"a tensão" -curto-circuito apenas

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EXERCÍCIOS TEÓRICOS E TEÓRICO-PRÁTICOS
FOLHA 1 – Introdução e Conceitos Básicos
1.1 - Diga o que entende por comportamento reológico de um material e explique a necessidade de modelos
físicos ou matemáticos que o traduzam.
1.2 - Qual é a hipótese fundamental colocada pela Mecânica dos Meios Contínuos? Explique o significado
matemático e físico da hipótese enunciada e diga em que casos ela é válida.
1.3 - Distinga forças interiores e forças exteriores de um corpo.
1.4 - Indique as componentes do vector tensão numa faceta associada a um ponto qualquer de um corpo, num
sistema de eixos cartesianos. Identifique a tensão normal e a tensão tangencial.
1.5 – Numa barra sujeita a uma tracção uniforme na direcção do seu eixo de grandeza , calcule a tensão normal
e a tensão tangencial numa faceta inclinada de um ângulo  em relação ao eixo da barra.
FOLHA 2 – Teoria das tensões
2.1 - Represente graficamente as tensões no paralelepípedo elementar que contém o ponto P no interior de um
corpo. Utilize a notação de Von-Karman.
2.2 - Deduza as equações de equilíbrio de um paralelepípedo elementar no interior de um corpo sujeito:
a) apenas à acção da gravidade; b) a uma aceleração horizontal.
2.3 - Escreva as tensões em 3 facetas ortogonais no interior: a) de um líquido em repouso; b) de uma barra
sujeita a uma tracção uniaxial uniforme.
2.4- No interior de um corpo sujeito a forças de massa nulas, o campo de tensões foi aproximado pelas seguintes
expressões:  x  x 2 y  A ;  y  B y 3 ;  xy  C  D y 2 x ;  z   xz   yz  0 , em que A, B, C e D são constantes. É
possível esta representação do estado de tensão para valores arbitrários das constantes? Justifique.
2.5- Prove que as tensões tangenciais que actuam em facetas ortogonais têm valores iguais.
2.6 - Distinga tensão numa faceta, estado de tensão num ponto e estado de tensão num corpo.
2.7 - Diga, justificando, quantas são as componentes necessárias para definir o estado de tensão num ponto do
interior de um corpo.
2.8- Escreva uma matriz que represente o tensor das tensões num ponto, correspondente a um estado de tensão i)
axissimétrico; ii) isotrópico.
2.9 - Deduza as expressões que permitem calcular as tensões principais num estado duplo de tensão ou quando é
conhecida uma das tensões principais.
2.10 - As componentes do estado de tensão num corpo são aproximadas pelas seguintes funções: x=y =ab(y+x); z = c ; xy=xz=yz=0. No ponto P, de coordenadas (-1;0;1), determine:
a) a tensão normal e a tensão tangencial numa faceta igualmente inclinada relativamente aos eixos xyz.
b) a matriz que representa o tensor das tensões no ponto P, referido a um sistema de eixos ortogonal, x'y'z',
obtido por uma rotação de 45o, relativamente aos eixos xyz, em torno do eixo x.
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2.11 – No problema 4.3, determine as componentes isotrópica e tangencial pura do estado de tensão.
2.12 - Defina tensões octaédricas e deduza as expressões que permitem calcular a tensão normal e a tensão
tangencial em facetas octaédricas.
2.13 - Mostre que a tensão tangencial máxima ocorre em facetas que fazem ângulos de 45º com as direcções
principais.
2.14 - Justifique a seguinte afirmação: a faceta que faz um ângulo  com a direcção principal máxima encontrase representada na circunferência de Mohr por um ponto P tal que a recta que une P ao centro da circunferência
faz um ângulo 2 com o eixo das abcissas, marcado no sentido horário.
2.15 - O tensor das tensões é definido por:  x =-5C;  y =C;  z =C;  xy =-4C;  xz =  yz =0. Determine
analiticamente e graficamente as tensões e as direcções principais do estado de tensão.
