DIVISIBILIDADE 01. MÚLTIPLOS E DIVISORES Sejam a e b dois

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MATEMÁTICA
DIVISIBILIDADE
01. MÚLTIPLOS E DIVISORES
Sejam a e b dois números naturais. Se o resto da divisão de a por b for zero, isto é, se a divisão de a por b for exata, dizse que a é divisível por b (ou que a é múltiplo de b). Nesse caso, diz-se ainda que b divide a.
A notação b | a indica que b divide a.
EXEMPLOS
E.1) 2 | 6  6 é divisível por 2, pois:
6 2
0 3
E.2) 3 | 15, 3 | 27 e 3 | 42  15, 27 e 42 são divisíveis por 3, pois:
13 2
0 5
27 3
0 9
42 3
12 14
0
E.3) 6 é divisível por 1, 2, 3 e 6. Indicando-se o conjunto dos divisores de 6 por D(6), temos:
D(6) = {1, 2, 3, 6}
E.4) O zero é múltiplo de qualquer número, mas só é divisor dele mesmo.
O conjunto M(a) dos múltiplos de um número a é o conjunto dos naturais vezes a.
Assim:
M(2) = {0, 2,4, 6, 8, 10,...};
M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15,...};
M(4) = {0, 4, 8, 12, 16,...};
M(6) = {0,6,12,18,...};
D(2) = {1, 2}
D(3) = {1, 3}
D(4) = {1, 2,4}
D(6) = {1,2,3,6}
Note que o conjunto dos múltiplos de um número é infinito, e o conjunto dos divisores é finito.
Um número natural é par quando é divisível por 2 e é ímpar quando não é par.
02. NÚMEROS PRIMOS
Um número, com exceção do número 1, é primo quando é divisível somente por ele mesmo e pela unidade.
Vamos escrever alguns números naturais em ordem crescente a partir de 2. Destaquemos o 2 e risquemos todos os
múltiplos dele que surgem em seguida. Destaquemos o 3 e risquemos todos os múltiplos dele que surgem em seguida.
Destaquemos o 5 e risquemos todos múltiplos dele que surgem em seguida etc.
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17
18 19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30 31 32 33 etc.
O conjunto P dos números primos é infinito e não existe nenhuma lei de formação para esses números:
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,29, 31,...}
Note que o 2 é o único número par que é primo.
Um número que admite outros divisores além da unidade e dele próprio é chamado número múltiplo ou número
composto. Os números riscados dentre os acima são compostos.
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MATEMÁTICA
03. REGRAS DE DIVISIBILIDADE
Um número é divisível por:
a) 2, quando o último algarismo da direita for 0,2, 4, 6 ou 8, isto é, quando o número for par.
EXEMPLOS
30, 86, 104 são números divisíveis por 2.
b) 3, quando a soma dos algarismos que o representam formar um número divisível por 3.
EXEMPLOS
45 é divisível por 3, pois 4 + 5 = 9 (9 é divisível por 3);
8022 é divisível por 3, pois 8 + 0 + 2 + 2 = 12 (12 é divisível por 3).
c) 4, quando o número expresso pelo agrupamento dos dois últimos algarismos da direita de sua representação é
divisível por 4.
EXEMPLOS
124 é divisível por 4, pois 24 também o é;
38408 é divisível por 4, pois 08 = 8 também o é;
300 é divisível por 4, pois 00 ^ O também o é.
d) 5, quando o último algarismo da direita for 0 ou 5.
EXEMPLOS
820 é divisível por 5, pois termina em 0;
3475 é divisível por 5, pois termina em 5.
e) 6, quando for divisível ao mesmo tempo por 2 e por 3.
EXEMPLOS
24 é divisível por 6, pois é divisível por 2 e por 3;
1350 é divisível por 6, pois é divisível por 2 e por 3.
f) 8, quando o número expresso pelo agrupamento dos três últimos algarismos da direita de sua representação é divisível
por 8.
EXEMPLOS
34024 é divisível por 8, pois 024 também o é;
3000 é divisível por 8, pois 000 também o é.
g) 9, quando a soma dos algarismos de sua representação formar um número divisível por 9.
EXEMPLOS
45 é divisível por 9, pois 4 + 5 = 9 (9 é divisível por 9);
843750 é divisível por 9, pois 8 + 4 + 3 + 7 + 5 + 0 = 27 (27 é divisível por 9).
h) 10, quando terminar em 0.
EXEMPLOS
350 é divisível por 10;
4800 é divisível por 10.
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MATEMÁTICA
04. DECOMPOSIÇÃO DE UM NÚMERO EM FATORES PRIMOS
4.1. TODO NÚMERO NATURAL MAIOR QUE 1 OU É PRIMO OU PODE SER DECOMPOSTO NUM ÚNICO
PRODUTO DE FATORES PRIMOS.
EXEMPLO
Vamos decompor 90 em fatores primos.
Aplicando as regras da divisibilidade, temos:
90 = 2.45;
DISPOSITIVO PRÁTICO
como
45 = 3.15 e
15 = 3.5,
90
45
15
5
1
temos, igualmente,
90 = 2 . 32 . 5
2
3
3
5
2 . 32 . 5
Pode-se observar melhor no dispositivo prático que para decompor um número em seus fatores primos é mais
simples se fazer divisões sucessivas tomando os fatores primos em ordem crescente.
4.2. CONJUNTO DOS DIVISORES DE UM NÚMERO
Dado um número natural n, os seus divisores são determinados decompondo-se n em seus fatores primos, e,
em seguida, combinando esses fatores um a um, dois a dois etc.
Vamos obter o conjunto dos divisores de 42 e 504.
a)
42
21
7
1
2
3
7
As combinações dos produtos dos números 2, 3 e 7 são:
um a um: 2; 3; 7
dois a dois: (2.3) = 6; (2.7) = 14; (3.7) = 21
três a três: (2.3.7) = 42
Existe, ainda, o número 1, que é divisor de qualquer número.
Assim, o conjunto D(42) dos divisores de 42 é: D(42) = {1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42}
DISPOSITIVO PRÁTICO
42
21
7
1
b)
2
3
7
504
252
126
63
21
7
1
1
2
3
7
2
2
2
3
3
7
D(42) = {1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42}
6
14
1
2
4
8
3
9
7
21
6
18
14
42
12
36
28
24
72
56
21
42
84
168
63
126
252
504
Portanto:
D(504) = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 12, 14, 18, 21, 24, 28, 36, 42, 56, 63, 72, 84, 126, 168, 252, 504}
NOTA: Demonstra-se que o número de divisores naturais de um número pode ser dado somando-se 1 a cada expoente das
potências dos fatores primos e, em seguida, multiplicando esses novos expoentes.
Assim:
42 = 21 . 31 . 71 tem (1 + 1) . (1 + 1) . (1 + 1) = 2 . 2 . 2 = 8 divisores.
504 = 23 . 32 . 71 tem (3 + 1) . (2 + 1) . (1 + 1) = 4 . 3 . 2 = 24 divisores.
Genericamente, o número:
am . bn . cp . ... tem (m + 1) . (n + 1). (p + 1) ... divisores naturais.
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MATEMÁTICA
05. MÁXIMO DIVISOR COMUM (m.d.c)
Consideremos os conjuntos dos divisores de 24 e 30.
D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
D(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} e achemos a interseção desses conjuntos: D(24)  D(30) = {1, 2, 3, 6}.
Observamos que esse conjunto tem um máximo que é 6. Como os elementos de D(24)  D(30) são os divisores comuns a
24 e 30, dizemos que 6 é o máximo divisor comum entre 24 e 30.
Indica-se m.d.c (24, 30) = 6.
Portanto:
“O máximo divisor comum entre dois ou mais números é o maior elemento da interseção dos conjuntos dos divisores dos
números dados.”
Dois ou mais números são primos entre si quando o m.d.c desses números é 1.
EXEMPLOS
E.1) Os números 5 e 6 são primos entre si, pois:
D(5) = {1,5} D(5)  D(6) = {1}  m.d.c (5, 6) = 51
D(6) = {1, 2, 3, 6}
E.2) Os números 15, 26 e 49 são primos entre si, pois:
D(15) = {1, 3, 5, 15}
D(26) = {1, 2, 13, 26}; D(15)  D(26)  D(49) = {1}  m.d.c (15, 26, 49) = 1
D(49) = {1, 7, 49}
06. MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (m.m.c.)
Já vimos que um número natural a é múltiplo do número natural não nulo, b quando a é divisível por b.
O zero é múltiplo de qualquer número.
Definimos:
M(a) = {0, a, 2a, 3a, 4a, 5a, ...}
Particularmente, o conjunto dos múltiplos de 0 é unitário, ou seja, M(0) = {0}.
Consideremos os conjuntos dos múltiplos de 4 e 6.
M(4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, ...}
M(6) = {0, 6,12, 18, 24, 30, 36, ...} e achemos a interseção desses conjuntos. M(4)  M (6) = {0, 12, 24, 36, ...}.
Observamos que esse conjunto tem um mínimo, diferente de zero, que é 12. Como os elementos de M(4)  M(6) são
múltiplos comuns a 4 e 6, dizemos que 12 é o mínimo múltiplo comum entre 4 e 6.
Indica-se m.m.c. (4,6) = 12.
Portanto:
“O mínimo múltiplo comum entre dois ou mais números é o menor elemento, diferente de zero, da interseção dos
conjuntos dos múltiplos dos números dados.”
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MATEMÁTICA
07. MÉTODO PRÁTICO PARA SE OBTER O M.D.C. E O M.M.C. ENTRE DOIS OU MAIS NÚMEROS
Decompõem-se os números em fatores primos. Feito isso:
o m.d.c. será o produto dos fatores primos comuns, tomando cada um com o menor expoente.
o m.m.c. será o produto dos fatores primos comuns e não comuns, tomando cada um com o maior expoente.
EXEMPLOS
E.1) Vamos obter m.d.c e m.m.c entre 84 e 360.
84
42
21
7
1
5
1
2
2
3
7
360
180
90
45
15
5
2
2
2
3
3
5
84 = 22 . 3 . 7
360 = 23 . 32 . 5
Portanto:
m.d.c (84, 360) = 22 . 3 = 12
m.m.c (84, 360) = 23 . 32 . 7 . 5 = 2520
E.2) Sejam A = 22 . 3m . 53 e B = 31 . 5n . 7. Vamos calcular m e n, sabendo que o m.m.c (A, B) = 157500.
Ora, m.m.c (A, B) = 157500 = 2 2 . 32 . 54 . 71; logo, m = 2 e n = 4.
08. PROPRIEDADES DO M.D.C. E DO M.M.C. ENTRE DOIS NÚMEROS
P.1) Se x é múltiplo de a e x é múltiplo de b, então x é múltiplo do m.m.c. (a; b).
EXEMPLOS
E.1) Se um número é múltiplo de 2 e 3, então é múltiplo de 6 (m.m.c (2; 3))
E.2) Se um número é múltiplo de 4 e 6, então é múltiplo de 12 (m.m.c (4; 6))
P.2) Se x é divisor de a e x é divisor de b, então x é divisor do m.d.c (a; b)
EXEMPLOS
E.1) Se um número é divisor de 30 e 45, então é divisor de 15.
Simbolicamente, podemos dizer:
M(a)  M(b) = M (m.m.c (a; b))
D(a)  D(b) = D (m.d.c (a; b))
P.3) Sejam a e b dois números naturais. O produto a . b é igual ao produto do m.d.c pelo m.m.c. desses números. Isto é
a x b = m.d.c. (a, b) x m.m.c. (a; b)
a = 23 . 32 . 54 e b = 2 . 33 . 7
EXEMPLOS
a = 23 . 32 . 54
b = 2 . 33 . 7
a x b = 2 4 . 35 . 54 . 7
m.d.c.(a,b) = 2 . 32
m.m.c.(a,b) = 23 . 33 . 54 . 7
m.d.c.(a, b) x m.m.c.(a, b) = 24 . 35 . 54 . 7
e, portanto, a x b = m.d.c. (a, b) x m.m.c. (a, b).
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MATEMÁTICA
EXERCÍCIOS
01. (FATEC-SP) Um certo planeta possui dois satélites naturais: Lua A e Lua B; o planeta gira em torno do Sol e os satélites
em torno do planeta, de forma que os alinhamentos:
Sol – planeta – Lua A ocorre a cada 18 anos e Sol – planeta – Lua B ocorre a cada 48 anos.
Se hoje ocorrer o alinhamento Sol – planeta – Lua A – Lua B , então esse fenômeno se repetirá daqui a:
a)
b)
c)
d)
e)
48 anos
66 anos
96 anos
144 anos
860 anos
02. (FUVEST-SP) O produto de dois números inteiros positivos, que não são primos entre si, é igual a 825. Então o máximo
divisor comum desses dois números é:
a)
b)
c)
d)
e)
1
3
5
11
15
7
MATEMÁTICA
DÍZIMAS PERIÓDICAS
a
uma fração irredutível de números inteiros, isto é, uma fração que não pode mais ser simplificada.
b
Se na fatoração de b só tiverem os fatores 2 ou 5, então a fração terá como resultado um decimal exato.
Se pelo menos um dos fatores de b for diferente de 2 e 5, então a fração terá como resultado um decimal inexato chamado
dízima.
Essas dízimas são periódicas porque nesses resultados sempre a parte não exata se repete, ou seja, apresenta um período.
Seja
EXEMPLOS
E.1)
1
= 0,333... = 0, 3
3
E.4)
1
= 0,1666... = 0,1 6
6
E.2)
2
= 0,181818... = 0,1 8
11
E.5)
7
12
E.3)
9
= 1,142857142857... = 1, 142857
7
E.6)
511
495
= 0,58333... = 0,58 3
= 1,0323232... = 1,032
As dízimas periódicas podem ser simples ou compostas.
Uma dízima é simples quando o período surge imediatamente após a vírgula (E.1; E.2; E.3 anteriores).
Uma dízima é composta quando o período não surge imediatamente após a vírgula (E.4; E.5; E.6 anteriores).
GERATRIZ DE UMA DÍZIMA PERIÓDICA
É uma fração que origina a dízima.
EXEMPLOS
E.1) Vamos obter o geratriz da dízima 0,333...
x = 0,333...  10x = 3,333...
Portanto:
10x = 3,333 ...
– x = 0,333 ...
9x = 3  x =
3
9
3
9
E.2) Idem para 0,181818...
x = 0,181818...  100x= 18,181818...
Assim, 0,333... =
Portanto:
100x = 18,181818 ...
–x = 0,181818 ...
18
99x = 18  x =
99
Assim, 0,181818...=
18
99
8
E.3) 1,2343434...
x = 1,2343434...  1000x = 1234,343434...
Portanto:
1000x = 1234,343434 ...
–10x = 12,343434 ...
99x = 1222
x=
1222
611

