Potencial Elétrico

Potencial
Elétrico
Prof. Cláudio Graça
2012
Campo elétrico e de potencial
V1
V2
Campo e Potencial Elétricos
E
V2
V1
Potencial gravitacional Potencial Elétrico
O potencial elétrico é a quantidade de trabalho necessário para mover uma
carga unitária de um ponto de referência a um ponto específico contra o
campo elétrico. Em geral o ponto de referência é localizado na superfície da
terra, (mas pode ser qualquer ponto do campo elétrico designado para isso)
W=mgh
W=q(VA-VB)
Energia Potencial Elétrica
Energia Potencial e Trabalho
ΔU = U f − U i = −W
Variação da energia potencial
onde W é o trabalho feito pelo campo elétrico
É conveniente definir
U = U f = −W∞
Na qual se considera que U ∞ = 0
Ou seja W∞ é o trabalho realizado pelo campo para mover
a carga do infinito à posição atual qualquer
Analogia Energia Potencial gravitacional
ΔE p = mgh
Terra
Energia potencial gravitacional
Mm
Ep = G
r
Mmr
Ep = G 3
R
Ep
M
Vg =
=G
m
r
Fora
Dentro
Potencial elétrico
O campo elétrico é definido como a força por
unidade de carga:
E o potencial é a energia potencial elétrica
por unidade de carga:
Diferenças de energia potencial e de potencial elétrico,
no entanto, são bem definidas:
r r
ΔV = V2 − V1 = − ∫1 E .dl
2
r
r F
E=
q
ΔV =
ΔU
q
Trabalho e Energia Potencial
• Os campos de forças centrais são do tipo conservativo, permitindo sua
descrição por uma função escalar, denominada função potencial.
• A Força eletrostática é conservativa, portanto pode ser associada a uma
energia potencial elétrica.
F
O trabalho realizado por uma força,
quando a mesma se desloca entre dois
pontos (i-f), é dado por:
Quando o campo é central a força
pode ser escrita como
r r
= ∫ F ⋅ dl
2
W1θ→2
2
1
r r
F = F r̂
Centro de força
2 r
r 2 r
r
= ∫ F r̂ ⋅ dl = ∫ F dl cos θ = ∫ F dr
W1→2
1
O trabalho representa uma
variação da energia potencial:
θ
dl
1
2
Substituindo, na expressão anterior
r̂
1
1
r
= − ∫ F dr
r2
U 2 − U1 = W1→2
r1
Energia potencial eletrostática
A energia potencial eletrostática entre dois pontos i e f do campo elétrico, é
igual ao valor negativo do trabalho sobre a carga para se deslocar entre
esses dois pontos
r r f r r
= ∫ F .dr = ∫ qE .dr = −( U f − U i )
f
Wi → f
i
i
2
r r
Q
1 1
= ∫ qo E .dr = qo ∫ k 2 dr = − kqo Q [ − ]
r
r2 r1
1
1
2
W1→2
V1 − V2 =
Trajetória de uma carga qo que desloca
qntre os pontos 1 e 2 do campo criado
por uma carga Q.
W
U1 U 2
1 1
1 1
−
= − 1→2 = −kQ [ − ] = kQ [ − ]
qo qo
qo
r2 r1
r1 r2
Potencial eletrostático
A diferença de potencial entre dois pontos quaisquer i e f do campo
produzido por uma carga qualquer q será:
1
kq
para rf → ∞;
→ 0 ∴ Vi =
rf
ri
Se o ponto final é o infinito, o potencial desse ponto será nulo, portanto:
1 1
V f − Vi = −kq [ − ]
rf ri
Dessa maneira o potencial em um ponto qualquer distanciado de “r”
de uma carga pontual será dado por:
r r kq
V ( r ) = − ∫ E .dr =
r
∞
r
Potencial Elétrico devido a E constante
ΔVi→ f
r r
= − ∫ E .dl
f
i
O potencial elétrico é a quantidade de
trabalho necessário para mover uma
carga unitária de um ponto de
referência a um ponto específico
contra o campo elétrico. Em geral o
ponto de referência é localizado na
superfície da terra, (mas pode ser
qualquer ponto do campo elétrico
designado para isso)
ΔV A→ B
B
r r
= − ∫ E .dl = − E ∫ dl = Ed
B
A
ΔV A→c
A
r r
= − ∫ E .dl = E AC cosθ = Ed
C
A
ΔVC → B
r r
= − ∫ E .dl = E CB cos 90 o = 0
C
B
Potencial Elétrico: análise
•
Supondo a carga q0 se move de um ponto
A para o ponto B através de uma região do
espaço descrito por um campo elétrico E.
q0
A
E
B
•
Como existe uma força F=qo E que atua sobre a carga, um trabalho
WAB deve ser realizado na tarefa de movimentar a carga de A para B.
•
Define-se o potencial elétrico como sendo a diferença:
VB − VA ≡
W AB
q0
Será essa uma boa definição?
