Fenômenos de Transporte I Aula 03 – Empuxo 4.1 Empuxo

Fenômenos de Transporte I
Aula 03 – Empuxo
4.1 Empuxo (E)
O conceito de empuxo é aplicado nos projetos de comportas, registros, barragens,
tanques, canalizações, etc.
A figura ao lado mostra uma nadadora em uma
piscina, manuseando um saco de plástico muito fino
(de massa desprezível) completamente cheio com
água. Ela observa que o saco e a água nele contida
estão em equilíbrio estático, ou seja, não tendem a
subir nem a descer. A força peso para baixo, deve
ser equilibrada por uma força resultante para cima
exercida pela água que está do lado de fora do saco.
Esta força resultante que aponta para cima recebe o
nome EMPUXO E [1]. Ela existe porque a pressão da água que envolve o saco aumenta
com a profundidade. Assim, a pressão na parte inferior do saco é maior que na parte
superior. O que equivale a dizer que as forças a que o saco está submetido devido à
pressão são maiores em módulo na parte inferior do saco do que na parte superior. Note
que os vetores que apontam para cima são mais compridos que os vetores que os que
apontam para baixo. Quando somamos vetorialmente todas as forças exercidas pela água
sobre o saco, as componentes horizontais se cancelam e a soma das componentes
verticais é o EMPUXO E.
Nesta outra figura, trocamos o saco de água por uma pedra
que ocupa o mesmo volume. Dizemos que a pedra desloca
um certo volume de água, ou seja, ocupa o espaço que
de outra forma seria ocupado pela água. Como a forma não
foi alterada, as forças na superfície são as mesmas de
quando o saco com água estava no lugar. Assim, o mesmo
EMPUXO para cima que agia sobre o saco com água agora
age sobre a pedra.
O módulo do EMPUXO é igual ao peso do VOLUME DE FLUIDO DESLOCADO pela pedra.
Ao contrário do saco com água, a pedra não está em equilíbrio estático. A força PESO
P, para baixo que age sobre a pedra tem um módulo maior que o EMPUXO E para cima
como mostra o diagrama de corpo livre da figura acima. Assim, a pedra desce com uma
aceleração a até o fundo da piscina.
4.2 Princípio de Arquimedes
Agora preenchemos o mesmo volume com um pedaço de
madeira. Mais uma vez, nada mudou com relação às
forças que agem sobre a superfície, de modo que o módulo
do EMPUXO E continua sendo igual ao PESO DE FLUIDO
DESLOCADO. Como a pedra, o pedaço de madeira não
está em equilíbrio estático já que o módulo do PESO P é
menor que o módulo do EMPUXO E, de modo que a
madeira sobe até a superfície com aceleração a.
Nossos resultados para o saco plástico, a pedra e o pedaço de madeira se aplicam a
qualquer fluido, e podem ser resumidos no PRINCÍPIO DE ARQUIMEDES:
Todo corpo imerso, total ou parcialmente, em um fluido em equilíbrio estático, sob a
ação de um campo gravitacional constante, sobre a ação de uma força vertical com
sentido ascendente, aplicada pelo fluido. Esta força é chamada EMPUXO.
4.2.1 Arquimedes e seus feitos
Arquimedes de Siracusa (Siracusa, 287 a.C. – 212 a.C.) foi um
matemático, físico, engenheiro, inventor, e astrônomo grego. Embora
poucos detalhes de sua vida sejam conhecidos, são suficientes para
que seja considerado um dos principais cientistas da Antiguidade
Clássica [2].
Entre suas contribuições à Física, estão os fundamentos
da Hidrostática e da Estática, tendo descoberto a Lei do Empuxo e a Lei da Alavanca,
além de muitas outras. Ele inventou ainda vários tipos
de máquinas para usos militar e civil, incluindo armas de
cerco, e a bomba de parafuso (parafuso de Arquimedes)
que é usado até hoje.
Experimentos modernos testaram alegações de que,
para defender sua cidade, Arquimedes projetou
máquinas capazes de levantar navios inimigos para fora
da água e colocar navios em chamas usando um
conjunto de espelhos.
Apesar de Arquimedes não ter inventado a alavanca, ele
deu uma explicação do princípio envolvido em sua
obra Sobre o Equilíbrio dos Planos. De acordo com Pappus
de Alexandria, o trabalho de Arquimedes sobre as
alavancas fez com que ele exclamasse: "Deem-me um
ponto de apoio e moverei a Terra."
