Não-linear se exibir qualquer tipo de não-linearidade, seja na função
objetivo ou em qualquer de suas restrições.
Rosiane de Freitas (IComp/UFAM)
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Programação Linear
Modelagem Matemática
Programação Não-linear
Programação Não-linear
Um modelo de otimização constitui um problema de Programação
Não-linear se exibir qualquer tipo de não-linearidade, seja na função
objetivo ou em qualquer de suas restrições.
Exemplos:
x n para n 6= 1
n2
2x 3
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Programação Linear
Modelagem Matemática
Problemas de Programação Matemática e Problemas de Otimização
O que são problemas de Otimização?
Os problemas de Otimização são problemas de maximização ou
minimização de funções de variáveis, num determinado domı́nio,
normalmente definido por um conjunto de restrições nas variáveis.
Rosiane de Freitas (IComp/UFAM)
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Programação Linear
Modelagem Matemática
Problemas de Programação Matemática e Problemas de Otimização
O que são problemas de Otimização?
Os problemas de Otimização são problemas de maximização ou
minimização de funções de variáveis, num determinado domı́nio,
normalmente definido por um conjunto de restrições nas variáveis.
O que são problemas de programação matemática?
Os problemas de Programação Matemática são uma classe particular de
Problemas de Otimização, aplicados inicialmente nos campos da
organização e da gestão econômica, em que o objetivo e as restrições são
dadas como funções matemáticas e relações funcionais.
Rosiane de Freitas (IComp/UFAM)
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Programação Linear
Modelagem Matemática
Problemas de Programação Matemática e Problemas de Otimização
O que são problemas de Otimização?
Os problemas de Otimização são problemas de maximização ou
minimização de funções de variáveis, num determinado domı́nio,
normalmente definido por um conjunto de restrições nas variáveis.
O que são problemas de programação matemática?
Os problemas de Programação Matemática são uma classe particular de
Problemas de Otimização, aplicados inicialmente nos campos da
organização e da gestão econômica, em que o objetivo e as restrições são
dadas como funções matemáticas e relações funcionais.
A terminologia Programação Matemática tem sua origem na relação:
Programação ⇔ planejamento de atividades.
Matemática ⇔ o problema é representado por um modelo matemático composto
de funções objetivo(s) e restrições dependentes das variáveis de decisão.
Rosiane de Freitas (IComp/UFAM)
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Programação Linear
Problema da Mochila 0 − 1
Problema da Mochila 0 − 1
Problema da Mochila 0 − 1 (Knapsack Problem)
Um excursionista planeja fazer uma viagem acampando. Há 5 itens
que ele deseja levar consigo, mas estes, juntos, excedem o limite de
60 quilos que ele supõe ser capaz de carregar.
Para otimizar o processo de seleção dos objetos, ele atribui valores,
por ordem crescente de importância a cada um dos itens conforme a
tabela a seguir.
Rosiane de Freitas (IComp/UFAM)
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Programação Linear
Problema da Mochila 0 − 1
Problema da Mochila 0 − 1
Problema da Mochila 0 − 1 Knapsack Problem
Supondo a existência de uma unidade de cada item, faça um modelo
de programação inteira que maximize o valor total sem exceder as
restrições de peso.
Item
Peso (kg)
Valor
Rosiane de Freitas (IComp/UFAM)
1
52
100
2
23
60
3
35
70
Modelagem Matemática I
4
15
15
5
7
8
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Programação Linear
Problema da Mochila 0 − 1
Problema da Mochila 0 − 1
Variáveis de decisão
São incógnitas a serem determinadas pela solução do modelo.
1
Solução:
Rosiane de Freitas (IComp/UFAM)
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Programação Linear
Problema da Mochila 0 − 1
Problema da Mochila 0 − 1
Variáveis de decisão
São incógnitas a serem determinadas pela solução do modelo.
1
Solução:
Escolha da variável de decisão:
1, se o item j for colocado na mochila
xj =
0, caso contrário
Rosiane de Freitas (IComp/UFAM)
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Programação Linear
Problema da Mochila 0 − 1
Problema da Mochila 0 − 1
Função Objetivo
É uma função matemática que define a qualidade da solução em
função das variáveis de decisão.
Item
Peso (kg)
Valor
1
1
52
100
2
23
60
3
35
70
4
15
15
5
7
8
Solução:
Rosiane de Freitas (IComp/UFAM)
Modelagem Matemática I
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Programação Linear
Problema da Mochila 0 − 1
Problema da Mochila 0 − 1
Função Objetivo
É uma função matemática que define a qualidade da solução em
função das variáveis de decisão.
Item
Peso (kg)
Valor
1
1
52
100
2
23
60
3
35
70
4
15
15
5
7
8
Solução:
Elaboração da Função Objetivo:
max z = 100x1 + 60x2 + 70x3 + 15x4 + 8x5
Rosiane de Freitas (IComp/UFAM)
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Programação Linear
Problema da Mochila 0 − 1
Problema da Mochila 0 − 1
Restrições
Leva em conta as limitações fı́sicas do sistema, o modelo deve incluir
restrições que limitam as variáveis de decisão a seus valores possı́veis
(ou viáveis).