•VB - VA é independente de q0
•VB - VA é independente do percurso
Potential devido a uma carga pontual
r r
E ⋅ ds
r
sf
V f = Vi − ∫r
si
= Vi − ∫
rf
= Vi − ∫
rf
ri
ri
q
r
ˆ
r
⋅
dr
4πε 0 r 2
1
1
q
dr
2
4πε 0 r
1
q rf
= Vi −
(− ) |ri
4πε 0 r
1
1 q
q
=
+ (Vi −
)
4πε 0 rf
4πε 0 ri
1 q
V (r ) =
4πε 0 r
If
1
q
Vi ≡
4πε 0 ri
Potencial devido a uma carga pontual
1 q
V (r ) =
4πε 0 r
Potencial devido a N cargas
O potencial devido a N cargas, é
igual à soma do potencial devido a
cada carga separadamente.
r1
q2
r= r
V (r) = −
∫
r
r
E • dl = −
r= ∞
⇒
∫∑
r
r
E n • dl
r= ∞ n =1
N
V ( r) =
r= r N
∑ V n (r) =
n =1
N
qn
∑
4 πε 0 n = 1 rn
1
x
q1
r2
r3
q3
Potencial devido a um dipolo
q −q
V = V+ + V− =
( + )
4πε 0 r+ r−
1
P
r+
θ
r
p
r− − r+
V=
(
)
4πε 0 r+ r−
q
r−
r̂
Se o ponto de interesse P
está muito afastado do
dipolo teremos:
d cos θ
V=
(
)
2
4πε 0
r
1 p cos θ
V=
(
)
2
4πε 0
r
r
1 p ⋅ rˆ
V=
( 2 )
4πε 0 r
q
Potencial devido a um dipolo elétrico
Superfícies Equipotenciais e linhas de campo
O nome superfície equipotencial é dado a toda superfície que consista numa distribuição
contínua de pontos que têm o mesmo potencial elétrico.
Exemplo: Quatro superfícies equipotenciais.
Observe que, como Δ U = q 0 Δ V , nenhum
trabalho é necessário para mover uma
partícula de prova entre dois pontos quaisquer
e numa superfície equipotencial.
ΔU = −WE = −ΔK
O campo elétrico é perpendicular às superfícies
Trabalho realizado pelo campo elétrico sobre uma partícula carregada quando se move de um
extremo a outro.
Superfícies Equipotenciais e linhas de campo
dV
E=−
ds
Superfícies Equipotenciais
Se ΔV é escolhido como sendo o mesmo entre superfícies
adjacentes, o campo elétrico será inversamente proporcional à
separação espacial entre superfícies equipotenciais.
Cálculo do Potencial a partir do Campo Elétrico
r
sf
ΔV = V f − Vi = − ∫r
si
r r
E ⋅ ds
ou
r
sf
V f = Vi − ∫r
si
r r
E ⋅ ds
O potencial em um ponto qualquer VP pode ser associado a qualquer
valor de referência Viref cujo valor pode, inclusive, ser zero:
VP = Vref
r r
− ∫ E .ds
P
ref
Potencial devido a uma distribuição contínua de carga
Se uma distribuição de carga q é contínua, escolhe-se um elemento
diferencial de carga dq, e determina-se o potencial dV em um ponto P
devido à dq,
1 dq
dV =
4πε 0 r
e então integra-se sobre toda a distribuição de carga
dq = λdl
1
dq
V = ∫ dV =
∫
4πε 0 r
= σdA
= ρdV
Linha de carga
dq
λdx
dVP = k
=k 2
r
( x + a 2 )1 / 2
tomando Vref = 0
l
VP = ∫ dV = ∫ k
0
λdx
( x 2 + a 2 )1 / 2
l
dx
= kλ ∫ 2
2 1/ 2
0( x + a )
= kλ [ln{ x + ( x 2 + a 2 )1 / 2 }]0l
= kλ [ln{ l + ( l 2 + a 2 )1 / 2 } − ln a ]
l + ( l 2 + a 2 )1 / 2
]
= kλ ln[
a
Anel de carga
Calcular o potencial no ponto P de um eixo perpendicular ao centro no centro de um
anel de raio a e carga q
dq
dV P = k
r
como
r=
x2 + a2
VP = ∫ dVP = k ∫
VP =
Para x>>a
k
x2 + a2
dq
x2 + a2
∫ dq
kq
⇒ VP =
x
⇒ VP =
kq
x +a
2
2
Monopolo!!!
25
Disco de carga
Consideremos um elemento de carga dq formado
por um anel de raio r e espessura radial dr
dq = σ ( 2πr )dr
dq
σ ( 2πr )dr
=k
dVP = k
r
r 2 + x2
Para determinar o potencial resultante em P
deve-se somar as contribuições de todos os
anéis no intervalo {0,a}
a
rdr
VP = ∫ dVP = kσ 2π ∫
x +r
2
0
= kσ 2π ( x + a − x )
2
2
2
Aplicação Biomedica da Diferença de
Potencial Elétrica
Neuron
Aplicações Biomédicas