2.16 - O estado de tensão num ponto é definido pelas seguintes componentes do tensor das tensões:  x =a;
 y =  z =  xy =  xz =  yz =0. Prove que:
a) a tensão tangencial máxima vale a/2; b) na faceta onde actua a tensão tangencial máxima, a tensão normal é
a/2; c) as componentes do tensor das tensões no sistema de eixos octaédrico são:  x =  y =  z = a/3;
 xy =  yz =a/3  xz =a/3.
2.17 - Um ponto P está sujeito a um estado plano de tensão. Sabe-se que, na direcção x, existe uma tensão de
compressão de 2a. A tensão principal máxima é de tracção, de grandeza a e actua numa faceta que faz 45º com
a direcção x. Determine o estado de tensão no ponto P.
FOLHA 3 – Teoria das extensões
3.1- Diga, justificando, em que condições se podem sobrepor estados de deformação distintos, i.e., adicionar as
extensões e as distorções correspondentes a diferentes campos de deslocamentos.
3.2- Resolver os exercícios III.1 e III.2, pág. 60 do livro de texto.
3.3- O que entende por deformação compatível? Distinga compatibilidade local e global.
3.4- Deduza as equações de compatibilidade local num corpo sujeito a deformações e rotações que podem ser
consideradas infinitesimais.
3.5- Defina grau de conexão de um corpo e explique porque as condições de compatibilidade local são
condições necessárias e suficientes de compatibilidade em corpos simplesmente conexos.
3.6- Deduza as expressões que permitem determinar a extensão e a distorção numa faceta octaédrica.
3.7- Determine os invariantes do estado de deformação num ponto e da componente distorcional pura do estado
de deformação.
3.8- Deduza directamente as expressões ( i.e., sem recorrer à particularização das expressões do estado de tensão
tridimensional ) que permitem calcular a extensão e a distorção num estado bidimensional de deformação em
que as deformações e as rotações são infinitesimais.
3.9 - Prove que, numa região infinitesimal em torno de um ponto, num sistema em que as deformações e as
rotações são infinitesimais, a rotação sofrida por um segmento inicialmente paralelo ao eixo dos x, x, e a
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rotação sofrida por um segmento inicialmente paralelo ao eixo dos y, y, são iguais, podendo escrever-se x = y
= xy/2 = xy.
3.10 – Foi desenhado um elemento rectangular em torno de um ponto P, num plano perpendicular à direcção
principal de deformação nula. Após deformação, o rectângulo elementar manteve inalterada a sua área. A
rotação máxima sofrida por os segmentos que passam pelo ponto P foi de 2.
a) Caracterize o tipo de deformação na vizinhança do ponto P.
b) Escreva o tensor das extensões na vizinhança do ponto P.
c) Calcule a extensão e a distorção de um segmento infinitesimal igualmente inclinado relativamente às
direcções principais do plano considerado.
d) Calcule a extensão e a distorção nas direcções octaédricas.
FOLHA 4 – Lei Constitutiva
4.1 - Defina isotropia, monotropia e ortotropia. Dê exemplos de materiais isotrópicos, monotrópicos e
ortotrópicos.
4.2 - Distinga material dúctil de material frágil, deformação elástica e plástica.
4.3 - Defina deformação viscosa e os fenómenos que a traduzem.
4.4- Escreva as extensões, para t  t0, produzidas por uma tensão imposta 0, aplicada a partir do instante t0,
num material com o comportamento visco-elástico traduzido por uma cadeia formada por:
- dois elementos de Kelvin colocados em série;
- um elemento de Maxwell e uma mola colocados em paralelo.
4.5- a) Diga o que entende por comportamento visco-elástico linear e mostre que neste tipo de comportamento
se pode adicionar:
b) as extensões 1 e 2, produzidas pelas tensões 1 e 2, nos modelos de Kelvin e de Maxwell;
c) as tensões 1 e 2 produzidas pelas extensões impostas 1 e 2, no modelo de Maxwell.
4.6- Prove que, num material isotrópico de comportamento elástico linear, as direcções principais do estado de
tensão coincidem com as direcções principais do estado de deformação.
4.7- Num material isotrópico de comportamento elástico linear, prove que as constantes elásticas E, G e  não
são independentes e determine a relação entre elas.
4.8- Indique, justificando, os limites superior e inferior do coeficiente de Poisson, .