Item
Peso (kg)
Valor
1
1
52
100
2
23
60
3
35
70
4
15
15
5
7
8
Solução:
Rosiane de Freitas (IComp/UFAM)
Modelagem Matemática I
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Programação Linear
Problema da Mochila 0 − 1
Problema da Mochila 0 − 1
Restrições
Leva em conta as limitações fı́sicas do sistema, o modelo deve incluir
restrições que limitam as variáveis de decisão a seus valores possı́veis
(ou viáveis).
Item
Peso (kg)
Valor
1
1
52
100
2
23
60
3
35
70
4
15
15
5
7
8
Solução:
Restrições do Problema:
Rosiane de Freitas (IComp/UFAM)
Modelagem Matemática I
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Programação Linear
Problema da Mochila 0 − 1
Problema da Mochila 0 − 1
Restrições
Leva em conta as limitações fı́sicas do sistema, o modelo deve incluir
restrições que limitam as variáveis de decisão a seus valores possı́veis
(ou viáveis).
Item
Peso (kg)
Valor
1
1
52
100
2
23
60
3
35
70
4
15
15
5
7
8
Solução:
Restrições do Problema:
Limite de peso:
52x1 + 23x2 + 35x3 + 15x4 + 7x5 ≤ 60
(Pode-se carregar 60kg, no máximo).
Rosiane de Freitas (IComp/UFAM)
Modelagem Matemática I
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13 / 37
Programação Linear
Problema da Mochila 0 − 1
Problema da Mochila 0 − 1
Restrições
Leva em conta as limitações fı́sicas do sistema, o modelo deve incluir
restrições que limitam as variáveis de decisão a seus valores possı́veis
(ou viáveis).
Item
Peso (kg)
Valor
1
1
52
100
2
23
60
3
35
70
4
15
15
5
7
8
Solução:
Restrições do Problema:
Limite de peso:
52x1 + 23x2 + 35x3 + 15x4 + 7x5 ≤ 60
(Pode-se carregar 60kg, no máximo).
Tipo de variáveis: x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ∈ {0, 1}
Rosiane de Freitas (IComp/UFAM)
Modelagem Matemática I
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Programação Linear
Problema da Mochila 0 − 1
Problema da Mochila 0 − 1
Problema completo:
Rosiane de Freitas (IComp/UFAM)
Modelagem Matemática I
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14 / 37
Programação Linear
Problema da Mochila 0 − 1
Problema da Mochila 0 − 1
Problema completo:
Maximizar
Sujeito a
Rosiane de Freitas (IComp/UFAM)
z = 100x1 + 60x2 + 70x3 + 15x4 + 8x5
52x1 + 23x2 + 35x3 + 15x4 + 7x5 ≤ 60
x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ∈ {0, 1}
Modelagem Matemática I
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14 / 37
Programação Linear
Problema da Mochila 0 − 1
Problema da Mochila 0 − 1
Problema completo:
Maximizar
Sujeito a
z = 100x1 + 60x2 + 70x3 + 15x4 + 8x5
52x1 + 23x2 + 35x3 + 15x4 + 7x5 ≤ 60
x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ∈ {0, 1}
O problema da mochila pode ser formulado como:
Rosiane de Freitas (IComp/UFAM)
Modelagem Matemática I
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Programação Linear
Problema da Mochila 0 − 1
Problema da Mochila 0 − 1
Problema completo:
Maximizar
Sujeito a
z = 100x1 + 60x2 + 70x3 + 15x4 + 8x5
52x1 + 23x2 + 35x3 + 15x4 + 7x5 ≤ 60
x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ∈ {0, 1}
O problema da mochila pode ser formulado como:
P
Maximizar
Pj∈itens pj xj
Sujeito a
≤
Cap
j∈itens wj xj
xj ∈ {0, 1}∀j ∈ itens
Rosiane de Freitas (IComp/UFAM)
Modelagem Matemática I
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Programação Linear
Problema da Mochila 0 − 1
Problema da Mochila 0 − 1
O problema da mochila pode ser formulado como:
Rosiane de Freitas (IComp/UFAM)
Modelagem Matemática I
Abril de 2015
15 / 37
Programação Linear
Problema da Mochila 0 − 1
Problema da Mochila 0 − 1
O problema da mochila pode ser formulado como:
P
Maximizar
Pj∈itens pj xj
Sujeito a
≤
Cap
j∈itens wj xj
xj ∈ {0, 1}∀j ∈ itens
Rosiane de Freitas (IComp/UFAM)
Modelagem Matemática I
Abril de 2015
15 / 37
Programação Linear
Problema da Mochila 0 − 1
Problema da Mochila 0 − 1
O problema da mochila pode ser formulado como:
P
Maximizar
Pj∈itens pj xj
Sujeito a
≤
Cap
j∈itens wj xj
xj ∈ {0, 1}∀j ∈ itens
Considerando a notação a seguir:
Rosiane de Freitas (IComp/UFAM)
Modelagem Matemática I
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15 / 37
Programação Linear
Problema da Mochila 0 − 1
Problema da Mochila 0 − 1
O problema da mochila pode ser formulado como:
P
Maximizar
Pj∈itens pj xj
Sujeito a
≤
Cap
j∈itens wj xj
xj ∈ {0, 1}∀j ∈ itens
Considerando a notação a seguir:
itens: Todos os itens = {1, 2, 3, 4, 5}.