990
495
EXERCÍCIO
(UFBA) Se x =
8.12 ,33 ...  9.1,3535 ...  45 .0,31717
1,0909 ...
 50 , calcule o valor de x.
MATEMÁTICA
9
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01. Assinale V ou F.
a) O número 43 é primo.
b) Dizemos que um natural a é divisor de b, se existir
um inteiro c, tal que b = a . c.
c) O número 1500 tem 24 divisores naturais.
d) O m.m.c.(24;90) é 360.
e) O m.d.c.(120;108) é l2.
f) Se x é múltiplo de 12 e x é múltiplo de 10, então x
é múltiplo de 120.
g) Se x é múltiplo de 15 e x é múltiplo de 18, então x
é múltiplo de 90.
h) Se x é divisor de 360 e x é divisor de 540, então x
é divisor de 180.
i) O número zero é múltiplo de todos os naturais.
j) m.m.c (x; y), m.d.c. (x; y) = x . y.
k) Os números 200 e 189 são primos entre si.
MATEMÁTICA
07. Uma determinada cidade realiza periodicamente a
festa da uva e a festa do tomate. A festa da uva
acontece a cada 15 meses, e a festa do tomate, a cada
18 meses. Se as duas festas aconteceram juntas em
abril de 1998, quando elas acontecerão juntas
novamente?
a)
b)
c)
d)
e)
Em outubro de 2020
Em abril de 2015
Em outubro de 2010
Em abril de 2008
Em outubro de 2005
08. Calcule:
(1,2272727...) . (2,444...) – (1,8333...) . (0,545454...)
09. Calcule:
(1,8333) . (1,636363...) + (1,4666...) . (2,0454545...)
a
é a geratriz da
b
dízima periódica 1, 0353535..., então a soma a + b é
igual a:
10. (UCSAL) Se a fração irredutível
02. (UFMG) Os restos das divisões de 247 e 315 por x
são 7 e 3, respectivamente. Os restos das divisões de
167 e 213 por y são 5 e 3, respectivamente. O maior
valor possível para a soma x + y é:
a)
b)
c)
d)
e)
36
34
25
30
18
03. Calcule o menor número natural diferente de 3 que
dividido por 4, 6 e 9 deixa sempre resto 3.
04. (UCSAL-99) Somando 589 a um número positivo x,
obtém-se um número que é divisível por 2, por 3 e por 7.
O menor valor que x pode assumir satisfaz à condição:
a)
b)
c)
d)
e)
30 < x < 42
25 < x < 30
10 < x < 20
5 < x < 10
0<x<5
05. (UFBA) Tenho menos que 65 livros; contando-os de
12 em 12, de 15 em 15 ou de 20 em 20, sobram
sempre três. Calcule quantos livros possuo.
06. Uma sala retangular mede 5,04m por 5,40m. Deseja-se
colocar lajotas quadradas, todas do mesmo tamanho, no
piso desta sala, sem quebrar nenhuma lajota. Qual o
menor número de lajotas que podemos utilizar?
a)
b)
c)
d)
e)
28
118
225
309
403
11. (UCSAL) Seja M um dos números naturais escritos
com três algarismos, que divididos por 2 ou 3, ou 5 ou
7 deixam resto 1. A soma dos algarismos de M pode
ser:
a)
b)
c)
d)
e)
5
6
9
8
7
12. (UEFS) Se o mdc (a, b) é 3 e a é um número par,
então o mdc (3a, 6b) é:
a)
b)
c)
d)
e)
18
15
12
9
6
13. (UNEB) Sendo w e n, respectivamente, o mdc e o
mmc de 360 e 300, o quociente n/m é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
3
6
10
30
60
10
14. (UCSAL) Uma editora deverá enviar pelo correio
exemplares dos livros A, B e C nas quantidades de 144,
180 e 324 exemplares, respectivamente. Serão feitos
pacotes, todos com o mesmo número de exemplares, de
um só tipo de livro. Deseja-se que haja um número
mínimo de pacotes, mas o correio não aceita pacotes
com mais de 24 exemplares.
Nessas condições, quantos pacotes serão feitos?
a)
b)
c)
d)
e)
36
24
18
45
48
15. (UCSAL) Vivaldo costuma sair com duas garotas:
uma a cada 6 dias e outra a cada 9 dias. Quando as
datas coincidem, ele adia os encontros com ambas
para 6 e 9 dias depois, respectivamente. Se em
18/05/98 ele adiou os encontros com as duas, em
virtude da coincidência das datas, a próxima vez em
que ele teve que adiar os seus encontros foi em:
a)
b)
c)
d)
e)
15/06/98
12/06/98
10/06/98
06/06/98
05/06/98
16. (UCSAL) Um comerciante pretendia vender duas
peças de tecido de mesma largura, com comprimentos
de 158m e 198m. Ele dividiu a primeira em cortes de
n metros, restando 5m da peça. Em seguida, resolveu
dividir a segunda em pedaços de n metros, também,
restando 11m da peça. Sabendo que o número de
cortes obtidos foi o menor possível, nas condições
dadas, qual é o valor de n?
a)
b)
c)
d)
e)
9
11
17
23
34
17. (FUVEST) No alto de uma emissora de TV, duas
luzes “piscam” com frequências diferentes. A
primeira “pisca” 15 vezes/minuto e a segunda “pisca”
10 vezes/minuto. Se num certo instante as luzes
piscam simultaneamente, após quantos segundos elas
voltarão a piscar ao mesmo tempo?
a)
b)
c)
d)
e)
12
10
20
15
30
MATEMÁTICA
18. Um enxadrista quer decorar uma parede retangular,
dividindo-a em quadrados, como se fosse um
tabuleiro de xadrez. A parede mede 4,40m por 2,75m.
Determine o menor número de quadrados que ele
pode colocar na parede:
a)
b)
c)
d)
e)
10
20
30
40
50
19. (UFMG) Sejam a, b e c números primos distintos, em
que a > b. O máximo divisor comum e o mínimo
múltiplo comum de m = a2 . b . c2 e n = ab2 são,
respectivamente, 21 e 1764.
Pode-se afirmar que a + b + c é:
a)
b)
c)
d)
e)
9
10
12
42
62
20. Assinale as proposições verdadeiras.
(01) O número 1500 tem 24 divisores naturais.
(02) Se x é múltiplo de 15 e x é múltiplo de 6, então x
é múltiplo de 90.
(04) Se o m.m.c. (a; b) é a . b, então a e b são primos
entre si.
(08) Se x é divisor de 600 e x é divisor de 640, então
x é divisor de 40.
(16) Se um número natural n dividido por 13 deixa
resto 5, então (n + 5) é múltiplo de 13.
21. Um terreno de forma triangular, com as dimensões
indicadas na figura abaixo, deve ser cercado com
arame farpado. Para isso, serão colocadas estacas
equidistantes entre si. Determine o menor número de
estacas que podem ser utilizadas.
a)
b)
c)
d)
e)
45
30
25
21
18
27m
22,5m
31,5m
22. (UESF-99.1) Se x representa um número natural
qualquer de dois algarismos distintos, escrevendo-se o
algarismo 8 à esquerda de x, obtém-se um novo
número que tem a mais que x:
a)
b)
c)
d)
e)
8 unidades.
x unidades.
8x unidades.
80 unidades.
800 unidades.
11
23. (UCSAL-00.1) Um número inteiro e positivo é
constituído de dois algarismos distintos cuja soma é
11.
Invertendo-se a posição de seus algarismos, obtém-se
outro número que excede o primeiro em 45 unidades.
O menor dos números está compreendido entre:
a)
b)
c)
d)
e)
0 e 10
10 e 20
20 e 30
30 e 40
40 e 50
MATEMÁTICA
c) menor que 500.
d) quadrado perfeito.
e) divisível por 5.
30. (FUVEST-SP) Qual dos cinco números relacionados
abaixo não é um divisor de 1015?
a)
b)
c)
d)
e)
31. (FUVEST-SP) Os números inteiros positivos são
dispostos em “quadrados” da seguinte maneira:
24. Um número é constituído de dois algarismos, cuja
soma vale 7. Mudando-se a ordem dos algarismos,
obtém-se um número nove unidades superior ao
primitivo. Calcule o número primitivo.
1 2 3 10 11 12 19 .. ..
4 5 6 13 14 15 .. .. .. .. ..
7 8 9 16 17 18 .. .. ..
25. Um número natural de dois algarismos é 7 vezes a
soma dos seus algarismos. Calcule esse número,
sabendo que o algarismo das dezenas excede em 3
unidades o algarismo das unidades.
O número 500 se encontra em um desses
“quadrados”. A “linha” e a “coluna” em que o número
500 se encontra são, respectivamente:
a)
b)
c)
d)
e)
26. (UNIRIO) A fração geratriz de 3,74151515... é:
37415
10000
3741515
10000
37041
9900
37041
9000
370415
99000
a)
b)
c)
d)
e)
27. (UNIRIO) O resto da divisão do inteiro n por 12 é 7.
Qual o resto da divisão de n por 4?
a)
b)
c)
d)
e)
0
1
2
3
4
28. (FFOP-MG) O número m = 94816a, sendo a o
algarismo das unidades, é divisível por 15. O valor de
a é:
a)
b)
c)
d)
e)
2
0
5
3
4
29. (FGV-SP) Seja x o maior número inteiro de 4
algarismos que é divisível por 13, e y, o menor
número inteiro positivo de 4 algarismos que é
divisível por 17. A diferença x – y é um número:
a) primo.
b) múltiplo de 6.
25
50
64
75
250
2e2
3e3
2e3
3e2
3el
GABARITO
01.
a) V
b) V
c) V
d) V
e) V
f) F
g) V
h) V
i) V
j) V
k) V
ANOTAÇÕES
02.
03.
04.
05.
06.
07.
08.
09.
10.
11.
12.
D
39
A
63
210
E
02
06
E
E
A
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
D
A
E
C
A
D
C
13
E
E
D
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
34
63
C
D
C
B
D
A
12
MATEMÁTICA
RAZÕES E PROPORÇÕES
01. RAZÃO
Dados dois números, a e b, b  O, chama-se razão entre a e b ao quociente entre a e b, que se indica
Na razão
a
ou a : b.
b
a
, a é chamado antecedente e b é chamado consequente.
b
EXEMPLOS
E.1) A razão entre a medida do cateto menor e a medida da hipotenusa do triângulo retângulo de medidas 3 cm, 4 cm e 5 cm é:
m
3 cm
5c
3
 0,6
5
4 cm
E.2) Em um baile, existem 150 homens e 225 mulheres. Podemos afirmar que a razão entre o número de homens e o número
150
2
de mulheres é
, ou seja, existem dois homens para cada três mulheres.