O historiador Plutarco descreveu como Arquimedes
projetou sistemas de roldanas (polia de Arquimedes),
permitindo a utilização do princípio da alavanca para
levantar objetos que teriam sido demasiado pesados
para serem movidos de outra maneira.
A curiosidade mais conhecida sobre Arquimedes conta
sobre como ele inventou um método para determinar o
volume de um objeto de forma irregular. De acordo
com Vitrúvio, uma coroa votiva tinha sido feita para o Rei
Hierão II, que tinha fornecido ouro puro para ser usado,
e Arquimedes foi solicitado a determinar se
alguma prata tinha sido usada na confecção da coroa pelo possivelmente desonesto
ferreiro.
Arquimedes tinha que resolver o problema sem danificar a
coroa, de forma que ele não poderia derretê-la em um
corpo de formato regular, a fim de encontrar seu volume e
calcular sua densidade. Enquanto tomava banho
(Arquimedes e seu famoso banho), ele percebeu que o
nível da água na banheira subia enquanto ele entrava, e
percebeu que esse efeito poderia ser usado para
determinar o volume
da coroa.
Para efeitos práticos, a água é um fluido
incompressível, assim a coroa submersa deslocaria
uma quantidade de água igual ao seu próprio volume.
Dividindo a massa da coroa pelo volume de água
deslocada, a densidade da coroa podia ser
determinada.
Se calculada corretamente, a densidade da coroa seria menor do que
a do ouro, se metais mais baratos e menos densos tivessem sido
adicionados à sua composição.
Arquimedes teria ficado tão animado com sua descoberta que teria
esquecido de se vestir e saído gritando pelas ruas "Eureka!" (em
grego: "εὕρηκα!," significando "Encontrei!"). O teste foi realizado com
sucesso, provando que prata realmente tinha sido misturada.
4.3 A intensidade do Empuxo
Logo, chegamos a conclusão que a intensidade (módulo) do EMPUXO E é igual ao PESO
DE FLUIDO DESLOCADO PFD pelo corpo, ou seja:
Podemos expressar a MASSA DE FLUIDO DESLOCADO mDF em função da
DENSIDADE O FLUIDO ou DENSIDADE F e do VOLUME DE FLUIDO DESLOCADO
VFD.
Substituindo a Eq. (2) na Eq. (1) temos a expressão para a intensidade do EMPUXO:
4.4 Condição de flutuação de um corpo
Suponha um corpo totalmente submerso em um fluido . Se ele tiver a tendência a flutuar, o
EMPUXO será maior que seu PESO [3].
No caso de igualdade entre E e P, o corpo estará em equilíbrio em
qualquer posição. Imaginando o corpo totalmente submerso:
Utilizando a Eq. (5) temos que:
Ou seja, o corpo flutuará se:
4.5 Peso aparente de um corpo em um fluido
Se colocamos uma pedra sobre uma balança calibrada para medir pesos a leitura da
balança é o peso da pedra. Se, porém,
repetimos a experiência debaixo d'água o
EMPUXO diminui a leitura da balança.
Esta leitura passa a ser, portanto um
PESO APARENTE [4]. Seja um tijolo de
massa 10 kg seu PESO REAL será:
O PESO APARENTE PAp de um corpo está relacionado ao PESO REAL P e o EMPUXO
E através da equação:
Simulação - Fonte: http://phet.colorado.edu/pt/simulation/buoyancy
4.6 Cálculo da intensidade do Empuxo
Esta força denominada empuxo será tanto maior quanto mais denso for o líquido e sua
origem está relacionada com o fato da pressão no líquido aumentar com a profundidade
(PRINCÍPIO DE STEVIN). Considere um objeto totalmente imerso em um fluido estático,
como na Figura 3. Considere, também, elementos finitos de volume que serão utilizados
para determinação da força vertical sobre o corpo em função da pressão hidrostática.
A força vertical dFB resultante sobre o volume elementar é igual a:
Observe que (h2-h1) dA = dV é volume do elemento cilíndrico. A força total FB
denominada força de empuxo é obtida por integração sobre todo o volume do objeto,
ou seja:
Onde V é o volume do objeto. Como liq é a densidade do líquido (e não do objeto), temos
que liqV corresponde à massa do líquido deslocado pela imersão do objeto e então podese anunciar o resultado anterior como Princípio de Arquimedes.
4.7 – Ponto de aplicação do Empuxo
Frequentemente, os engenheiros encontram problemas relacionados a estruturas que
devem resistir às pressões exercidas por líquidos como, por exemplo: barragens,
comportas, registros, etc. E, neste caso, deseja-se calcular o módulo, a direção, o sentido
e o ponto de aplicação da força denominada empuxo.
