Nomes e Descrições Definidas como Funções Parciais

Sobre o que Não Há
não-designatividade e tradição matemática
Daniel Durante Pereira Alves
Departamento de Filosofia
UFRN – Universidade Federal do Rio Grande do Norte
e-mail: [email protected]
Expressão não-designativa: um termo singular que não tem referente.
Exemplos:
O atual rei da França
Papai Noel
1
0
Questão: Como interpretar tais expressões?
Como tratar as sentenças em que tais expressões ocorrem?
Frege:
Distinção: Sentido x Referência
Expressões não-designativas têm sentido, mas não têm referência.
Princípio de Composicionalidade: a referência de uma expressão é
obtida por composição das referências de suas partes.
A referência de uma sentença declarativa é seu valor de verdade.
Frege:
A falta de referência a uma de suas partes impede a composição da
referência da sentença.
Sentenças declarativas contendo expressões não-designativas não são
nem verdadeiras nem falsas!
O atual rei da França é careca.
Papai Noel não existe.
1
0
=
1
0
Russell: Teoria das Descrições Definidas
“o tal e tal”
– descrição definida
(o centro de massa do sistema solar no instante t)
Não devemos procurar a interpretação semântica das descrições
definidas isoladamente, mas das sentenças em que ocorrem.
O atual rei da França é careca
(1) Existe um único atual rei da França; e
(2) Ele é careca
x(AtuReiFra(x)  y(AtuReiFra(y)  x  y)  Careca(x))
Russell:
Sentenças declarativas contendo descrições definidas não designativas
têm valor de verdade.
O atual rei da França é careca
é
FALSA
porque um dos constituintes da conjunção que a interpreta é falso:
1. Existe um único atual rei da França; e
2. Ele é careca
(1) é FALSO.
Logo: (1) e (2) é FALSO.
Quine: (Sobre o que Há)
Aceita, e Amplia a teoria de Russell para os nomes próprios.
Interpreta um nome próprio como um predicado que é satisfeito apenas
pelo objeto nomeado.
O nome Papai Noel se transforma no predicado ÉPapaiNoel()
Papai Noel não existe
¬x ÉPapaiNoel(x)
é interpretada como:
VERDADEIRA !!
Tradição Matemática:
Funções Parciais: A aplicação de uma função f pode ser um termo
indefinido se o domínio de definição Df  Df*, o domínio de
aplicação de f.
 : ℜ  ℜ é parcial, porque
D = { x ∈ℜ/0≤x }

D* =ℜ
Assim, se x < 0,  x é indefinido.
Ou seja, a notação “ −2 ” é uma expressão não-designativa.
Tradição Matemática:
No entanto, a seguinte expressão
x ℜ , x  0    x   x
2
é utilizada com sentido e considerada verdadeira mesmo sabendo que:
1)  x é indefinida quando x < 0;
2)
x “percorre” todos os valores de ℜ , inclusive os negativos.
Tradição Matemática:
1.
2.
Não é tão simples eliminar os termos indefinidos da prática
matemática.
Termos indefinidos são termos não-denotativos legítimos que
compõem afirmações significativas.
Princípios da Abordagem Matemática Tradicional: *
(1) Variáveis e constantes são sempre definidas – sempre denotam.
(2) A aplicação de uma função f(a) pode ser indefinida se a  Df.
(3) Fórmulas são sempre verdadeiras ou falsas – sempre definidas.
(4) Uma fórmula atômica P(t) é considerada FALSA se o termo t for
indefinido.
* FARMER, W. “Formalizing Undefinedness Arising in Calculus”. In: BASIN, D. &
RUSINOWITCH, M. (eds) Automated Reasoning. Springer-Verlag, 2004. pp. 475-489.
Tradição Matemática:
Portanto, de acordo com a tradição matemática, a afirmação:
1
0
=
1
0
é FALSA.
Repare que a abordagem de Russell-Quine concorda com a tradição
matemática enquanto a abordagem de Frege discorda:
“O resultado da divisão de um por zero é idêntico a si próprio” é FALSA

descrição definida não-designativa!

x(x  1 0  y(y  1 0  x  y)  x  x) é FALSA.
Frege Russell/Quine
Matemática
O atual rei da França é careca
I
F