Rosiane de Freitas (IComp/UFAM)
Modelagem Matemática I
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Programação Linear
Problema da Mochila 0 − 1
Problema da Mochila 0 − 1
O problema da mochila pode ser formulado como:
P
Maximizar
Pj∈itens pj xj
Sujeito a
≤
Cap
j∈itens wj xj
xj ∈ {0, 1}∀j ∈ itens
Considerando a notação a seguir:
itens: Todos os itens = {1, 2, 3, 4, 5}.
Cap: Capacidade da mochila.
Rosiane de Freitas (IComp/UFAM)
Modelagem Matemática I
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Programação Linear
Problema da Mochila 0 − 1
Problema da Mochila 0 − 1
O problema da mochila pode ser formulado como:
P
Maximizar
Pj∈itens pj xj
Sujeito a
≤
Cap
j∈itens wj xj
xj ∈ {0, 1}∀j ∈ itens
Considerando a notação a seguir:
itens: Todos os itens = {1, 2, 3, 4, 5}.
Cap: Capacidade da mochila.
wj : Peso relativo ao item j.
Rosiane de Freitas (IComp/UFAM)
Modelagem Matemática I
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Programação Linear
Problema da Mochila 0 − 1
Problema da Mochila 0 − 1
O problema da mochila pode ser formulado como:
P
Maximizar
Pj∈itens pj xj
Sujeito a
≤
Cap
j∈itens wj xj
xj ∈ {0, 1}∀j ∈ itens
Considerando a notação a seguir:
itens: Todos os itens = {1, 2, 3, 4, 5}.
Cap: Capacidade da mochila.
wj : Peso relativo ao item j.
pj : Valor de retorno proporcionado pelo item j (prioridade).
Rosiane de Freitas (IComp/UFAM)
Modelagem Matemática I
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Programação Linear
Problema da Mochila Inteira
Problema da Mochila Inteira
Problema da Mochila Inteira
Trata-se de uma extensão do problema anterior, na qual para cada
item j existem uj unidades disponı́veis.
A modelagem de programação inteira deste problema é:
Maximizar
Sujeito a
P
Pj∈itens pj xj
≤
j∈itens wj xj
xj ≤ uj ∀j ∈
xj ∈ Z+ ∀j ∈ itens
Cap
itens
em que a variável de decisão xj indica o número de unidades do item j
alocados à mochila.
Rosiane de Freitas (IComp/UFAM)
Modelagem Matemática I
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Programação Linear
Problema da Mochila Fracionária
Problema da Mochila Fracionária
Problema da Mochila Fracionária (Knapsack Problem)
Um ladrão entra em uma loja para roubar e encontra n itens, onde
cada item i vale vi reais e wi quilos, sendo vi e wi inteiros.
O ladrão deseja levar a carga mais valiosa possı́vel mas, no entanto,
consegue carregar apenas 50 quilos na sua mochila.
Rosiane de Freitas (IComp/UFAM)
Modelagem Matemática I
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Programação Linear
Problema da Mochila Fracionária
Problema da Mochila Fracionária
Problema da Mochila Fracionária (Knapsack Problem)
Se fosse no problema da mochila 0 − 1, as restrições seriam que o
ladrão deveria levar os itens inteiros (isto é, xi assume apenas valor
inteiro: 0 ou 1), e pode levar um item apenas uma vez.
Para o problema da mochila fracionária, o ladrão pode levar frações
de um item, e desta forma xi pode assumir valores tal que 0 ≤ xi ≤ 1.
Seja os itens que o ladrão deseja levar com a seguinte configuração:
Item
1
2
3
Valor (R$)
60
100
120
Rosiane de Freitas (IComp/UFAM)
Peso (Kg)
10
20
30
Modelagem Matemática I
Valor por Kg
6
5
4
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Programação Linear
Problema da Mochila Fracionária
Problema da Mochila Fracionária (Knapsack Problem)
Item
1
2
3
1
Valor (R$)
60
100
120
Peso (Kg)
10
20
30
Valor por Kg
6
5
4
Solução:
Rosiane de Freitas (IComp/UFAM)
Modelagem Matemática I
Abril de 2015
19 / 37
Programação Linear
Problema da Mochila Fracionária
Problema da Mochila Fracionária (Knapsack Problem)
Item
1
2
3
1
Valor (R$)
60
100
120
Peso (Kg)
10
20
30
Valor por Kg
6
5
4
Solução:
Escolha da variável de decisão:
0 ≤ xi ≤ 1
Rosiane de Freitas (IComp/UFAM)
Modelagem Matemática I
Abril de 2015
19 / 37
Programação Linear
Problema da Mochila Fracionária
Problema da Mochila Fracionária (Knapsack Problem)
Item
1
2
3
1
Valor (R$)
60
100
120
Peso (Kg)
10
20
30
Valor por Kg
6
5
4
Solução:
Escolha da variável de decisão:
0 ≤ xi ≤ 1
Observação:
Como candidatos temos os diferentes objetos e a solução é
dada por um vetor {x1 , ..., xn } que indica que fração de cada
objeto deve ser incluı́da.