4.71 - Superfície plana imersa horizontal
“O empuxo exercido por um líquido sobre uma superfície plana imersa é uma força
perpendicular à superfície e é igual ao produto da área pela pressão relativa ao centro
de gravidade CG.”
Considerando-se os líquidos, se a superfície submersa for horizontal, a força normal a
esta superfície será o produto da pressão pela área da superfície e terá seu ponto de
aplicação no centro de gravidade da superfície. Neste caso a pressão terá uma distribuição
uniforme.
4.72 - Superfície plana imersa vertical
Se a superfície submersa for
vertical, como mostra a figura ao
lado, a pressão efetiva será zero na
superfície livre e atinge seu valor
máximo no fundo da superfície.
Neste caso a pressão terá uma
distribuição
variável
linearmente,
como comprova o Teorema de
Stevin, e não será possível obter-se a força normal pela multiplicação da pressão pela área
da superfície. A força resultante será, portanto, o somatório dos produtos das áreas
elementares pela pressão nelas atuantes. O ponto de aplicação desta força resultante
será o CP (centro de pressão), que se localiza abaixo do centro de gravidade da
superfície submersa.
A posição do CP será determinada aplicando-se o teorema de Varignon: “O momento da
resultante em relação ao ponto O deve ser igual à soma dos momentos das forças
elementares dF.”
A = área imersa da superfície que sofre a força
̅ = distância da superfície livre do líquido ao centro de gravidade da área imersa.
𝒚
ICG = Momento de inércia da área A, tomado em relação ao eixo que passa pelo centro de
gravidade da área
4.73 - Superfície plana imersa inclinada
Tem-se da figura acima uma superfície irregular de área A, localizada em um plano
inclinado que faz ângulo θ com a superfície livre do fluido de densidade . O centro de
massa da superfície ou centroide (se for homogênea), está localizado a uma profundidade
hC Para determinar o empuxo total F sobre a superfície, vamos considerar um elemento
de área dA sobre a mesma, localizado a uma profundidade h, abaixo da superfície livre
do líquido. Lembrando-se que o líquido recobre apenas um dos lados, a força dF sobre
este elemento é dada por:
Sendo:
Temos:
O Empuxo:
A integral equivale ao produto:
equação e observando que
. Substituindo este resultado na
, tem-se a seguinte expressão para a força
resultante sobre um lado de uma superfície submersa plana:
Exemplo:
A superfície mostrada, com dobradiça ao longo de A, tem 5 m de largura. Determine a força
resultante F da água sobre a superfície inclinada.
4.8 - Equilíbrio dos Corpos Flutuantes
Quando um corpo flutuante sofrer uma rotação devido a uma ação qualquer (ventos, ondas,
etc.), o binário formado pelo peso P e o empuxo E tenderá a três situações:
a) Quando o centro de gravidade – CG está abaixo do o centro de carena C - Equilíbrio
é estável
b) Quando o centro de gravidade – CG coincide com o centro de carena C, o equilíbrio
é indiferente
c) Quando o centro de gravidade está CG está acima do centro de carena C
Quando o centro de gravidade está G está acima do centro de empuxo C, o equilíbrio tanto
pode ser estável como instável. A situação de equilíbrio dependerá então de como o centro
de empuxo se desloca quando, devido a uma perturbação, a forma do volume do líquido
deslocado é alterada.
Metacentro (M) É o ponto de intersecção de duas sucessivas linhas de ação da impulsão
quando o barco se inclina segundo pequenos ângulos.
4.8 - Bibliografia
[1] HALLIDAY & RESNICK, Fundamentos da Física, V2, 6ª Ed., LTC, Rio de Janeiro, 2006,
Cap 14, Pg. 66.
[2] Arquimedes. Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre, último acesso em 30/03/2015 às
14:36, http://pt.wikipedia.org/wiki/Arquimedes
[3] BRUNETTI, F., Mecânica dos Fluidos, 2ª Ed., Pearson, São Paulo, 2008, Cap. 2, Pg.
37.
[4] FUKE, CARLOS & KAZUHITO, Os Alicerces da Física, V1, 2ª Ed., Editora Saraiva, São
Paulo, 1989, Cap. 20, Pg. 329.
ARAÚJO, ALEX MAURÍCIO , Mecânica dos Fluidos 2
GOMES, MARIA HELENA RODRIGUES - Apostila Mecânica dos Fluidos Faculdade de
Engenharia - Universidade Federal de Juiz de Fora