225
3
150
2

 0,666 ...
225
3
02. PROPORÇÕES
2.1. DEFINIÇÃO
Chama-se proporção a sentença que indica a igualdade entre duas razões.
EXEMPLOS
E.1)
2
10

3
15
E.2)
5
25

4
20
E.3)
0,125
1

2,5
20
Genericamente, indica-se
a
c
, ou a : b : c : d, que se lê: “a está para b, assim como c está para d”, sendo:

b
d
a, d os extremos;
b, c os meios.
2.2. PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DAS PROPORÇÕES (P.F.)
“Em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios.”
Isto é:
a
c

a .db.c
b
d
Notem esta propriedade nos exemplos anteriores:
EXEMPLOS
13
2
10
5
25
E.2)

 2 . 15  3 . 10

 5 . 20  4 . 25
4
20
3
15
2.3. OUTRAS PROPRIEDADES DAS PROPORÇÕES
E.1)
P.1)
a
c
ac
ac
a
c





b
d
bd
bd
b
d
P.2)
a
c
ab
cd



b
d
a
c
P.3)
a
c
ab
cd



b
d
a
c
MATEMÁTICA
E.3)
0,125
1

0,125 . 20  2,5 . 1
2,5
20
2.4. GRANDEZAS DIRETAMENTE E INVERSAMENTE PROPORCIONAIS
2.4.1. Grandezas diretamente proporcionais
“Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando-se uma delas, a outra aumenta na mesma razão da primeira.”
EXEMPLO
Vejamos as duas grandezas:
– quantidade de canetas (Q)
– preço (P)
Suponhamos que:
o preço unitário da caneta seja $ 3,00.
Assim:
1 caneta custa:
$ 3,00
2 canetas custam: $ 6,00
3 canetas custam: $ 9,00 etc.
Observamos que as grandezas Q e P são diretamente proporcionais, pois é satisfeita a proporção direta:
1
3,00
1
3,00
2
6,00

ou

ou

etc
2
6,00
3
9,00
3
9,00
2.4.2. Grandezas inversamente proporcionais
“Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando-se uma delas, a outra diminui na razão inversa em
que a primeira aumentou.”
EXEMPLO
Vejamos as duas grandezas:
– velocidade média (v)
– tempo (t)
Suponhamos que:
Um automóvel deve percorrer a distância Aracaju-Salvador, que é de aproximadamente 300 km. É fato que, quanto maior
a velocidade do automóvel, menor será o tempo de percurso.
Portanto:
v
50 km/h
60 km/h
100 km/h
t
6h
5h
3h
etc.
14
MATEMÁTICA
Observamos que as grandezas v e t são inversamente proporcionais, visto que a razão entre as velocidades
inversa a razão dos tempos correspondentes,
50
5
é

60
6
6
.
5
OBSERVAÇÕES IMPORTANTES
1a) Se num exercício dizemos que três grandezas, a, b e c, são diretamente proporcionais, respectivamente, a m, n e p, indicamos:
a
b
c


.
m
n
p
Como essas frações são iguais, dizemos que o seu resultado é constante e costumamos representar esse resultado por k.
a
b
c


k.
Assim:
m
n
p
2a) Se num exercício dizemos que três grandezas, a, b e c, são inversamente proporcionais, respectivamente, a m, n e p,
indicamos:
a
b
c
.


1
1
1
m
n
p
Do mesmo modo que o anterior, esse resultado pode ser representado pela constante k.
a
b
c
Assim:
= k.


1
1
1
m
n
p
EXERCÍCIOS
01. A soma de dois números é 162. O maior está para 13,
assim como o menor está para 5. Nessas condições,
qual a diferença entre os números?
03. A soma de três números vale 31. Calcule cada número,
se
eles
são
inversamente
proporcionais,
respectivamente, a 2, 3 e 5.
02. José, João e Pedro jogaram na Loto a quantia de R$
20,00, sendo que José contribuiu com R$ 5,00, João,
com R$ 6,00 e Pedro, com R$ 9,00. Se eles ganharem
um prêmio de R$ 30.000,00, quanto cada um deve
receber, considerando que o prêmio vai ser divido em
partes proporcionais ao que cada um investiu?
04. (UCSAL-00) Ao conferir suas respostas, às 100
questões de um teste, dois alunos, curiosamente,
observaram que os números de questões que haviam
acertado eram inversamente proporcionais às suas
respectivas idades: 18 e 20 anos. Se, juntos, eles
acertaram um total de 133 questões, então o número
de questões que o mais velho errou foi:
a)
b)
c)
d)
e)
30
32
34
35
37
15
MATEMÁTICA
REGRA DE TRÊS
01. REGRA DE TRÊS SIMPLES
Vejamos os problemas:
1o) Se José comprou 3 metros de um tecido por $ 15, por quanto ele compraria 6 metros do mesmo tecido?
SOLUÇÃO
Comprimento
Preço
3m
6m
$ 15
x
As setas colocadas apresentam mesmo sentido, pois as grandezas são diretamente proporcionais. Por isso, armamos a
proporção na ordem apresentada no esquema abaixo.
Isto é:
3
15

 3x  6 . 15  x 
6
x
2
6 . 15
  x  30 .
3
Portanto, 6 m do tecido seriam comprados por $ 30.
Dizemos que esse é um problema de regra de três simples e direta, pois as setas concordantes geram uma proporção direta.
2o) Para se construir um muro, 6 pedreiros gastam 12 dias. Em quanto tempo 9 pedreiros construirão o mesmo muro?
SOLUÇÃO
Pedreiros
Tempo
6
9
12 dias
x
As setas colocadas apresentam sentidos contrários, pois as grandezas são inversamente proporcionais. Por isso, armamos
a proporção conservando o sentido de uma fração e invertendo a outra.
Assim, podemos escrever
6
x
6 . 12 4

 9x  6 . 12  x 
8
9
12
93
Portanto, 9 pedreiros construirão o mesmo muro em 8 dias.
Dizemos que esse é um problema de regra de três simples e inversa, pois as setas discordantes geram uma proporção inversa.
EXERCÍCIOS
01. Para pintar uma superfície de 150 m2, um pintor gasta
12 latas de tinta. Quantas latas de tinta são necessárias
para pintar 200 m2 da superfície?
02. Numa viagem da cidade A até a cidade B, um veículo
gasta 96 minutos, à velocidade média de 100 km/h.
16
MATEMÁTICA
Se a velocidade fosse de 120 km/h, qual seria o tempo
gasto?
05. (UCSAL) Um certo metal é obtido fundindo-se 15
partes de cobre com 6 partes de zinco. Para obter-se
136,5 kg desse metal, são necessários:
03. Uma torneira enche um tanque em duas horas, e outra
torneira enche o mesmo tanque em três horas. Em
quanto tempo as duas torneiras, juntas, encherão o
tanque?
a)
b)
c)
d)
e)
91,8 kg de cobre.
41,5 kg de zinco.
92 kg de cobre.
45 kg de zinco.
97,5 kg de cobre.
04. Uma torneira enche um tanque em duas horas e um
orifício é capaz de esvaziá-lo em três horas. Em
quanto tempo o tanque ficaria cheio, se abrirmos a
torneira e o orifício, simultaneamente?
02. REGRA DE TRÊS COMPOSTA
Vamos resolver o problema:
Numa certa construção, 3 pedreiros levantaram, em 20 dias, 5 metros de um certo muro. Quantos metros do mesmo muro
6 pedreiros levantam em 60 dias?
SOLUÇÃO
O esquema da questão é:
Pedreiros
3
6
Dias
20
60
Metros do muro
5
x
Ora, é claro que:
1o) Se 3 pedreiros, em 20 dias, levantam 5 metros do muro, então 6 pedreiros, em 20 dias, levantam 10 metros do muro.
Isto é:
Pedreiros
3
6
Dias
20
20
Metros do muro
5
10
2o) Se 6 pedreiros, em 20 dias, levantam 10 metros do muro, então 6 pedreiros, em 60 dias, levantam 30 metros do muro.
Isto é:
Pedreiros
6
6
Dias
20
60
Metros do muro
10
30
17
MATEMÁTICA
Portanto, a resposta do problema é 30 m.
Observem que na primeira etapa da resolução do problema mantivemos a quantidade de dias constante e notamos que:
 duplicando a quantidade de pedreiros, a quantidade de metros que podem ser construídos duplica.
Na segunda etapa, aproveitamos a etapa anterior, mantivemos a quantidade de pedreiros constante e notamos que:
 triplicando os dias de trabalho, triplicam-se os metros do muro.
Ora, já que inicialmente tínhamos 5 metros, na primeira etapa duplicamos e na segunda etapa triplicamos o resultado da
primeira, então a quantidade de metros ficou sextuplicada.
Isto quer dizer que:
“Se uma grandeza x é proporcional a duas outras, y e z, então x é proporcional ao produto y . z.”
Vamos resolver o problema anterior com o esquema de setas:
Pedreiros
Dias
Metros do muro
3
6
20
60
5
x
Setas do mesmo sentido, pois:
 aumentando a quantidade de pedreiros (mantendo constante os dias), aumentam-se os metros do muro.
 aumentando a quantidade de dias (mantendo constante os pedreiros), aumentam-se os metros do muro.
Ora:
5
3
é diretamente proporcional a
e vice-versa.
x
6
5
20
A razão
é diretamente proporcional a
e vice-versa.
x
60
5
3
20
A razão
é diretamente proporcional ao produto
.
.
x
6
60
A razão
Assim:
5
3
20
5
60
5.360
, ou seja, x = 30 metros.