Rosiane de Freitas (IComp/UFAM)
Modelagem Matemática I
Abril de 2015
19 / 37
Programação Linear
Problema da Mochila Fracionária
Problema da Mochila Fracionária (Knapsack Problem)
Item
1
2
3
1
Valor (R$)
60
100
120
Peso (Kg)
10
20
30
Valor por Kg
6
5
4
Solução:
Rosiane de Freitas (IComp/UFAM)
Modelagem Matemática I
Abril de 2015
20 / 37
Programação Linear
Problema da Mochila Fracionária
Problema da Mochila Fracionária (Knapsack Problem)
Item
1
2
3
1
Valor (R$)
60
100
120
Peso (Kg)
10
20
30
Valor por Kg
6
5
4
Solução:
Elaboração da Função Objetivo:
max z = 60x1 + 100x2 + 120x3
Rosiane de Freitas (IComp/UFAM)
Modelagem Matemática I
Abril de 2015
20 / 37
Programação Linear
Problema da Mochila Fracionária
Problema da Mochila Fracionária (Knapsack Problem)
Item
1
2
3
1
Valor (R$)
60
100
120
Peso (Kg)
10
20
30
Valor por Kg
6
5
4
Solução:
Rosiane de Freitas (IComp/UFAM)
Modelagem Matemática I
Abril de 2015
21 / 37
Programação Linear
Problema da Mochila Fracionária
Problema da Mochila Fracionária (Knapsack Problem)
Item
1
2
3
1
Valor (R$)
60
100
120
Peso (Kg)
10
20
30
Valor por Kg
6
5
4
Solução:
Restrições do Problema:
Rosiane de Freitas (IComp/UFAM)
Modelagem Matemática I
Abril de 2015
21 / 37
Programação Linear
Problema da Mochila Fracionária
Problema da Mochila Fracionária (Knapsack Problem)
Item
1
2
3
1
Valor (R$)
60
100
120
Peso (Kg)
10
20
30
Valor por Kg
6
5
4
Solução:
Restrições do Problema:
Limite de peso:
10x1 + 20x2 + 30x3 ≤ 50
(Pode-se carregar 50kg, no máximo).
Rosiane de Freitas (IComp/UFAM)
Modelagem Matemática I
Abril de 2015
21 / 37
Programação Linear
Problema da Mochila Fracionária
Problema da Mochila Fracionária (Knapsack Problem)
Item
1
2
3
1
Valor (R$)
60
100
120
Peso (Kg)
10
20
30
Valor por Kg
6
5
4
Solução:
Restrições do Problema:
Limite de peso:
10x1 + 20x2 + 30x3 ≤ 50
(Pode-se carregar 50kg, no máximo).
Tipo de variáveis: 0 ≤ xi ≤ 1
Rosiane de Freitas (IComp/UFAM)
Modelagem Matemática I
Abril de 2015
21 / 37
Programação Linear
Problema da Mochila Fracionária
Problema da Mochila Fracionária (Knapsack Problem)
Problema completo:
Rosiane de Freitas (IComp/UFAM)
Modelagem Matemática I
Abril de 2015
22 / 37
Programação Linear
Problema da Mochila Fracionária
Problema da Mochila Fracionária (Knapsack Problem)
Problema completo:
Maximizar
Sujeito a
Rosiane de Freitas (IComp/UFAM)
z = 60x1 + 100x2 + 120x3
10x1 + 20x2 + 30x3 ≤
0 ≤ xi ≤ 1
Modelagem Matemática I
50
Abril de 2015
22 / 37
Programação Linear
Problema da Mochila Fracionária
Problema da Mochila Fracionária (Knapsack Problem)
Problema completo:
Maximizar
Sujeito a
z = 60x1 + 100x2 + 120x3
10x1 + 20x2 + 30x3 ≤
0 ≤ xi ≤ 1
50
O problema da mochila fracionária pode ser formulado
como:
Rosiane de Freitas (IComp/UFAM)
Modelagem Matemática I
Abril de 2015
22 / 37
Programação Linear
Problema da Mochila Fracionária
Problema da Mochila Fracionária (Knapsack Problem)
Problema completo:
Maximizar
Sujeito a
z = 60x1 + 100x2 + 120x3
10x1 + 20x2 + 30x3 ≤
0 ≤ xi ≤ 1
50
O problema da mochila fracionária pode ser formulado
como:
P
Maximizar Pni=1 vi xi
n
Sujeito a
≤
i=1 wi xi
0 ≤ xi ≤ 1
Rosiane de Freitas (IComp/UFAM)
Modelagem Matemática I
Cap
Abril de 2015
22 / 37
Programação Linear
Problema da Mochila Fracionária
Problema da Mochila Fracionária (Knapsack Problem)
O problema da mochila fracionária pode ser formulado
como:
Pn
Maximizar
Pni=1 vi xi
Sujeito a
≤
Cap
i=1 wi xi
0 ≤ xi ≤ 1
Rosiane de Freitas (IComp/UFAM)
Modelagem Matemática I
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23 / 37
Programação Linear
Exemplos de Modelagem de Problemas de PL Contı́nua
O Problema da Dieta
Exercı́cio:
O Problema da Dieta
Suponha que para participar dos jogos universitários deste ano, todo
aluno deve ’estar em forma’. Assim, assuma que você precise perder
peso para atender a este requisito exigido pela comissão organizadora
do evento.