4.9- Escreva a lei de Hooke generalizada para materiais monotrópicos, com base nas condições de simetria de
comportamento material e indique, justificando, quais são as constantes elásticas independentes que definem o
comportamento reológico.
4.10- Considere o seguinte estado de tensão num ponto P do interior de um material monotrópico de
comportamento elástico linear:  x  4a ;  y  - 4a ;  z  5a ;  xy  2a ;  xz   yz = 0. A direcção de monotropia
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situa-se no plano xy e faz um ângulo de 45º com os eixos coordenados. Os parâmetros reológicos do material
são os seguintes: El = 3E ; Et = E ; Gt = 2E ;  l = 0.2 ;  t = 0.4.
a) Determine o estado de deformação no ponto P, correspondente ao estado de tensão indicado.
b) Determine as direcções principais do estado de tensão e do estado de deformação.
4.11- Escreva a lei constitutiva de um material ortotrópico de comportamento linear elástica, com base nas
condições de simetria de comportamento material. Enuncie as hipóteses em que se fundamentou.
4.12- Dê exemplos de estados de tensão em que as direcções principais coincidem com as direcções principais
do estado de deformação em materiais monotrópicos e em materiais ortotópicos.
4.13 - Defina energia de deformação e distinga entre energia potencial elástica e energia dissipada.
4.14 - Um provete de betão, de 0.20x0.20x0.20 m3, foi aplicado um estado uniaxial de compressão, introduzido
por uma tensão variável desde zero até um valor máximo de 17MPa, à qual corresponde uma extensão de 0.003.
Após a aplicação da tensão máxima procede-se à descarga do provete. A lei constitutiva do material é a
seguinte:
Em fase de carga -   17000(  250 2 ) MPa se   0.002 ;   17 MPa se 0.002    0.0035 ;
Em fase de descarga - comportamento linear elástico, sendo E=37GPa.
Calcule:
a) a energia de deformação por unidade de volume e a energia total de deformação do provete;
b) a parcela da energia recuperada com a descarga do provete e a energia potencial elástica armazenada durante
a deformação;
c) a energia dissipada durante a deformação;
e) a deformação residual, após a descarga.
4.15 - Explique como é que a deformação provocada pela aplicação de um estado de tensão pode ser
independente de estarem ou não aplicados outros estados de tensão.
4.16 - Prove que, num material de comportamento linear elástico, a) isotrópico; b) monotrópico,
a deformação provocada pela actuação de dois estados de tensão distintos é independente da ordem de aplicação
dos estados de tensão.
4.17 - Deduza a expressão da energia de deformação por unidade de volume, num material de comportamento
linear elástico, i) isotrópico; ii) monotrópico; iii) ortotrópico.
4.18 – Explique porque é que num material isotrópico, a componente isotrópica do estado de tensão não produz
deformação distorcional e a componente distorcional do estado de tensão não produz deformação isotrópica
4.19 - Num material de comportamento linear elástico, deduza:
a) a expressão da componente da energia de deformação isotrópica, por unidade de volume;
b) a expressão da componente da energia de deformação distorcional, por unidade de volume.
4.20 - Enuncie os critérios de cedência de Tresca e de Von Mises. Qual o princípio comum aos dois critérios?
Explique porque é que estes critérios traduzem com fidelidade os resultados experimentais.
4.21 - Represente os critérios de cedência de Tresca e de Von Mises graficamente num referencial cartesiano em
que os eixos coordenados representam as tensões principais.
4.22 - Que entende por curva de resistência intrínseca de um material frágil?
4.23 - Que entende por coesão e por ângulo de atrito interno de um material?
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4.24 - Enuncie o critério de rotura de Mohr-Coulomb, i) em função das tensões máximas uniaxiais de tracção e
de compressão; ii) em função da coesão e do ângulo de atrito interno do material.
4.25 - Represente graficamente o critério de rotura de Mohr-Coulomb, num espaço definido pelas tensões
principais.
4.26 - Comente as seguintes afirmações: a) 'O critério de rotura de Mohr-Coulomb ajusta-se melhor aos
resultados experimentais do que o critério de Drucker-Prager, mas este último é mais utilizado nos cálculos
computacionais'; b) 'Os critérios de Mohr-Coulomb e de Drucker-Prager também podem ser aplicados a
materiais dúcteis'.