.


x
x
6
60
x
30
60
EXERCÍCIO
Seis operários constroem um muro de 30 m de comprimento em 5 dias, trabalhando 6 horas por dia. Quantas horas por dia
devem trabalhar 9 operários, para construírem um muro semelhante ao anterior, só que com 48 m de comprimento e em 4 dias?
18
MATEMÁTICA
MÉDIAS
01. MÉDIA ARITMÉTICA
Vejamos o exemplo:
Pedro é um aluno que conseguiu em quatro trabalhos sucessivos as seguintes notas: 7, 5, 3 e 9.
Uma nota representativa que substitui as quatro pode ser dada por:
7539
24

6
4
4
Portanto, o número 6 é o valor médio das notas 7, 5, 3 e 9 e é chamado média aritmética.
Nesse caso, a média aritmética dos quatros números foi obtida somando-se as notas e dividindo-se o resultado por 4.
GENERALIZAÇÕES
A média aritmética (M.A.) dos n números, a1, a2, a3, ..., an, é dada por M.A. 
a1  a 2  a 3  ...  a n
n
02. MÉDIA GEOMÉTRICA
A média geométrica (M.G.) de n números, a1, a2, a3, ..., an, é dada por M.G.  n a1 . a 2 . a 3 . ... . a n
EXEMPLOS
E.1) A M.G. entre 2 e 8 é
E.2) A M.G. entre 1, 3 e 9 é
2 . 8  16  4
3
1 . 3 . 9  3 27  3
E.3) A M.G. entre 4, 6, 6 e 9 é
4
4 . 6 . 6 . 9  4 2 2 . 2 . 3 . 2 . 3 . 32  4 2 4 . 34  4 (2 . 3) 4  2 . 3  6
03. MÉDIA PONDERADA
Vejamos o exemplo:
Em um determinado colégio, existem três avaliações por unidade: um teste, com peso 3, um trabalho, com peso 2, e uma
prova, com peso 5.
Um determinado aluno conseguiu as seguintes notas: 8 no teste, 4 no trabalho e 6 na prova.
Uma nota representativa que substitui as três notas pode ser dada por:
8.3  4.2  6.5
24  8  30
62