Rosiane de Freitas (IComp/UFAM)
Modelagem Matemática I
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24 / 37
Programação Linear
Exemplos de Modelagem de Problemas de PL Contı́nua
O Problema da Dieta
Exercı́cio:
O Problema da Dieta
Suponha que para participar dos jogos universitários deste ano, todo
aluno deve ’estar em forma’. Assim, assuma que você precise perder
peso para atender a este requisito exigido pela comissão organizadora
do evento.
Mas, para isso, você precisa entrar em uma dieta de redução
calórica, reduzindo a quantidade de certos alimentos que deverão ser
ingeridos diariamente, de modo que determinados requisitos
nutricionais sejam satisfeitos a custo mı́nimo.
Rosiane de Freitas (IComp/UFAM)
Modelagem Matemática I
Abril de 2015
24 / 37
Programação Linear
Exemplos de Modelagem de Problemas de PL Contı́nua
O Problema da Dieta
Exercı́cio:
O Problema da Dieta
Suponha que para participar dos jogos universitários deste ano, todo
aluno deve ’estar em forma’. Assim, assuma que você precise perder
peso para atender a este requisito exigido pela comissão organizadora
do evento.
Mas, para isso, você precisa entrar em uma dieta de redução
calórica, reduzindo a quantidade de certos alimentos que deverão ser
ingeridos diariamente, de modo que determinados requisitos
nutricionais sejam satisfeitos a custo mı́nimo.
Suponha que, por motivos justificáveis, uma certa dieta alimentar
esteja restrita a leite desnatado, carne magra de boi, carne de
peixe e uma salada com uma composição bem conhecida.
Rosiane de Freitas (IComp/UFAM)
Modelagem Matemática I
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24 / 37
Programação Linear
Exemplos de Modelagem de Problemas de PL Contı́nua
O Problema da Dieta
Exercı́cio:
O Problema da Dieta
Sabendo-se ainda que os requisitos nutricionais serão expressos
em termos de vitaminas A, C e D e controlados por suas
quantidades mı́nimas (em miligramas), uma vez que são
indispensáveis à preservação da saúde da pessoa que estará se
submetendo à dieta.
Rosiane de Freitas (IComp/UFAM)
Modelagem Matemática I
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25 / 37
Programação Linear
Exemplos de Modelagem de Problemas de PL Contı́nua
O Problema da Dieta
Exercı́cio:
O Problema da Dieta
Sabendo-se ainda que os requisitos nutricionais serão expressos
em termos de vitaminas A, C e D e controlados por suas
quantidades mı́nimas (em miligramas), uma vez que são
indispensáveis à preservação da saúde da pessoa que estará se
submetendo à dieta.
A Tabela a seguir resume a quantidade de cada vitamina em
disponibilidade nos alimentos e a sua necessidade diária para a boa
saúde de uma pessoa.
Rosiane de Freitas (IComp/UFAM)
Modelagem Matemática I
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25 / 37
Programação Linear
Exemplos de Modelagem de Problemas de PL Contı́nua
O Problema da Dieta
Restrições e custos do problema:
Tabela : Restrições de nutrientes na dieta alimentar.
Vitamina
Leite
(litro)
Carne
(kg)
Peixe
(kg)
Salada
(100g)
A
C
D
Custo
2mg
50mg
80mg
2 reais
2mg
20mg
70mg
4 reais
10mg
10mg
10mg
1,5 real
20mg
30mg
80mg
1 real
Rosiane de Freitas (IComp/UFAM)
Modelagem Matemática I
Requisito
nutricional
mı́nimo
11mg
70mg
250mg
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Programação Linear
Exemplos de Modelagem de Problemas de PL Contı́nua
O Problema da Dieta
1
Vitamina
Leite
(litro)
Carne
(kg)
Peixe
(kg)
Salada
(100g)
A
C
D
Custo
2mg
50mg
80mg
2 reais
2mg
20mg
70mg
4 reais
10mg
10mg
10mg
1,5 real
20mg
30mg
80mg
1 real
Requisito
nutricional
mı́nimo
11mg
70mg
250mg
Solução:
Rosiane de Freitas (IComp/UFAM)
Modelagem Matemática I
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27 / 37
Programação Linear
Exemplos de Modelagem de Problemas de PL Contı́nua
O Problema da Dieta
1
Vitamina
Leite
(litro)
Carne
(kg)
Peixe
(kg)
Salada
(100g)
A
C
D
Custo
2mg
50mg
80mg
2 reais
2mg
20mg
70mg
4 reais
10mg
10mg
10mg
1,5 real
20mg
30mg
80mg
1 real
Requisito
nutricional
mı́nimo
11mg
70mg
250mg
Solução:
Escolha da variável de decisão:
xi ≡ quantidade de alimento do tipo i=(l=leite, c-carne,
p=peixe, s-salada) a ser utilizada na dieta escolhida.