Papai Noel não existe
I
V

I
F
F
1
0
=
1
0
Descrições Definidas como Funções
O autor de "Dom Casmurro"
O pai de Paula
- oautorde(domcasmurro)
- opaide(paula)
O atual rei da França
- oatualreide(frança)
A cauda de Pégaso
- acaudade(pégaso)
O elefante no guarda-roupa de Flammarion oelefanteem(oguardaroupade(flam))
Descrições Definidas como Funções
O autor de "Dom Casmurro" é negro.
ÉNegro(oautorde(domcasmurro))
O pai de Paula comeu maçã.
ComeuMaçã(opaide(paula))
O atual rei da França é careca.
A cauda de Pégaso caiu.
ÉCareca(oatualreide(frança))
Caiu(acaudade(pégaso))
O elefante no guarda-roupa de Flammarion está amarrotando sua camisa verde
EstáAmarrotando(oelefanteem(oguardaroupade(flam)), acamisaverdede(flam))
Descrições Definidas como Funções ≈ Teoria de Russell
1.
2.
A unicidade do referente é garantida porque as descrições definidas são
termos funcionais. (funções ou composições de funções)
A existência do referente é garantida porque as descrições definidas
são termos funcionais fundados em nomes. E os nomes têm
compromisso existencial (existencial import).
ÉNegro(oautorde(domcasmurro))
Garante a existência.
Garante a unicidade.
Descrições Definidas como Funções :
PROBLEMAS com a Não-designatividade
(1) ÉCareca(oatualreide(frança))

função não tem valor para o argumento aplicado!
(2) Caiu(acaudade(pégaso))

nome sem compromisso existencial!
não pode ser um nome lógico (clássico).
Solução para o Problema 1
(a)
(b)
Descrições Definidas como Funções Parciais
Adoção dos princípios da Tradição Matemática para o tratamento de
sentenças com termos indefinidos
(4) Uma fórmula atômica P(t) é considerada FALSA
se o termo t for indefinido.
ÉCareca(oatualreide(frança))

termo indefinido

FALSA
Versão “matematizada” da interpretação semântica de Russell !
Solução para o Problema 2
(c)
Nome como função identidade (ultra) parcial – Função Nome.
papainoel
– oprópriopapainoel(x) = x
pégaso
– oprópriopégaso(x) = x
Funções identidade definidas apenas para o elemento correspondente ao
nome, e apenas quando ele existe. Quando ele não existe, Df  .
Solução para o Problema 2
(d) Ligação existencial da variável argumento da função nome.
Caiu(acaudade(pégaso))

é interpretada como

x Caiu(acaudade(oprópriopegaso(x)))

termo indefinido
¬x (x  oprópriopegaso(x))


FALSA
VERDADEIRA
Versão “matematizada” da extensão de Quine à interpretação semântica de
Russell !
Recapitulando
(1) A abordagem funcional às descrições definidas aproxima-se muito
da abordagem de Russell-Quine, com a desvantagem de não resolver os
casos de não designatividade.
(2) A admissão de funções parciais na formalização, juntamente com a
adoção dos princípios da abordagem matemática tradicional para o
tratamento de termos indefinidos, resolve os casos de nãodesignatividade e completa a coincidência entre a abordagem RussellQuine e a funcional.
Considerações
POSITIVA: a matematização via funções parciais da interpretação
Russell/Quine reforça esta posição trazendo a tradição matemática
como sua aliada.
Considerações
POSITIVA: a matematização via funções parciais da interpretação
Russell/Quine reforça esta posição trazendo a tradição matemática
como sua aliada.
NEGATIVA: os símbolos de função na lógica clássica são sempre
interpretados por funções totais! A lógica subjacente a esta abordagem
é não-clássica. Um tipo de lógica livre.
Considerações
POSITIVA: a matematização via funções parciais da interpretação
Russell/Quine reforça esta posição trazendo a tradição matemática
como sua aliada.
NEGATIVA: os símbolos de função na lógica clássica são sempre
interpretados por funções totais! A lógica subjacente a esta abordagem
é não-clássica. Um tipo de lógica livre.
CONSOLO: a lógica desta abordagem é tão não-clássica quanto a lógica
da abordagem tradicional matemática no tratamento de termos
indefinidos.