 6,2
3 25
10
10
GENERALIZAÇÃO
A média ponderada (M.P.) de n números, a1, a2, a3, ..., an, com os respectivos pesos p1, p2, p3, ..., pn é dada por:
M.P. 
a1 . p1  a 2 . p 2  a 3 . p 3  ...  a n . p n
p1  p 2  p 3  ...  p n
19
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01. (UFRS) Uma estrada de 315 km de extensão foi
asfaltada por três equipes, A, B e C, cada uma delas
atuando em um trecho diretamente proporcional aos
números 2, 3 e 4, respectivamente. O trecho da
estrada asfaltado pela turma C foi de:
a)
b)
c)
d)
e)
70 km
96 km
105 km
126 km
140 km
02. Um comerciante precisa pagar três dívidas: uma de 30
mil reais, outra de 40 mil reais e uma terceira de 50 mil
reais. Como ele só tem 90 mil reais, resolve pagar
quantias diretamente proporcionais a cada débito. Nessas
condições, o maior credor receberá uma quantia de:
a)
b)
c)
d)
e)
30 mil reais
37,5 mil reais
36 mil reais
22,5 mil reais
mil reais
03. Quando você dividiu um certo número em partes
inversamente proporcionais aos números 2, 5 e 4, a
primeira parcela que encontrou foi 200. Nessas
condições, o número dividido foi:
a)
b)
c)
d)
e)
380
360
350
320
400
04. Uma lâmpada de 40 watts pode funcionar por 15
horas, a um certo custo. Por quanto tempo poderá
funcionar uma lâmpada de 60 watts, para que o custo
permaneça o mesmo?
a)
b)
c)
d)
e)
12 horas
10 horas
8 horas
6 horas
4 horas
05. Num recenseamento, chegou-se à conclusão de que, para
visitar 102 residências, era necessário contratar 9
recenseadores. Numa região em que existem 3.060
residências, quantos recenseadores devem ser
contratados?
a) 270
MATEMÁTICA
b)
c)
d)
e)
250
240
220
210
06. (UFMG) Uma pessoa, datilografando 60 toques por
minuto e trabalhando 6 horas por dia, realiza um certo
trabalho em 10 dias. Outra pessoa, datilografando 50
toques por minuto e trabalhando 4 horas por dia,
realizará o mesmo trabalho em:
a)
b)
c)
d)
e)
12 dias
14 dias
16 dias
18 dias
20 dias
07. Duas máquinas empacotam 1.000 balas por hora.
Quantas máquinas são necessárias para empacotar
5.000 balas em meia hora?
a)
b)
c)
d)
e)
10
12
15
16
20
08. Num determinado colégio, têm-se 4 unidades, de
pesos, respectivamente, 2, 2, 2 e 4. Se as notas de um
aluno em Física foram, respectivamente, 3,0; 5,2; 4,0
e 6,5, calcule a média do aluno nas quatro unidades.
09. Em uma determinada escola, um aluno conseguiu as
médias 7, 5 e 4, respectivamente, nas três primeiras
unidades. Sabendo que a média anual para essa escola
é obtida com os pesos 2, 2, 2 e 4, respectivamente,
para as quatro unidades e que qualquer aluno precisa
de média anual 5 para ser aprovado, sem recuperação,
calcule quanto o aluno em foco precisa de média na
quarta unidade para passar direto.
10. (UFMG) Uma firma é constituída por dois sócios, A e
B, cujos capitais investidos são 200 mil e 350 mil reais,
respectivamente. Todo lucro ou prejuízo da firma é
dividido, entre os dois, proporcionalmente ao capital
investido. A firma acusou um prejuízo de 121 mil reais.
As parcelas do prejuízo, em mil reais, correspondentes
a cada sócio são, respectivamente:
a) 20 e 101
b) 40 e 70
20
c) 44 e 77
d) 79 e 72
e) 100 e 21
MATEMÁTICA
elevado para 24, o número de dias necessários para a
construção da mesma ponte será:
a)
b)
c)
d)
e)
11. (FUVEST-RJ) Um bar vende suco e refresco de
tangerina. Ambos são fabricados diluindo em água um
concentrado dessa fruta. As proporções são de uma
parte de concentrado para três de água, no caso do
suco, e de uma parte de concentrado para seis de água,
no caso do refresco. O refresco também poderia ser
fabricado diluindo x partes de suco em y partes de
x
água, se a razão
fosse igual a quanto?
y
1
4
d)
2
3
3
b)
e) 2
4
c) 1
12. (FAFI-BH) Em uma empresa, 8 funcionários
produzem 2.000 peças, trabalhando 8 horas por dia
durante 5 dias. O número de funcionários necessários
para que essa empresa produza 6.000 peças em 15
dias, trabalhando 4 horas por dia, é:
a)
a)
b)
c)
d)
e)
2
3
4
8
16
13. (FAFI-BH) Se 120 operários constroem 600 m de
estrada em 30 dias de trabalho, o número de operários
necessários para construir 300 m de estrada em 300
dias é:
a)
b)
c)
d)
e)
6
24
240
600
2400
14. (UFMG) Uma empresa tem 750 empregados e
comprou marmitas individuais congeladas suficientes
para o almoço deles durante 25 dias. Se essa empresa
tivesse mais 500 empregados, a quantidade de
marmitas já adquiridas seria suficiente para um
número de dias igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
10
12
15
18
20
15. (UFSM-RS) Uma ponte é feita em 120 dias por 16
trabalhadores. Se o número de trabalhadores for
180
128
100
80
60
16. (UNICRUZ-RS) Uma pessoa, viajando de automóvel,
fez o percurso Cruz Alta-Porto Alegre em 5h,
viajando a uma velocidade média de 80 km/h. Na
volta, retornou mais apressado e fez o mesmo
percurso em 4h. Portanto, a velocidade, ao retomar,
foi de:
a)
b)
c)
d)
e)
80 km/h
85 km/h
64km/h
90 km/h
100 km/h
17. José comprou 28 m de tecido por R$ 40,00. Por
quanto José compraria 35 m do mesmo tecido?
18. Para construir um muro, 6 pedreiros gastam 12 dias.
Em quanto tempo 9 pedreiros construirão o mesmo
muro?
19. Um automóvel percorre certa distância em 15 h a uma
velocidade de 60 km/h. Em quanto tempo o
automóvel percorre a mesma distância a uma
velocidade de 90 km/h?
20. Numa certa construção, 3 pedreiros levariam, em 20
dias, 5 m de um certo muro. Quantos metros do
mesmo muro 6 pedreiros levantam em 60 dias?
21. Para carregar 36 toneladas de ferro, um homem gasta
6 dias, trabalhando 4 horas por dia. Quantos dias
serão necessários para esse homem carregar 24
toneladas de ferro, trabalhando 6 horas por dia?
22. Para lixar 36m2 de parede, certo operário levou 5 dias
trabalhando 6 horas por dia. Precisando lixar 42 m2 de
uma outra parede e tendo que trabalhar 8 horas por
dia, em quantos dias realizará o trabalho?
23. Um dicionário teve, na sua 1a edição, 320 páginas de
25 linhas, cada linha contendo 40 letras. Numa 2a
edição, foram usados os mesmos caracteres e cada
página continha mais 7 linhas, com o dobro do
número de letras por linha. Qual o número de páginas
desta 2a edição?
21
MATEMÁTICA
24. Para asfaltar 1 km de estrada, 30 homens gastaram 12
dias trabalhando 8 horas diárias. 20 homens, para
asfaltar 2 km da mesma estrada, trabalhando 12 horas
por dia, gastarão quantos dias?
25. Em 12 dias, um homem percorre 180 km caminhando
4 horas por dia com velocidade v. Qual será a
distância que ele percorrerá em 10 dias, caminhando 6
horas por dia, reduzindo a velocidade em 1/3?
26. Um homem pode fazer um trabalho em 8 dias; outro
pode fazer o mesmo trabalho em 12 dias. Qual o
número de dias que levarão para fazer o mesmo
trabalho, trabalhando juntos?
27. Os 2/5 de um trabalho foram feitos em 10 dias por 24
operários, que trabalham 7 horas por dia. Em quantos
dias se poderá terminar esse trabalho, sabendo que
foram licenciados 4 operários e que os restantes
trabalham, agora, 6 horas por dia?
ANOTAÇÕES
GABARITO
01.
02.
03.
04.
05.
06.
07.
08.
09.
10.
11.
12.
13.
14.
E
B
A
B
A
D
E
5,04
4,5
C
D
E
A
C
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
D
E
R$50,00
8 dias
10 km/h
30 m
2 dias e 4 h
4 dias e 3 h
125 páginas
24 dias
150 km
24/5d
21 dias
22
MATEMÁTICA
CONJUNTOS NUMÉRICOS FUNDAMENTAIS
01. CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS
Representa-se pela letra N e é formado pelos elementos 0, 1, 2, 3, ...
Portanto N = {0, 1, 2, 3, ...}.
Usamos o asterisco (*) ao lado do símbolo que representa um conjunto para excluir o zero desse conjunto.
Assim sendo, N* = {l, 2, 3, ...}.
Note que, por exemplo, a operação 3 – 5 não é possível em N. Criou-se, por isso, um conjunto capaz de resolver esse tipo
de operação. Esse conjunto ficou conhecido como conjunto dos números inteiros.
02. CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS
Representa-se pela letra Z e é formado pelos elementos de N, juntamente com seus simétricos.
Portanto Z = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}.
Do conjunto Z, tiramos os subconjuntos:
Z* = {..., –3, –2, –1, 1, 2,3, ...} (conjunto dos inteiros não nulos).
Z+ = {0, 1, 2, 3, ...} = N (conjunto dos inteiros não negativos).
Z* = {1, 2, 3, ...} = N* (conjunto dos inteiros positivos).
Z– = {..., –2, –2, –1, 0} (conjunto dos inteiros não positivos).
Z* = {..., –3, –2, –1} (conjunto dos inteiros negativos).
Note que, por exemplo, a operação 6/10 não é possível em Z. Criou-se, por isso, um conjunto capaz de resolver esse tipo
de operação. Esse conjunto ficou conhecido como conjunto dos números racionais.
03. CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS
Representa-se pela letra Q e é formado por todos os elementos da forma
a
, com a  Z e b  Z*.
b
EXEMPLOS
E.1)
25
= 3,125
8
E.4)
103
= 3,121212...
33
E.2)
137
= 1,37
 100
E.5)
E.3)
28
= –2
 14
2
= 0,1333...
15
E.6)
0
=0
73
OBSERVAÇÕES
a
, quando a é divisível por b, é aparente, pois é igual a um número inteiro (Exemplos E.5 e E.6). Por isso,
b
qualquer número inteiro é racional.
A fração
A fração
a
, quando a não é divisível por b, só pode ser:
b
 Um decimal exato (E.1 e E.2)
 Uma dízima periódica (E.3 e E.4)
23
MATEMÁTICA
O conjunto dos racionais é um conjunto denso, isto é, entre dois racionais quaisquer existem infinitos outros racionais.
Ainda o conjunto Q não resolve todos os problemas; vejamos o exercício:
Qual o número positivo cujo quadrado é igual a 2?
SOLUÇÃO
1
0
1
2
x2 = 2; este número x, positivo, é conhecido por x = 2 .
Ele não é racional. Foi criado, por isso, um novo conjunto, conhecido por conjunto dos irracionais.
04. CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS
Mostraremos que não existe número x com uma quantidade finita de decimais, tal que x 2 = 2, ou melhor, mostraremos
que
2 não representa número com quantidade finita de decimais.
Ora:
2 = 1 (por falta, pois 12 = 1)
2,0 = 1,4 (por falta, pois 1,42 = 1,96)
2,00 = 1,41 (por falta, pois 1,412 = 1,9881)
2,000 = 1,414 (por falta, pois 1,4142 = 1,999396)
Para que o quadrado de 1,4 ou 1,41 ou 1,414 etc., venha representar o número 2 ou 2,0 ou 2,00 etc., seria necessário que o
último algarismo significativo da parte decimal multiplicado por si mesmo apresentasse final zero. Nesse caso, esse último
algarismo teria que ser zero. Isso é impossível, pois 1,4 ou 1,41 ou 1,414 etc., são números que têm na parte decimal pelo
menos um algarismo diferente de zero e, sendo este último, quando multiplicado por si mesmo não dará zero.
Portanto, mostramos que não existe um número com uma quantidade finita de decimais cujo quadrado resulte exatamente
2 ou 2,0 ou 2,00 etc.
O número 2 não é racional e se caracteriza por possuir na parte decimal uma quantidade infinita de algarismos não
formando uma dízima periódica.
Dizemos que 2 é chamado número irracional, assim como 3 , 5 , 3 2 etc.
Além desses, temos outros números que são irracionais. O número  = 3,1415926... é outro exemplo.
Representaremos o conjunto dos irracionais por Q’ ou Q.
Outros exemplos de números irracionais:
2  1,   2,
3
etc.
2
Nenhum número irracional pode ser escrito sob a forma
a
com a e b inteiros.
b
05. CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS
A união do conjunto dos racionais com o conjunto dos irracionais chama-se conjunto dos reais.
Representando-se pela letra R, tem-se que Q  Q’ = R.
24
MATEMÁTICA
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Analise cada questão a seguir e diga se é verdadeira ou falsa.
01. Existe natural que não é racional.
02. Todo natural é racional.
03. Existe número inteiro que não é natural.
04. Todo número natural é inteiro relativo.
05. Um número inteiro relativo pode ser irracional.
06. Todo número inteiro é racional.
07. Existe número que é racional e irracional, simultaneamente.
08. Todo irracional é real.
09. Existe número real que não é irracional.
10. Todo número irracional é real.
11. Os números da forma
a
, com a  Z e b  Z podem não ser racionais.
b
12. O conjunto dos números racionais é formado pelos elementos da forma
a
, com a  Z e b  Z*.
b
13. Toda dízima periódica é um número irracional.
14. Existe dízima periódica que não pode ser escrita sob a forma
a
, com a  Z e b  Z*.
b
15. O produto de números reais sempre é racional.
16. Se ocorrer pq  Z, isto é porque p  Z e q  Z.
17. O quociente entre racionais, quando possível, é sempre racional.
18. O quociente entre irracionais é sempre irracional.
19. Se x  Z e y 
Q’, então x . y  Q’.
20. Se x  Z* e y  Q' , então(x + y)  Q' .
21. Se x  N e y  R, então (x + y)  Q.
22. Se x  Q’ e y  Q’, então (x . y)  Q’.
23. O número 2k + 3, k  Z, sempre é ímpar.
24. O número k2 + k, k  Z, sempre é par.
25. Se n  Z é um número par, então n2 também é par.
26. Se n  Z é um número ímpar, então n2 também é ímpar.
27. O número k3 + k, k  Z, pode ser ímpar.
25
MATEMÁTICA
28. As expressões 2k + 1 e 2k + 3, k  Z, são genéricas para a representação de dois números ímpares consecutivos.
29. O conjunto {x | x = 5k, k  Z} representa o conjunto dos múltiplos de 5.
30. As expressões 7k e 7k + 1 representam dois múltiplos consecutivos de 7, qualquer que seja k pertencente ao conjunto dos
inteiros.
31. As expressões 7k e 7k + 7, k  Z, representam dois múltiplos consecutivos de 7.
x2
sempre representa número real, qualquer que seja x  R.
x 3
32. A expressão E =
33. Se k  Q’, então k2  Q.
34. 0  Q+ e N = Z+.
35. Z–  Z+ = {0}.
36. 0  Q’ e Z*  Q– = Z–.
37. Q’  Q+ = R+.
38. R –(Z  Q) = Q’.
GABARITO
01.
02.
03.
04.
05.
06.
07.
08.
09.
10.
11.
12.
13.
ANOTAÇÕES
F
V
V
V
F
V
F
V
V
V
V
V
F
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
F
F
F
V
F
F
V
F
F
V
V
V
V
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
F
V
V
F
V
F
F
V
V
F
F
V
26
MATEMÁTICA
INEQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU
01. DEFINIÇÃO
Chama-se inequação do primeiro grau a toda desigualdade redutível à forma ax + b * 0, com a  0, sendo * <, >,  ou .
EXEMPLOS
E.1) 2x + 4 < 0
E.2) 3x – 7 5 (2 – x) + 1
E.3)
x  3 2x  1
x


1
4
6
2
02. PROPRIEDADES DAS DESIGUALDADES
P.1.) Somando-se (ou subtraindo-se) um mesmo número aos dois membros de uma desigualdade, obtém-se uma desigualdade
equivalente.
EXEMPLOS
7 > 3  7 + 2 > 3 + 2, ou seja, 9 > 5
x – 3 > 0  x – 3 + (3) > 0 + (3), ou seja, x > 3
x + 4 > 2  x + 4 – 4 > 2 – 4, ou seja, x > –2
P.2.) Multiplicando-se (ou dividindo-se) ambos os membros de uma desigualdade por um número positivo, obtemos outra
desigualdade equivalente.
EXEMPLOS
7 > 3  7 . 2 > 3 . 2, ou seja, 14 > 6
x
x
>5
. (2) > 5. (2), ou seja, x > 10
2
2
12
3x > 12  >
, ou seja, x > 4
3
P.3.) Multiplicando-se (ou dividindo-se) ambos os membros de uma desigualdade por um número negativo, o sinal da
desigualdade deve ser invertido.
EXEMPLOS
7 > 3  7 . (–1) < 3 . (-1), ou seja, –7 < –3
–x > –3  –x(–1) < –3 . (–1), ou seja, x < 3
2 x
12
–2x  12 