Rosiane de Freitas (IComp/UFAM)
Modelagem Matemática I
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27 / 37
Programação Linear
Exemplos de Modelagem de Problemas de PL Contı́nua
O Problema da Dieta
1
Vitamina
Leite
(litro)
Carne
(kg)
Peixe
(kg)
Salada
(100g)
A
C
D
Custo
2mg
50mg
80mg
2 reais
2mg
20mg
70mg
4 reais
10mg
10mg
10mg
1,5 real
20mg
30mg
80mg
1 real
Requisito
nutricional
mı́nimo
11mg
70mg
250mg
Solução:
Escolha da variável de decisão:
xi ≡ quantidade de alimento do tipo i=(l=leite, c-carne,
p=peixe, s-salada) a ser utilizada na dieta escolhida.
Elaboração da Função objetivo:
z = Minimizar {f (x) = 2xl + 4xc + 1, 5xp + xs }
Número total de unidades monetárias gastas com a dieta.
Rosiane de Freitas (IComp/UFAM)
Modelagem Matemática I
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27 / 37
Programação Linear
Exemplos de Modelagem de Problemas de PL Contı́nua
O Problema da Dieta
Vitamina
A
C
D
Custo
1
Leite
(litro)
2mg
50mg
80mg
2 reais
Carne
(kg)
2mg
20mg
70mg
4 reais
Peixe
(kg)
10mg
10mg
10mg
1,5 real
Salada
(100g)
20mg
30mg
80mg
1 real
Req. nutr.
mı́nimo
11mg
70mg
250mg
Solução:
Rosiane de Freitas (IComp/UFAM)
Modelagem Matemática I
Abril de 2015
28 / 37
Programação Linear
Exemplos de Modelagem de Problemas de PL Contı́nua
O Problema da Dieta
Vitamina
A
C
D
Custo
1
Leite
(litro)
2mg
50mg
80mg
2 reais
Carne
(kg)
2mg
20mg
70mg
4 reais
Peixe
(kg)
10mg
10mg
10mg
1,5 real
Salada
(100g)
20mg
30mg
80mg
1 real
Req. nutr.
mı́nimo
11mg
70mg
250mg
Solução:
Formulação das restrições tecnológicas:
Rosiane de Freitas (IComp/UFAM)
Modelagem Matemática I
Abril de 2015
28 / 37
Programação Linear
Exemplos de Modelagem de Problemas de PL Contı́nua
O Problema da Dieta
Vitamina
A
C
D
Custo
1
Leite
(litro)
2mg
50mg
80mg
2 reais
Carne
(kg)
2mg
20mg
70mg
4 reais
Peixe
(kg)
10mg
10mg
10mg
1,5 real
Salada
(100g)
20mg
30mg
80mg
1 real
Req. nutr.
mı́nimo
11mg
70mg
250mg
Solução:
Formulação das restrições tecnológicas:
a) Restrição associada à demanda de vitamina A:
2xl + 2xc + 10xp + 20xs ≥ 11
Rosiane de Freitas (IComp/UFAM)
Modelagem Matemática I
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28 / 37
Programação Linear
Exemplos de Modelagem de Problemas de PL Contı́nua
O Problema da Dieta
Vitamina
A
C
D
Custo
1
Leite
(litro)
2mg
50mg
80mg
2 reais
Carne
(kg)
2mg
20mg
70mg
4 reais
Peixe
(kg)
10mg
10mg
10mg
1,5 real
Salada
(100g)
20mg
30mg
80mg
1 real
Req. nutr.
mı́nimo
11mg
70mg
250mg
Solução:
Formulação das restrições tecnológicas:
a) Restrição associada à demanda de vitamina A:
2xl + 2xc + 10xp + 20xs ≥ 11
b) Restrição associada à demanda de vitamina C:
50xl + 20xc + 10xp + 30xs ≥ 70
Rosiane de Freitas (IComp/UFAM)
Modelagem Matemática I
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28 / 37
Programação Linear
Exemplos de Modelagem de Problemas de PL Contı́nua
O Problema da Dieta
Vitamina
A
C
D
Custo
1
Leite
(litro)
2mg
50mg
80mg
2 reais
Carne
(kg)
2mg
20mg
70mg
4 reais
Peixe
(kg)
10mg
10mg
10mg
1,5 real
Salada
(100g)
20mg
30mg
80mg
1 real
Req. nutr.
mı́nimo
11mg
70mg
250mg
Solução:
Formulação das restrições tecnológicas:
a) Restrição associada à demanda de vitamina A:
2xl + 2xc + 10xp + 20xs ≥ 11
b) Restrição associada à demanda de vitamina C:
50xl + 20xc + 10xp + 30xs ≥ 70
c) Restrição associada à demanda de vitamina D:
80xl + 70xc + 10xp + 80xs ≥ 250
Rosiane de Freitas (IComp/UFAM)
Modelagem Matemática I
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Programação Linear
Exemplos de Modelagem de Problemas de PL Contı́nua
O Problema da Dieta
1
Solução:
Rosiane de Freitas (IComp/UFAM)
Modelagem Matemática I
Abril de 2015
29 / 37
Programação Linear
Exemplos de Modelagem de Problemas de PL Contı́nua
O Problema da Dieta
1
Solução:
Restrições de não negatividade:
xl ≥ 0, xc ≥ 0, xp ≥ 0, xs ≥ 0
Rosiane de Freitas (IComp/UFAM)
Modelagem Matemática I
Abril de 2015
29 / 37
Programação Linear
Exemplos de Modelagem de Problemas de PL Contı́nua
O Problema da Dieta
1
Solução:
Restrições de não negatividade:
xl ≥ 0, xc ≥ 0, xp ≥ 0, xs ≥ 0
Chegando finalmente ao problema completo:
Minimizar z = 2xl + 4xc + 1, 5xp + xs
sujeito a:
2xl + 2xc + 10xp + 20xs ≥ 11
50xl + 20xc + 10xp + 30xs ≥ 70
80xl + 70xc + 10xp + 80xs ≥ 250
xl ≥ 0, xc ≥ 0, xp ≥ 0, xs ≥ 0
Rosiane de Freitas (IComp/UFAM)
Modelagem Matemática I
Abril de 2015
29 / 37
Programação Linear
Exemplos de Modelagem de Problemas de PL Contı́nua
O Problema do Sı́tio
Exercı́cio:
O Problema do Sı́tio
Um sitiante está planejando sua estratégia de plantio para o próximo ano.
Por informações obtidas nos órgão governamentais, sabe-se que a culturas
de trigo, arroz e milho serão as mais rentáveis na próxima safra. Por
experiência, sabe que a produtividade de sua terra para as culturas
desejadas é constante na tabela a seguir:
Rosiane de Freitas (IComp/UFAM)
Modelagem Matemática I
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Programação Linear
Exemplos de Modelagem de Problemas de PL Contı́nua
O Problema do Sı́tio
Restrições e custos do problema:
Tabela : Restrições do problema do plantio.
Cultura
Produtividade em kg por
m2 (experiência)
Trigo
Arroz
Milho
0,2
0,3
0,4
Lucro
por
kg
de
Produção (informações
do goverto)
10,8 centavos
4,2 entavos
2,03 centavos
O Problema do Sı́tio (cont.)
Por falta de um local de armazenamento próprio, a produção máxima, em
toneladas, está limitada a 60. A área cultivável do sı́tio é de 200.000m2 .
Para atender às demandas de seu próprio sı́tio, é imperativo que se plante
400m2 de trigo, 800m2 de arroz e 10.000m2 de milho.
Rosiane de Freitas (IComp/UFAM)
Modelagem Matemática I
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Programação Linear
Exemplos de Modelagem de Problemas de PL Contı́nua
O Problema do Sı́tio
1
Cultura
Produtividade em kg
por m2 (experiência)
Trigo
Arroz
Milho
0,2
0,3
0,4
Lucro por kg de
Produção
(informações do goverto)
10,8 centavos
4,2 entavos
2,03 centavos
Solução:
Rosiane de Freitas (IComp/UFAM)
Modelagem Matemática I
Abril de 2015
32 / 37
Programação Linear
Exemplos de Modelagem de Problemas de PL Contı́nua
O Problema do Sı́tio
1
Cultura
Produtividade em kg
por m2 (experiência)
Trigo
Arroz
Milho
0,2
0,3
0,4
Lucro por kg de
Produção
(informações do goverto)
10,8 centavos
4,2 entavos
2,03 centavos
Solução:
Escolha da variável de decisão:
Neste exemplo as variáveis de decisão a serem utilizadas serão
referentes a quantidade de quilos produzidos em cada área a ser
plantada.
xi ≡ área em m2 a ser plantada da cultura do tipo i=(T=trigo,
A-arroz, M=Milho).
Rosiane de Freitas (IComp/UFAM)
Modelagem Matemática I
Abril de 2015
32 / 37
Programação Linear
Exemplos de Modelagem de Problemas de PL Contı́nua
O Problema do Sı́tio
1
Cultura
Produtividade em kg
por m2 (experiência)
Trigo
Arroz
Milho
0,2
0,3
0,4
Lucro por kg de
Produção
(informações do goverto)
10,8 centavos
4,2 entavos
2,03 centavos
Solução:
Rosiane de Freitas (IComp/UFAM)
Modelagem Matemática I
Abril de 2015
33 / 37
Programação Linear
Exemplos de Modelagem de Problemas de PL Contı́nua
O Problema do Sı́tio
1
Cultura
Produtividade em kg
por m2 (experiência)
Trigo
Arroz
Milho
0,2
0,3
0,4
Lucro por kg de
Produção
(informações do goverto)
10,8 centavos
4,2 entavos
2,03 centavos
Solução:
Elaboração da Função objetivo:
os coeficientes da função deverão ser calculados multiplicando-se
a produtividade por quilo pelo lucro previsto para cada quilo. O
resultado será a unidade monetária, no caso o centavo.
z = Minimizar {f (x) = 2, 16xT + 1, 26xA + 0, 812xM }.