, ou seja, x  6
2
2
É costume resolver a inequação – 2x > 12 multiplicando inicialmente ambos os membros por –1.
Assim: – 2x  12  2 x  –12
x 
x  –6
12
2
27
MATEMÁTICA
PRODUTOS NOTÁVEIS
Existem, alguns produtos que são muitos usados na álgebra e que, por isso, daremos um maior destaque:
01. QUADRADO DA SOMA DE DOIS TERMOS
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
02. QUADRADO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
03. PRODUTO DA SOMA PELA DIFERENÇA
(a + b) . (a – b) = a2 – b2
04. CUBO DA SOMA DE DOIS TERMOS
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
05. CUBO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
06. QUADRADO DA SOMA DE TRÊS TERMOS
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
EXERCÍCIOS
01. Desenvolva
a) (a + b – c)2
b) (x – 3)2 – (2x + 3)2
c) (3x – 2) . (3x + 2) – (2x – 3)3
02. Sabendo-se que a + b = 10 e a . b = 20, calcule a2 + b2.
28
FATORAÇÃO
PRIMEIRO CASO: FATOR COMUM
ab + ac = a . (b + c)
EXEMPLOS
SEGUNDO CASO: AGRUPAMENTO
ab + ac + bd + cd = a. (b + c) + d. (b + c) = (b + c) . (a + d)
ab + ac + bd + cd = (b + c) . (a + d)
EXEMPLOS
TERCEIRO CASO: DIFERENÇA DE QUADRADOS
a2 – b2 = (a + b) . (a – b)
EXEMPLOS
QUARTO CASO: TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
EXEMPLOS
MATEMÁTICA
29
QUINTO CASO: TRINÔMIO DO SEGUNDO GRAU
ax2 + bx + c = a . (x – x’) . (x – x”)
EXEMPLOS
SEXTO CASO: CUBO PERFEITO
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3
a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = (a – b)3
EXEMPLOS
SÉTIMO CASO: SOMA OU DIFERENÇA DE CUBOS
a3 + b3 = (a + b) . (a2 – ab + b2)
a3 – b3 = (a – b) . (a2 + ab + b2)
EXEMPLOS
MATEMÁTICA
30
EXERCÍCIOS
01. Fatore:
a) x2 – 2x2 – 9x + 18
b) 4x2 - 25
c) 9x2 - 6x + 1
d) x2 – x – 6
e) x3 = 6x2 + 12x + 8
f) x3 - 27
02. Simplifique
x 2  2x  8
x3  8
.
.
x 3  4x 2  4x  16 x 2  2x  4
MATEMÁTICA
31
POTÊNCIAS
01. DEFINIÇÕES
Seja a um número real e n um número natural maior que 1.
Temos:
a n  a . a . a . ... a

n vezes
a0  1
a1  a
a n 
1
, com a  0
an
02. PROPRIEDADES
am
 a mn
an
a m . a n  a m n
an
 a 
 
n
b
 b
n
a n . b n  (a . b ) n
a 
m n
EXERCÍCIOS
01. Simplifique a expressão
2 n  2 n 1  2 n 2
.
2 n 3  2 n  4
02. (FATEC) Das três sentenças abaixo:
I) 2x+3 = 2x . 23
II) (25)x = 52x
III) 2x + 3x = 5x
a)
b)
c)
d)
e)
somente a I é verdadeira.
somente a II é verdadeira.
somente a III é verdadeira.
somente a II é falsa.
somente a III é falsa.
 am.n
MATEMÁTICA
32
MATEMÁTICA
RAÍZES
01. DEFINIÇÕES
1.1. Seja n um número natural par e não nulo e seja a um número real não negativo.
n
a  b  bn  a e b  R 
1.2. Seja n um número natural ímpar e seja a um número real.
n
a  b  bn  a
EXEMPLOS
E.1)
25  5
E.5)
x 2  | x |; x  R
x2  x; x  0
E.2)
3
8 2
E.6)
E.3)
3
 27  3
E.7)
E.4)
4
16  2
E.8)
3
x 3  x ; x  R
9 R
OBSERVAÇÃO
Note que
9 = 3, e não ±3.
02. POTÊNCIA DE EXPOENTE RACIONAL
Seja a  R * e
a
m
n
m
 Q (m  Z e n  N*)
n
 n am
EXEMPLOS
1
2
E.1) 2 3  3 2 2  3 4
E.2)
32  3
E.3)
03. PROPRIEDADES
Se a  R+, b  R+, m  Z, n  N* e p  N*, temos:
P.1.)
n
P.2.)
n
a .b  n a . n b
a

b
n
n
a
P.3.)
;b0
P.4.)
 a
m
n
n p
 n am
a 
n.p
b
EXEMPLOS
E.1)
E.2)
4.x  4 . x  2 x
x

9
x
9

x
3
E.3)
E.4)
 2
3
3
2
3 4
7 67
a
5
3
4
 4 53  4
1
125
33
MATEMÁTICA
EXERCÍCIO
Simplifique:
8  32  72  50
a)
b)
3
375  3 24  3 81  3 192
04. RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES
Racionalizar o denominador de uma fração significa eliminar todos os radicais deste denominador, sem com isso alterar o
valor da fração.
EXEMPLOS
1
E.1)
1

3
3
2
E.2)
E.4)
E.5)
10
2
3
2
1
7
10
.
3 10

10
3

a3
6
5  2
.
2
1
7
3
3

3

3 10
E.3)
3
.
a3


10
3
22
3
22
.
7
a4
7
a4
6
5

2 10
10

30
15
10 3 4
 53 4
2

7
a4
a
 5  2   6. 5  2   2. 5  2 
52
2  5  2
.
34
EXERCÍCIOS
01. Racionalize:
a)
10
5
b)
c)
d)
e)
6
3
18
15
5  3
1
1 2  3
3

2
2
3
02. (UCSAL-00) Simplificando-se
a) 3 2  4
b) 3 2  2
c)
3 2 4
4
d)
3 2
4
e)
2
3
3 2
 6  3
2
, obtém-se:
MATEMÁTICA
35
MATEMÁTICA
EQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU
01. DEFINIÇÃO
Chama-se equação do segundo grau a toda equação da forma ax2 + bx + c = 0, sendo a, b e c números reais, com a  0.
EXEMPLOS
E.1) 3x2 + 4x – 1 = 0 (a = 3, b = 4, c = –1)
E.2) –x2 + 2x + 8 = 0 (a = –1, b = 2, c = 8)
E.3) 2x2 – 16 = 0 (a = 2, b = 0, c = –16)
E.4) x2 – 5x = 0 (a = 1, b = –5, c = 0)
E.5)
x2
1


 0  a  , b  0, c  0 
2
2


Note que o termo de maior grau da equação do segundo grau é ax2, com a  0, o que justifica o seu nome. Se b = 0 ou c = 0
ou b = 0 e c = 0, a equação do segundo grau é dita incompleta. Se b  0 e c  0, a equação do segundo grau é dita completa.
As raízes de uma equação do segundo grau são os valores que quando substituídos no lugar de x tornam o primeiro
membro igual ao segundo membro.
Note nas equações que:
E.1) x2 – 7x + 10 = 0, Se substituirmos x por 2 ou por 5, temos:
2 2  7 . 2  10  4  14  10  0 
2
 Assim, dizemos que 2 e 5 são as raízes ou zeros da equação x – 7x + 10 = 0.
5 2  7 . 5  10  25  35  10  0
E.2) 3x2 – 12 = 0; se substituirmos x por 2 ou por - 2, temos:

2
 Assim, dizemos que 2 e – 2 são as raízes ou zeros da equação 3x – 12 = 0.
3 . (2) 2  12  12  12  0
3 . 2 2  12 12  12  0
02. RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU INCOMPLETAS
Devemos saber, antes de tudo, que é válida a equivalência A . B = 0  A = 0 ou B = 0.
PRIMEIRO TIPO
ax2 + bx = 0
SOLUÇÃO
ax2 + bx = 0
x .(ax + b) = 0
x = 0 ou ax + b = 0
b
x
a
 b 
S  0;

 a 
(c = 0)
36
MATEMÁTICA
SEGUNDO TIPO
ax2 + c = 0
(b = 0)
SOLUÇÃO
ax2 + c = 0
ax2 = – c
c
x2 =
a
c
c
x
; com
0
a
a

c
c 


Se
 0, S = 

a
a




c
Se
< 0, S = 
a
03. RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES COMPLETAS
Na prática, a solução da equação do segundo grau completa é feita com a fórmula de Báskara.
Vejamos a dedução dessa fórmula:
ax2 + bx + c = 0
ax2 + bx = –c
(x 4a)
4a2x2 + 4abx = –4ac (+b2)
4a2x2 + 4abx + b2 = b2 – 4ac
(2ax + b)2 = b2 – 4ac
2ax + b = ± b 2  4ac
2ax = – b ± b 2  4ac
x
 b  b 2  4ac
, sendo b2 – 4ac = , que é chamado discriminante da equação do segundo grau.
2a
Portanto as raízes da equação são:
x' 
b 
2a
e x" 
b 
2a
OBSERVAÇÕES
 Se  > 0, a equação possui duas raízes reais distintas.
 Se  = 0, a equação possui duas raízes reais iguais.
 Se  < 0, a equação não possui raízes reais.
37
MATEMÁTICA
04. RELAÇÃO ENTRE OS COEFICIENTES E AS RAÍZES
Existem duas relações importantes numa equação do tipo ax2 + bx + c = 0 que envolvem as raízes x’ e x” e os
coeficientes a, b, e c.
PRIMEIRA RELAÇÃO: SOMA DAS RAÍZES
x' 
Somando-se membro a membro as igualdades a seguir, temos
x" 
Portanto: x ' . x"  
b 
2a
b 
2a
x '  x" 
b  b 
 2b
b


2a
2a
a
b
a
SEGUNDA RELAÇÃO: PRODUTO DAS RAÍZES
x' 
b 
2a
x" 
b 
2a


  b      b    ( b) 2  
b 2  b 2  4ac
4ac
c
.

x ' . x"  



2
2
2




2a
2a
a
4a
4a
4a

 

Portanto: x ' . x" 
c
a
05. EQUAÇÕES BIQUADRADAS
5.1. DEFINIÇÃO
Chama-se equação biquadrada a equação do quarto grau incompleta que possui o aspecto ax4 + bx2 + c = 0, sendo a, b e
c números reais, com a  0.
EXEMPLOS
E.1) 5x4 + 4x2 + 1 = 0
E.2) x4 – 3x2 + 2 = 0
E.3) x4 – 81 = 0
5.2. RESOLUÇÃO DE EQUAÇÃO BIQUADRADA
Toda equação do tipo ax4 + bx2 + c = 0 é equivalente ao modelo a(x2)2 + b(x)2 + c = 0.
Fazendo x2 = y, temos:
ay2 + by + c = 0, que é uma equação do segundo grau de variável y. Nela, encontramos as raízes y’ e y” e daí:
x2  y
x 2  y'  x   y'
x 2  y"  x   y"
38
MATEMÁTICA
EXEMPLOS
E.1) Vejamos qual o conjunto verdade da equação x4 – 10x2 + 9 = 0
SOLUÇÃO
A equação é equivalente a (x2)2 – 10x2 + 9 = 0
Fazendo x2 = y, temos:
y2 – 10y + 9 = 0, cujas raízes são y’ = 9 e y” = 1.
y
Ora, x = ±
x   9  3
x   1  1
; y = {–3, –1, 1, 3}
EQUAÇÕES IRRACIONAIS
01. DEFINIÇÃO
Chama-se equação irracional à equação que apresenta incógnita sob radical.
EXEMPLOS
E.1)
3
x 5  2
E.2)
x  11  x  1
E.3)
x7 2 9 x
E.4)
2x  10  x  2  7x  4
02. RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES IRRACIONAIS
Para resolvermos equações irracionais, devemos eliminar os radicais da equação e, ao final, verificarmos as soluções.
Convém lembrar que:
a = b  a2 = b2 (verdadeiro)
a2 = b2  a = b (falso)
a = b  a2 = b2 (falso)
EXEMPLOS
E.1)
3
x  5  2 . Elevando membro a membro ao cubo, temos:
x – 5 = 8; x = 13.
É importante verificar, após a resolução da equação, se a solução realmente satisfaz.
VERIFICAÇÃO
x = 13 
3
13  5  2  3 8 = 2  2 = 2 (V)
Assim: V = {13}
39
E.2)
MATEMÁTICA
x  11 = x – 1; elevando membro a membro ao quadrado, temos:
x + 11 = (x – 1)2
x + 11 = x2 – 2x + 1
x2 + 3x – 10 = 0; x’ = 5 e x” = –2
VERIFICAÇÃO
x’ = 5 
x’ = –2 
5  11  5  1  16  4  4  4
(V)
 2  11  2  1  9  3  3  3
(F)
Note que apesar de 3  –3, temos 32 = (–3)2. Portanto, quando se elevou ao quadrado os membros da equação, uma
das soluções, x = – 2, era estranha.
Assim: V = {5}
Para se resolver as equações do segundo tipo, convém isolar em um dos membros duas das expressões que contêm as raízes.
Vamos resolver as equações E.3 e E.4.
E.3)
x7 2 9 x
Isolando-se as raízes do primeiro membro, temos:
x  7  x  7 ; elevando ambos os membros ao quadrado, temos:
 x7  x 
2
 72
x + 7 + 2 ( x  7) x  x  49
2 x 2  7 x  42  2x
Dividindo por 2, temos:
x 2  7 x  21  x
Elevando ambos os membros outra vez ao quadrado, temos:
x2 + 7x = (21 – x)2
x2 + 7x = 441 – 42x = x2
49x = 441
x
441
9
49
VERIFICAÇÃO
x=9
9  7  2  9  9  16  2  9  3  4  2  6
Assim: V = {9}
(V)
40
MATEMÁTICA
2x  10  x  2  7x  4
E.4)
Elevando ambos os membros ao quadrado, temos:

2x  10  x  2
   7x  4 
2
2
2x  10  2 2x  10  x  2  x  2  7 x  4
2 2x 2  4x  10 x  20  4x  4
Dividindo por 2, temos:
2x 2  6x  20  2x  2 ;
elevando ambos os membros ao quadrado, temos:
2x2 + 6x – 20 = (2x – 2)2
2x2 + 6x – 20 = 4x2 - 8x + 4
–2x2 + 14x – 24 = 0 :(–2)
x2 – 7x + 12 = 0; logo, x’ = 4 e x” = 3.
VERIFICAÇÃO
Na equação inicial (antes de elevarmos os dois membros ao quadrado), vamos substituir as raízes x’ = 4 e x” = 3
encontradas.
x’ = 4 
2 . 4  10  4  2  7 . 4  4  18  2  32  3 2  2  4 2  4 2
x” = 3 
2 . 3  10  3  2  7 . 3  4  16  1  25  4  1  5
(V)
(V)
Assim: V = {3,4}
E.5) Resolvamos a equação
x 2  6x  9  x 2  6x  1 .
SOLUÇÃO
Como vemos, esta equação é do segundo tipo e, portanto, se recorrermos ao mesmo processo das anteriores,
teremos que elevá-la duas vezes ao quadrado para eliminar os radicais. Entretanto, chegaríamos, desta forma, a uma
equação do quarto grau, de difícil solução para o nosso curso.
Por outro lado, verifiquemos que na equação
dois radicais. Faremos, portanto, x2 + 6x = y.
x 2  6x  9  x 2  6x  1 , a expressão x2 + 6x é comum aos
Assim:
y  9  y 1
Elevando os dois membros ao quadrado, temos:
y + 9 = y + 2 y 1
 2 y  8
Dividindo a equação por — 2, temos:
y  4  y  16
Voltando à condição x2 + 6x = y, temos:
x2 + 6x = 16
x2 + 6x - 16 = 0; logo, x’ = – 8 e x” = 2.
Pode-se verificar na equação inicial que ambas as soluções satisfazem.
Assim: V = {– 8, 2}
41
EXERCÍCIOS
MATEMÁTICA
09. Simplifique a expressão
01. Resolva as seguintes equações:
a) x +
10. Se 2x + 2–2 = a, então 8x + 8–x é igual a:
x  2  14
a)
b)
c)
d)
e)
b)
a 3  a 2b
.
3a 5  6a 4 b  3a 3b 2
a3
a2 – a
a3 – 3a
a3 - a
NRA
5x  1  3x  x  2
11. A expressão 2 
a2
b2

 2 , para a > 0 e b > 0
b2
a2
é equivalente a:
ab
a.b
b) a + b + 2
a)
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01. Desenvolva:
(a  b ) 2
ab
(a  b ) 2
d)
a 2b2
c)
a) (2x – 3) + (1 + 2x) . (1 – 2x)
b) (x2 + 2x)2 – (x – 2)3
c) (3x + 1)3 + (x2 – 4x – 3)2
2
02. Sendo x + y + z = 10 e xy + xz + yz = 30, calcule x2
+ y2 + z2.
12. Racionalize:
3
3
03. Sabendo que a + b = 10 e a . b = 20, calcule a + b .
04. Calcule o valor da expressão E = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3
para x = 117 e y = 115.
b)
05. Fatore:
a)
b)
c)
d)
e)
c)
x2 + 2xy + 5x + 10y
x2y2 – 9
4x2 - 4xy2 + y4
x3 – 8y3 – 6x2y + 12xy2
x2 + 2x – 15
d)
a)
x 3  5x 2  4x  20
x3  8
. 2
2
x  4x  4
x  3x  10
b)
6x 2 y  7xy  2y  12 x 2  14 x  4
y2
. 2
2
9x  12 x  4
y 4
c)
x 3  3x 2  3x  1 x 2  x  1
.
x2  x
x3  1
4
72
15
5  3
11
1 3  5
ba
ab  a
, com ab  -1,
e N  1
1  ab
1  ab
M
então calcule
.
N
2
x 2  5ax  6a 2
.
x 2  9a 2
3
14. Simplifique a expressão 2 2 
15. Calcule

5


 3 1
16. Se
08. Simplifique a expressão
3 5
12
13. Qual o maior entre os números
06. Simplifique:
07. Se M  a 
20
a)
a
a
>
o
5,49 e
1

1 2
valor
da
6
20 ?
1
1 2
.
expressão

2
 .
.
3 1  4 3 1
3
0
e
b
  a  b
b b a .
1
>
0,
a
expressão
 3 ab é igual a ...
17. A equação 3x2 + bx + c = 0 tem raízes 1 e 4. Os
valores dos coeficientes b e c são, respectivamente:
a)
b)
c)
d)
e)
5e4
–5 e 4
5 e 12
-15 e 12
–15 e –12
42
18. Na equação do segundo grau x2 + 3mx + m – 7 = 0, se
as raízes são opostas, calcule m.
19. Na equação x2 – 8x + p – 1 = 0, uma raiz é o triplo da
outra. Calcule.
20. Calcule a soma dos inversos das raízes da equação 3x2
+ 7x – 5 = 0.
21. Sendo a e b as raízes da equação 2x2 – 5x + m = 3,
1
1
4
então se

 , qual o valor de m?
a
b
3
22. Se a soma das raízes da equação (x – 5) . (x + p) = – 1
é 7, qual o valor do produto das raízes?
23. Determine o conjunto solução das seguintes equações:
a) (x + 3)2 = (x – 1) . (x + 5)
5
2x  3
b)
1 
x4
x4
c) 5x + 4 . (x – 1) = 9x – 4
d) 6 . (x + 2) – 4x = 2 . (x + 1) + 4
24. Determine o
inequações:
conjunto
solução
das
seguintes
2x  3 5  3x
1

 3x 
2
3
6
b) 4 . (x – 2) – (3x+2) > 5x – 6 – 4 . (x – 1)
c) 6 . (x + 2) – 2 . (3x + 2) > 2 .(3x – 1) – 3 – (2x – 1)
MATEMÁTICA
GABARITO
01. a) 10-12x
b) x4 + 3x3 + 10x2 – l2x + 8
c) x4 + 19x3 + 37x2 + 33x + 10
02. 40
03. 400
04. 8
05. a) (x + 5) . (x + 2y)
b) (xy + 3) (xy – 3)
c) (2x – y2)2
d) (x – 2y)3
e) (x + 5) (x – 3)
06. a) x2 + 2x + 4
2x  1
b)
3x  2
x 1
c)
x
07. b
x  2a
08.
x  3a
1
09.
3a (a  b)
10. C
11. C
4 5
3
4
b) 2 18
12. a)
a)
5 3 3 5
2
d) 7  3 3  5  2 15
c)
25. Resolva os sistemas:
y
x
 2  3  5
a) 
1  2  1
 x
y
xy
2 x  3 y  5
b) 
3x  4 y  9
x 2  y 2  7
c) 
x . y  12
13. 4 9
14. Zero
15. 2
16.
17.
18.
19.
20.
21.
26. Resolva as seguintes equações:
a)
b)
c)
3
2  5 x 1  3
x  9  x  18  1
15
x2  9 
2
x2  9
d)
x2  x  3  x2  x  3
e)
x  x  11  3
22.
23.
24.
25.
26.
4 ab
D
m=0
p = 13
7
5
27
4
11
a) {–7}
b) 
c) R
d) 
a) S = {x  R/x > – 3}
b) 
c) R
a) {(4; 9)}
b) {(7; 3)}
c) {(4; 3); (–4; –3)}
a) {24}
b) {34}
c) {–4;4}
d) {3; –2}
e) {5}
43
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
P1. A equação x 
x
a)
b)
c)
d)
e)
x  12
x  15

10
15
é equivalente a
a
, a e b primos entre si. Então a + b é um:
b
número primo.
número par.
divisor de 7.
múltiplo de 3.
quadrado perfeito.
P2. Distribuí R$ 570,00 entre três pobres. Sabe-se que o
2o recebeu a terça parte do 1o, o 3o recebeu R$ 70,00 a
mais que o 2o e que ainda sobraram R$ 50,00. Calcule
quanto recebeu cada pobre.
P3. A soma das idades de pai e filho é 44 anos. Há 4 anos
a idade do pai era o quíntuplo da idade do filho. Quais
as idades atuais?
P4. Eu tenho a idade que tu tinhas quando eu tinha a
metade da idade que tu tens. Se a soma das nossas
idades atualmente vale 35 anos, calcular as nossas
idades.
P5. Um cão persegue uma lebre, que leva 48 saltos seus
de dianteira. O cão dá 3 saltos enquanto a lebre dá 5, e
5 saltos do cão valem 11 saltos da lebre. Quantos
saltos dará o cão para alcançar a lebre?
P6. Numa árvore têm-se galhos e passarinhos. Se pousar
um passarinho em cada galho, fica um passarinho sem
galho; se pousarem dois passarinhos em cada galho,
fica um galho sem passarinho. Calcule o produto entre
o número de passarinhos e o número de galhos.
P7. Numa cesta de capacidade para três dúzias de ovos, temos
ovos caipira e de granja. Foram retirados três quartos dos
ovos caipira e a cesta reduziu seu número de ovos à terça
parte. Sendo assim, a razão entre o número de ovos de
granja e caipira que possui a cesta, inicialmente, vale:
1
8
1
b)
5
1
c)
2
5
7
7
e)
5
a)
d)
2 x  y  1
P8. O sistema de equações lineares 
tem
mx  y  x
soluções e, e só se:
a) m  2
b) m  –1
1
c) m 
2
d) m  0
e) m  
3
2
MATEMÁTICA
44
x  y  3z  7

P9. Se x, y e z satisfazem à condição 2 y  x  4 ,
2x  y  z  1

então x + y + z vale:
a)
b)
c)
d)
e)
–5
2
0
–11
6
P10. O conjunto de valores reais que soluciona a equação
3x  5
3
1
no universo R é:


2
x 1
x 1
x 1
a)
b)
c)
d)
e)
{–1}
R – {± 1}
R
{0}
{3}
P11. Se ocorre x – y = 2 e x . y = 5, então
a) 
1
1

vale:
x
y
2
5
b) –6
3
c)
2
d) –1
1
e)
6
P12. A equação do segundo grau (3x – 1)2 + (2x – 1) . (2x + 1) = 0
possui as raízes x1 e x2. Determine, então, o valor de x1 + x2.
–0,4
6/13
–3
5
e)  1
2
a)
b)
c)
d)
P13. A diferença entre o quadrado da soma de um número
com 3 e o dobro do produto desse número pelo seu
consecutivo é 13. Esse número é:
a)
b)
c)
d)
e)
–1
5
2
3
–6
MATEMÁTICA
45
P14. Qual
o
12  x  x
x2  9
conjunto
2
solução
da
equação
 1 em R.
7

a) 3, 
2

b) {±2}
 7
c)  
 2
d) {–5}
e) 
P15. A soma de dois números é p e a soma dos recíprocos
(inversos) desses números vale q. Logo, o produto
dos números é:
a) p . q
p
b)
q
q
c)
p
d) pq – p
e) p2 q + pq2
P16. Dizer qual o conjunto solução
2x  6
x
6x  3


em R.
2
x

3
5
( x  3)
x 9
da
equação
P17. O valor absoluto da diferença entre a soma e o
produto das raízes da equação –2x2 + 10x – 3 = 0 é:
a) 3
b) 5
7
c)
2
5
d)
3
e) 0
P18. A equação do segundo grau 2x2 – kx + 3 = 0 possui –
1 como uma de suas raízes. Então a outra raiz é:
a)
b)
c)
d)
e)
–3/2
1
0
–1/2
5/2
P19. Se a equação x2 – 2 x +  = 0 possui –5 como raiz
dupla, então  .  é:
a)
b)
c)
d)
e)
–10
–125
87
160
25
MATEMÁTICA
46
P20. Observe a equação do segundo grau 2x2 – mx + n = 0;
a asserção falsa é:
a)
b)
c)
d)
e)
Se seus zeros são simétricos, então m = 0.
Se uma das raízes é nula, então n = 0.
Se seus zeros são recíprocos, então n = 2.
Se a diferença dos seus zeros for nula, então m2 = 8n.
Se uma das raízes é nula, então a outra raiz é n.
P21. As raízes da equação do segundo grau 3x2 – 15x + 
= 0,  constante, diferem de uma unidade; sendo
assim,  é um elemento do conjunto.
a)
b)
c)
d)
e)
{–2, 7, 13}
{0, 1, 5}
{l2, 15, 20)
{7, 18, 19}
{–11, 4, 8}
P22. Considerando a equação 2x2 + mx – 8 = 0 de raízes
x
x
x1 e x2 e sabendo-se que 1  2  2 , as raízes
x2
x1
dessa equação formam o conjunto:
a)
b)
c)
d)
e)
{x/x = 0 ou x = 1}
{x/x = 1/2 ou x =2}
{x/x = –1 ou x = 2}
{x/x = ± 2}
{x/x = ± 1/2}
P23. Resolva a equação x4 – x2 – 12 = 0, em R.
P24. Resolva a equação x6 + 7x3 – 8 = 0.
P25. Resolva a equação (x3 – 1)2 – 5(x3 –1) – 14 = 0.
P26. A equação do segundo grau cujas raízes são 2  3
e 2  3 é:
a)
b)
c)
d)
e)
2x2 + x – 1 = 0
–x2 + x – 3 = 0
3x2 + 7x + 2 = 0
x2 – 4x + 1 = 0
x2 – x – 1 = 0
P27. O conjunto solução da equação
possui quantos elementos?
a)
b)
c)
d)
e)
um
dois
três
quatro
infinitos
3
2x  1  x  1
MATEMÁTICA
47
MATEMÁTICA
e) –9  S
P28. Resolva
x  3  x  39 .
P29. Quantas
soluções
reais
possui
a
equação
da
equação
5x  1  x  2  1  2x ?
a)
b)
c)
d)
e)
zero
uma
duas
três
mais de três
P30. Calcule
a
soma
das
raízes
x 2  3x  1  x 2  3x  5 .
P31. Calcule
3
3
x
2
2x
as

3
2x
3
x2
P32. Sabendo-se que
raízes
da
equação
2.
x  y  6 e que x + y = 32,
então xy vale:
a)
b)
c)
d)
e)
3
4
5
6
7
P33. Resolver a equação x 3 x  2 x em R.
P34. O conjunto de números reais x para
2x
3x  1

 1 forma o intervalo real:
2
3
que
a) (–,2]
 2

b)  ,   
 3

2

c)   , 
3

d) (–,0]
e) (-1,+)
x  2 1  2x
5

 x,
2
3
4
obtemos o conjunto S como solução.
Então é verdadeiro que:
P35. Resolvendo a inequação
a) 2  S
b) –  S
c) 13  S
d) 1/2  S
48
P36. O maior número inteiro que satisfaz à condição
2x  1,5
1

x,é
1
2

1  1  
2

a) –1
b) 0
c) 1
d) 5
e) –7
P37. O conjunto de reais x que satisfazem à condição
x2

 3  3  1

é:
 2 x  6  0
7  x  0


a)
b)
c)
d)
e)
(3,7]
(–7,3]  (5, + )
(–7, 5)
[3, + )
[3,5)
2x  1

1
 1 
P38. O sistema de inequações 
tem para
3
x  0
solução o conjunto:
a)
b)
c)
d)
e)
(– ,–1]
(–1, 0)
(–1, 0]
(–1, 2)

P39. Calcular as raízes da equação x2(x + 3) = 4(x + 3).
P40. A soma dos zeros da equação x(x2 – 1) = 2 . (x + 1)2 é:
a)
b)
c)
d)
e)
0
2
3
5
5
3
2
P41. Resolva a equação
P42. Calcular
x 3  9x
 10  0 .
x3
o produto das
x 2  2x  3
 2x 2  0 .
x3
raízes
da
equação
MATEMÁTICA
49
P43. Qual
o
conjunto
solução
da
equação
x 2  5x  6
25
 2
0?
2
x x6
x 9
x 2 y  xy 2  6
P44. Um dos valores de x para que 
é:
x 2  xy  3
a)
b)
c)
d)
e)
–3
7
–11
3/2
1/2
P45. Duas pessoas empregam, juntas, RS 144.000,00 na
compra de ações que rendem 6% ao ano.
Anualmente, a primeira recebe R$ 1.200,00 a mais
que a segunda. Qual o capital que cada uma
empregou?
P46. Uma mistura de 20m é constituída de duas
substâncias, A e B, nas proporções 25% e 75%,
respectivamente. Sabendo que para um mesmo
volume a substância A pesa o dobro de B, que
percentagem do peso total da mistura representa o
peso de A?
P47. Uma torneira consegue encher um tanque vazio em
duas horas. Outra torneira consegue realizar o
mesmo trabalho em seis horas. Estando o tanque
cheio, um ralo o esvazia em x horas. Estando o
tanque vazio e colocando-se as duas torneiras juntas
em funcionamento com o ralo aberto, o tanque fica
cheio em 12/5 horas. Quanto vale x?
P48. Uma casa deve ser construída em 12 meses. Para
isso, precisa-se de 24 serventes, cada um trabalhando
15h/dia. Dois meses após o início da obra, 25% dos
serventes foram demitidos, e o restante dos serventes
ficou com a incumbência de terminar a obra no prazo
determinado.
Quantas horas por dia passará a trabalhar o restante
dos serventes?
P49. Se 2x + 2–x = , calcule 8x + 8–x.
P50. Se a + b – c = 0, provar que a3 + b3 – c3 = –3 abc.
P51. Provar a veracidade da sentença: Existe x  Q’ tal
que (x2 + x)  Z.
P52. Racionalize os denominadores:
4
a)
b)
c)
5 1
2 6
3
1
5
32
MATEMÁTICA
P53. Simplificar o radical
62 5 .
50
P54. Simplificar a expressão
74 3  74 3 .
P55. Calcule o valor de x  2  2  2  ...
.
P56. Duas rodas de engrenagem têm 40 e 60 dentes, cada
uma com um dente estragado. Se, num dado instante,
esses dois dentes estão em contato, quantas voltas a
roda pequena dará para que se repita esse encontro?
P57. Um terreno de forma triangular tem lados de
medidas 18 m, 24 m e 30 m. Deve-se cercar esse
terreno com estacas espaçadas igualmente, à máxima
distância possível.
Qual deve ser à distância entre as estacas?
P58. Determinar o maior número pelo qual se deve dividir
423, 796, 1585 para se obter os restos 3, 4 e 1,
respectivamente.
P59. Uma senhora possui uma cesta com ovos para
distribuir entre os seus 3 filhos. Ao primeiro filho ela
deu metade dos ovos da cesta mais meio ovo; ao
segundo filho ela deu a metade dos ovos restantes
mais meio ovo, e, ao terceiro filho, ela deu metade
do novo resto mais meio ovo, ficando sem nada.
Quantos ovos havia na cesta?
P60. (UFBA-99) Uma herança de R$ 525.000,00 foi
dividida entre duas famílias, uma com 25 pessoas e
outra com 30 pessoas, de maneira tal que a quantia
recebida por um dos membros da família menor,
somada à recebida por um dos membros da família
maior, foi igual a R$ 20.000,00. Todos os membros
de uma mesma família receberam quantias idênticas.
Se cada pessoa da família menor recebeu x mil reais,
calcule x.
P61. (UFBA-01) Um teatro colocou à venda, ingressos
para um espetáculo, com três preços diferenciados de
acordo com a localização da poltrona. Esses
ingressos, a depender do preço, apresentavam cores
distintas: azul, branco e vermelho. Observando-se
quatro pessoas na fila da bilheteria, constatou-se o
seguinte: a primeira comprou 2 ingressos azuis, 2
brancos e 1 vermelho e gastou R$ 160,00; a segunda
comprou 2 ingressos brancos e 3 vermelhos e gastou
R$ 184,00, e a terceira pessoa comprou 3 ingressos
brancos e 2 vermelhos, gastando R$ 176,00.
Sabendo-se que a quarta pessoa comprou apenas 3
ingressos azuis, calcule, em reais, quanto ela gastou.
MATEMÁTICA
51
GABARITO
01.
A
33.
02.
04.
05.
06.
07.
08.
09.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
1a) R$ 270,00
2a) R$ 90,00
3a) R$ 160,00
Pai: 34 anos
Filho: 10 anos
15 e 20
90
12
A
B
B
E
A
B
C
C
B
V = {13}
C
A
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
19.
B
20.
E
03.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.

a)
5
c)
D
53.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
D
V = {–2, +2}
V = {1, –2}
V = {–1, 2}
D
A
V = {25}
A
3
–2 e 1
B
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
61.
ANOTAÇÕES
5 1
b) 2 2
21.

V  0, 2, 25 2
C
C
B
E
C
V = {–3,–2, +2}
B
V = {–2, 5}
–1/2
V = {–2, 8}
A
V = R$ 82.000,00
R$62.000,00
40%
4
20h/dia
3 – 3
Demonstração
Demonstração
27
3
5 1
4
2
3 voltas
6m
12
07
15
84
MATEMÁTICA