Lucro em centavos.
Rosiane de Freitas (IComp/UFAM)
Modelagem Matemática I
Abril de 2015
33 / 37
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Exemplos de Modelagem de Problemas de PL Contı́nua
O Problema do Sı́tio
O Problema do Sı́tio (cont.)
Por falta de um local de armazenamento próprio, a produção máxima, em
toneladas, está limitada a 60. A área cultivável do sı́tio é de 200.000m2 .
Para atender às demandas de seu próprio sı́tio, é imperativo que se plante
400m2 de trigo, 800m2 de arroz e 10.000m2 de milho.
1
Solução:
Rosiane de Freitas (IComp/UFAM)
Modelagem Matemática I
Abril de 2015
34 / 37
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Exemplos de Modelagem de Problemas de PL Contı́nua
O Problema do Sı́tio
O Problema do Sı́tio (cont.)
Por falta de um local de armazenamento próprio, a produção máxima, em
toneladas, está limitada a 60. A área cultivável do sı́tio é de 200.000m2 .
Para atender às demandas de seu próprio sı́tio, é imperativo que se plante
400m2 de trigo, 800m2 de arroz e 10.000m2 de milho.
1
Solução:
Formulação das restrições tecnológicas:
a) Restrições associadas à demanda do sı́tio (em
unidade de área - m2 ):
xT ≥ 400
xA ≥ 800
xM ≥ 10.000
Rosiane de Freitas (IComp/UFAM)
Modelagem Matemática I
Abril de 2015
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Programação Linear
Exemplos de Modelagem de Problemas de PL Contı́nua
O Problema do Sı́tio
O Problema do Sı́tio (cont.)
Por falta de um local de armazenamento próprio, a produção máxima, em
toneladas, está limitada a 60. A área cultivável do sı́tio é de 200.000m2 .
Para atender às demandas de seu próprio sı́tio, é imperativo que se plante
400m2 de trigo, 800m2 de arroz e 10.000m2 de milho.
1
Solução:
Rosiane de Freitas (IComp/UFAM)
Modelagem Matemática I
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O Problema do Sı́tio
O Problema do Sı́tio (cont.)
Por falta de um local de armazenamento próprio, a produção máxima, em
toneladas, está limitada a 60. A área cultivável do sı́tio é de 200.000m2 .
Para atender às demandas de seu próprio sı́tio, é imperativo que se plante
400m2 de trigo, 800m2 de arroz e 10.000m2 de milho.
1
Solução:
b) Restrição associada a área total disponı́vel:
xT + xA + xM ≤ 200.000
Rosiane de Freitas (IComp/UFAM)
Modelagem Matemática I
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Exemplos de Modelagem de Problemas de PL Contı́nua
O Problema do Sı́tio
O Problema do Sı́tio (cont.)
Por falta de um local de armazenamento próprio, a produção máxima, em
toneladas, está limitada a 60. A área cultivável do sı́tio é de 200.000m2 .
Para atender às demandas de seu próprio sı́tio, é imperativo que se plante
400m2 de trigo, 800m2 de arroz e 10.000m2 de milho.
1
Solução:
b) Restrição associada a área total disponı́vel:
xT + xA + xM ≤ 200.000
c) Restrição associada ao armazenamento (em quilos):
Utilizam-se os coeficientes da produtividade por unidade de
área obter um valor final em quilos:
0, 2xT + 0, 3xA + 0, 4xM ≤ 60.000
Rosiane de Freitas (IComp/UFAM)
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Solução:
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O Problema do Sı́tio
1
Solução:
Restrições de não negatividade:
xT ≥ 0, xA ≥ 0, xM ≥ 0
Rosiane de Freitas (IComp/UFAM)
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Exemplos de Modelagem de Problemas de PL Contı́nua
O Problema do Sı́tio
1
Solução:
Restrições de não negatividade:
xT ≥ 0, xA ≥ 0, xM ≥ 0
Chegando finalmente ao problema completo:
Minimizar z = 2, 16xT + 1, 26xA + 0, 812xM
sujeito a:
xT ≥ 400
xA ≥ 800
xM ≥ 10.000
xT + xA + xM ≤ 200.000
0, 2xT + 0, 3xA + 0, 4xM ≤ 60.000
xT ≥ 0, xA ≥ 0, xM ≥ 0
Rosiane de Freitas (IComp/UFAM)
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Referências
Modelagem Matemática
1
Referências
BREGALDA, Paulo F., OLIVEIRA, Antônio. A. F.,
BORNSTEIN, Cláudio T.. Introdução à Programação Linear, 3a
Edição, Editora Campus, 1988.
GOLDBARG, M. C. e LUNA, H. P.. Otimização Combinatória e
Programação Linear, 2a Edição, Editora Campus, 2005.
LAWLER, Eugene. Combinatorial Optimization: Networks and
Matroids, 1a Edição, 1975.
MACULAN, Nelson e FAMPA Marcia H. C.. Otimização Linear,
1a Edição, Editora UNB, 2006.
Rosiane de Freitas (IComp/UFAM)
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